1.2.3等差數(shù)列的前n項和（第2課時）課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性

等差數(shù)列的前n項和第2課時等差數(shù)列的前n項和的性質(zhì)第1章數(shù)列湘教版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊課標(biāo)要求1.掌握等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)及其應(yīng)用;2.能利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)特征求最值;3.掌握等差數(shù)列的各項的絕對值的和的求法.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)目錄索引

基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點1等差數(shù)列前n項和的函數(shù)特征等差數(shù)列的前n項和公式轉(zhuǎn)移到二次函數(shù)的過程Sn=na1+,整理得Sn=,所以Sn可以看成y=當(dāng)x=n(n∈N+)時的函數(shù)值等差數(shù)列的前n項和公式與二次函數(shù)的關(guān)系令A(yù)=,B=a1-,則Sn=An2+Bn.①當(dāng)A=0,B=0(即d=0,a1=0)時,Sn=0是關(guān)于n的常函數(shù),{an}是各項為0的常數(shù)列.②當(dāng)A=0,B≠0(即d=0,a1≠0)時,Sn=Bn是關(guān)于n的一次函數(shù),{an}為各項非零的常數(shù)列.③當(dāng)A≠0(即d≠0)時,Sn=An2+Bn是關(guān)于n的二次函數(shù)(常數(shù)項為0)名師點睛等差數(shù)列前n項和的最值的求法(1)若a1>0,d<0,則數(shù)列的前面若干項為正數(shù),所以將這些項相加即得{Sn}的最大值.(2)若a1<0,d>0,則數(shù)列的前面若干項為負(fù)數(shù),所以將這些項相加即得{Sn}的最小值.(3)若a1>0,d>0,則{Sn}是遞增數(shù)列,S1是{Sn}的最小值;若a1<0,d<0,則{Sn}是遞減數(shù)列,S1是{Sn}的最大值.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)等差數(shù)列的前n項和一定是常數(shù)項為0的關(guān)于n的二次函數(shù).(

)(2){an}是等差數(shù)列,其前n項和為Sn,{|an|}的前n項和也是Sn.(

)2.當(dāng)一個數(shù)列的前n項和Sn=an2+bn+c(a,b,c∈R,且a≠0)滿足什么條件時,數(shù)列的通項公式是分段形式?××提示由等差數(shù)列的前n項和的函數(shù)特征可知,當(dāng)c≠0時,數(shù)列的通項公式是分段形式.知識點2等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)

2.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,Sn為其前n項和,則Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍構(gòu)成等差數(shù)列,且公差為m2d.3.設(shè)兩個等差數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,則4.若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為2n,則S2n=n(an+an+1),5.若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為2n-1,則S偶=(n-1)an,S奇=nan,6.若{an}為等差數(shù)列,則S2n-1=(2n-1)an.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)已知某等差數(shù)列共有10項,其奇數(shù)項之和為15,偶數(shù)項之和為30,則其公差為3.(

)(2)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,則S3,S6,S9也成等差數(shù)列.(

)2.在等差數(shù)列{an}中,S2=3,S4=6,則S6=

,數(shù)列的公差為d=

.

√×90解析

∵S2,S4-S2,S6-S4成等差數(shù)列,∴3+(S6-6)=2×3,得S6=9.∵(S4-S2)-S2=22d=0,∴d=0.3.在等差數(shù)列{an}中,若a4=10,則S7=

.

70解析

由S2n-1=(2n-1)an,可知S7=7a4=70.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)及其應(yīng)用【例1】

(1)等差數(shù)列{an}的前m項和為30,前2m項和為100,則數(shù)列{an}的前3m項的和S3m為

.

分析

根據(jù)題目的特征,選擇相應(yīng)的性質(zhì)求解.210解析

(方法1)在等差數(shù)列中,∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數(shù)列,∴30,70,S3m-100成等差數(shù)列.

∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210.即S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210.變式探究

規(guī)律方法

利用等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)簡化計算(1)在解決等差數(shù)列問題時,先利用已知條件求出a1,d,再求所求,是基本解法(有時運(yùn)算量大些).(2)如果利用等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)或利用等差數(shù)列通項公式的性質(zhì),可簡化運(yùn)算,為最優(yōu)解法.(3)設(shè)而不求,整體代換也是很好的解題方法.探究點二等差數(shù)列前n項和的最值【例2】

在等差數(shù)列{an}中,Sn為前n項和,且a1=25,S17=S9.請問數(shù)列{an}的前多少項和最大?解

(方法1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,∵a1=25,S17=S9,故該數(shù)列的前13項和最大,最大值是169.(方法3)∵S17=S9,∴a10+a11+…+a17=0.∴a10+a17=a11+a16=…=a13+a14=0.∵a1=25>0,∴當(dāng)n≤13時,an>0;當(dāng)n≥14時,an<0.∴數(shù)列的前13項和S13最大.(方法4)由方法1,得數(shù)列{an}的公差d=-2.故當(dāng)n=13時,Sn有最大值.故數(shù)列的前13項和S13最大.規(guī)律方法

求等差數(shù)列前n項和的最值的方法

[提醒]一個等差數(shù)列的前n項和存在最值的條件:一般地,在等差數(shù)列{an}中,若a1>0,d<0,則其前n項和Sn有最大值;若a1<0,d>0,則其前n項和Sn有最小值.變式訓(xùn)練在數(shù)列{an}中,an=3n-12,求數(shù)列{an}的前n項和Sn的最小值,并指出何時取最小值.探究點三

求數(shù)列{|an|}的前n項和問題

【例3】

若等差數(shù)列{an}的首項a1=13,d=-4,記Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn.分析根據(jù)題意求出數(shù)列的通項公式,根據(jù)通項公式,求出項的正負(fù),根據(jù)項的正負(fù),去掉絕對值號后求和.變式探究在本例中,若將條件改為“等差數(shù)列{an}的通項公式為an=3n-23”,求數(shù)列{|an|}的前n項和Tn.規(guī)律方法

已知等差數(shù)列{an},求{|an|}的前n項和的方法:先根據(jù)通項公式判斷{an}的各項的正負(fù),然后去掉絕對值號,轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和問題.要注意轉(zhuǎn)化的等價性.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)等差數(shù)列前n項和的函數(shù)特征;(2)等差數(shù)列前n項和的性質(zhì).2.方法歸納:性質(zhì)轉(zhuǎn)化法求解基本量,前n項和最值的求法,分類轉(zhuǎn)化法求{|an|}的前n項和.3.注意事項:等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)與通項公式的性質(zhì)的區(qū)別,利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值要注意n是正整數(shù)的限制,求{|an|}的前n項和分類討論去掉絕對值后,要注意分段求解.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)A級必備知識基礎(chǔ)練123456789101112131415161718191.已知等差數(shù)列{an}的前11項和S11=88,則a2+a10=(

)A.16 B.17

C.18

D.19A解析

由等差數(shù)列{an}的性質(zhì)可得a1+a11=a2+a10.由于前11項和S11=88=,因此a1+a11=16,則a2+a10=16.故選A.123456789101112131415161718192.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=10,公差d=-,則Sn取得最大值時n的值為(

)A.3 B.4

C.5

D.6A123456789101112131415161718193.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,S5=12,S10=48,則S15=(

)A.84 B.108

C.144

D.156B解析

由等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)可知S5,S10-S5,S15-S10成等差數(shù)列.由等差中項性質(zhì)可知2(S10-S5)=S5+(S15-S10),解得S15=108,故選B.123456789101112131415161718194.[2024甘肅臨夏高二期中]設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9=(

)A.27 B.45C.81 D.18B解析

因為數(shù)列{an}為等差數(shù)列,所以S3,S6-S3,S9-S6成等差數(shù)列,可得2(S6-S3)=S3+S9-S6,即2(36-9)=9+S9-S6,解得S9-S6=45,即a7+a8+a9=45.故選B.123456789101112131415161718195.(多選題)已知等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,其前n項和為Sn,且滿足a7=3a5,則下列結(jié)論正確的是(

)A.d>0B.a1<0C.當(dāng)n=5時,Sn最小D.當(dāng)Sn>0時,n的最小值為8ABD12345678910111213141516171819解析

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因為{an}是遞增數(shù)列,所以d>0.因為a7=3a5,所以a5+2d=3a5,所以d=a5,所以a1=a5-4d=-3d<0,故A,B正確;又因為a4=a5-d=d-d=0,所以S3=S4,且為Sn的最小值,故C錯誤;123456789101112131415161718196.(多選題)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,下列選項可能是{Sn}的圖象的是(

)ABC

12345678910111213141516171819解析

因為Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,所以Sn=an2+bn(a,b為常數(shù),n∈N+),則其對應(yīng)函數(shù)y=ax2+bx,當(dāng)x∈N+時的函數(shù)值,函數(shù)的圖象是過原點的一條曲線.當(dāng)a=0時,該曲線是過原點的直線,如選項C;當(dāng)a≠0時,該曲線是過原點的拋物線,如選項A,B;選項D中的曲線不過原點,不符合題意.故選ABC.123456789101112131415161718197.在等差數(shù)列{an}中,a1>0,a10a11<0,若此數(shù)列的前10項和S10=36,前18項和S18=12,則數(shù)列{|an|}的前18項和T18=

.

60解析

由a1>0,a10a11<0,知d<0,且a10>0,a11<0,所以T18=a1+a2+…+a10-a11-a12-…-a18=2S10-S18=60.123456789101112131415161718198.[2024甘肅慶陽高二期末]已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S2023<0,S2024>0,則當(dāng)Sn最小時,n的值為

.

1012解析

因為在等差數(shù)列{an}中,S2

024=1

012(a1+a2

024)=1

012(a1

012+a1

013)>0,所以a1

012<0,a1

013>0,則當(dāng)Sn最小時,n=1

012.123456789101112131415161718199.設(shè){an}為等差數(shù)列,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,已知S7=7,S15=75,Tn為數(shù)列

1234567891011121314151617181910.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S3=S10,S6=Sk,則k的值是(

)A.6 B.7 C.8

D.9B級關(guān)鍵能力提升練B1234567891011121314151617181911.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,Sn為其前n項和.若a1=2024,且=3,則S2021=(

)A.1×20212

B.2×20212C.3×20212

D.4×20212D1234567891011121314151617181912.[2024甘肅定西高二階段練習(xí)]已知等差數(shù)列{an}共有21項,若奇數(shù)項的和為110,則偶數(shù)項的和為(

)A.100 B.105C.90 D.95A1234567891011121314151617181913.(多選題)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,公差為d,已知a3=12,S12>0,S13<0,則下列結(jié)論正確的有(

)A.a6+a7<0B.a7<0C.d可以取負(fù)整數(shù)D.對任意n∈N+,有Sn≤S6BD12345678910111213141516171819所以2a1+11d>0,a1+6d<0,即a6+a7>0,a7<0,所以a6>0,所以d<0,所以對任意n∈N+,有Sn≤S6.由a3=12得a1=12-2d,聯(lián)立2a1+11d>0,a1+6d<0,解得

<d<-3,故d不能取負(fù)整數(shù).故選BD.1234567891011121314151617181914.(多選題)已知等差數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,且前n項和為Sn,若S7=S11,則(

)A.a10>0 B.當(dāng)n=9時,Sn最大C.S17>0 D.S19>0BC

解析

由S7=S11,得S11-S7=a8+a9+a10+a11=2(a9+a10)=0,則a9+a10=10.又因為{an}是遞減數(shù)列,所以a9>0,a10<0,故A錯誤,B正確;1234567891011121314151617181915.(2023新高考Ⅰ,7)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和,設(shè)甲:{an}為等差數(shù)列;乙:{}為等差數(shù)列,則(

)A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件C

1234567891011121314151617181916.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,如果a1=-5,an+1=an+2,n∈N+,那么S1,S2,S3,S4中最小的為

.

S3解析

∵數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=-5,an+1=an+2,n∈N+,∴數(shù)列{an}是首項為-5,公差為2的等差數(shù)列.∴a1=-5,a2=-3,a3=-1,a4=1.∴S1=-5,S2=-8,S3=-9,S4=-8.∴S1,S2,S3,S4中最小的為S3.1234567891011121314151