初中高中數(shù)學公式大全

初中數(shù)學公式大全

1過兩點有且只有一條直線

2兩點之間線段最短

3同角或等角的補角相等

4同角或等角的余角相等

5過一點有且只有一條直線和已知直線垂直

6直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短

7平行公理經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行

8如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行

9同位角相等，兩直線平行

10內(nèi)錯角相等，兩直線平行

11同旁內(nèi)角互補，兩直線平行

12兩直線平行，同位角相等

13兩直線平行，內(nèi)錯角相等

14兩直線平行，同旁內(nèi)角互補

15定理三角形兩邊的和大于第三邊

16推論三角形兩邊的差小于第三邊

17三角形內(nèi)角和定理三角形三個內(nèi)角的和等于180°

18推論1直角三角形的兩個銳角互余

19推論2三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和

20推論3三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角

21全等三角形的對應邊、對應角相等

22邊角邊公理(SAS)有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等

23角邊角公理(ASA)有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等

24推論(AAS)有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等

25邊邊邊公理(SSS)有三邊對應相等的兩個三角形全等

26斜邊、直角邊公理(HL)有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等

27定理1在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

28定理2到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上

29角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合

30等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的兩個底角相等(即等邊對等角)

31推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

32等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合

33推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°

34等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊)

35推論1三個角都相等的三角形是等邊三角形

36推論2有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

37在直角三角形中，如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

38直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

39定理線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

40逆定理和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上

41線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合

42定理1關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

43定理2如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線

44定理3兩個圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上

45逆定理如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱

46勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即S2+b八2=”2

47勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系屋2+叢2=”2,那么這個三角形是直角三角形

48定理四邊形的內(nèi)角和等于360°

49四邊形的外角和等于360°

50多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于(n-2)X18O0

51推論任意多邊的外角和等于360°

52平行四邊形性質(zhì)定理1平行四邊形的對角相等

53平行四邊形性質(zhì)定理2平行四邊形的對邊相等

54推論夾在兩條平行線間的平行線段相等

55平行四邊形性質(zhì)定理3平行四邊形的對角線互相平分

56平行四邊形判定定理1兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

57平行四邊形判定定理2兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

58平行四邊形判定定理3對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

59平行四邊形判定定理4一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形

60矩形性質(zhì)定理1矩形的四個角都是直角

61矩形性質(zhì)定理2矩形的對角線相等

62矩形判定定理1有三個角是直角的四邊形是矩形

63矩形判定定理2對角線相等的平行四邊形是矩形

64菱形性質(zhì)定理1菱形的四條邊都相等

65菱形性質(zhì)定理2菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角

66菱形面積=對角線乘積的一半，即$=(aXb)+2

67菱形判定定理1四邊都相等的四邊形是菱形

68菱形判定定理2對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

69正方形性質(zhì)定理1正方形的四個角都是直角，四條邊都相等

70正方形性質(zhì)定理2正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角

71定理1關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等的

72定理2關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分

73逆定理如果兩個圖形的對應點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一

點平分，那么這兩個圖形關(guān)于這一點對稱

74等腰梯形性質(zhì)定理等腰梯形在同一底上的兩個角相等

75等腰梯形的兩條對角線相等

76等腰梯形判定定理在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

77對角線相等的梯形是等腰梯形

78平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段

相等，那么在其他直線上截得的線段也相等

79推論1經(jīng)過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰

80推論2經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第

三邊

81三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它

的一半

82梯形中位線定理梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的

一半L=(a+b)+2S=LXh

83⑴比例的基本性質(zhì)如果a:b=c:d,那么ad=bc

如果ad=bc,那么a:b=c:d

84(2)合比性質(zhì)如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c+d)/d

85(3)等比性質(zhì)如果a/b=c/d=---=m/n(b+d+…+nW0),那么

(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b

86平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應

線段成比例

87推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例

88定理如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形

的第三邊

89平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例

90定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似

91相似三角形判定定理1兩角對應相等，兩三角形相似(ASA)

92直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似

93判定定理2兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似(SAS)

94判定定理3三邊對應成比例，兩三角形相似(SSS)

95定理如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三

角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似

96性質(zhì)定理1相似三角形對應高的比，對應中線的比與對應角平

分線的比都等于相似比

97性質(zhì)定理2相似三角形周長的比等于相似比

98性質(zhì)定理3相似三角形面積的比等于相似比的平方

99任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等

于它的余角的正弦值

100任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等

于它的余角的正切值

a?—,r?—A

h~=//*+r*—JarmttR

r?=*jJ—7ahrncf

fl2+b2-C2

cosC=2ah

a2^(^-b2

cosB=

")nr

SAABC=1/2absinC

SAABC=1/2bcsinA

SAABC=1/2acsinB

101圓是定點的距離等于定長的點的集合

102圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合

103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合

104同圓或等圓的半徑相等

105到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半

徑的圓

106和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是著條線段的垂直

平分線

107到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線

108到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距

離相等的一條直線

109定理不在同一直線上的三點確定一個圓。

110垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧

111推論1①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧

③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧

112推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等

113圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形

114定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦

相等，所對的弦的弦心距相等

115推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩

弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應的其余各組量都相等

116定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

117推論1同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等

H8推論2半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所

對的弦是直徑

119推論3如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形

120定理圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它

的內(nèi)對角

121①直線L和。O相交d<r

②直線L和。O相切d=r

③直線L和。O相離d>r

122切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

123切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑

124推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點

125推論2經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

126切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，

圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角

127圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等

128弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對的圓周角

129推論如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等

130相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積

相等

131推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的

兩條線段的比例中項

132切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割

線與圓交點的兩條線段長的比例中項

133推論從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等

134如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上

135①兩圓外離d>R+r②兩圓外切d=R+r

③兩圓相交R-r<d<R+r(R>r)

④兩圓內(nèi)切d=R-r(R>r)⑤兩圓內(nèi)含d<R-r(R>r)

136定理相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦

137定理把圓分成n(n23):

⑴依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形

⑵經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形

138定理任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓

139正n邊形的每個內(nèi)角都等于(n-2)X180°/n

140定理正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形

141正n邊形的面積Sn=pnrn/2p表示正n邊形的周長

142正三角形面積V3a/4a表示邊長

143如果在一個頂點周圍有k個正n邊形的角，由于這些角的和應為

360°,因此kX(n此)180°/n=360°化為(n-2)(k-2)=4

144弧長計算公式:L=n兀R/180

145扇形面積公式：S扇形=n兀RA2/360=LR/2

146內(nèi)公切線長=d-(R-r)外公切線長=d-(R+r)

147完全平方公式：(a+b)A2=aA2+2ab+bA2

(a-b)A2=aA2-2ab+bA2

148平方差公式：(a+b)(a-b)=aA2-bA2

(還有一些，大家?guī)脱a充吧)

實用工具:常用數(shù)學公式

公式分類公式表達式

乘法與因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式|a+b|W|a|+|b||a-b|W|a|+|b||a|Wb<=>-b,WaWb

|a-b|冽aHb|-|a|WaW|a|

一元二次方程的解-b+V(b2-4ac)/2a-b-V(b2-4ac)/2a

根與系數(shù)的關(guān)系Xl+X2=-b/aXl*X2=c/a注：韋達定理

判別式

b2-4ac=0注：方程有兩個相等的實根

b2-4ac>0注：方程有兩個不等的實根

b2-4ac<0注：方程沒有實根，有共軌復數(shù)根

三角函數(shù)公式

兩角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式

sin(A/2)=V((l-cosA)/2)sin(A/2)=-V((l-cosA)/2)

cos(A/2)=V((l+cosA)/2)cos(A/2)=-V((l+cosA)/2)

tan(A/2)=V((1-COSA)/((1+COSA))tan(A/2)=-V((1-COSA)/((1+COSA))

ctg(A/2)=V((1+COSA)/((1-COSA))ctg(A/2)=-V((1+COSA)/((1-COSA))

和差化積

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些數(shù)列前n項和

l+2+3+4+5+6+7+8+9+???+n=n(n+l)/21+3+5+7+9+11+13+15+-+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+—+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+???+n2=n(n+l)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+?--n3=n2(n+1)2/4l*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+??-+n(n+l)=n(n+l)(n+2)/3

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圓半徑

余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是邊a和邊c的夾角

圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：(a,b)是圓心坐標

圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0

拋物線標準方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

直棱柱側(cè)面積S=c*h斜棱柱側(cè)面積S=c，*h

正棱錐側(cè)面積S=l/2c*H正棱臺側(cè)面積S=l/2(c+c,)h,

圓臺側(cè)面積S=l/2(c+c*)l=pi(R+r)l球的表面積S=4pi*r2

圓柱側(cè)面積S=c*h=2pi*h圓錐側(cè)面積S=l/2*c*l=pi*r*l

弧長公式l=a*ra是圓心角的弧度數(shù)r>0扇形面積公式s=l/2*l*r

錐體體積公式V=1/3*S*H圓錐體體積公式V=l/3*pi*r2h

斜棱柱體積V=SL注：其中S是直截面面積，L是側(cè)棱長

柱體體積公式V=s*h圓柱體V=pi*r2h

高中數(shù)學常用公式及常用結(jié)論

1.元素與集合的關(guān)系

xeAoxeCVA,xeCVAoxeA.

2.德摩根公式

CV{AB)-CVAICyB^Cu(AB)=C^ACVB.

3.包含關(guān)系

AB=A^>A,B=B^>A^B^C0BcA

<4>AC^B=①oCuAB=R

4.容斥原理

card(AB)=cardA+cardB-card(AB)

card(ABC)=cardA+cardB+cardC—card(A'B)

-card(AB)—card(BC)-card(CA)+card(ABC).

5.集合的子集個數(shù)共有個；真子集有-1個；非空子集有-1個；非空的真子集有-2個.

6.二次函數(shù)的解析式的三種形式

(1)一般式f(x)-ax2+bx+c{a豐0);

(2)頂點式/(%)=a(x-h)2+k(aw0)；

(3)零點式/(x)=。(工一石)(工一%)(4豐°)-

7.解連不等式N</(%)<M常有以下轉(zhuǎn)化形式

M+N,M-N于(x)—N八

oI/W-丁卜--------o------>0

2

11

o--------->-------.

f(x)-NM-N

8.方程/(%)=0在(片狀2)上有且只有一個實根,與<0不等價,前者是后者的一個必要而不是

充分條件.特別地，方程以班+。=0(〃W0)有且只有一個實根在(匕方2)內(nèi)，等價于/(左1)/(左2)<。，或

di、八口7bk[+k?—、八口%十七b

/(左i)=。且左i<一丁<~，或于*2)=。且-<——<心?

2a222a

9.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值

二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只能在處及區(qū)間的兩端點處取得，具體如下:

⑴當a〉0時,若，則；

⑵當a<0時,若，則，若，則，

10.一元二次方程的實根分布

依據(jù)：若，則方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個實根.

設(shè),則

p2-4q>0

(1)方程/(%)=0在區(qū)間(m,+oo)內(nèi)有根的充要條件為了(根)=0或<p

---->m

I2

f(m)>0

/(H)>0

1”叫=°或

(2)方程/'(%)=0在區(qū)間⑺,“)內(nèi)有根的充要條件為于(市)于(n)<0或<p2-4q>0或,

qf(n)>0

p

m<-----<n

2

/(H)=0

af(m)>0

/72-4<7>0

(3)方程/(%)=0在區(qū)間(-oo,n)內(nèi)有根的充要條件為f(m)<0或<p

----<m

2

11.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)

⑴在給定區(qū)間的子區(qū)間(形如，不同)上含參數(shù)的二次不等式(為參數(shù))恒成立的充要條

件是.

(2)在給定區(qū)間(-8,+8)的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式為參數(shù))恒成立的充要條件是

a>0

a<0

(3)/(x)=ax'+人f+c>0恒成立的充要條件是彳。20或<

b2-4ac<0

c>0

12.真值表

Pq非PP或qp且q

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

13.常見結(jié)論的否定形式

原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞

是不是至少有一個一個也沒有

都是不都是至多有一個至少有兩個

大于不大于至少有〃個至多有(〃一1)個

小于不小于至多有“個至少有(〃+1)個

對所有，存在某，

成立不成立p或q-P且一q

對任何，存在某，

不成立成立p且q—或r

14.四種命題的相互關(guān)系

15.充要條件

(1)充分條件：若，則是充分條件.

(2)必要條件：若，則是必要條件.

(3)充要條件：若，且，則是充要條件.

注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.

16.函數(shù)的單調(diào)性

(1)設(shè)為?%ea,b\Xy^x2那么

(玉-x2)[/(^)-/(x2)]>0o〉0=/(x)在[a,"上是增函數(shù)；

(%—/(%)]<0o/(3-2)<0=/(x)在[a,“上是減函數(shù).

(2)設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù).

17.如果函數(shù)/(x)和g(x)都是減函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，和函數(shù)/GO+gCc)也是減函數(shù)；如果函數(shù)

y=/(%)和"=g(x)在其對應的定義域上都是減函數(shù),則復合函數(shù)y=/Ig(x)]是增函數(shù).

18.奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，那

么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù).

19.若函數(shù)是偶函數(shù)，則；若函數(shù)是偶函數(shù)，則.

20.對于函數(shù)y=/(x)(xeH),/(x+a)=/3―%)恒成立，則函數(shù)/(x)的對稱軸是函數(shù)x=旦?；兩

個函數(shù)y=/(x+。)與y=/3—%)的圖象關(guān)于直線x=等對稱.

21.若/(%)=—/(—x+a),則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點弓,0)對稱；若/(%)=—/(%+a),貝U函數(shù)

y="X)為周期為2a的周期函數(shù).

22.多項式函數(shù)的奇偶性

多項式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)oP(x)的偶次項(即奇數(shù)項)的系數(shù)全為零.

多項式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)oP(x)的奇次項(即偶數(shù)項)的系數(shù)全為零.

23.函數(shù)y=f(x)的圖象的對稱性

(1)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱o/(a+x)=/(a-x)

<=>/(2?-x)=/(%).

(2)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱oy(a+znx)=/S—MX)

of(a+b—mx)=f(mx).

24.兩個函數(shù)圖象的對稱性

(1)函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=f(-x)的圖象關(guān)于直線x=0(即y軸)對稱.

(2)函數(shù)y=于(mx-a)與函數(shù)y=f(b-mx)的圖象關(guān)于直線x=0±2對稱.

2m

(3)函數(shù)y=/(x)和y=f-\x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.

25.若將函數(shù)的圖象右移、上移個單位，得到函數(shù)的圖象；若將曲線的圖象右移、上移個單

位，得到曲線的圖象.

26.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的關(guān)系

于(a)=bor'(b)=a.

27.若函數(shù)y=/(乙+①存在反函數(shù)，則其反函數(shù)為y=-[/'(%)-^],并不是y=[f-\kx+b),而函數(shù)

k

y=[y1(4x+b)是y=-[/(%)-b]的反函數(shù).

k

28.幾個常見的函數(shù)方程

(1)正比例函數(shù)f(x)=ex,f(x+y)=f(x)+/(y),/(l)=c.

(2)指數(shù)函數(shù)f(x)=優(yōu)，f(x+y)=_/W(y)J(l)="0.

⑶對數(shù)函數(shù)/(x)=logaX,/(xy)=f(x)+f(y),f(a)=1(?>0,a1).

(4)塞函數(shù)f(x)=x",f(xy)=f(x)f(y),/'(1)=a.

⑸余弦函數(shù)，正弦函數(shù)，，

29.幾個函數(shù)方程的周期(約定a>0)

(1)，則的周期T=a；

(2),

或，

或f(x+a)=(/(x)*0),

/(x)

或;+《于(X)—于2Q)=/(x+a),(/(x)e[0,1]),則/(%)的周期T=2a；

(3),則的周期T=3a；

(4)且，則的周期T=4a；

(5)/(x)+/(x+〃)+/(x+2a)f(x+3a)+f(x+4〃)

=/a)/a+4)/a+2〃)/a+3a)/a+4a),則/(無)的周期T=5a；

(6),則的周期T=6a.

30.分數(shù)指數(shù)累

(1)(，且).

(2)(，且).

31.根式的性質(zhì)

(1)(標')"=a.

(2)當為奇數(shù)時，；

當為偶數(shù)時，.

32.有理指數(shù)嘉的運算性質(zhì)

(1)a'-as-ar+s(a>O,r,s^Q).

(2)(ar)s=a'\a>O,r,seQ).

(3)(aby-a'b\a>O,b>0,re2).

注：若a>0,p是一個無理數(shù)，則ap表示一個確定的實數(shù).上述有理指數(shù)嘉的運算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)

福都適用.

33.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式

logaN=b=a"=N(a>0,a/1,N>0).

34.對數(shù)的換底公式

logN

logflN=——-—(a>0,且awl,7〃>0,且“7Hl,N>0).

1%a

J2

推論logbn=—log”b(a>0,且〃>1,根,〃>0,且mwl,TV>0).

awm

35.對數(shù)的四則運算法則

若a>0,aWl,M>0,N>0,則

⑴log”(MN)=log/+log*;

M

⑵log”—=log,,M-logaN;

36.設(shè)函數(shù)，記.若的定義域為，則，且；若的值域為，則，且.對于的情形，需要單獨

檢驗.

37.對數(shù)換底不等式及其推廣

若a>0,Z?>0,%>0,則函數(shù)y=log雙(法)

a

⑴當a>Z?時，在(0一)和(工,+oo)上y=log雙(bx)為增函數(shù).

aa

,(2)當時，在和上為減函數(shù).

推論:設(shè)，，，且，則

⑴log,"+p(“+0)<log/?

、，,,Tm+n

(2)logflmlogfln<logfl.

38.平均增長率的問題

如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長率為，則對于時間的總產(chǎn)值，有.

39.數(shù)列的同項公式與前n項的和的關(guān)系

*,n=l

an=<(數(shù)列｛%｝的前n項的和為％=q+2++*?

[sn-sn_x,n>2

40.等差數(shù)列的通項公式

「

an-q+(n-l)d=dn+ad(nwN*)；

其前n項和公式為

_〃(％+%)n(n—V)7

=naH------——a

2x

d2/1

——ri+（6—d）n.

22

41.等比數(shù)列的通項公式

an=aqi=Nq(ncN*)；

q

其前n項的和公式為

s?=1i-q

navq-1

或s“={1-q

叫,q=1

42.等比差數(shù)列{an}:4+i=qa“+d,a[=b(q豐0)的通項公式為

b+(n-V)d,q=1

a“=<bqn+(d-b)qn^-d；

7

、??T

其前n項和公式為

nb+n(n~r)d,(q=1)

s”=</,d1—q"d'

(b---)―Y+1-

Li-qq-ii-q

43.分期付款(按揭貸款)

每次還款x=元（貸款a元,n次還清，每期利率為b）.

（1+b）-1

44.常見三角不等式

⑴若，則.

⑵若，則.

（3）|sin%|+1cosx|>1.

45.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

46.正弦、余弦的誘導公式

n

.,nn、(-1)5sin%（n為偶數(shù)）

sin(—+a)=<

n-l

2

(-1)cosa,（n為奇數(shù)）

n

（n為偶數(shù)）

，底兀、(-1)2cosa,

COS（~—FOC）

n+\

（n為奇數(shù)）(-1)2sin%

47.和角與差角公式

sin(6Z±/?)=sinacos(3±cosasm(3；

cos(6r±J3)=cosacos/??sinasinJ3；

/,八、tan。土tan￡

tan(a±0)=----------------.

14tanatan°

sin(a+P)sin(a-/?)=sin2a-sin2/?(平方正弦公式);

cos(a+(3)cos(a一/?)=cos2a-sin2/3.

asina+Z2cos。=J^"7P_sin(a+0)(輔助角0所在象限由點(。/)的象限決定，tan0=—).

a

48.二倍角公式

sin2a=sinorcosa.

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a.

八2tanor

tan2a=----------.

1-tana

49.三倍角公式

sin30=3sin0-4sin3e=4sin8sinq-e)sing+e).

cos38=4cos30-3cos8=4cos0cos^-0)cos(y+0).

c八3tan-tan30八歷八、歷八、

tan30=------------；-----=tan6tan(-----0)tan(—+0).

l-3tan2^33

50.三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)，x￡R及函數(shù)，x￡R(A,以為常數(shù),且AW0,3>0)的周期；函數(shù)，(A,以為常數(shù)，且

AW0,3>0)的周期.

51.正弦定理

工=工=-=2R.

sinAsinBsinC

52.余弦定理

a2=b1+C1-2Z?ccosA;

b1=c2+/-2cacosB

c2=/+/-2abcosC.

53.面積定理

(1)、也分別表示a、b、c邊上的高).

S=2—aha=2—bho.=2—chce(huhub>c

(2)S=—absmC=—bcsinA=—casinB.

222

⑶"叩刖-S"

54.三角形內(nèi)角和定理

在AABC中，有

C兀A+Bcc三?A八、

=----——2c=27r—2(A+B).

55.簡單的三角方程的通解

sinx=ao%=左乃+(-1)“arcsina(kGZ,|^|<1).

cosx=a<^>x=2k?！繿rccosa(kwZ,|a區(qū)1).

tanx=a=>x=k7r+arctana(kwZ,awR).

特別地,有

sin。=sin==a="%+(-l)k0(kGZ).

cosa=cos°oa=2k?！?也eZ).

tancif=tanpa=k7i+/3{kZ).

56.最簡單的三角不等式及其解集

sin%〃區(qū)1)ox￡Qk兀+arcsina,2左乃+?—arcsina),keZ.

sinxv〃區(qū)1)ox￡Qk兀一兀一arcsina,2k兀+arcsina),keZ.

cosx>〃(|a區(qū)1)ox￡(2k/r-arccosa,2k兀+arccosa),kwZ.

cos%va(|a區(qū)1)ox￡Qk兀+arccosa,2k兀+2〃一arccosd),kcZ.

JI

tanx>a(aG7?)=>xe[k/c+arctana.kn+—),keZ.

JI

tanx<a(aG7?)=>xG(kji----,k7i+arctana),keZ.

2

57.實數(shù)與向量的積的運算律

設(shè)入、口為實數(shù)，那么

(1)結(jié)合律：入(ua)=(入u)a;

(2)第一分配律：(入+u)a=入a+ua;

(3)第二分配律：X(a+b)=入a+入b.

58.向量的數(shù)量積的運算律：

(1)a?b=b?a(交換律)；

(2)(2a),b=2(a*b)=2a*b=a*(2b);

(3)(Kb)?c=a,c+b?c.

59.平面向量基本定理

如果el.e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)入1.入2,

使得a=Xlel+X2e2.

不共線的向量el.e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

60.向量平行的坐標表示

設(shè)a=,b=，且b0,則ab(b0).

53.a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)

a?b=/a//b/cos0,

61.a-b的幾何意義

數(shù)量積a?b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos。的乘積.

62.平面向量的坐標運算

⑴設(shè)a=,b=,則a+b=.

⑵設(shè)a=，b=,則a-b=.

⑶設(shè)A,B，則.

(4)設(shè)a=,貝lja=.

⑸設(shè)a=,b=，則a?b二.

63.兩向量的夾角公式

%%+乂當

cos6--i=(4(苞，％)上⑸%)).

7?+K7君+式

64.平面兩點間的距離公式

dAB=\AB\=y/ABAB

(A,B).

65.向量的平行與垂直

設(shè)a=，b=，且b0,貝|

A||bob二入aO一%2》1=0.

a_Lb(aW0)03?b=00x1x2+y{y2=0.

66.線段的定比分公式

設(shè)，,是線段的分點，是實數(shù)，且，則

再+AX

X=2

1+/I^Op=OPl+WP2

X+2%1+2

y=

1+2

1

<=>OP=tOPy+(l—t)OP,(7=

1+2

67.三角形的重心坐標公式

△ABC三個頂點的坐標分別為A(X[,y)、B(X2,y2),C區(qū)，丫§),則△ABC的重心的坐標是

芝+%+%%+%+%

G().

33

68.點的平移公式

x=x+hx=x-h,,

,o<,oOP=OP+PP.

y=y+ky=y-k

注：圖形F上的任意一點P(x,y)在平移后圖形上的對應點為，且的坐標為.

69.“按向量平移”的幾個結(jié)論

(1)點P(x,y)按向量a=(人,k)平移后得到點P'(x+/?,y+4).

(2)函數(shù)y=f(x)的圖象C按向量a=(九k)平移后得到圖象C',則C'的函數(shù)解析式為y=f{x-h)+k.

(3)圖象C'按向量a=(/z，4平移后得到圖象。，若。的解析式y(tǒng)=/(x),則C的函數(shù)解析式為

y=f(x+h)-k.

⑷曲線C：/(%,y)=0按向量a=仇左)平移后得到圖象C',則C'的方程為f(x-h,y-k)=O.

(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然為m=(x,y).

70.三角形五“心”向量形式的充要條件

設(shè)為所在平面上一點，角所對邊長分別為，則

22-2

(1)。為AABC的外心=OB=OC.

(2)。為AABC的重心o0A+03+0C=0.

(3)。為AABC的垂心==

(4)。為AABC的內(nèi)心oa0A+ZH?3+c0C=0.

(5)。為A4BC的NA的旁心oaQ4=Z?03+cOC.

71.常用不等式：

(1)(當且僅當a=b時取"=”號).

(2)(當且僅當a=b時取"=”號).

(3)a3+b3+c3>3abc(a>0,b>0,c>0).

(4)柯西不等式

(a2+Z?2)(c2+d2)>(ac+bd)2,a,b,c,deR.

(5)|?|—|Z?|<|a+Z?|<|a|+1/?|.

72.極值定理

已知都是正數(shù)，則有

(1)若積是定值，則當時和有最小值；

(2)若和是定值，則當時積有最大值.

推廣已知，則有

(1)若積孫是定值，則當|x-y|最大時，|x+y|最大；

當Ix-y|最小時，|x+y|最小.

(2)若和|x+y|是定值，則當|x-y|最大時，|孫|最?。?/p>

當|x-y|最小時，|孫|最大.

73.一元二次不等式，如果與同號，則其解集在兩根之外;如果與異號，則其解集在兩根之間.

簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.

)

%1<X<x2<=>(X-XjXx-%2<0(王<%2)；

X<X],或X>%O(X-XjXx-%2)>0(Xj<x2).

74.含有絕對值的不等式

當a>0時，有

|x|<ax2<ao—a<x<a.

國>ao—>儲0%>或％v—a.

75.無理不等式

f/(x)>0

(1)"(x)>Jg(x)o,g(x)>0

J(x)〉g(x)

/(x)>0

/(x)>0

⑵"(X)〉g(x)o<g(x)NO

g(x)<0

J(x)〉[g(x)f

/?>0

⑶"(X)<g(x)o,g(x)〉0

J(x)<[g(尤)f

76.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式

(1)當a>l時，

afM>a8(x}o/(x)>g(x)；

/W>0

log“/(x)〉log0g(x)=<g(x)〉0

J(x)〉g(x)

(2)當0<。<1時，

atM>a8(x)o/(x)<g(x)；

7(x)>0

log。/(x)〉log。g(x)=<g(x)〉0

J(x)<g(x)

77.斜率公式

k=―——(6(%,%)、P2(x2,y2)).

x2-%

78.直線的五種方程

(1)點斜式(直線過點，且斜率為).

(2)斜截式y(tǒng)=(b為直線/在y軸上的截距).

(3)兩點式~左=""1(%一%)(6(為，))、鳥(工2，y2)(%//)).

%一%%2一為

(4)截距式(分別為直線的橫、縱截距，)

(5)一般式(其中A.B不同時為0).

79.兩條直線的平行和垂直

⑴若，

①4II，2O左1=42，4W"2；

②4_L，2=k/z--1.

⑵若，，且A1.A2.B1.B2都不為零，

①乙眄0&="/邑;

12

A232G

②/]_Ll2o44+B]B2=0；

80.夾角公式

(l)tancif=|———|.

1+k2kl

,)

(2)tana=|4與一4用I.

+B]B?

(/]:A%+y+G=0，，2:4%+62》+02nO,AA+BlgWO)，

直線時，直線11與12的夾角是.

81.到的角公式

k?-k]

(l)tancif=

1+k2kl

.)

A