2024年高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)：不等式 專項(xiàng)講解與訓(xùn)練

第4講不等式

函數(shù)與不等式

考向1不等式的解法

1.一元二次不等式的解法

先化為一般形式ax+bx-\-c>0(a^O),再求相應(yīng)一元二次方程af+6x+c=0(a#0)的根，最終依據(jù)相應(yīng)二

次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集.

2.簡(jiǎn)潔分式不等式的解法

-F(

(1)—y->0?0)g(x)>0?0)；

f(x)

⑵…產(chǎn)0(WO)=f(x)g(x)NO(WO)且g(x)#0.

2..利用基本不等式求最大值、最小值的基本法則

(1)假如x>0,y>0,xy=p(定值)，當(dāng)x=y時(shí)，x+y有最小值25(簡(jiǎn)記為：積定，和有最小值).

(2)假如x>0,y>0,x+y=s(定值)，當(dāng)x=y時(shí)，燈有最大值:3(簡(jiǎn)記為：和定，積有最大值).

酮(1)若直線2+《=1(辦0,6〉0)過(guò)點(diǎn)(1,2),則2a+b的最小值為

ab

(2)若a,6GR,a垃0,則的最小值為_(kāi)_______.

ab

【答案】(1)8(2)4

【解析】⑴因?yàn)橹本€二十￡=1(a>0,6>0)過(guò)點(diǎn)(1,2),所以因?yàn)閍>0,b>0,所以2a+b=(2a

abab

+加已+0=4+(+12+2y|^=8,當(dāng)且僅當(dāng)即a=2,Q4時(shí)等號(hào)成立，所以2a+6的最

小值為8.

3

/c\/+46'+la4Z?1由基本不等式得，VAY+^-=4aZ>+—7^4當(dāng)且僅當(dāng)5

⑵蔡，+~+~7^2/-X—

baab\baabab

4Z?31

—,4a6==同時(shí)成立時(shí)等號(hào)成立.

利用基本不等式求最值應(yīng)關(guān)注的三點(diǎn)

(1)利用基本不等式必需留意“一正二定三相等”的原則.

⑵基本不等式在解題時(shí)一般不能干脆應(yīng)用，而是須要依據(jù)已知條件和基本不等式的“需求”找尋“結(jié)合

點(diǎn)”，即把探討對(duì)象化成適用基本不等式的形式.常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化方法有：

bb

①xTx—a-\卜a(x>a).

x一ax-a

②^^+自=1,則磔+〃尸（3+力刃?1

xy

=（mx+〃y）?儂+〃6+2，薪藐（字母均為正數(shù)）.

（3）若兩次連用基本不等式，要留意等號(hào)的取得條件的一樣性，否則會(huì)出錯(cuò).

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

9Q

1.設(shè)x>0,則函數(shù)尸5的最小值為（）

乙XIL/

1

A.0B.-

3

C.1D.-

【答案】A

23,1、1

【解析】：選A.y=x+^~7L7—5=1了+弓|+---7—222—2=0.

LiXIJ./[乙）\.

嗎

當(dāng)且僅當(dāng)葉白一彳，即x=B時(shí)等號(hào)成立.

葉5

所以函數(shù)的最小值為0.故選A.

2.已知a〉0,6>0,若不等式五七一之一恒成立，則〃的最大值為（）

3a十白ab

A.4B.16

C.9D.3

【答案】B

【解析】：選B.因?yàn)閍〉0,b〉0,所以由三匕一°—太。恒成立得wQ+；）（3a+6）=10+“+半恒成

3a-]~bab\abjab

立.因?yàn)橛?2?當(dāng)=6,當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)等號(hào)成立，故10+迎+當(dāng)，16,所以RW16,即勿的

ab\labab

最大值為16.故選B.

線性規(guī)劃

[核心提煉]

1.解決線性規(guī)劃問(wèn)題的一般步驟

（1）作圖一一畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平面直線系中的隨意一條直線1.

(2)平移一一將,平行移動(dòng)，以確定最優(yōu)解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置.有時(shí)須要對(duì)目標(biāo)函數(shù)，和可行域邊界的斜率

的大小進(jìn)行比較.

(3)求值一一解有關(guān)方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，再代入目標(biāo)函數(shù)，求出目標(biāo)函數(shù)的最值.

2.目標(biāo)函數(shù)的三種類型

(1)直線型：z=ax+by-\-c.

(2)斜率型：z=二上.

X~XQ

(3)距離型：z=(T—Ab)2+(y—7b)2.

'x+3y^3,

題(1)(2024?高考全國(guó)卷I)設(shè)x,y滿意約束條件卜一/1,則z=x+p的最大值為()

、/0,

A.0B.1

C.2D.3

'2x+y—4W0

(2)(2024?成都第一次檢測(cè))若實(shí)數(shù)x,p滿意約束條件卜一2p—2W0,則—的最小值為.

x-1^0

3x+p+320

⑶(2024?太原模擬)已知實(shí)數(shù)x,y滿意條件｛2x—y+2W0,則z=V+/的取值范圍為.

/+2了一4《0

34

【答案】(DD(2)-1(3)[|,13]

【解析】(1)不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，平移直線y=-x,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(3,0)

時(shí)，z=x+y取得最大值，此時(shí)Zmax=3+0=3.故選D.

作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，因?yàn)楸硎酒矫鎱^(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)尸(0,1)連線

x

的斜率.由圖知，點(diǎn)戶與點(diǎn)4(1,—J連線的斜率最小,

1

———1

由二1、—123

所以()min-kpA——一一J

x1—02

(3)不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由此得z=x?+V的最小值為點(diǎn)。到直線a'：2x—y+2

4

=0的距離的平方，痂in=E，最大值為點(diǎn)。與點(diǎn)力(-2,3)的距離的平方，2

OZ^=\OA\=13.

J*彳j

園圈圓幽

解決線性規(guī)劃問(wèn)題應(yīng)關(guān)注的三點(diǎn)

(1)首先要找到可行域，再留意目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，找到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時(shí)可行域的頂點(diǎn)(或邊

界上的點(diǎn))，但要留意作圖肯定要精確，整點(diǎn)問(wèn)題要驗(yàn)證解決.

(2)畫可行域時(shí)應(yīng)留意區(qū)域是否包含邊界.

(3)對(duì)目標(biāo)函數(shù)z=/x+8y中8的符號(hào)，肯定要留意8的正負(fù)與z的最值的對(duì)應(yīng)，要結(jié)合圖形分析.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

3x+2y-6W0

1.設(shè)X,y滿意約束條件＜x三0則Z=x—y的取值范圍是()

A.[-3,0]B.[-3,2]

C.[0,2]D.[0,3]

【答案】B.

'3x+2y—6W0,

【解析】不等式組〈x》0,表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，作出直線Zo：y=x,平移直線

7o,當(dāng)直線z=x—y過(guò)點(diǎn)/(2,0)時(shí)，z取得最大值2,當(dāng)直線z=x—y過(guò)點(diǎn)6(0,3)時(shí)，z取得最小值一3,

所以z=x—y的取值范圍是[―3,2],故選B.

3?*2y-^O

"x+3y+5N0

2.(2024?惠州第三次調(diào)研)已知實(shí)數(shù)x,y滿意:x+y—1W0,若z=x+2y的最小值為一4,則實(shí)數(shù)a

、x+a20

=()

A.1B.2

C.4D.8

【答案】B.

【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，當(dāng)直線z=x+2y經(jīng)過(guò)點(diǎn)以一a,平)時(shí),

z取得最小值一4,所以一a+2?下-=-4,解得a=2,選B.

3.某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B須要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A須要甲材料L5kg,乙材

料1kg,用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B須要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個(gè)工時(shí).生產(chǎn)一件產(chǎn)品A

的利潤(rùn)為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不

超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為元.

【答案】：216000

【超標(biāo)】.由題意，設(shè)產(chǎn)品A生產(chǎn)x件，產(chǎn)品B生產(chǎn)］件，利詞i=21OQx+9O6,

p5x+05j<150

Ix+03)S90

線性約束條件為〈5J+3X<600,

rZO

I田。

作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰髭部分所示，又由xEN,v€N,可知即內(nèi)最大值時(shí)的最優(yōu)解為

(60,100),所以公=2100X8+900X100=216000(元).

課時(shí)作業(yè)

［基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)］

1.已知關(guān)于X的不等式(ax—l)(x+l)<0的解集是(-8,-l)u則

A.2B.-2

11

1

_-

o

zD.2

c.^

【答案】B.

【解析】依據(jù)不等式與對(duì)應(yīng)方程的關(guān)系知一1,一；是一元二次方程a/+x(a—1)—1=0的兩個(gè)根，所以一1

x1一1j=—，，所以a=-2,故選B.

2.對(duì)于隨意實(shí)數(shù)a,b,c,d,有以下四個(gè)命題:

①若ac>bc,且cWO,則a>b\

②若a>b,c>d,則a+c>b~\-d；

③若a>b,c'>d,則ac>6d；

④若a>b,則

ab

其中正確的有()

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【解析】：選B.①a/〉?/,且c#0,則a>6,①正確；②由不等式的同向可加性可知②正確；③需滿意

a,b,c,，均為正數(shù)才成立；④錯(cuò)誤，比如：令a=—1,b=-2,滿意一1>—2,但七?故選民

2x+3_p-3W0,

3.設(shè)x、y滿意約束條件上矛一3y+320,則z=2x+y的最小值是()

j+3N0,

A.-15B.-9

C.1D.9

【答案】A

2x+3_y-3W0,

【解析】法一：作出不等式組<2x—3y+320,對(duì)應(yīng)的可行域，如圖中陰影部分所示.易求得可行域的頂點(diǎn)

、y+320

4(0,1),庾一6,-3),<7(6,-3),當(dāng)直線？=2x+y過(guò)點(diǎn)6(—6,—3)時(shí)，z取得最小值，zBi?=2X(-6)

—3=—15,選擇A.

6.(2024?高考天津卷)電視臺(tái)播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時(shí)，須要播放廣告.已知每次播

放甲、乙兩套連續(xù)劇時(shí)，連續(xù)劇播放時(shí)長(zhǎng)、廣告播放時(shí)長(zhǎng)、收視人次如下表所示：

連續(xù)劇播放廣告播放收視

時(shí)長(zhǎng)(分鐘)時(shí)長(zhǎng)(分鐘)人次(萬(wàn))

甲70