2024-2025學年人教版八年級數(shù)學上冊規(guī)律探究 強化練習

規(guī)律探究專題強化

專題一規(guī)律探究(1)一數(shù)式規(guī)律

0L對于正數(shù)x,規(guī)定/(%)=擊,例如:/(3)=京=*則/(嬴)+/(嘉)+…+f?+/⑴+/(2)+-+

“2019)+,(2020)的值為()

A.2021B,2020C.2019.5D.2020.5

02.觀察下面的式子：亳=1-12=:［白=:3"可以發(fā)現(xiàn)它們的計算規(guī)律是小=:去⑴為

J.XZ/乙J<54TLyTLiX)Tl7lT1.

正整數(shù)).若一容器裝有1L水，按照如下要求把水倒出：第一次倒出乜，水，第二次倒出的水量是：乜水的

3第三次倒出的水量是乜水的，第四次倒出的水量是9,水與，…，第n次倒出的水量\4水的吃,…

334457nn+1

按這種倒水方式，前n次倒出水的總量為L.

03.對于二次三項式x2+mx+n(m,n為常數(shù))，下列結(jié)論：①若n=36,且x2+mx+n=(%+。產(chǎn)則a=6;②若

m2<4九，，則無論x為何值時，x2+mx+九都是正數(shù)；③若x2+mx+n=(%+3)(%+a)廁3m-n=9;④

若n=36,且x2+mx+n=(x+a)(%+b),其中a,b為整數(shù)，則m可能取值有10個其中正確的有

_.(請?zhí)顚懶蛱?

專題二規(guī)律探究⑵一數(shù)形規(guī)律

01.如圖，在第1個△力1BC中，Z.B=30。,力$=CB,,在邊4$上任取一點D,延長CA1到A2使4血=

得到第2個△-O；在邊魚。上任取一點E,延長.4人到4,使A2A3=人民得到第3個△A2A3E；……

按此做法繼續(xù)下去，則第2021個三角形中以A?o21為頂點的內(nèi)角度數(shù)是（

…AAAyAiA\

02等腰△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點A為原點，AB=6,C4=C8=5把等腰△ABC沿x軸正

半軸作無滑動順時針翻轉(zhuǎn)，第一次翻轉(zhuǎn)到位置①，第二次翻轉(zhuǎn)到位置②，…，依此規(guī)律，第23次翻轉(zhuǎn)后點C

的橫坐標是（）

A.123B.125(4)")

C.126D.131①V②、「

(Q⑷x

03如圖”已知.AMON=30。,點42,43,?…在射線ON上，點Bi,B2,冉,…在射線OM上.A2B2A3,^

&B344,…均為等邊三角形，若（。4=2,則△人孱上的邊長為（）

C.64D.128

OAiAiAyAAN

第五模塊最值問題

專題一最值問題（1）—將軍飲馬問題

01如圖，P為/AOB內(nèi)一定點”M,N分別是射線OA,OB上的點當APMN的周長最小時，ZMPN=100°,則/A

OB=.

02.如圖，在四邊形ABCD中，ZA=ZC=90°,ZABC=a,在AB,BC上分別找一點E,F.使4DEF的周長最小，此

時NEDF=()

A.aB.90°-a

C.a2D.1800-2a

03.如圖，正方形ABCD的面積為6,ACDE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線BD上有一動點K,

則KA+KE的最小值為,

AD

04.如圖，銳角/AOB=x,M,N分別是邊OA,OB上的定點，P,Q分別是邊OB,OA上的動點，記/OPM=a,ZQN

O=p,當MP+PQ+QN最小時，則關(guān)于a,p,x之間的數(shù)量關(guān)系正確的是()

A.a-P=2xB.20+a=9O°+2x

C.p+a=90°+xD.p+2a=180°-2x

OPNB

專題二最值問題⑴一將軍飲馬拓展

核心考點一將軍飲馬與垂線段最短結(jié)合

01.如圖，在△ABC中，AC=8,AB=10,△ABC的面積為30,AD平分NBAC,F,E分別為AC,AD上兩動點，連接

CE,EF,貝CE+EF的最小值為.

02.如圖，^AOC=乙BOC=10。,OC=20?在OA上找一點M,在OB上找一點N,則CM+MN的最小)

M

A.20B.16

C.12D.10ONB

核心考點二動點軌跡為對稱軸

03.如圖，在^ABC中，ADXBC于點D,且AD=BC,BC上方有一動點P滿足SPBC=尹.，則點P到B,C兩點

距離之和最小時，NPBC的度數(shù)為（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

核心考點三多次軸對稱

04.在A4BC中若ZB=2C,乙4=40。,，點E,F分別為AC和AB上的動點，BE與CF相交于G點當BE+EF

+CF的值最小時,貝4AABE=

專題三最值問題（2）——垂線段最短（1）—斜大于垂（新熱點）

01.如圖，在△ABC中，AB=3,BC=4,AC=5,ABLBC,點P,Q分別是邊BC,AC上的動點，則AP+PQ的最小值等

于.

02如圖，在RtAABC中，NACB=90。，NB=30。，AC=2,D點為BC上一動點，EF垂直平分AD分別交AC于點E,

交AB于點F,則BF的最大值為.

03如圖，在銳角△ABC中，乙4=30°,BC=的面積是（6瓜D,E,F分別是三邊上的動點，則△DEF周長

的最小值是__________.

04.如圖，在△4BC中，AB=AC,AD1BC于點D,點E是AC上一點，且DE=CE=3,若點F是AE的中點，

則圖中兩個陰影部分面積差的最大值是（）

A.3B.4.5

C.6D.9

BDC

專題四最值問題(3)——垂線段最短(2)—折線化直與胡不歸

方法：利用特殊角構(gòu)造加權(quán)線段長(含系數(shù)的線段長)，然后化折為直

01.如圖，在AABC中，ZCAB=30°,ZACB=90°,AC=3,D為AB的中點，E為線段AC上任意一點(不與端點重合)，

當E點在線段AC上運動時，則DE+的最小值為.

02如圖，在△ABC中，ZB=45°,AB=4,點P為直線BC上一點當BP+2Ap有最小值時，NBAP的度數(shù)為

03如圖，在長方形ABCD中，對角線BD=6,ZABD=60°.將長方形ABCD沿對角線BD折疊得△BED,點M是

線段BD上一點，則+的最小值為.

04.如圖，在4ABC中，ZA=90°,ZB=60°,AB=2,若D是BC邊上的動點，則2AD+DC的最小值為,

B

專題五最值問題（4）—垂線段最短⑶

—利用全等確定點的直線運動軌跡（新熱點）

核心考點一直接利用手拉手全等導角確定軌跡

01.如圖，AD是等邊三角形ABC的BC邊上的高，點E是AD上的一個動點（點E不與點A重合），連接CE，將線

段CE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)（60。得到EF,連接DF,CF,若4B=6,則線段DF長度的最小值是（）

核心考點二構(gòu)造手拉手全等導角確定軌跡

02.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AB=6,CB=A/33,M為直線BC上的一個動點將線段AM

繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AN,則CN的最小值是（）

A.3B.2.5

C.2D.1.5

03.如圖，在平面直角坐標系中，C（0,4）,A（l,0）,K為x軸上一動點，連接AC,將AC繞A點順時針旋轉(zhuǎn)90。得

到AB,當點K在x軸上運動時，BK的最小值為.

核心考點三構(gòu)造弦圖全等得特殊角確定軌跡

04.如圖，在^ABC中，NB"=90。,48=AC,D為邊BC上一動點，連接AD.以AD為底邊，在AD的左側(cè)作等

腰直角三角形點F是邊AC上的定點，連接FE,當AE+FE取最小值時，若/AFE=a,貝!]NAEF為（

）（用含a的式子表?。?/p>

.c3

A.aB.-a

2

C.90°+aZ),180°-2a

BD

專題六最值問題⑸一構(gòu)造手拉手轉(zhuǎn)化為動態(tài)三邊關(guān)系

問題背景：如圖1,點c為線段AB外一動點且AB=AC=2,若BC=CD,ZBCD=60°,連接AD,求AD的最大值.

解決方法:以AC為邊作等邊△ACE,連接BE,推出BE=AD,當點E在BA的延長線上時，線段AD取得最大值4.

01.如圖，四邊形ABCD中，AB=2,BC=4,△ACD為等邊三角形，則BD的最大值為.

02.如圖，點C為線段AB的中點，點E為直線AB上方的一點，且滿足（CE=CB,連接AE,在直線AB上方作△A

DE,使Z.DAE=120°,XF=AD?連接CD,當CD最大時,NDEC=.

03.如圖，點C為線段AB的中點，點E為直線AB上方的一點，且滿足（CE=CB,連接AE,以AE為腰，A為頂

角頂點作等腰Rt△ADE,連接CD,當CD最大時，/DEC=

AB

專題七最值問題⑹一線段的拼接與費馬點問題

核心考點一構(gòu)造全等拼接兩個線段，轉(zhuǎn)化為兩點之間，線段最短

01如圖，AD為等邊△ABC的高，點E,F分別為線段AD,AC上的動點，且4E=CF,當BF+CE取最小值時，Z

AFB的度數(shù)為（）

A.112.5°B.105°

C.90°D.75°

02.如圖，等腰RtAABC中，AC=BC/ACB=90°,D為BC中點AD=4,P為AB上一個動點，當P點運動時，P

C+PD的最小值為.

核心考點二對稱型全等轉(zhuǎn)化為：兩點之間，線段最短

03.小華的作業(yè)中有一道數(shù)學題：“如圖，AC,BD在AB的同側(cè)，AC=1,BD=4,AB=4,,點E為AB的中點.

若/CED=120。，求CD的最大值."哥哥看見了，提示他將△2CE和△BDE分別沿CE,DE翻折得到△ACE

和4BDE,連接.4夕.最后小華求解正確，得到CD的最大值是-

D

AEB

核心考點三通過構(gòu)造手拉手全等轉(zhuǎn)化為：兩點之間，線段最短（費