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中考數(shù)學(xué)綜合專(zhuān)題訓(xùn)練【幾何綜合題】(幾何)精品解析

在中考中,幾何綜合題主要考察了利用圖形變換(平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱(chēng))證明線段、角

的數(shù)量關(guān)系及動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題。學(xué)生通常需要在熟悉基本幾何圖形及其輔助線添加的基礎(chǔ)上,

將幾何綜合題目分解為基本問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為基本圖形或者可與基本圖形、方法類(lèi)比,從而使問(wèn)

題得到解決。

在解決幾何綜合題時(shí),重點(diǎn)在思路,在老師講解及學(xué)生解題時(shí),對(duì)于較復(fù)雜的圖形,根

據(jù)題目敘述重復(fù)繪圖過(guò)程可以幫助學(xué)生分解出基本條件和圖形,將新題目與已有經(jīng)驗(yàn)建立聯(lián)

系從而找到思路,之后繪制思路流程圖往往能夠幫助學(xué)生把握題目的脈絡(luò);在做完題之后,

注重解題反思,總結(jié)題目中的基本圖形及輔助線添加方法,將題目歸類(lèi)整理;對(duì)于典型的題

目,可以解析題目條件,通過(guò)拓展題目條件或改變條件,給出題目的變式,從而對(duì)于題目及

相應(yīng)方法有更深入的理解。同時(shí),在授課過(guò)程中,將同一類(lèi)型的幾何綜合題成組出現(xiàn),分析

講解,對(duì)學(xué)生積累對(duì)圖形的“感覺(jué)”有一定幫助。

一.考試說(shuō)明要求

圖形與證明中要求:會(huì)用歸納和類(lèi)比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理。

圖形的認(rèn)識(shí)中要求:會(huì)運(yùn)用幾何圖形的相關(guān)知識(shí)和方法(兩點(diǎn)之間的距離,等腰三角形、

等邊三角形、直角三角形的知識(shí),全等三角形的知識(shí)和方法,平行四邊形的知識(shí),矩形、菱

形和正方形的知識(shí),直角三角形的性質(zhì),圓的性質(zhì))解決有關(guān)問(wèn)題;能運(yùn)用三角函數(shù)解決與

直角三角形相關(guān)的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題;能綜合運(yùn)用幾何知識(shí)解決與圓周角有關(guān)的問(wèn)題;能解決與

切線有關(guān)的問(wèn)題。

圖形與變換中要求:能運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)、平移、旋轉(zhuǎn)的知識(shí)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題。

二.基本圖形及輔助線

解決幾何綜合題,是需要厚積而薄發(fā),所謂的“幾何感覺(jué)”,是建立在足夠的知識(shí)積累

的基礎(chǔ)上的,熟悉基本圖形及常用的輔助線,在遇到特定條件時(shí)能夠及時(shí)聯(lián)想到對(duì)應(yīng)的模型,

找至U“新”問(wèn)題與“舊”模型間的關(guān)聯(lián),明確努力方向,才能進(jìn)一步綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解

決問(wèn)題。在中檔幾何題目教學(xué)中注重對(duì)基本圖形及輔助線的積累是非常必要的。

舉例:

3、基本輔助線

(1)角平分線一一過(guò)角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線(角平分線的性質(zhì))、翻折;

(2)與中點(diǎn)相關(guān)一一倍長(zhǎng)中線(八字全等),中位線,直角三角形斜邊中線;

(3)共端點(diǎn)的等線段一一旋轉(zhuǎn)基本圖形(60。,90。),構(gòu)造圓;垂直平分線,角平分線

——翻折;轉(zhuǎn)移線段一一平移基本圖形(線段)線段間有特殊關(guān)系時(shí),翻折;

(4)特殊圖形的輔助線及甚迂移一一梯形的輔助線(什么時(shí)候需要這樣添加?)等

作雙高一一上底、下底、高、腰(等腰梯形)三推一;面積;銳角三角函數(shù)

平移腰一一上下底之差;兩底角有特殊關(guān)系(延長(zhǎng)兩腰);梯形一一三角形

平移對(duì)角線一一上下底之和;對(duì)角線有特殊位置、數(shù)量關(guān)系。

注:在繪制輔助線時(shí)要注意同樣輔助線的不同說(shuō)法,可能會(huì)導(dǎo)致解題難度有較大差異。

三題目舉例

(一)基本圖形與輔助線的添加

例1、已知:AC平分/MAN

(1)在圖1中,若ZMAN=120P,ZABC-ZADC-9CP,AB+ADAC(填寫(xiě)

“〉”或“〈”或“=”)

(2)在圖2中,若/MAN=120P,ZABC+ZADC=18(F,則(i)中結(jié)論是否仍然成

立?若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)在圖3中:

①若NMAN=60P,ZABC+ZADC=1S(T,判斷AB+4O與AC的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明

理由;

②若ZAMNMaCOOvavIgCF),Z4BC+Z4DC=18CP,則A8+AO=AC(用

含a的三角函數(shù)表示,直接寫(xiě)出結(jié)果,不必證明)

解:(1)AB+AD—=_AC.---------------------------------------

⑵仍然成立.

證明:如圖2過(guò)C作CE_LAM于E,CF,AN于F,

貝UNCEA=NCFA=90°.

;AC平分NMAN,ZMAN=120°,

ZMAC=ZNAC=60°.

XVAC=AC,Z.AAEC^AAFC,

/.AE=AF,CE=CF.

,/在Rt^CEA中,ZEAC=60°,

/.ZECA=30°,AC=2AE.

AE+AF=2AE=AC.ED+DA+AF二AC.

,/ZABC+ZADC=180°,ZCDE+ZADC=180°,

ZCDE=ZCBF.

XVCE=CF,ZCED=ZCFB,/.ACED^ACFB.

ED=FB,.??FB+DA+AF=AC.

,AB+AD=AC.------------------------------------------------4分

⑶①AB+AD二百AC.

證明:如圖3,方法同⑵可證△AGC^^AHC.

AAG=AH.

ZMAN=60°,ZGAC=ZHAC=30°.

.,.AG=AH=AC./.AG+AH=v'3AC.

2

.?.GD+DA+AH=X5AC.

方法同(2)可證△GDCgZXHBC.

AGD=HB,HB+DA+AH=V'3AC.

JAD+AB=6AC.-----------------------------------------------------?6分

AC--------------------------------------------------------------------------------7分

②AB+AD=2COS---

2

例2、已知:AA05中,AB=OB=2,△COD中,CD=OC=3,/ABO=/DCO.

連接AD、BC,點(diǎn)、M、N、P分別為。4、OD、BC的中點(diǎn).

圖1圖2

(1)如圖1,若A、0、0三點(diǎn)在同一直線上,且ZABO=60,則ZWW的形狀是

?^AD

,止匕時(shí)-----;

一BC

(2)如圖2,若4、°、C三點(diǎn)在同一直線上,且NABO=2a,證明△PMAS/340,

AT)

并計(jì)算力7的值(用含。的式子表示);

BC

(3)在圖2中,固定”08,將△C0D繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn),直接寫(xiě)出的最大值.

例3、在RtZ^ABC中,ZACB=90°,七011/8404.點(diǎn)口在邊人(:上(不與A,C重合),連結(jié)

2

BD,F為BD中點(diǎn).

(1)若過(guò)點(diǎn)口作口£,人8于£,連結(jié)CF、EF、CE,如圖L設(shè)CF=kEF,貝I]k=;

(2)若將圖1中的AADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),使得D、E、B三點(diǎn)共線,點(diǎn)F仍為BD中點(diǎn),如

圖2所示.求證:BE-DE=2CF;

(3)若BC=6,點(diǎn)D在邊AC的三等分點(diǎn)處,將線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),點(diǎn)F始終為BD中點(diǎn),

求線段CF長(zhǎng)度的最大值.

AAA

備圖

解:⑴k=l;分>2

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CE的垂線交8。于點(diǎn)G,設(shè)8。與AC的交點(diǎn)為Q

1BCDE1

由題意,tanZBAC=~,~=~=~■

2ACAE2

。、E、8三點(diǎn)共線,AE±DB.

丁ZBQC=ZAQD,ZACB=90°,:.ZQBC=ZEAQ.

ZECA+ZACG=90°,ZBCG+ZACG=90°f

ZECA=ZBCG.:.ABCG^AACE.

BCGB1

,~AC=~AE=2'**GB=DE.

圖2

F是BD中點(diǎn),F(xiàn)是EG中點(diǎn).

在RtZXECG中,CF=*G,BE-DE=EG=2CF.

5分

(3)情況1:如圖,當(dāng)時(shí),取AB的中點(diǎn)M,連結(jié)/WF和C/W,

1

,?ZACB=90°,tanZBAC=-,且BC=6,

:.AC=12,AB=6\l5.

為28中點(diǎn),:?CM=3后,

1…

?:AD=-^C,

:.AD=4.

為A8中點(diǎn),F(xiàn)為BD中點(diǎn),

:.FM=^-AD=2.

2

???當(dāng)且僅當(dāng)M、F、C三點(diǎn)共線且M在線段CF上時(shí)CF最大,此時(shí)CF=CM+FM=2+3\/?.6分

2

情況2:如圖,當(dāng)AO=§AC時(shí),取八8的中點(diǎn)M,

連結(jié)MF和CM,

類(lèi)似于情況1,可知CF的最大值為4+3石.-7分

綜合情況1與情況2,可知當(dāng)點(diǎn)D在靠近點(diǎn)C的

三等分點(diǎn)時(shí),線段CF的長(zhǎng)度取得最大值為4+38分

(二)直角三角形斜邊中線+四點(diǎn)共圓

例4、已知:在△ABC中,ZABC=90°,點(diǎn)E在直線AB上,ED與直線AC垂直,垂足為D,且

點(diǎn)M為EC中點(diǎn),連接BM,。機(jī)

(1)如圖1,若點(diǎn)E在線段AB上,探究線段BM與。M及/B/WD與/BCD所滿足

的數(shù)量關(guān)系,并直接寫(xiě)出你得到的結(jié)論;

(2)如圖2,若點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線上,你在(1)中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化?寫(xiě)出

你的猜想并加以證明;

(3)若點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線上,請(qǐng)你根據(jù)條件畫(huà)出相應(yīng)的圖形,并直接寫(xiě)出線段

與及/BM。與NBC。所滿足的數(shù)量關(guān)系.

(三)倍長(zhǎng)過(guò)中點(diǎn)的線段

例5、請(qǐng)閱讀下列材料:

問(wèn)題:如圖1,在菱形ABCO和菱形BEbG中,點(diǎn)4B,E在同一條直線上,P是線段。下

的中點(diǎn),連結(jié)PG,PC.若NABC=NBEF=60,探究PG與PC的位置關(guān)系及一的

"PC

值.

構(gòu)造全等三角形,經(jīng)過(guò)推理使問(wèn)題得到解決.

圖1

請(qǐng)你參考小聰同學(xué)的思路,探究并解決下列問(wèn)題:

(1)寫(xiě)出上面問(wèn)題中線段PG與PC的位置關(guān)系及上的值;

PC

(2)將圖1中的菱形3EFG繞點(diǎn)5順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使菱形BEFG的對(duì)角線5尸恰好與菱形

ABCD的邊A3在同一條直線上,原問(wèn)題中的其他條件不變(如圖2).你在(1)中得到

的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化?寫(xiě)出你的猜想并加以證明.

(3)若圖1中ZABC=NBEF=2a(0<a<90),將菱形BENG繞點(diǎn)§順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任

A&

意角度,原問(wèn)題中的其他條件不變,請(qǐng)你直接寫(xiě)出頭的值(用含a的式子表示).

PC

PG

解:(1)線段PG與PC的位置關(guān)系是.

;PC

(四)共端點(diǎn)的等線段,旋轉(zhuǎn)

例6、如圖1,在口ABC。中,AE_LBC于E,E恰為BC的中點(diǎn),tanB=2.

(1)求證:AD=AE;

(2)如圖2,點(diǎn)P在BE上,作EF_LOP于點(diǎn)F,連結(jié)AF.

求證:DF-EF=/2AF;

(3)請(qǐng)你在圖3中畫(huà)圖探究:當(dāng)P為射線EC上任意一點(diǎn)(P不與點(diǎn)E重合)時(shí),作

EFLDP于點(diǎn)F,連結(jié)AF,線段。F、EF與AF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?直接寫(xiě)出你

的結(jié)論.

圖1圖2圖3

證明:(1)在RtZ\A8E中,ZAEB=90°,

八AE.

tanB=*'=2

BE

:.AE=2BE..….

???£為BC的中點(diǎn),

...BC=2BE.

:.AE=BC.

??N8C。是平行四邊形,

:.AD=BC.

:.AE=AD..................

(2)在DP上截取OH=EF(如圖8).

???四邊形A8c。是平行四邊形,AELBC,

:.ZEAD=90°.

VEF1PD,Z1=Z2,

Z.ZADH=ZAEF.

,:AD=AE,

:.AADH^AAEF....................................4分

:?/HAD=/FAE,AH=AF.

:.ZFAH==90°.

在RtAM/-/中,AH=AF,FH=2AF-

AFH=FD-HD=FD-EF=^2AF.即一石尸二匹4尸.圖'5分

(3)按題目要求所畫(huà)圖形見(jiàn)圖9,線段。F、EF、AF之間的數(shù)量關(guān)系為:DF+EF=^2AF.

(五)利用平移變換轉(zhuǎn)移線段,類(lèi)比梯形平移對(duì)角線

例7、我們給出如下定義:若一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線相等,則稱(chēng)這個(gè)四邊形為等對(duì)角線四

邊形。請(qǐng)解答下列問(wèn)題:

(1)寫(xiě)出你所學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是等對(duì)角線四邊形的兩種圖形的名稱(chēng);

(2)探究:當(dāng)?shù)葘?duì)角線四邊形中兩條對(duì)角線所夾銳角為60°時(shí),這對(duì)60°角所對(duì)的兩

邊之和與其中一條對(duì)角線的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論。

利用平移變換轉(zhuǎn)移線段+作圖8、(2011西城一模,25)在RtZk4BC中,ZC=90°,D,E分

別為CB,C八延長(zhǎng)線上的點(diǎn),8E與4?的交點(diǎn)為2

(1)若BD二AC,AE=CD,在圖1中畫(huà)出符合題意的圖形,并直接寫(xiě)出NZPE的度數(shù);

(2)若AC=&D,CD=y/3AE,求/APE的度數(shù).

備用圖

解:(1)如圖9,/APE=45

圖1

(2)解法一:如圖10,將八E平移至IjDF,連接8F,EF.

則四邊形AEFD是平行四邊形.

AD//EF,AD=EF.

AC=>/3BD,CD=y/3AE,

CD

AE圖9

E

ACCD

4分

BDDF

ZC=90°,

ZBDF=180°-ZC=90°

ZC=ZBDF.

△ACDS^BDF.5分

AD

江Z1=Z2.

BFBD

區(qū)="=不

BFBF.圖10

Zl+Z3=90°,

Z2+Z3=90°.

BF±AD.

BF±EF.6分

BFJ3

在RtABFF中,tan/BEF=——

EF3

ZAPE=ZBEF=30°.7分

解法二:如圖11,將CA平移到OF,連接ZF,BF,EF.3分

則四邊形ACDF是平行四邊形.

?.?ZC=90°,

:.四邊形ACDF是矩形,ZAFD=ZCAF=90°,Zl+Z2=90°.

八AEAEO

*/在中,tanZ3=——

AFCD3

八BDBD5/3

在RtZXBDF中,tanZ1=---

DFAC3

?Z3=Zl=30°

Z3+Z2=Z1+Z2=9O°,即NEF8=90°.

ZAFD=ZEFB.4分

DFAFy/3

又???

BFEF2

/.AADFsAEBF.....................................................................................5分

/.Z4=Z5........................................................................................................6分

NAPE+N4=/3+/5,

ZAPE=Z3=3Q°......................................................................................7分

(六)翻折全等+等腰(與角平分線類(lèi)比)

例9、我們知道:有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.類(lèi)

似地,我們定義:至少有一組對(duì)邊相等的四邊形叫做等對(duì)邊四

邊形.

(1)請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)你學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是等對(duì)邊四邊形的圖

形的名稱(chēng);

(2)如圖,在△ABC中,點(diǎn)。,E分別在AB,AC上,設(shè)

CD,BE相交于點(diǎn)。,若/A=60°,請(qǐng)你寫(xiě)出圖中一個(gè)與NA

2

相等的角,并猜想圖中哪個(gè)四邊形是等對(duì)邊四邊形;

(3)在△ABC中,如果N4是不等于60°的銳角,點(diǎn)D,E分別在AB,AC上,且

ZDCB=ZEBC=-ZA.探究:滿足上述條件的圖形中是否存在等對(duì)邊四邊形,并證明

2

你的結(jié)論.

.解:(1)回答正確的給1分(如:平行四邊形、等腰梯形等)。

(2)答:與NA相等的角是NBOD(或NCOE),四邊形DBCE是等對(duì)邊四邊形;

(3)答:此時(shí)存在等對(duì)邊四邊形,是四邊形DBCE。

證法一:如圖1,作CG_LBE于G點(diǎn),作BF_LCD交CD延長(zhǎng)線于F點(diǎn)。

1

因?yàn)镹DCB=NEBC=]NA,BC為公共邊,

所以4BCF且ZXCBG,

所以BF=CG,j.c

因?yàn)閆BDF=ZABE+ZEBC+ZDCB,ZBEC=ZABE+ZA,

所以NBDF:NBEC,圖1

可證4BDF且ACEG,

所以BD=CE

所以四邊形DBCE是等邊四邊形。

證法二:如圖2,以C為頂點(diǎn)作NFCB二NDBC,CF交BE于F點(diǎn)。

1

因?yàn)镹DCB=NEBC=]NA,BC為公共邊,

所以△BDCgZkCFB,

所以BD=CF,ZBDC=ZCFB,

所以NADONCFE,

因?yàn)?ADC=/DCB+NEBC+NABE,ZFEC=ZA+ZABE,

所以NADC=NFEC,

所以NFEC=NCFE,

所以CF=CE,

所以BD=CE,

所以四邊形DBCE是等邊四邊形。

說(shuō)明:當(dāng)AB=AC時(shí),BD=CE仍成立。只有此證法,只給1分。

二、從題目中獲得方法的啟發(fā),類(lèi)比解決問(wèn)題

(一)由角平分線啟發(fā)翻折,垂線

例1、如圖①,0P是NMON的平分線,請(qǐng)你利用該圖形畫(huà)一對(duì)以。P所在直線為對(duì)稱(chēng)軸的

全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法,解答下列問(wèn)題:

(1)如圖②,在△ABC中,/ACB是直角,ZB=60°,AD,CE分別是/BAC、ZBCA

的平分線,AD.CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系;

(2)如圖③,在△ABC中,如果/ACB不是直角,而⑴中的其它條件不變,請(qǐng)問(wèn),你

在⑴中所得結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由。

解:圖略(1)FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系為FE=FD。

(2)答:(1)中的結(jié)論FE=FD仍然成立。

證法一:如下圖,在AC上截取AG=AE,連結(jié)FG

因?yàn)镹1=N2,AF為公共邊可證AAEF之4AGF所以ZAFE=Z

AFG,FE=FG

由NB=60°,AD、CE分別是NBAC、NBCA的平分線

可得N2+N3=60。

所以NAFE=NCFD=NAFG=60°所以NCFG=60°

由N3=/4及FC為公共邊,可得4CFG之ACFD所以FG=FD所以FE=FD

證法二:如下圖,過(guò)點(diǎn)F分別作FG_LAB于點(diǎn)G,FHLBC于點(diǎn)H

因?yàn)镹B=60°,且AD、CE分別是NBAC、NBCA的平分線,

所以可得N2+N3=60°,F是4ABC的內(nèi)心

所以ZGEF=60°+Z1,FG=FH

又因?yàn)閆HDF=ZB+Z1所以ZGEF=ZHDF

因此可證△EGF/Z\DHF所以FE=FD

(-)啟發(fā)利用重心分中線,中點(diǎn)相關(guān)內(nèi)容

例2、我們知道三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心.經(jīng)過(guò)證明我們可得三角形重心具

備下面的性質(zhì):重心到頂點(diǎn)的距離與重心到該頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2:1.請(qǐng)你用此

性質(zhì)解決下面的問(wèn)題.

已知:如圖,點(diǎn)0為等腰直角三角形ABC的重心,ZCAB=90,直線加過(guò)點(diǎn)O,過(guò)

A、B、C三點(diǎn)分別作直線機(jī)的垂線,垂足分別為點(diǎn)0、E、F.

⑴當(dāng)直線機(jī)與8C平行時(shí)(如圖1),請(qǐng)你猜想線段B區(qū)Cb和AD三者之間的數(shù)量

關(guān)系并證明;

(2)當(dāng)直線機(jī)繞點(diǎn)°旋轉(zhuǎn)到與不平行時(shí),分別探究在圖2、圖3這兩種情況下,

上述結(jié)論是否還成立?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,線段A。、BE、C產(chǎn)三者之間

又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論,不需證明.

解(1)猜想:BE+CF=AD.......................................................1分

證明:如圖,延長(zhǎng)A0交BC于M點(diǎn),

V點(diǎn)0為等腰直角三角形ABC的重心

.?.A0=20M且AMLBC

又,.?EF〃BC/.AM±EF

VBE±EF/CF±EF

???EB〃0M〃CF

.\EB=0M=CF圖1

.\EB+CF=20M=AD3分

(2)圖2結(jié)論:BE+CF=AD

證明:聯(lián)結(jié)A0并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G,

過(guò)G做GHLEF于H

由重心性質(zhì)可得A0=20G圖2

VZADO=ZOHG=90°,ZAOD=ZHOG

/.△AOD^AGOH

.\AD=2HG.............5分

???o為重心

AG為BC中點(diǎn)

?.?GH_LEF,BE_LEF,CF_LEF

??.EB〃HG〃CF

???H為EF中點(diǎn)

1

.\HG=-(EB+CF)

AEB+CF=AD...............................................................7分

⑶CF-BE=AD...........................................................8分

(三)由特殊形解題啟發(fā)構(gòu)造哪些相等的角

例3、如圖①,P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),連接以、PB、PC,在△PAB、ZkPBC和△R4C中,如果存

在一個(gè)三角形與△ABC相似,那么就稱(chēng)P為二ABC的自相似點(diǎn).

(1)圖②,已知RtZkABC中,ZACB=90°,ZABOZA,CO是AB上的中線,過(guò)點(diǎn)

B作BE_LCD,垂足為E,試說(shuō)明E是△ABC的自相似點(diǎn).

⑵在△ABC中,ZA<ZB<ZC.

①如圖③,利用尺規(guī)作出ZMBC的自相似點(diǎn)P(寫(xiě)出作法并保留作圖痕跡);

②若AABC的內(nèi)心P是該三角形的自相似點(diǎn),求該三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù).

(三)一題多解與題目的變式及類(lèi)題

1、點(diǎn)M為正方形ABCD的邊AB(或延長(zhǎng)線上)任一點(diǎn)(不修,B重合),

ZDMN=90°,射線MN與443C的外角平分線交于點(diǎn)N,求證:

DM=MN.

【變式】

A、方法類(lèi)比,改變圖形

(1)等邊三角形ABC中,在BC邊上任取一點(diǎn)D(不與A,B重合),作

ZADE=60°,DE交/C的外角平分線于E,判斷MDE的形狀,并證明。

若D是射線BC上任一點(diǎn),上述結(jié)論是否成立

(2)(2008西城一模,25)如圖,正六邊形ABCDEF,點(diǎn)M在AB邊上,

ZFA/77=120°,MH與六邊形NA3C外角的平分線BQ交于H點(diǎn).

①當(dāng)點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合時(shí),求證:ZAFM=ZBMH;

②當(dāng)點(diǎn)M在正六邊形ABCDEF一邊AB上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)M不與點(diǎn)B

猜想FM與MH的數(shù)量關(guān)系,并對(duì)猜想的結(jié)果加以證明.

B、改變背景

(3)(20U密云一模,24)如圖,邊長(zhǎng)為5的正方形048C的頂點(diǎn)

°在坐標(biāo)原點(diǎn)處,點(diǎn)A、C分別在X軸、y軸的正半軸上,點(diǎn)E是0A

邊上的點(diǎn)(不與點(diǎn)4重合),EF±CE,且與正方形外角平分線AC

交于點(diǎn)P.

(1)當(dāng)點(diǎn)£坐標(biāo)為(3,0)時(shí),試證明CE=E?;

(2)如果將上述條件“點(diǎn)E坐標(biāo)為(3,0)”改為“點(diǎn)E坐標(biāo)為。,0)(方>0)”,結(jié)論

CEE?是否仍然成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)在y軸上是否存在點(diǎn)",使得四邊形5MEP是平行四邊形?若存在,請(qǐng)證明;若不

存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

2、如圖,在正方形ABCD中,E、F分別是BC、CD上的點(diǎn),且NEAF

=45°,求證:EF=BE+FD.

【變式】方法類(lèi)比,特殊到一般

削J弱題目條件(1)如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD,ZB+ZD=180°,

E、F分別是BC、CD上的點(diǎn),且/EAF是/BAD的一半,那么結(jié)論EF=BEB

+FD是否仍然成立?若成立,請(qǐng)證明;請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系,并

證明.

改變圖形Q)在四邊形ABCD中,AB=AD,ZB+ZD=180°,延長(zhǎng)BC到

點(diǎn)E,延長(zhǎng)CD至!J點(diǎn)F,使得/EAF仍然是ZBAD的一半,則結(jié)論EF=BE+FD

是否仍然成立?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān);

并證明.

3、旋轉(zhuǎn)特殊角度轉(zhuǎn)移線段,比較線段大小(求最值2011房山一模,25)已知:等邊三角形

ABC

(1)如圖1,P為等邊△ABC外一點(diǎn),且NBPC=120°試猜想線段BP、PC、AP之間的

數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;

(2)如圖2,P為等邊^(qū)ABC內(nèi)一點(diǎn),且NAPD=120°.求證:PA+PD+POBD

【類(lèi)題】1、已知:在AABC中,BC=a,AC=b,以AB為邊作等邊三角形ABD.探究下列問(wèn)題:

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的兩側(cè)時(shí),a=b=3,且ZACB=60°,則CD=;

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的同側(cè)時(shí),a=b=6,且ZACB=90°,則CD=;

(3)如圖3,當(dāng)/ACB變化,且點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的兩側(cè)時(shí),求CD的最大值及相應(yīng)的

ZACB的度數(shù).

圖1圖2圖3

解:⑴3昭■...............................1'

(2)3、/6-3-^2;.......................2'

(3)以點(diǎn)D為中心,將ADBC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,則點(diǎn)B落在點(diǎn)A,點(diǎn)C落在點(diǎn)E.聯(lián)結(jié)AE,CE,

.,.CD=ED,ZCDE=60°,AE=CB=a,

.,.△CDE為等邊三角形,

.?.CE=CD................................4'

當(dāng)點(diǎn)E、A、C不在一條直線上時(shí),有CD=CE〈AE+AC=a+b;

當(dāng)點(diǎn)E、A、C在一條直線上時(shí),CD有最大值,CD=CE=a+b;

此時(shí)NCED=NBCD=NECD=60°,/.ZACB=120°,...............7,

因此當(dāng)NACB=120°時(shí),CD有最大值是a+b.

(三)啟發(fā)構(gòu)造三角形轉(zhuǎn)移線段

例2、已知:PA=42,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D

D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).

(1)如圖,當(dāng)NAPB=45°時(shí),求AB及PD的長(zhǎng);/

(2)當(dāng)/APB變化,且其它條件不變時(shí),求PD的\/

最大值,及相應(yīng)/APB的大小.

例3、如圖1,在梯形ABCD中,AD〃BC,/C=90°,點(diǎn)E為CD的中點(diǎn),點(diǎn)F在底邊BC上,

且/FAE=NDAE.

(1)請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量、猜想,得出/AEF的度數(shù);(1)的方法多樣(垂線段,倍長(zhǎng),

中位線)但是其中有的不好遷移到后面,需要在多種方法中選取

(2)若梯形ABCD中,AD〃BC,/C不是直角,點(diǎn)F在底邊BC或其延長(zhǎng)線上,如圖2、圖

3,其他條件不變,你在(1)中得出的結(jié)論是否仍然成立,若都成立,請(qǐng)?jiān)趫D2、

【類(lèi)題】已知點(diǎn)A,B分別是兩條平行線機(jī),”上任意兩點(diǎn),C是直線”上一點(diǎn),且/

ABC=9O°,點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上,BC=kAB(kW0).

(1)當(dāng)左=1時(shí),在圖(1)中,作NBEF=NABC,EF交直線加于點(diǎn)F.,寫(xiě)出線段EF與EB

的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;

(2)若卜豐1,如圖⑵,NBEF=NABC,其它條件不變,探究線段EF與EB的數(shù)量關(guān)系,

并說(shuō)明理由.

(四)方法的綜合應(yīng)用

1、如圖,已知△ABC.

(1)請(qǐng)你在邊上分別取兩點(diǎn)D,E(BC的中點(diǎn)除外),連結(jié)

AD,AE,寫(xiě)出使此圖中只存在兩對(duì)面積相等的三角形的相應(yīng)條件,并

表示出面積相等的三角形;

(2)請(qǐng)你根據(jù)使(1)成立的相應(yīng)條件,證明++.

2、問(wèn)題:已知"BC中,ZBAC=2ZACB,點(diǎn)。是△ABC內(nèi)的一點(diǎn),且AO=CO,BD=BA。探究

NDBC與/ABC度數(shù)的比值。

請(qǐng)你完成下列探究過(guò)程:

先將圖形特殊化,得出猜想,再對(duì)一般情況進(jìn)行分析并加以證明。

(1)當(dāng)/BAC=90。時(shí),依問(wèn)題中的條件補(bǔ)全右圖。

觀察圖形,AB與AC的數(shù)量關(guān)系為;

當(dāng)推出/DAC=15。時(shí),可進(jìn)一步推出/D8C的度數(shù)為;

可得到/D8C與/A8C度數(shù)的比值為:

(2)當(dāng)NBACW90。時(shí),請(qǐng)你畫(huà)出圖形,研究NDBC與NABC度數(shù)的比

值是否與⑴中的結(jié)論相同,寫(xiě)出你的猜想并加以證明。

3、在△ABC中,點(diǎn)P為BC的中點(diǎn).

圖3

(2)延長(zhǎng)AB至ljD,使得BD=AC,延長(zhǎng)AC至UE,使得CE=AB,連結(jié)DE.

①如圖2,連結(jié)BE,若NBAC=60°,請(qǐng)你探究線段BE與線段AP之間的數(shù)量關(guān)系.寫(xiě)出你

的結(jié)論,并加以證明;

1

②請(qǐng)?jiān)趫D3中證明:8C2,0E.

4、在□ABC。中,/BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E,交直線。C于點(diǎn)F。

(1)在圖1中證明C£=Cb;

(2)若/ABCngO9,G是EF的中點(diǎn)(如圖2),直接寫(xiě)出NBDG的度數(shù);

(3)若/ABC=12OP,FG//CE,FG=CE,分別連結(jié)。8、OG(如圖3),求NBDG的度

(五)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與分類(lèi)討論

不確定性引發(fā)分類(lèi)討論

(1)等腰三角形頂角頂點(diǎn);

⑵相似三角形對(duì)應(yīng)點(diǎn);

⑶已知兩點(diǎn)(三點(diǎn))+限制條件定平行四邊形(特殊梯形);

注意:分類(lèi)不重不漏;動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題定界點(diǎn)。

由位置的不確定引發(fā)的分類(lèi)討論

1、在Rt^ABC中,ZACB=9O°,BC=30,AB=5O.點(diǎn)P是AB邊上任意一點(diǎn),直線PEL4B,

與邊AC或BC相交于E.點(diǎn)M在線段AP上,點(diǎn)N在線段BP上,EM=EN,sinZEMP=—.

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