1.1集合學(xué)案文含解析

第一節(jié)集合【知識重溫】一、必記3個知識點1．元素與集合(1)集合中元素的特性：________、________、無序性．(2)元素與集合的關(guān)系：若a屬于A，記作________，若b不屬于A，記作________.(3)集合的表示方法：________、________、圖示法．(4)常見數(shù)集及其符號表示數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號____________________2.集合間的基本關(guān)系(1)集合相等：若集合A與集合B中的所有元素________，則稱A與B相等．(2)子集：若集合A中________________________均為集合B中的元素，則稱A是B的子集，記作A?B或B?A，________是任何集合的子集．(3)真子集：若集合A中任意一個元素均為集合B中的元素，且集合B中?________________不是集合A中的元素，則稱A是B的真子集，記作AB或BA.(4)空集是任何集合的子集，是任何________集合的真子集．(5)含有n個元素的集合的子集個數(shù)為________，真子集個數(shù)為________，非空真子集個數(shù)為________.3．集合的基本運算集合的并集集合的交集集合的補集符號表示A∪BA∩B若全集為U，則集合A的補集為?UA圖形表示意義{x|______}{x|______}{x|________}二、必明5個易誤點1．認清集合元素的屬性(是點集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合是正確求解的兩個先決條件．2．要注意區(qū)分元素與集合的從屬關(guān)系，以及集合與集合的包含關(guān)系．3．易忘空集的特殊性，在寫集合的子集時不要忘了空集和它本身．4．運用數(shù)軸圖示法易忽視端點是實心還是空心．5．在解決含參數(shù)的集合問題時，要注意檢驗集合元素的互異性，否則很可能會因為不滿足互異性而導(dǎo)致解題錯誤．【小題熱身】一、判斷正誤1．判斷下列說法是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列舉法表示為{－1,0,1}．()(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．()(3)方程eq\r(x－2018)＋(y＋2019)2＝0的解集為{2018，－2019}．()二、教材改編2．集合A＝{x|2≤x<4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，則A∩B＝()A．{x|2≤x<4}B．{x|3≤x<4}C．{x|2<x<4}D．{x|3<x<4}3．已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，則?R(A∪B)＝________.三、易錯易混4．已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B?A，則實數(shù)a的所有可能取值的集合為()A．{－1}B．{1}C．{－1,1}D．{－1,0,1}5．已知集合A＝{y|y＝x2－2x－3，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋13，x∈R}，則A∩B＝________.四、走進高考6．[2020·山東卷]設(shè)集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，則A∪B＝()A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4}D．{x|1<x<4}eq\x(考點一)集合[自主練透型]1．設(shè)a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，則b－a＝()A．1B．－1C．2D．－22．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個元素，則a＝()A.eq\f(9,2)B.eq\f(9,8)C．0D．0或eq\f(9,8)3．[2021·河南省豫北名校高三質(zhì)量考評]已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|y＝－x2＋2}，則集合A∩B的真子集的個數(shù)為()A．3B．4C．7D．8悟·技法解決集合含義問題的關(guān)鍵有三點：一是確定構(gòu)成集合的元素；二是確定元素的限制條件；三是根據(jù)元素的特性(滿足的條件)構(gòu)造關(guān)系式解決相應(yīng)問題．[提醒]含字母的集合問題，在求出字母的值后，需要驗證集合的元素是否滿足互異性.考點二集合間的基本關(guān)系[互動講練型][例1](1)[2021·黃岡中學(xué)，華師附中等八校聯(lián)考]已知集合M＝{x|x2－5x－6≤0}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|y＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))x，x≥－1))，則()A．M?NB．N?MC．M＝ND．M?(?RN)(2)[2021·大同市高三學(xué)情調(diào)研測試試題]已知集合A滿足{0,1}?A{0,1,2,3}，則集合A的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4(1)判斷兩集合關(guān)系的3種常用方法(2)根據(jù)兩集合的關(guān)系求參數(shù)的方法[提醒]題目中若有條件B?A，則應(yīng)分B＝?和B≠?兩種情況進行討論.[變式練]——(著眼于舉一反三)1．[2021·廣州市高三學(xué)情調(diào)研]已知集合{x|x2＋ax＝0}＝{0,1}，則實數(shù)a的值為()A．－1B．0C．1D．22．已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≤a}，若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)≥2B．a(chǎn)>2C．a(chǎn)<0D．a(chǎn)≤0考點三集合間的基本運算[分層深化型][例2](1)[2020·全國卷Ⅱ]已知集合U＝{－2，－1,0,1，2,3}，A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，則?U(A∪B)＝()A.{－2,3}B.{－2,2,3}C.{－2，－1,0,3}D.{－2，－1,0,2,3}(2)[2021·合肥市高三調(diào)研性檢測]若集合A＝{x|x(x－2)>0}，B＝{x|x－1>0}，則A∩B＝()A．{x|x>1或x<0}B．{x|1<x<2}C．{x|x>2}D．{x|x>1}悟·技法[同類練]——(著眼于觸類旁通)3．[2021·廣東省七校聯(lián)合體高三聯(lián)考試題]已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|x<1}，則有()A．A∩B＝{x|0<x<2}B．A∩B＝{x|－1<x<1}C．A∪B＝{x|－1<x<1}D．A∪B＝{x|－1<x<2}4．[2021·唐山市高三年級摸底考試]已知集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|x2－2x<0}，則A∩B＝()A．{0,1,2}B．{0,1}C．{3}D．{1}[變式練]——(著眼于舉一反三)5．[2021·武漢部分學(xué)校質(zhì)量檢測]已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，則?RA＝()A．{x|－1<x<2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1或x>2}D．{x|x≤－1或x≥2}6．[2021·南昌市高三年級摸底測試卷]已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x－3,x－1)≥0))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(2－x)))))，則(?RM)∩N＝()A．(1,2]B．[1,2]C．(2,3]D．[2,3][拓展練]——(著眼于遷移應(yīng)用)7．[2021·山西省六校高三階段性測試]已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－4<0，x∈Z}，集合B＝{x|x2－2x－3＝0}，則圖中陰影部分表示的集合是()A．{0,1,3}B．{－2,0,1,2,3}C．{0，－1，－3}D．{－1,0,1,3}8．[2021·石家莊市重點高中高三畢業(yè)班摸底考試]已知集合A＝{x|y＝log2(x－2)}，B＝{x|x2≥9}，則A∩(?RB)＝()A．[2,3)B．(2,3)C．(3，＋∞)D．(2，＋∞)第一節(jié)集合【知識重溫】①確定性②互異性③a∈A④b?A⑤列舉法⑥描述法⑦N⑧N*(或N＋)⑨Z⑩Q?R?都相同?每一個元素?空集?至少有一個元素?非空?2n?2n－1?2n－2?x∈A或x∈Beq\o(○,\s\up1(21))x∈A且x∈Beq\o(○,\s\up1(22))x∈U且x?A【小題熱身】1．答案：(1)×(2)×(3)×2．解析：∵A＝{x|2≤x<4}，B＝{x|x≥3}，∴A∩B＝{x|3≤x<4}．答案：B3．解析：A∪B＝{x|2<x<10}，∴?R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．答案：{x|x≤2或x≥10}4．解析：∵B?A，當(dāng)B≠?，即a≠0時，B＝{x|x＝－eq\f(1,a)}，∴－eq\f(1,a)∈A，即a＝±1；當(dāng)B＝?，即a＝0時，滿足條件，綜上可知實數(shù)a所有可能取值的集合是{－1,0,1}．故選D.答案：D5．解析：A＝{y|y＝(x－1)2－4，x∈R}＝{y|y≥－4}．B＝{y|y＝－(x－1)2＋14，x∈R}＝{y|y≤14}．∴A∩B＝{y|－4≤y≤14}．答案：{y|－4≤y≤14}6．解析：A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，則A∪B＝{x|1≤x<4}，選C.答案：C課堂考點突破考點一1．解析：因為{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，a≠0，所以a＋b＝0，則eq\f(b,a)＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.答案：C2．解析：若集合A中只有一個元素，則方程ax2－3x＋2＝0只有一個實根或有兩個相等實根．當(dāng)a＝0時，x＝eq\f(2,3)，符合題意；當(dāng)a≠0時，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝eq\f(9,8).所以a的值為0或eq\f(9,8).故選D項．答案：D3．解析：解法一由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝4,y＝－x2＋2))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3),y＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\r(3),y＝－1))，則集合A∩B＝{(0,2)，(eq\r(3)，－1)，(－eq\r(3)，－1)}，有3個元素，其真子集的個數(shù)為23－1＝7，故選C.解法二分別作出圓x2＋y2＝4與拋物線y＝－x2＋2，如圖．由圖可知集合A∩B中有3個元素，則其真子集的個數(shù)為23－1＝7，故選C.答案：C考點二例1解析：(1)由x2－5x－6≤0得－1≤x≤6，即M＝[－1,6]；由y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))x，x≥－1得0<y≤6，即N＝(0,6]，所以N?M，故選B.(2)由題意可知A可能為{0,1}，{0,1,2}，{0,1,3}，則滿足條件的集合A的個數(shù)為3，故選C.答案：(1)B(2)C變式練1．解析：由x2＋ax＝0，得x(x＋a)＝0，所以x＝0或x＝－a.所以由已知條件可得－a＝1，所以a＝－1.答案：A2．解析：∵A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x≤a}，∴為使A?B，a須滿足a≥2.答案：A考點三例2解析：(1)∵A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，∴A∪B＝{－1,0,1,2}，又∵集合U＝{－2，－1,0,1,2,3}，∴?U(A∪B)＝{－2,3}，故選A.(2)通解因為A＝{x|x(x－2)>0}＝{x|x>2或x<0}，B＝{x|x－1>0}＝{x|x>1}，所以A∩B＝{x|x>2}，故選C.優(yōu)解因為eq\f(3,2)?A，所以eq\f(3,2)?(A∩B)，故排除A，B，D，選C.答案：(1)A(2)C同類練3．解析：由題意可得A＝{x|－1<x<2}，故A∩B＝{x|－1<x<1}，選B.答案：B4．解析：B＝{x|0<x<2}，A＝{0,1,2,3}，則A∩B＝{1}，故選D.答案：D變式練5．解析：通解因為A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|(x＋1)(x－2)<0}＝{x|－1<x<2}，所以?RA＝{x|x≤－1或x≥2}，選D.優(yōu)解顯然0∈A，所以0??RA，排除A，B；又2?A，所以2∈?RA，排除C.選D.答案：D6．解析：因為M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\c