閱讀材料-2024年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（江蘇專用）【含答案】

專題10閱讀材料專題

目錄

題型1與實數(shù)相關(guān)閱讀問題

題型2與代數(shù)式相關(guān)的閱讀問題

題型3與方程相關(guān)的閱讀問題

題型4與函數(shù)相關(guān)的閱讀題

題型5與三角形和四邊形相關(guān)的閱讀問題

題型6與圓相關(guān)的閱讀問題

題型7與跨學(xué)科相關(guān)的閱讀問題

或J熱點題型歸納

題型1與實數(shù)相關(guān)閱讀問題

【知識要點與解題策略】

深挖材料的本質(zhì)，抓住考點

【典例分析】

例題.（2024?山西晉城?二模）

1.閱讀與思考

請閱讀下列材料，并完成下列任務(wù).

問題背景：

數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們在學(xué)習(xí)了完全平方公式之后，發(fā)現(xiàn)由于故

于是他們對兩個正數(shù)之和與這兩個正數(shù)之積的關(guān)系展開了探究.

探索發(fā)現(xiàn)：

2+8>2x,2x8=8

ii-[i_ri

—H----->2xJ—x—=—

312V3123

-+2>2xJ-x2=2

2V2

3+3=2xV3^3=6

試卷第1頁，共28頁

2

55V555

發(fā)現(xiàn)結(jié)論：如果。>0/>0,那么0+622瘋(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立)

解釋證明：

當(dāng)aKb時，

v(4a-4b)2>0

:.a-2>fab+b>0

:.a+b>2y[ab

當(dāng)a=b時，

???(G-炳2=o

:.a-2y[ab+b>0

:.a+b=2\fab

：.如果。>0,6>0,那么a+bN14ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立)

任務(wù)：

2

(1)對于函數(shù)尸x+1(x>0),當(dāng)％等于時，函數(shù)歹有最值(填“大”

或“小”)，這個值是；

(2)對于函數(shù)夕=-三-工(工>-1),當(dāng)x等于時，函數(shù)了有最值，這

個最值是;

(3)某植物園利用一面足夠長的圍墻和木欄圍成一個矩形花圃，中間用一排木欄隔開，如圖

所示，總共用了100米的木欄，當(dāng)43長為多少時，矩形花圃/BCD的面積最大?最大面積

是多少?請你利用材料中的結(jié)論或所學(xué)知識求解該問題.

BC

【變式訓(xùn)練】

(2023?山西運城?三模)

試卷第2頁，共28頁

2.閱讀與理解

定義新運算：若行=(。力)，萬=(c,d),貝I］比切=ac-b<7；

若麗=(1,2),萬=(3,5),貝!］比.亢=lx3-2x5=-7；

(1)已知方=(2,4),n-(2,-3),求慶?方;

(2)已知訪=(x-a,l),拓=(2x3+l),令>=應(yīng)?)，求y,并思考y=和萬的函數(shù)圖象與一次函

數(shù)y=x+l的圖象是否相交，請說明理由.

(2023?山東濟寧?一模)

3.閱讀材料

一般地，若優(yōu)=N(a>0,4Al),則x叫做以。為底N的對數(shù)，記作：x=log,N.比如指數(shù)

式24=16可以轉(zhuǎn)化為4=1(^16,對數(shù)式2=logs25可以轉(zhuǎn)化為52=25.我們根據(jù)對數(shù)的定

義可得到對數(shù)的一個性質(zhì)：

log“(M-N)=logQM+logflN(a>0,aw1,M>0,N>0)；理由如下：

設(shè)log.M=m,log“N=〃，則"=d,N=a",

mm+n

■-MN=a-a"=a,由對數(shù)的定義得m+n=loga(M.N).

又m+n=log。M+log。N,

.?.log,(M-N)=logaM+logaN.

解決問題

(1)將指數(shù)43=64轉(zhuǎn)化為對數(shù)式；

(2)證明loga'=logaM-log.N(a>0,awl,M>0,N>0)；

拓展運用

(3)計算：log32+log36-log34.

題型2與代數(shù)式相關(guān)的閱讀問題

【知識要點與解題策略】

熟練掌握乘法公式，靈活運用乘法公式解決問題1.直接利用公式；

2.變形利用公式；

試卷第3頁，共28頁

3.連續(xù)使用公式；

4.創(chuàng)造條件使用公式.

【典例分析】

例題（2024?山西呂梁?一模）

4.請閱讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

妙用平方差公式解決問題

學(xué)完平方差公式后，王老師展示了以下例題：

+++++

例計算：（II!IFIIMI^^-

觀察算式發(fā)現(xiàn)：如果將乘]這時可以連續(xù)運用平方差公式進行計算,

為使等式恒成立，需將式子整體再乘2.

解：原式=2*1-11+北1++>+1

=2*W[l+*+3+5

=2x[f）+J

c11

=2-F+2I?

=2.

以上計算的關(guān)鍵是將原式進行適當(dāng)?shù)淖冃魏?，運用平方差公式解決問題.計算符合算理，過

程簡潔.這種變形來源于認(rèn)真觀察（發(fā)現(xiàn)特點）、大膽猜想（運用公式）、嚴(yán)格推理（恒等變

形）.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要重視觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程，

任務(wù)：

248

（1）請仿照上述方法計算：2（3+1）（3+1）（3+1）（3+1）+1;

⑵請認(rèn)真觀察，計算：一一"1[l一g]?

【變式訓(xùn)練】

（2023?河南平頂山?二模）

試卷第4頁，共28頁

5.閱讀材料：北師大版七年級下冊教材24頁為大家介紹了楊輝三角.

楊輝三角如果將（。+6）”（"為非負(fù)整數(shù)）的展開式的每一項按字母。的次數(shù)由大到小排列，就

可以得到下面的等式：

（°+6）。=1,它只有一項，系數(shù)為1；

{a+b\=a+b,它有兩項，系數(shù)分別為1,1；

（a+b）2=a2+2ab+b2,它有三項，系數(shù)分別為1,2,1；

（a+Of=a3++3瑟2+加，它有四項，系數(shù)分別為1,3,3,1；

將上述每個式子的各項系數(shù)排成該表.

L

觀察該表，可以發(fā)現(xiàn)每一行的首末都是1,并且下一行的數(shù)比上一行多1

121

1331

個，中間各數(shù)都寫在上一行兩數(shù)的中間，且等于它們的和.按照這個規(guī)律可以將這個表繼續(xù)

往下寫.

該表在我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝1261年的著作《詳解九章算法》中提到過，而他是摘錄自北宋

時期數(shù)學(xué)家賈憲著的《開方作法本源》中的“開方作法本源圖”，因而人們把這個表叫做楊輝

三角或賈憲三角，在歐洲這個表叫做帕斯卡三角形.帕斯卡（B.Pascal,1623—1662）

是1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的，比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年.

⑴應(yīng)用規(guī)律：

①直接寫出（。+6）4的展開式，（。+6）4=—；

②（。+6）6的展開式中共有一項，所有項的系數(shù)和為—；

⑵代數(shù)推理：

已知a為整數(shù)，求證:0+3）3-（刃-3）3能被18整除.

（2024?山西晉城?一模）

6.閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).

數(shù)學(xué)對物理學(xué)的發(fā)展起著重要的作用，物理學(xué)也對數(shù)學(xué)的發(fā)展起著重要的作用，莫爾斯所說:

試卷第5頁，共28頁

“數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)，物理是物理，但物理可以通過數(shù)學(xué)的抽象而受益，而數(shù)學(xué)則可以通過物理的

見識而受益.”

以下是數(shù)學(xué)中常見的一個問題：

若。+6=2,則的最大值是多少？

設(shè)a=l+x,b=\-x,貝!]=（1+x）（l-x）=1-x?=—x2+1.

以下是物理中的一個問題：

物理學(xué)中的電路分為串聯(lián)電路和并聯(lián)電路，已知電路中有大小分別為4和尺的兩個電阻，

串聯(lián)電路的電阻公式為尺=舄+凡，并聯(lián)電路的電阻公式為）=5+!.在某一段電路上測

得兩個電阻的和為15k。.若根據(jù)實際需要把這兩個電阻并聯(lián)在一起，則并聯(lián)后總電阻的最

大值是多少？

任務(wù)：

⑴按照上面的解題思路，完成數(shù)學(xué)問題的剩余部分.

（2）若。，b兩數(shù)的和為定值，則6滿足時，油的值最大.

（3）解決這個物理問題主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是.（填序號即可）

A.統(tǒng)計思想B.分類思想C.模型思想

（4）物理問題中并聯(lián)后總電阻的最大值是g.

（2024?山東濟寧?一模）

7.閱讀新知

一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數(shù)，這個數(shù)

列就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母"表示（行0）.即：在

數(shù)列q,a2,a3,???,an.（〃為正整數(shù)）中，若色?=?,~=q,…，則數(shù)列為,a2,

%，…，冊（〃為正整數(shù)）叫做等比數(shù)列.其中叫叫數(shù)列的首項，出叫第二項，…，a“叫

第〃項，g叫做數(shù)列的公比.

例如：數(shù)列1,2,4,8,16,…是等比數(shù)列,公比4=2.

計算：求等比數(shù)列1,3,32,3\,,,31°°的和.

解：令5=1+3+32+33+…+3叫則3s=3+32+33+34+…+3儂+3HH.

試卷第6頁，共28頁

3101-1

因此35-5=33一1.所以5=

2

2

學(xué)以致用

(1)選擇題：下列數(shù)列屬于等比數(shù)列的是

A.1,2,3,4,5

B.2,6,18,21,63

C.56,28,14,7,3.5

D.-11,22,-33,44,-55

⑵填空題：己知數(shù)列%,出，%，…，?！笔枪葹?的等比數(shù)列，若它的首項q=3,則

它的第〃項％等于.

(3)解答題:求等比數(shù)列1,5,52,53,前2024項的和.

(2023?湖南張家界?中考真題)

8.閱讀下面材料：

將邊長分別為a,a+4b,a+24b,”+3〃的正方形面積分別記為E,邑，邑，S.

貝應(yīng)-岳=(a+炳2一/

=(2a+4b\4b

=b+2a4b

例如：當(dāng)。=1,8=3時，S2-Sx=3+273

根據(jù)以上材料解答下列問題：

(1)當(dāng)。=1,6=3時，S3-S2=,S4-S3=；

(2)當(dāng)。=1,b=3時，把邊長為a+〃々的正方形面積記作S用，其中〃是正整數(shù)，從(1)

中的計算結(jié)果，你能猜出S.M-S"等于多少嗎？并證明你的猜想；

(3)當(dāng)。=1,6=3時，令4=$2-S1,，2=4=$4，…,4,=S"+1-S,，且

T=t}+t2+t3-\-----^5°，求？的值.

試卷第7頁，共28頁

題型3與方程相關(guān)的閱讀問題

【知識要點與解題策略】

1.熟練掌握初中所學(xué)四種方程的解法和相關(guān)知識；2.靈活運用常用的數(shù)學(xué)思想方法

解決問題：整體思想、分類討論思想、方程思想、函數(shù)思想等；

【典例分析】

例題.(2023?河南南陽?二模)

9.【閱讀與思考】如表是小亮同學(xué)在數(shù)學(xué)雜志上看到的小片段，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任

務(wù).

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

通過學(xué)習(xí)用公式法解一元二次方程可以發(fā)現(xiàn)，一元二次方程的根完全由它的系數(shù)確定，求根

公式就是根與系數(shù)關(guān)系的一種形式.除此以外，一元二次方程的根與系數(shù)之間還有一些其他

形式的關(guān)系.

從因式分解的角度思考這個問題，若把一元二次方程^2+&+C=0(aN0)的兩個實數(shù)根分

別記為占，x2,則有恒等式辦?+6無+c=a(x-xj(尤-尤2),即

22

ax+bx+c=ax-a^xx+x2)x+axix2.比較兩邊系數(shù)可得：x1+x2=,xl-x2=

任務(wù)：

(1)填空：Xj+X2=,Xj-x2=.

(2)小亮同學(xué)利用求根公式進行推理，同樣能夠得出一元二次方程兩根之和、兩根之積與系

數(shù)之間的關(guān)系.下面是小亮同學(xué)的部分推理過程，請完成填空，并將推理和運算過程補充完

整.

解：對于一元二次方程ox2+6x+c=0(aw0),

當(dāng)〃一4農(nóng)20時，有兩個實數(shù)根玉=,%2=.

⑶已知關(guān)于x的方程2/+3mx+加2=o的兩根之和與兩根之積的和等于2,直接寫出別的

值.

【變式訓(xùn)練】

試卷第8頁，共28頁

(2023?湖北襄陽?一模)

10.閱讀材料，解答問題：

材料一：已知實數(shù)°,”“26)滿足/+3°-1=0,/+36-1=0,則可將a,b看作一元二

次方程x2+3x-l=0的兩個不相等的實數(shù)根.

材料二：已知實數(shù)°,滿足2/_3a+l=0,b2-3b+2=0,將-36+2=0兩邊同

除以尸，得即-311+1=0,則可將a,：看作一元二次方程

2/-3x+l=0的兩個不相等的實數(shù)根.

請根據(jù)上述材料，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解答下列問題：

(1)已知實數(shù)a,6(。")滿足/「7°-2=0,b2-7b-2=0,求2a+2b-3ab的值；

(2)已知實數(shù)a,6滿足3a2-5a+l=0,6?-56+3=0,且成/1,求洛J的值.

題型4與函數(shù)相關(guān)的閱讀題

【知識要點與解題策略】

1.熟練掌握初中所學(xué)三種函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)；2.深刻理解三種函數(shù)與方程、

不等式之間的關(guān)系，并會利用它們之間的關(guān)系解決問題.

【典例分析】

例題.(2024?山東濟南?一模)

11.【閱讀材料】：

解方程：口+1)11-。=-2時，先兩邊同乘以x,得(x+l)(x-2)=-2x,解之得網(wǎng)=-2,

X2=l,經(jīng)檢驗無增根，所以原方程的解為國=-2,X2=l.

【模仿練習(xí)】

(1)解方程(3-》)9+￡|=6；

【拓展應(yīng)用】

(2)如圖1,等腰直角“3C的直角頂點A的坐標(biāo)為(3,0),B,C兩點在反比例函數(shù)》=￡

的圖象上，點8的坐標(biāo)是，,T),且力＞0,求〃的值；

試卷第9頁，共28頁

(3)如圖2在雙曲線?(左>0)有〃("3)，N(n,b)兩點,如果JW=OM,ZOMN=90°,

X

【變式訓(xùn)練】

（2024?江蘇宿遷?一模）

12.材料一；《見微知著》談到：從一個簡單的經(jīng)典問題出發(fā)，從特殊到一般，由簡單到復(fù)

雜，從部分到整體，由低維到高維，知識與方法上的類比是探索題發(fā)展的重要途徑，是思

想閥門發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，我們經(jīng)常會用到類比、轉(zhuǎn)化、

從特殊到一般等思想方法，請利用上述有關(guān)思想，解答下列問題.

材料二：分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種解題策略，在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用相當(dāng)多，它

能使許多看似非常復(fù)雜的問題簡單化.因此在用分類討論解決數(shù)學(xué)問題時要遵循一定的規(guī)則,

注意合理的分類，對全體對象的分類必須做到不重復(fù)、不遺漏，每次分類必須保持在同一標(biāo)

準(zhǔn).

請閱讀上述材料，完成題目：

2

如圖，拋物線＞+云+c與X軸交于A、8兩點（點A在點8的左側(cè)），點A的坐標(biāo)為

（-1,0）,與了軸交于點C（0,2）,直線CZ）:y=-x+2與x軸交于點。.動點M在拋物線上運

動,過點〃■作MPLx軸，垂足為P,交直線。于點N.

試卷第10頁，共28頁

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)點尸在線段0。上時，△CZW的面積是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不

存在，請說明理由；

⑶點E是拋物線對稱軸與x軸的交點，點尸是x軸上一動點，點M在運動過程中，若以

C、E、F、M為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點尸的坐標(biāo).

(2024?遼寧沈陽?模擬預(yù)測)

13.給定一個矩形如果存在另一個矩形8,它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積

的一半，那么稱矩形2是矩形/的“對半矩形”

(1)如果已知矩形/的邊長分別為3和2,請你仿照小明或小紅的方法研究矩形/是否存在

對半矩形反

(2)方程和函數(shù)之間密不可分，我們可以利用函數(shù)圖象解決方程的相關(guān)問題，如圖，在同一

平面直角坐標(biāo)系中畫出了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的部分圖象，其中x和了分別表示矩形/的

對半矩形8的兩邊長，請你結(jié)合之前的研究，回答下列問題：

①這個圖象所研究的矩形/的面積為；周長為.

②對半矩形B的兩邊長為.

(3)在第(2)題的圖形中，若點M(2,3)在雙曲線上，軸，軸，垂足分別為

B、C.連接OM,將△MOC沿若折疊，點C落在點尸處，求點P的坐標(biāo)，并判斷點尸

是否落在雙曲線上

試卷第11頁，共28頁

備用圖

（2024?福建福州?一模）

14.閱讀材料，用配方法求最值.

已知6為非負(fù)實數(shù)，a+b-2y[ab=+（筋）-2yl~a-4b=[4a>0,

4

：.a+b>14ab,當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.示例：當(dāng)x>0時，求歹=%+—+1的最小值;

x

4

當(dāng)％=—,即x=2時，歹的最小值為5.

x

3

（1）若加>0,求加+一最小值；

m

（2）如圖，已知P為雙曲線夕=-%x<0）上任意一點，過點P作軸，口”軸且

C（0,-4）,Z>（6,0）,求四邊形/BCD的面積的最小值，并求此時48的坐標(biāo).

（2023?廣東深圳?模擬預(yù)測）

15.閱讀材料：“三等分角”是數(shù)學(xué)史上一個著名問題.今天人們已經(jīng)知道，僅用圓規(guī)和直尺

是不可能作出的.在研究這個問題的過程中，數(shù)學(xué)家帕普斯借助函數(shù)給出了一種“三等分銳

角”的方法，如圖1,步驟如下：

①建立直角坐標(biāo)系，將已知銳角的頂點與原點。重合，角的一邊05與x軸正方向

重合；

②在直角坐標(biāo)系中，繪制函數(shù)》=:的圖象，圖象與已知角的另一邊。/交于點P；

③以P為圓心、以20尸為半徑作弧，交函數(shù)y=g的圖象于點尺

④分別過點P和尺作x軸和y軸的平行線，分別交于點點。；

試卷第12頁，共28頁

思考問題：

⑴設(shè)尸,，3，求直線的函數(shù)解析式(用含0,6的代數(shù)式表示)，并說明。點

在直線。河上；

(2)證明：NMOB=；NAOB.

44

(3)如圖2,若直線y=x與反比例函數(shù)y=1(xwo)交于點C,。為反比例函數(shù)y=1(XHO)

第一象限上的一個動點，使得NCOD=30。.求用材料中的方法求出滿足條件。點坐標(biāo).

題型5與三角形和四邊形相關(guān)的閱讀問題

【知識要點與解題策略】

1.熟練掌握特殊三角形、特殊四邊形的性質(zhì)和判定方法；2.靈活運用各種幾何模型

解決問題

【典例分析】

例題.(2023?吉林白城?模擬預(yù)測)

16.閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學(xué)問題，一天楊老師給他這樣一個幾何問題：

如圖①，和△/￡)￡都是等邊三角形，點。在3c上.

求證：以DE、CD、AD為邊的三角形是鈍角三角形.

【探究發(fā)現(xiàn)】小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接CE,根據(jù)已知條件，可以證明=

ZDCE=U00,從而得出△DCE為鈍角三角形，故以?！辍D、為邊的三角形是鈍角

三角形.請你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程.

【拓展遷移】如圖②，四邊形/BCD和四邊形/EG尸都是正方形，點E在8D上.

①猜想：以。E、EF、BE為邊的三角形的形狀是；

②當(dāng)8爐+瓦)2=23時，直接寫出正方形NEG尸的面積.

試卷第13頁，共28頁

圖①圖②

【變式訓(xùn)練】

(2024?遼寧大連?模擬預(yù)測)

17.閱讀下面材料：某同學(xué)遇到這樣一個問題：如圖1,“8C中，AB=AC,點。在3C

邊上，過點2作交工。延長線于點￡,當(dāng)BC=2/E時，圖1中是否存在與相

等的線段？若存在，請找出并說明理由，若不存在，說明理由.該同學(xué)通過探究發(fā)現(xiàn)，過點

/作3c的垂線腸,垂足為R能得到一對全等三角形(如圖2),從而將問題解決.

圖1圖2圖3

請回答：

(1)該同學(xué)發(fā)現(xiàn)的與/。相等的線段是「

(2)證明該同學(xué)所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；

(3)參考該同學(xué)思考問題的方法，解決下面的問題：如圖3,在O3C中，AB=AC,

ZB/C=90。，點。在8C上，點E是“3C外一點，且/￡=4D,ZDAE=45°,點F是BC

/G

中點，G在N5上，連接E尸、DG.ZEFC+ZAGD=90°,求了片的值.

BC

(2024?河南洛陽?一模)

18.閱讀材料，解決問題：

折疊、旋轉(zhuǎn)是我們常見的兩種圖形變換方式.如圖1,在RtZi/8CZBAC=90°,AB=AC,

點、D,E在邊3c上，/DAE=45°,若BD=3,CE=l,求的長.

試卷第14頁，共28頁

圖3圖4

小艷發(fā)現(xiàn)，如果將△/AD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。，得到A4c尸，連接E尸（如圖

2）.使條件集中在中，可求得莊（即DE）的長，具體作法為:作NOJL/斤，且=,

連接CF、EF,可證A/CP之”AD,再結(jié)合已知中/D4￡=45°,可證△/￡尸注A/E。，得

FE=DE,接著在RtAFCE中利用勾股定理即可求得也的長，即的長.

⑴請你回答：△/￡尸與全等的條件是(填“SSS”、“SAS”、"ASA”、"AAS”

或“HL”中的一個），OE的長為

（2）如圖3,正方形N8CD中，點P為。。延長線上一點，將△/。尸沿/P翻折至△NEP位置,

延長E尸交直線3c于點尸.

①求證：BF=EF-

RF

②連接BE交AP于點。，連接CO（如圖4）,請你直接寫出器的值.

（2024?湖南衡陽?模擬預(yù)測）

19.【材料閱讀】如圖1,在A48C中，設(shè)N4N2,NC的對邊分別為①b,c,過點/作

Ar)

AD1BC,垂足為。，會有sin/C=R；,則5“比=-BCxAD=-BCxACsinZC=

/Lx_z22

—absinZC,即S=Lqbsin/C,同理S力”=!bcsin/4,SLwc=gacsin/2.有以上

21aAtSC271T—L-A/IOC2，L

abc

三式可得：正弦定理:,通過推理還可以得到另一個表達三角形邊

sin//sin/BsinZC

角關(guān)系的定理-余弦定理：如圖2,在M3C中，設(shè)乙4,/瓦/C的對邊分別為a,b,c,則

@a2=b2+c2-IbccosZA

②6?=I+/_2accosZB@c2=b2+a2-26QCOS/C

用以上的公式和定理解決問題:

【簡單應(yīng)用】（1）在銳角。8C中，設(shè)/4/民/。的對邊分別為a,b,c,且

2c-sinZA=41a，求/C；

(2)如圖3,在ADEF中，ZF=60°,EF=3,DF=8,求處F的面積與周長.

［靈活應(yīng)用】（3）如圖4,在AABC中，角4氏C所對的邊分別為。，ac,己知NN=60°,“BC

試卷第15頁，共28頁

的面積為亞，設(shè)M為3c的中點，且/河=也，求。BC的周長.（參考數(shù)據(jù)：cosl2（F=-1）

42

口4

題型6與圓相關(guān)的閱讀問題

【知識要點與解題策略】

1.熟練掌握圓的性質(zhì)；圓周角定理、切線的判定和性質(zhì)定理、圓與三角形、四邊形、正

多邊形的關(guān)系；2.靈活運用幾何模型解決問題.

【典例分析】

例題.（2023?江蘇徐州?模擬預(yù)測）

20.閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

我們學(xué)習(xí)過利用尺規(guī)作圖平分一個任意角，而“利用尺規(guī)作圖三等分任意一個角”曾是數(shù)學(xué)史

上一大難題，之后被數(shù)學(xué)家證明是不可能完成的，在“三等分角”整個充滿艱辛的探索道路上，

許多人獲得了意外的發(fā)現(xiàn)，如：用其他輔助工具三等分角和尺規(guī)作圖三等分90。和45。角.任

務(wù)：

（1）如圖①，在中，ZACB=90°,Z5=60°,在圖中作出的三等分線CD,

CE-

（要求：尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法）

（2）由（1）知，我們可以用尺規(guī)作出直角的三等分線，但是僅僅使用尺規(guī)卻不能把任意一個

角分成三等分，為此，人們發(fā)明了許多等分角的機械器具，如圖②是用三張硬紙片自制的

一個最簡單的三分角器，與半圓O相接的N2帶的長度與半圓的半徑相等；AD帶的長度任

意，它的一邊與直線/C形成一個直角，且與半圓相切于點5假設(shè)需要將4SN三等分，

如圖③，首先將角的頂點S置于3。上，角的一邊SK經(jīng)過點另一邊與半圓相切，

連接SO,則*,S。為NKSN的三等分線，請你證明.

試卷第16頁，共28頁

【變式訓(xùn)練】

（2024?山西呂梁一模）

21.閱讀與思考

下面是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，請你仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

圓內(nèi)接正三角形的有趣結(jié)論

我在學(xué)完“圓內(nèi)接正多邊形”之后，知道了圓內(nèi)接正多邊形有許多有趣的結(jié)論.于是，我通過

查閱資料發(fā)現(xiàn)了一個與圓內(nèi)接正三角形相關(guān)的結(jié)論.

如圖1,等邊三角形內(nèi)接于0。，點尸是弧3c上的任意一點，連接尸4PB,PC,可

得尸/=P8+PC下面是這個結(jié)論的證明過程:

以點3為頂點，作/心。=60。，BD交4P于點、D,

在等邊三角形/8C中，AB=BC,AABC=ZACB=60°,

NBPD=ZACB=60°（依據(jù)）,

ZBPD=ZPBD=60°,

.“8尸。是等邊三角形，

BD=BP=PD,

vZABC=ZPBD=60°f

ZABC-ZDBC=ZPBD-ZDBC,

即/ABD=NCBP,

:.AABD"ACBP,

試卷第17頁，共28頁

??.AD=CP,

VPA=PD+AD,

：.PA=PB+PC

任務(wù)：

⑴小宇的日記中的“依據(jù)”是

(2)如圖，若/。尸=45。，AC=巫,則線段P8的長度是一,

(3)如圖，正方形內(nèi)接于。。，點尸是弧3c上的任意一點，連接尸4PB,PC,則

PA,PB,PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

(2024?山西朔州?一模)

22.閱讀與思考

閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

在某科技雜志上有這樣一道題：如圖1,在。8c中，三邊分別為/3=c,/C=6,2C=a,。。

是的內(nèi)切圓，切點分別為￡>,￡,尸.求。。的半徑.

思路分析：如圖1.連接OA,OB,OC,OD,OE,OF,則存。。J.AB,OE1BC,

OF±AC,OD=OE=OF,設(shè)OD=OE=OF=r,p=^(a+b+c).

于是有義謝=$.次+$〃g+54/m=；°?/8+30￡1°+3°尸2°=；，(。+6+。)="，

???「=，也.(其中S表示。BC的面積，P表示“BC的周長的一半)

用語言敘述：三角形的內(nèi)切圓的半徑1=

△勺4B然C的半曾周長fp.

若已知^ABC的三邊長a,b,c,如何求?4BC的面積S呢？

試卷第18頁，共28頁

圖2

任務(wù)：

(1)請完成材料中利用秦九韶公式求。3C面積的剩余步驟，并求出的內(nèi)切圓的半

徑.

(2)如圖2,在Rta/BC中，/C=90o,/C=3,BC=4,。/為它的內(nèi)切圓，則CE的長為

(2023?山西忻州?模擬預(yù)測)

23.閱讀與思考

如圖是小強同學(xué)的數(shù)學(xué)課堂筆記本，請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).

平面直角坐標(biāo)系與直角三角形

x年x月x日星期三

原理：根據(jù)直角三角形的定義，性質(zhì)，判定，以直角三角形頂點分三種情況進行分類討論

試卷第19頁，共28頁

口訣：“兩線一圓”

作圖：舉例如下：已知2(3,0)、8(0,4),在直線x=l上求點C,使得。8C為直角三角

形.以下分三種情況討論：

情況一：當(dāng)N為直角頂點時，過點/作42的垂線/交直線x=l于點C,則交點即為所求點

c.如圖①，有G一個點；

情況二：當(dāng)3為直角頂點時，過點3作N3的垂線/交直線x=l于點C,則交點即為所求點

C.如圖②，有C2一個點；

情況三：當(dāng)C為直角頂點時，以為直徑作圓，則該圓與直線x=l的交點即為所求點

二、代數(shù)法：兩點間的距離公式，列方程，解方程，檢驗根；

三、解析法：求垂線解析式，聯(lián)立方程組求交點.

任務(wù)：

(1)上面課堂筆記中的分析過程，主要運用的數(shù)學(xué)思想是一(從下面選項中選出兩個即可);

A.數(shù)形結(jié)合B.統(tǒng)計思想C.分類討論D.轉(zhuǎn)化思想

⑵選擇一種課堂筆記本中記載的方法，求出“情況一”中G的坐標(biāo).

(3)直接寫出“情況二”中G的坐標(biāo)」

(4)請你寫出在“情況三”中，確定G、c4的坐標(biāo)位置及求坐標(biāo)過程中，所依據(jù)的數(shù)學(xué)定理或

原理(寫出一個即可).

題型7與跨學(xué)科相關(guān)的閱讀問題

(2024?山東棗莊?一模)

試卷第20頁，共28頁

24.在物理學(xué)科中學(xué)過：光線從空氣射入水中會發(fā)生折射現(xiàn)象（如圖1）,我們把〃=一^

sinp

稱為折射率（其中々代表入射角，，代表折射角）.

觀察實驗

為了觀察光線的折射現(xiàn)象，設(shè)計了圖2所示的實驗，利用激光筆發(fā)射一束紅光，容器中

不裝水時，光斑恰好落在8處，加水至E尸處，光斑左移至C處.圖3是實驗的示意圖，四

邊形ABFE為矩形，測得BF=12cm,DF=16cm.

（1）求入射角a的度數(shù)；

44

（2）若光線從空氣射入水中的折射率〃=],求光斑移動的距離3c.（參考數(shù)據(jù)：sin53。土

34

cos53°=-,tan530--）

53

（2023?廣東云浮?一模）

25.在物理學(xué)中，速度具有大小和方向.如圖1,點。受到兩個速度匕，%的影響，大小方

向用有向線段OB表示,以線段為鄰邊作平行四邊形，則對角線OC的大小和

方向表示合速度（即實際速度）v的大小和方向，這種方法稱為平行四邊形法則.下面利用

平行四邊形法則解決實際問題.

t北

實際速度,實際速度

船在靜水船在靜水

中的速度中的速度

水流速度水流速度

圖2圖3

（1）已知小河的水流速度為3km/h,小船在靜水中的航行速度也為3km/h.如圖2,當(dāng)小船朝

著垂直河岸方向航行時，根據(jù)平行四邊形法則可知，小船的實際速度方向為北偏東。

大小為km/h.

（2）已知小河的水流速度仍為3km/h.如圖3,若要使小船的實際速度方向為垂直于河岸方向,

試卷第21頁，共28頁

大小為36km/h,則小船應(yīng)該朝哪個方向航行，速度大小為多少？

.怨分鐘

產(chǎn)J中考演練

（2023?山東青島?模擬預(yù)測）

26.閱讀下列相關(guān)的兩段材料，根據(jù)材料反映的規(guī)律完成后面的填空題.

設(shè)〃是正整數(shù)，

材料1：

=1

121

21+22x33

121

12_1

%-1+2+3+4-4^5-10

問題：（1）用含〃的代數(shù)式表示%=（寫最簡結(jié)果）

材料2：邑=%=1

?2?11、?1111、“1、4

*=a1+%=1H-------=2(-------1-------)=2(-------1--------)=2(1—)=—

2122x31x22x3122333

[22?III、

SR—Cl,+Q,+&-Id-----1-----2(----1-----1----)

31232x33x41x22x33x4

11111、C/11、3

---1-----1-----)=2(1--)二—

2233442

問題：（2）用含〃的代數(shù)式表示s.=（寫最簡結(jié)果）.

（3）當(dāng)"無限增大時，s“接近于一個常數(shù)，這個常數(shù)是.

（2023?山西大同?三模）

27.閱讀與思考

下面是小宇同學(xué)整理的一篇數(shù)學(xué)日記，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

求1+2+3H+”（〃為正整數(shù)）方法欣賞

在學(xué)習(xí)一元二次方程時，數(shù)學(xué)老師組織同學(xué)們進行了一次數(shù)學(xué)活動“三角形點陣中前n行的

試卷第22頁，共28頁

點數(shù)計算”.老師給出了提示：1+2+3+…+(〃-+"=課后我們小組收集了“求

1+2+3+…++〃(〃為正整數(shù))的值”這個問題的兩種解法，供大家欣賞.

方法1：“頭尾相加法”

把式子的加數(shù)順序倒過來寫在原始式子的下面，上下的加數(shù)加起來再除以2.

1+2+3H---+〃

n+(n-Y)+(ji—2)H---i-2+l

(n+1)+(72+1)+(?+1)H---F(77+1)+(?+1).

—r/日，co/,、77(〃+1)???+

可得1+2+3H---F(n—1)+?=--—.即：S——--

方法2：“遞歸法”(設(shè)S=l+2+3+…+(〃-1)+力).

由完全平方公式可得("+I)?=7尸+2”+1,A("+1)2-/J?=2"+1.

我們列出特殊情況：2?-『=2x1+1；

32-22=2x2+1；

42-32=2x3+1;

(n+1)2—n2=2〃+1.

兩邊分別相加可得，("+1)2-12=2S+".

?(n+1)2-1-nn{n+1)

S=------------=-------.

22

任務(wù)：

(1)計算：2+4+6+…+2022=_；

(2)我們知道：22-21=2、23-22=22;24-23=23;貝!121+2?+2?+…+21°°°=_;

(3)數(shù)學(xué)趣題解答：阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)著作《算術(shù)之鑰》書中，記載著一道頗受阿拉伯人喜愛的數(shù)

學(xué)題：“一群人走進果園去摘石榴，第一個人摘了1個石榴，第二個人摘了2個石榴，第三

個人摘了3個石榴，以此類推，后進果園的人都比前面那個人多摘一個石榴，這群人剛好把

果園的石榴全部摘下來了，如果平均分配，每個人可以得到6個石榴，問這群人共有多少

人？”

(2023?江蘇常州?一模)

試卷第23頁，共28頁

28.【閱讀】“關(guān)聯(lián)”是解決數(shù)學(xué)問題的重要思維方式，角平分線的有關(guān)聯(lián)想就有很多

小明思路：關(guān)聯(lián)“平行線、等腰三角形”，過點B作8?！ㄊ?,交尸C的延長線于點。，利用

“三角形相似”.

小紅思路：關(guān)聯(lián)“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等“，過點C分別作CD，尸/交尸/于

點。，作交網(wǎng)于點E,利用“等面積法”.

請根據(jù)小明或小紅的思路，選擇一種并完成證明.

(2)【理解應(yīng)用】填空：如圖②，RtA4BC中，Z5=9O°,BC=3,AB=4,CD平分NACB

交AB于點、D,則AD長度為

(3)【深度思考】如圖③，在中，NB4c=90°,。是邊3C上一點，連接將

△/CD沿/。所在直線折疊點C恰好落在邊上的E點處.若/C=l,AB=2,則。E的

長為

(4)【拓展升華】如圖④，AASC中，AB=6,2C=4,40為的角平分線，4D的

垂直平分線E尸交8c延長線于尸，連接/斤，當(dāng)AD=3時，4F的長為

(2023?山西呂梁?模擬預(yù)測)

29.閱讀與思考

下面是小航同學(xué)的數(shù)學(xué)反思，請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).

如圖1,以單位長度為邊長畫一個正方形，以原點為圓心，正方形的對角線為半徑畫弧，與

正半軸的交點就表示行，與負(fù)半軸的交點就表示-尤，這個作法還可以作出長度為行的

線段.

通過查閱資料，類似的，以也為直角三角形的直角邊，以單位長度為直角三角形的另一直

角邊，其斜邊的長度為白…，按照同樣的方法可以作出長為正,也,石…的線段(如圖

試卷第24頁，共28頁

2）或在數(shù)軸上畫出表示亞，百，遙…的點（如圖3）

（1）反思1：利用特殊三角形也可以作出長為無理數(shù)的線段.

y八

M

圖6

如圖4,數(shù)軸上，分別以點8為圓心，以N8長為半徑作弧，兩弧交于點C,連接

0C.求線段0C的長度.

⑵反思2：如圖5,48=4,以N8為直徑作。。，在圓上找一點C,使/C=l,連接BC,

則/C=90。，由勾股定理知8c的長度為a?.這里NC=90。的數(shù)學(xué)原理是.

（3）反思3：如圖6,在直角坐標(biāo)系中，點〃的坐標(biāo)為（2,1）,點N在x軸正半軸上，^OMN

是等腰三角形，則點N的坐標(biāo)為.

（2023?山西呂梁?模擬預(yù)測）

30.請閱讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

阿基米德（Arehimedes,公元前287-公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家

之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子.

試卷第25頁，共28頁

阿基米德折弦定理：如圖1,42和3c是。。的兩條弦（即折線/8C是圓的一條折弦），

BC>AB.M是/8C的中點，則從點M向3c所作垂線的垂足。是折弦/8C的中點，即

這個定理有很多證明方法，下面是運用“垂線法”證明C〃=/8+的部分證明過程.

證明：如圖2,過點M作Affl■，射線N8,垂足為點〃，連接上伍，MB,MC.

???M是48c的中點，

.-.MA=MC.

任務(wù)：

⑴請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；

（2）如圖3,已知等邊二角形N8C內(nèi)接于。。，。為NC上一點，ZABD=15°.CELBO于點

E,CE=3,連接40,求ANB的周長.

（2023?吉林長春?三模）

31.【閱讀理解】構(gòu)造“平行八字型”全等三角形模型是證明線段相等的一種方法，我們常用

這種方法證明線段的中點問題.

例如：如圖，D是“BC邊AB上一點,E是/C的中點，過點C作CF〃/8,交。E的延

長線于點尸，則易證￡是線段。廠的中點.

試卷第26頁，共28頁

A

EF

\/

BC

【經(jīng)驗運用】

請運用上述閱讀材料中所積累的經(jīng)驗和方法解決下列問題.

(1)如圖1,在正方形/BCD中，點E在AB上，點尸在的延長線上，且滿足

AE=CF,連接EF交/C于點G.

求證：①G是Eb的中點；

@CG與BE之間的數(shù)量關(guān)系是：；

【拓展延伸】

(2)如圖2,在矩形/BCD中，/2=22C,點E在N8上，點尸在3c的延長線上，且滿

足4E=2CF,連接E尸交/C于點G.探究BE和CG之間的數(shù)量關(guān)系是：

(2024?浙江溫州?模擬預(yù)測)

32.閱讀材料，完成任務(wù).

定義：如圖1,拋物線必="(》-2加乂0<0,加<0)與拋物線卜

知X

識%=bx(x-2n)(b>0,?>0)的圖像只有一個公共點。，即方程/