版權(quán)說(shuō)明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡(jiǎn)介
中考數(shù)學(xué)綜合專(zhuān)題訓(xùn)練【幾何綜合題】(幾何)精品解析
在中考中,幾何綜合題主要考察了利用圖形變換(平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱(chēng))證明線段、角
的數(shù)量關(guān)系及動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題。學(xué)生通常需要在熟悉基本幾何圖形及其輔助線添加的基礎(chǔ)上,
將幾何綜合題目分解為基本問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為基本圖形或者可與基本圖形、方法類(lèi)比,從而使問(wèn)
題得到解決。
在解決幾何綜合題時(shí),重點(diǎn)在思路,在老師講解及學(xué)生解題時(shí),對(duì)于較復(fù)雜的圖形,根
據(jù)題目敘述重復(fù)繪圖過(guò)程可以幫助學(xué)生分解出基本條件和圖形,將新題目與已有經(jīng)驗(yàn)建立聯(lián)
系從而找到思路,之后繪制思路流程圖往往能夠幫助學(xué)生把握題目的脈絡(luò);在做完題之后,
注重解題反思,總結(jié)題目中的基本圖形及輔助線添加方法,將題目歸類(lèi)整理;對(duì)于典型的題
目,可以解析題目條件,通過(guò)拓展題目條件或改變條件,給出題目的變式,從而對(duì)于題目及
相應(yīng)方法有更深入的理解。同時(shí),在授課過(guò)程中,將同一類(lèi)型的幾何綜合題成組出現(xiàn),分析
講解,對(duì)學(xué)生積累對(duì)圖形的“感覺(jué)”有一定幫助。
一.考試說(shuō)明要求
圖形與證明中要求:會(huì)用歸納和類(lèi)比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理。
圖形的認(rèn)識(shí)中要求:會(huì)運(yùn)用幾何圖形的相關(guān)知識(shí)和方法(兩點(diǎn)之間的距離,等腰三角形、
等邊三角形、直角三角形的知識(shí),全等三角形的知識(shí)和方法,平行四邊形的知識(shí),矩形、菱
形和正方形的知識(shí),直角三角形的性質(zhì),圓的性質(zhì))解決有關(guān)問(wèn)題;能運(yùn)用三角函數(shù)解決與
直角三角形相關(guān)的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題;能綜合運(yùn)用幾何知識(shí)解決與圓周角有關(guān)的問(wèn)題;能解決與
切線有關(guān)的問(wèn)題。
圖形與變換中要求:能運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)、平移、旋轉(zhuǎn)的知識(shí)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題。
二.基本圖形及輔助線
解決幾何綜合題,是需要厚積而薄發(fā),所謂的“幾何感覺(jué)”,是建立在足夠的知識(shí)積累
的基礎(chǔ)上的,熟悉基本圖形及常用的輔助線,在遇到特定條件時(shí)能夠及時(shí)聯(lián)想到對(duì)應(yīng)的模型,
找至U“新”問(wèn)題與“舊”模型間的關(guān)聯(lián),明確努力方向,才能進(jìn)一步綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解
決問(wèn)題。在中檔幾何題目教學(xué)中注重對(duì)基本圖形及輔助線的積累是非常必要的。
舉例:
3、基本輔助線
(1)角平分線一一過(guò)角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線(角平分線的性質(zhì))、翻折;
(2)與中點(diǎn)相關(guān)一一倍長(zhǎng)中線(八字全等),中位線,直角三角形斜邊中線;
(3)共端點(diǎn)的等線段一一旋轉(zhuǎn)基本圖形(60。,90。),構(gòu)造圓;垂直平分線,角平分線
——翻折;轉(zhuǎn)移線段一一平移基本圖形(線段)線段間有特殊關(guān)系時(shí),翻折;
(4)特殊圖形的輔助線及甚迂移一一梯形的輔助線(什么時(shí)候需要這樣添加?)等
作雙高一一上底、下底、高、腰(等腰梯形)三推一;面積;銳角三角函數(shù)
平移腰一一上下底之差;兩底角有特殊關(guān)系(延長(zhǎng)兩腰);梯形一一三角形
平移對(duì)角線一一上下底之和;對(duì)角線有特殊位置、數(shù)量關(guān)系。
注:在繪制輔助線時(shí)要注意同樣輔助線的不同說(shuō)法,可能會(huì)導(dǎo)致解題難度有較大差異。
三題目舉例
(一)基本圖形與輔助線的添加
例1、已知:AC平分/MAN
(1)在圖1中,若ZMAN=120P,ZABC-ZADC-9CP,AB+ADAC(填寫(xiě)
“〉”或“〈”或“=”)
(2)在圖2中,若/MAN=120P,ZABC+ZADC=18(F,則(i)中結(jié)論是否仍然成
立?若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)在圖3中:
①若NMAN=60P,ZABC+ZADC=1S(T,判斷AB+4O與AC的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明
理由;
②若ZAMNMaCOOvavIgCF),Z4BC+Z4DC=18CP,則A8+AO=AC(用
含a的三角函數(shù)表示,直接寫(xiě)出結(jié)果,不必證明)
解:(1)AB+AD—=_AC.---------------------------------------
⑵仍然成立.
證明:如圖2過(guò)C作CE_LAM于E,CF,AN于F,
貝UNCEA=NCFA=90°.
;AC平分NMAN,ZMAN=120°,
ZMAC=ZNAC=60°.
XVAC=AC,Z.AAEC^AAFC,
/.AE=AF,CE=CF.
,/在Rt^CEA中,ZEAC=60°,
/.ZECA=30°,AC=2AE.
AE+AF=2AE=AC.ED+DA+AF二AC.
,/ZABC+ZADC=180°,ZCDE+ZADC=180°,
ZCDE=ZCBF.
XVCE=CF,ZCED=ZCFB,/.ACED^ACFB.
ED=FB,.??FB+DA+AF=AC.
,AB+AD=AC.------------------------------------------------4分
⑶①AB+AD二百AC.
證明:如圖3,方法同⑵可證△AGC^^AHC.
AAG=AH.
ZMAN=60°,ZGAC=ZHAC=30°.
.,.AG=AH=AC./.AG+AH=v'3AC.
2
.?.GD+DA+AH=X5AC.
方法同(2)可證△GDCgZXHBC.
AGD=HB,HB+DA+AH=V'3AC.
JAD+AB=6AC.-----------------------------------------------------?6分
AC--------------------------------------------------------------------------------7分
②AB+AD=2COS---
2
例2、已知:AA05中,AB=OB=2,△COD中,CD=OC=3,/ABO=/DCO.
連接AD、BC,點(diǎn)、M、N、P分別為。4、OD、BC的中點(diǎn).
圖1圖2
(1)如圖1,若A、0、0三點(diǎn)在同一直線上,且ZABO=60,則ZWW的形狀是
?^AD
,止匕時(shí)-----;
一BC
(2)如圖2,若4、°、C三點(diǎn)在同一直線上,且NABO=2a,證明△PMAS/340,
AT)
并計(jì)算力7的值(用含。的式子表示);
BC
(3)在圖2中,固定”08,將△C0D繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn),直接寫(xiě)出的最大值.
例3、在RtZ^ABC中,ZACB=90°,七011/8404.點(diǎn)口在邊人(:上(不與A,C重合),連結(jié)
2
BD,F為BD中點(diǎn).
(1)若過(guò)點(diǎn)口作口£,人8于£,連結(jié)CF、EF、CE,如圖L設(shè)CF=kEF,貝I]k=;
(2)若將圖1中的AADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),使得D、E、B三點(diǎn)共線,點(diǎn)F仍為BD中點(diǎn),如
圖2所示.求證:BE-DE=2CF;
(3)若BC=6,點(diǎn)D在邊AC的三等分點(diǎn)處,將線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),點(diǎn)F始終為BD中點(diǎn),
求線段CF長(zhǎng)度的最大值.
AAA
備圖
解:⑴k=l;分>2
(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CE的垂線交8。于點(diǎn)G,設(shè)8。與AC的交點(diǎn)為Q
1BCDE1
由題意,tanZBAC=~,~=~=~■
2ACAE2
。、E、8三點(diǎn)共線,AE±DB.
丁ZBQC=ZAQD,ZACB=90°,:.ZQBC=ZEAQ.
ZECA+ZACG=90°,ZBCG+ZACG=90°f
ZECA=ZBCG.:.ABCG^AACE.
BCGB1
,~AC=~AE=2'**GB=DE.
圖2
F是BD中點(diǎn),F(xiàn)是EG中點(diǎn).
在RtZXECG中,CF=*G,BE-DE=EG=2CF.
5分
(3)情況1:如圖,當(dāng)時(shí),取AB的中點(diǎn)M,連結(jié)/WF和C/W,
1
,?ZACB=90°,tanZBAC=-,且BC=6,
:.AC=12,AB=6\l5.
為28中點(diǎn),:?CM=3后,
1…
?:AD=-^C,
:.AD=4.
為A8中點(diǎn),F(xiàn)為BD中點(diǎn),
:.FM=^-AD=2.
2
???當(dāng)且僅當(dāng)M、F、C三點(diǎn)共線且M在線段CF上時(shí)CF最大,此時(shí)CF=CM+FM=2+3\/?.6分
2
情況2:如圖,當(dāng)AO=§AC時(shí),取八8的中點(diǎn)M,
連結(jié)MF和CM,
類(lèi)似于情況1,可知CF的最大值為4+3石.-7分
綜合情況1與情況2,可知當(dāng)點(diǎn)D在靠近點(diǎn)C的
三等分點(diǎn)時(shí),線段CF的長(zhǎng)度取得最大值為4+38分
(二)直角三角形斜邊中線+四點(diǎn)共圓
例4、已知:在△ABC中,ZABC=90°,點(diǎn)E在直線AB上,ED與直線AC垂直,垂足為D,且
點(diǎn)M為EC中點(diǎn),連接BM,。機(jī)
(1)如圖1,若點(diǎn)E在線段AB上,探究線段BM與。M及/B/WD與/BCD所滿足
的數(shù)量關(guān)系,并直接寫(xiě)出你得到的結(jié)論;
(2)如圖2,若點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線上,你在(1)中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化?寫(xiě)出
你的猜想并加以證明;
(3)若點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線上,請(qǐng)你根據(jù)條件畫(huà)出相應(yīng)的圖形,并直接寫(xiě)出線段
與及/BM。與NBC。所滿足的數(shù)量關(guān)系.
(三)倍長(zhǎng)過(guò)中點(diǎn)的線段
例5、請(qǐng)閱讀下列材料:
問(wèn)題:如圖1,在菱形ABCO和菱形BEbG中,點(diǎn)4B,E在同一條直線上,P是線段。下
的中點(diǎn),連結(jié)PG,PC.若NABC=NBEF=60,探究PG與PC的位置關(guān)系及一的
"PC
值.
構(gòu)造全等三角形,經(jīng)過(guò)推理使問(wèn)題得到解決.
圖1
請(qǐng)你參考小聰同學(xué)的思路,探究并解決下列問(wèn)題:
(1)寫(xiě)出上面問(wèn)題中線段PG與PC的位置關(guān)系及上的值;
PC
(2)將圖1中的菱形3EFG繞點(diǎn)5順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使菱形BEFG的對(duì)角線5尸恰好與菱形
ABCD的邊A3在同一條直線上,原問(wèn)題中的其他條件不變(如圖2).你在(1)中得到
的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化?寫(xiě)出你的猜想并加以證明.
(3)若圖1中ZABC=NBEF=2a(0<a<90),將菱形BENG繞點(diǎn)§順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任
A&
意角度,原問(wèn)題中的其他條件不變,請(qǐng)你直接寫(xiě)出頭的值(用含a的式子表示).
PC
PG
解:(1)線段PG與PC的位置關(guān)系是.
;PC
(四)共端點(diǎn)的等線段,旋轉(zhuǎn)
例6、如圖1,在口ABC。中,AE_LBC于E,E恰為BC的中點(diǎn),tanB=2.
(1)求證:AD=AE;
(2)如圖2,點(diǎn)P在BE上,作EF_LOP于點(diǎn)F,連結(jié)AF.
求證:DF-EF=/2AF;
(3)請(qǐng)你在圖3中畫(huà)圖探究:當(dāng)P為射線EC上任意一點(diǎn)(P不與點(diǎn)E重合)時(shí),作
EFLDP于點(diǎn)F,連結(jié)AF,線段。F、EF與AF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?直接寫(xiě)出你
的結(jié)論.
圖1圖2圖3
證明:(1)在RtZ\A8E中,ZAEB=90°,
八AE.
tanB=*'=2
BE
:.AE=2BE..….
???£為BC的中點(diǎn),
...BC=2BE.
:.AE=BC.
??N8C。是平行四邊形,
:.AD=BC.
:.AE=AD..................
(2)在DP上截取OH=EF(如圖8).
???四邊形A8c。是平行四邊形,AELBC,
:.ZEAD=90°.
VEF1PD,Z1=Z2,
Z.ZADH=ZAEF.
,:AD=AE,
:.AADH^AAEF....................................4分
:?/HAD=/FAE,AH=AF.
:.ZFAH==90°.
在RtAM/-/中,AH=AF,FH=2AF-
AFH=FD-HD=FD-EF=^2AF.即一石尸二匹4尸.圖'5分
(3)按題目要求所畫(huà)圖形見(jiàn)圖9,線段。F、EF、AF之間的數(shù)量關(guān)系為:DF+EF=^2AF.
(五)利用平移變換轉(zhuǎn)移線段,類(lèi)比梯形平移對(duì)角線
例7、我們給出如下定義:若一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線相等,則稱(chēng)這個(gè)四邊形為等對(duì)角線四
邊形。請(qǐng)解答下列問(wèn)題:
(1)寫(xiě)出你所學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是等對(duì)角線四邊形的兩種圖形的名稱(chēng);
(2)探究:當(dāng)?shù)葘?duì)角線四邊形中兩條對(duì)角線所夾銳角為60°時(shí),這對(duì)60°角所對(duì)的兩
邊之和與其中一條對(duì)角線的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論。
利用平移變換轉(zhuǎn)移線段+作圖8、(2011西城一模,25)在RtZk4BC中,ZC=90°,D,E分
別為CB,C八延長(zhǎng)線上的點(diǎn),8E與4?的交點(diǎn)為2
(1)若BD二AC,AE=CD,在圖1中畫(huà)出符合題意的圖形,并直接寫(xiě)出NZPE的度數(shù);
(2)若AC=&D,CD=y/3AE,求/APE的度數(shù).
備用圖
解:(1)如圖9,/APE=45
圖1
(2)解法一:如圖10,將八E平移至IjDF,連接8F,EF.
則四邊形AEFD是平行四邊形.
AD//EF,AD=EF.
AC=>/3BD,CD=y/3AE,
CD
AE圖9
E
ACCD
4分
BDDF
ZC=90°,
ZBDF=180°-ZC=90°
ZC=ZBDF.
△ACDS^BDF.5分
AD
江Z1=Z2.
BFBD
區(qū)="=不
BFBF.圖10
Zl+Z3=90°,
Z2+Z3=90°.
BF±AD.
BF±EF.6分
BFJ3
在RtABFF中,tan/BEF=——
EF3
ZAPE=ZBEF=30°.7分
解法二:如圖11,將CA平移到OF,連接ZF,BF,EF.3分
則四邊形ACDF是平行四邊形.
?.?ZC=90°,
:.四邊形ACDF是矩形,ZAFD=ZCAF=90°,Zl+Z2=90°.
八AEAEO
*/在中,tanZ3=——
AFCD3
八BDBD5/3
在RtZXBDF中,tanZ1=---
DFAC3
?Z3=Zl=30°
Z3+Z2=Z1+Z2=9O°,即NEF8=90°.
ZAFD=ZEFB.4分
DFAFy/3
又???
BFEF2
/.AADFsAEBF.....................................................................................5分
/.Z4=Z5........................................................................................................6分
NAPE+N4=/3+/5,
ZAPE=Z3=3Q°......................................................................................7分
(六)翻折全等+等腰(與角平分線類(lèi)比)
例9、我們知道:有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.類(lèi)
似地,我們定義:至少有一組對(duì)邊相等的四邊形叫做等對(duì)邊四
邊形.
(1)請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)你學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是等對(duì)邊四邊形的圖
形的名稱(chēng);
(2)如圖,在△ABC中,點(diǎn)。,E分別在AB,AC上,設(shè)
CD,BE相交于點(diǎn)。,若/A=60°,請(qǐng)你寫(xiě)出圖中一個(gè)與NA
2
相等的角,并猜想圖中哪個(gè)四邊形是等對(duì)邊四邊形;
(3)在△ABC中,如果N4是不等于60°的銳角,點(diǎn)D,E分別在AB,AC上,且
ZDCB=ZEBC=-ZA.探究:滿足上述條件的圖形中是否存在等對(duì)邊四邊形,并證明
2
你的結(jié)論.
.解:(1)回答正確的給1分(如:平行四邊形、等腰梯形等)。
(2)答:與NA相等的角是NBOD(或NCOE),四邊形DBCE是等對(duì)邊四邊形;
(3)答:此時(shí)存在等對(duì)邊四邊形,是四邊形DBCE。
證法一:如圖1,作CG_LBE于G點(diǎn),作BF_LCD交CD延長(zhǎng)線于F點(diǎn)。
1
因?yàn)镹DCB=NEBC=]NA,BC為公共邊,
所以4BCF且ZXCBG,
所以BF=CG,j.c
因?yàn)閆BDF=ZABE+ZEBC+ZDCB,ZBEC=ZABE+ZA,
所以NBDF:NBEC,圖1
可證4BDF且ACEG,
所以BD=CE
所以四邊形DBCE是等邊四邊形。
證法二:如圖2,以C為頂點(diǎn)作NFCB二NDBC,CF交BE于F點(diǎn)。
1
因?yàn)镹DCB=NEBC=]NA,BC為公共邊,
所以△BDCgZkCFB,
所以BD=CF,ZBDC=ZCFB,
所以NADONCFE,
因?yàn)?ADC=/DCB+NEBC+NABE,ZFEC=ZA+ZABE,
所以NADC=NFEC,
所以NFEC=NCFE,
所以CF=CE,
所以BD=CE,
所以四邊形DBCE是等邊四邊形。
說(shuō)明:當(dāng)AB=AC時(shí),BD=CE仍成立。只有此證法,只給1分。
二、從題目中獲得方法的啟發(fā),類(lèi)比解決問(wèn)題
(一)由角平分線啟發(fā)翻折,垂線
例1、如圖①,0P是NMON的平分線,請(qǐng)你利用該圖形畫(huà)一對(duì)以。P所在直線為對(duì)稱(chēng)軸的
全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法,解答下列問(wèn)題:
(1)如圖②,在△ABC中,/ACB是直角,ZB=60°,AD,CE分別是/BAC、ZBCA
的平分線,AD.CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖③,在△ABC中,如果/ACB不是直角,而⑴中的其它條件不變,請(qǐng)問(wèn),你
在⑴中所得結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由。
解:圖略(1)FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系為FE=FD。
(2)答:(1)中的結(jié)論FE=FD仍然成立。
證法一:如下圖,在AC上截取AG=AE,連結(jié)FG
因?yàn)镹1=N2,AF為公共邊可證AAEF之4AGF所以ZAFE=Z
AFG,FE=FG
由NB=60°,AD、CE分別是NBAC、NBCA的平分線
可得N2+N3=60。
所以NAFE=NCFD=NAFG=60°所以NCFG=60°
由N3=/4及FC為公共邊,可得4CFG之ACFD所以FG=FD所以FE=FD
證法二:如下圖,過(guò)點(diǎn)F分別作FG_LAB于點(diǎn)G,FHLBC于點(diǎn)H
因?yàn)镹B=60°,且AD、CE分別是NBAC、NBCA的平分線,
所以可得N2+N3=60°,F是4ABC的內(nèi)心
所以ZGEF=60°+Z1,FG=FH
又因?yàn)閆HDF=ZB+Z1所以ZGEF=ZHDF
因此可證△EGF/Z\DHF所以FE=FD
(-)啟發(fā)利用重心分中線,中點(diǎn)相關(guān)內(nèi)容
例2、我們知道三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心.經(jīng)過(guò)證明我們可得三角形重心具
備下面的性質(zhì):重心到頂點(diǎn)的距離與重心到該頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2:1.請(qǐng)你用此
性質(zhì)解決下面的問(wèn)題.
已知:如圖,點(diǎn)0為等腰直角三角形ABC的重心,ZCAB=90,直線加過(guò)點(diǎn)O,過(guò)
A、B、C三點(diǎn)分別作直線機(jī)的垂線,垂足分別為點(diǎn)0、E、F.
⑴當(dāng)直線機(jī)與8C平行時(shí)(如圖1),請(qǐng)你猜想線段B區(qū)Cb和AD三者之間的數(shù)量
關(guān)系并證明;
(2)當(dāng)直線機(jī)繞點(diǎn)°旋轉(zhuǎn)到與不平行時(shí),分別探究在圖2、圖3這兩種情況下,
上述結(jié)論是否還成立?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,線段A。、BE、C產(chǎn)三者之間
又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論,不需證明.
解(1)猜想:BE+CF=AD.......................................................1分
證明:如圖,延長(zhǎng)A0交BC于M點(diǎn),
V點(diǎn)0為等腰直角三角形ABC的重心
.?.A0=20M且AMLBC
又,.?EF〃BC/.AM±EF
VBE±EF/CF±EF
???EB〃0M〃CF
.\EB=0M=CF圖1
.\EB+CF=20M=AD3分
(2)圖2結(jié)論:BE+CF=AD
證明:聯(lián)結(jié)A0并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G,
過(guò)G做GHLEF于H
由重心性質(zhì)可得A0=20G圖2
VZADO=ZOHG=90°,ZAOD=ZHOG
/.△AOD^AGOH
.\AD=2HG.............5分
???o為重心
AG為BC中點(diǎn)
?.?GH_LEF,BE_LEF,CF_LEF
??.EB〃HG〃CF
???H為EF中點(diǎn)
1
.\HG=-(EB+CF)
AEB+CF=AD...............................................................7分
⑶CF-BE=AD...........................................................8分
(三)由特殊形解題啟發(fā)構(gòu)造哪些相等的角
例3、如圖①,P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),連接以、PB、PC,在△PAB、ZkPBC和△R4C中,如果存
在一個(gè)三角形與△ABC相似,那么就稱(chēng)P為二ABC的自相似點(diǎn).
(1)圖②,已知RtZkABC中,ZACB=90°,ZABOZA,CO是AB上的中線,過(guò)點(diǎn)
B作BE_LCD,垂足為E,試說(shuō)明E是△ABC的自相似點(diǎn).
⑵在△ABC中,ZA<ZB<ZC.
①如圖③,利用尺規(guī)作出ZMBC的自相似點(diǎn)P(寫(xiě)出作法并保留作圖痕跡);
②若AABC的內(nèi)心P是該三角形的自相似點(diǎn),求該三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù).
(三)一題多解與題目的變式及類(lèi)題
1、點(diǎn)M為正方形ABCD的邊AB(或延長(zhǎng)線上)任一點(diǎn)(不修,B重合),
ZDMN=90°,射線MN與443C的外角平分線交于點(diǎn)N,求證:
DM=MN.
【變式】
A、方法類(lèi)比,改變圖形
(1)等邊三角形ABC中,在BC邊上任取一點(diǎn)D(不與A,B重合),作
ZADE=60°,DE交/C的外角平分線于E,判斷MDE的形狀,并證明。
若D是射線BC上任一點(diǎn),上述結(jié)論是否成立
(2)(2008西城一模,25)如圖,正六邊形ABCDEF,點(diǎn)M在AB邊上,
ZFA/77=120°,MH與六邊形NA3C外角的平分線BQ交于H點(diǎn).
①當(dāng)點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合時(shí),求證:ZAFM=ZBMH;
②當(dāng)點(diǎn)M在正六邊形ABCDEF一邊AB上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)M不與點(diǎn)B
猜想FM與MH的數(shù)量關(guān)系,并對(duì)猜想的結(jié)果加以證明.
B、改變背景
(3)(20U密云一模,24)如圖,邊長(zhǎng)為5的正方形048C的頂點(diǎn)
°在坐標(biāo)原點(diǎn)處,點(diǎn)A、C分別在X軸、y軸的正半軸上,點(diǎn)E是0A
邊上的點(diǎn)(不與點(diǎn)4重合),EF±CE,且與正方形外角平分線AC
交于點(diǎn)P.
(1)當(dāng)點(diǎn)£坐標(biāo)為(3,0)時(shí),試證明CE=E?;
(2)如果將上述條件“點(diǎn)E坐標(biāo)為(3,0)”改為“點(diǎn)E坐標(biāo)為。,0)(方>0)”,結(jié)論
CEE?是否仍然成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)在y軸上是否存在點(diǎn)",使得四邊形5MEP是平行四邊形?若存在,請(qǐng)證明;若不
存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
2、如圖,在正方形ABCD中,E、F分別是BC、CD上的點(diǎn),且NEAF
=45°,求證:EF=BE+FD.
【變式】方法類(lèi)比,特殊到一般
削J弱題目條件(1)如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD,ZB+ZD=180°,
E、F分別是BC、CD上的點(diǎn),且/EAF是/BAD的一半,那么結(jié)論EF=BEB
+FD是否仍然成立?若成立,請(qǐng)證明;請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系,并
證明.
改變圖形Q)在四邊形ABCD中,AB=AD,ZB+ZD=180°,延長(zhǎng)BC到
點(diǎn)E,延長(zhǎng)CD至!J點(diǎn)F,使得/EAF仍然是ZBAD的一半,則結(jié)論EF=BE+FD
是否仍然成立?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān);
并證明.
3、旋轉(zhuǎn)特殊角度轉(zhuǎn)移線段,比較線段大小(求最值2011房山一模,25)已知:等邊三角形
ABC
(1)如圖1,P為等邊△ABC外一點(diǎn),且NBPC=120°試猜想線段BP、PC、AP之間的
數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;
(2)如圖2,P為等邊^(qū)ABC內(nèi)一點(diǎn),且NAPD=120°.求證:PA+PD+POBD
【類(lèi)題】1、已知:在AABC中,BC=a,AC=b,以AB為邊作等邊三角形ABD.探究下列問(wèn)題:
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的兩側(cè)時(shí),a=b=3,且ZACB=60°,則CD=;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的同側(cè)時(shí),a=b=6,且ZACB=90°,則CD=;
(3)如圖3,當(dāng)/ACB變化,且點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的兩側(cè)時(shí),求CD的最大值及相應(yīng)的
ZACB的度數(shù).
圖1圖2圖3
解:⑴3昭■...............................1'
(2)3、/6-3-^2;.......................2'
(3)以點(diǎn)D為中心,將ADBC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,則點(diǎn)B落在點(diǎn)A,點(diǎn)C落在點(diǎn)E.聯(lián)結(jié)AE,CE,
.,.CD=ED,ZCDE=60°,AE=CB=a,
.,.△CDE為等邊三角形,
.?.CE=CD................................4'
當(dāng)點(diǎn)E、A、C不在一條直線上時(shí),有CD=CE〈AE+AC=a+b;
當(dāng)點(diǎn)E、A、C在一條直線上時(shí),CD有最大值,CD=CE=a+b;
此時(shí)NCED=NBCD=NECD=60°,/.ZACB=120°,...............7,
因此當(dāng)NACB=120°時(shí),CD有最大值是a+b.
(三)啟發(fā)構(gòu)造三角形轉(zhuǎn)移線段
例2、已知:PA=42,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D
D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).
(1)如圖,當(dāng)NAPB=45°時(shí),求AB及PD的長(zhǎng);/
(2)當(dāng)/APB變化,且其它條件不變時(shí),求PD的\/
最大值,及相應(yīng)/APB的大小.
例3、如圖1,在梯形ABCD中,AD〃BC,/C=90°,點(diǎn)E為CD的中點(diǎn),點(diǎn)F在底邊BC上,
且/FAE=NDAE.
(1)請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量、猜想,得出/AEF的度數(shù);(1)的方法多樣(垂線段,倍長(zhǎng),
中位線)但是其中有的不好遷移到后面,需要在多種方法中選取
(2)若梯形ABCD中,AD〃BC,/C不是直角,點(diǎn)F在底邊BC或其延長(zhǎng)線上,如圖2、圖
3,其他條件不變,你在(1)中得出的結(jié)論是否仍然成立,若都成立,請(qǐng)?jiān)趫D2、
【類(lèi)題】已知點(diǎn)A,B分別是兩條平行線機(jī),”上任意兩點(diǎn),C是直線”上一點(diǎn),且/
ABC=9O°,點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上,BC=kAB(kW0).
(1)當(dāng)左=1時(shí),在圖(1)中,作NBEF=NABC,EF交直線加于點(diǎn)F.,寫(xiě)出線段EF與EB
的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;
(2)若卜豐1,如圖⑵,NBEF=NABC,其它條件不變,探究線段EF與EB的數(shù)量關(guān)系,
并說(shuō)明理由.
(四)方法的綜合應(yīng)用
1、如圖,已知△ABC.
(1)請(qǐng)你在邊上分別取兩點(diǎn)D,E(BC的中點(diǎn)除外),連結(jié)
AD,AE,寫(xiě)出使此圖中只存在兩對(duì)面積相等的三角形的相應(yīng)條件,并
表示出面積相等的三角形;
(2)請(qǐng)你根據(jù)使(1)成立的相應(yīng)條件,證明++.
2、問(wèn)題:已知"BC中,ZBAC=2ZACB,點(diǎn)。是△ABC內(nèi)的一點(diǎn),且AO=CO,BD=BA。探究
NDBC與/ABC度數(shù)的比值。
請(qǐng)你完成下列探究過(guò)程:
先將圖形特殊化,得出猜想,再對(duì)一般情況進(jìn)行分析并加以證明。
(1)當(dāng)/BAC=90。時(shí),依問(wèn)題中的條件補(bǔ)全右圖。
觀察圖形,AB與AC的數(shù)量關(guān)系為;
當(dāng)推出/DAC=15。時(shí),可進(jìn)一步推出/D8C的度數(shù)為;
可得到/D8C與/A8C度數(shù)的比值為:
(2)當(dāng)NBACW90。時(shí),請(qǐng)你畫(huà)出圖形,研究NDBC與NABC度數(shù)的比
值是否與⑴中的結(jié)論相同,寫(xiě)出你的猜想并加以證明。
3、在△ABC中,點(diǎn)P為BC的中點(diǎn).
圖3
(2)延長(zhǎng)AB至ljD,使得BD=AC,延長(zhǎng)AC至UE,使得CE=AB,連結(jié)DE.
①如圖2,連結(jié)BE,若NBAC=60°,請(qǐng)你探究線段BE與線段AP之間的數(shù)量關(guān)系.寫(xiě)出你
的結(jié)論,并加以證明;
1
②請(qǐng)?jiān)趫D3中證明:8C2,0E.
4、在□ABC。中,/BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E,交直線。C于點(diǎn)F。
(1)在圖1中證明C£=Cb;
(2)若/ABCngO9,G是EF的中點(diǎn)(如圖2),直接寫(xiě)出NBDG的度數(shù);
(3)若/ABC=12OP,FG//CE,FG=CE,分別連結(jié)。8、OG(如圖3),求NBDG的度
(五)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與分類(lèi)討論
不確定性引發(fā)分類(lèi)討論
(1)等腰三角形頂角頂點(diǎn);
⑵相似三角形對(duì)應(yīng)點(diǎn);
⑶已知兩點(diǎn)(三點(diǎn))+限制條件定平行四邊形(特殊梯形);
注意:分類(lèi)不重不漏;動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題定界點(diǎn)。
由位置的不確定引發(fā)的分類(lèi)討論
1、在Rt^ABC中,ZACB=9O°,BC=30,AB=5O.點(diǎn)P是AB邊上任意一點(diǎn),直線PEL4B,
與邊AC或BC相交于E.點(diǎn)M在線段AP上,點(diǎn)N在線段BP上,EM=EN,sinZEMP=—.
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒(méi)有圖紙預(yù)覽就沒(méi)有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 2024年采購(gòu)供應(yīng)協(xié)議
- 職業(yè)學(xué)院雙師素質(zhì)認(rèn)定辦法
- 2024年藝術(shù)品交易標(biāo)準(zhǔn)字畫(huà)買(mǎi)賣(mài)協(xié)議版
- 2024年視頻監(jiān)控軟件OEM合作開(kāi)發(fā)協(xié)議3篇
- 2024年高品質(zhì)煙草產(chǎn)品采購(gòu)與銷(xiāo)售合同一
- 2024年高端制造行業(yè)技術(shù)轉(zhuǎn)讓合同
- 2024年物流倉(cāng)儲(chǔ)租賃及冷鏈配送合同3篇
- 九年級(jí)下冊(cè)u(píng)nit3Lesson13Be-Careful-Danny教學(xué)設(shè)計(jì)模板
- 廣州市加強(qiáng)知識(shí)產(chǎn)權(quán)運(yùn)用和保護(hù)促進(jìn)創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)發(fā)展的實(shí)施方案
- 智慧煤礦與智能化開(kāi)采技術(shù)的發(fā)展方向
- 仙桃市仙桃市2023-2024學(xué)年七年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)檢測(cè)卷(含答案)
- 智慧農(nóng)場(chǎng)整體建設(shè)實(shí)施方案
- 航空公司個(gè)人年終總結(jié)(共12篇)
- DB33 1014-2003 混凝土多孔磚建筑技術(shù)規(guī)程
- GB/T 43439-2023信息技術(shù)服務(wù)數(shù)字化轉(zhuǎn)型成熟度模型與評(píng)估
- 吞咽困難查房
- 煉油化工建設(shè)項(xiàng)目建設(shè)規(guī)模產(chǎn)品方案及總工藝流程
- 教師培訓(xùn)《從教走向?qū)W-在課堂上落實(shí)核心素養(yǎng)》讀書(shū)分享讀書(shū)感悟讀后感教學(xué)課件
- GB/T 42437-2023南紅鑒定
- 購(gòu)房屋貸款合同協(xié)議書(shū)
- 工程監(jiān)理大綱監(jiān)理方案服務(wù)方案
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論