平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（4題型分類(lèi)）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

專(zhuān)題23平面向量基本定理及坐標(biāo)表示4題型分類(lèi)

彩題如工總

題型4:利用向量共線(xiàn)求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)題型1:平面向量基本定理的應(yīng)用

專(zhuān)題23平面向量基本定理及

坐標(biāo)表示4題型分類(lèi)

題型3:利用向量共線(xiàn)求參數(shù)題型2:平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

彩和祗寶庫(kù)

1.平面向量基本定理

如果ei，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)孤，九2,

使。=九01+2202.

若ei,e2不共線(xiàn)，我們把｛ei,02｝叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.

2.平面向量的正交分解

把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.

3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

（1）向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及向量的模

設(shè)。=（為，yi）,》=（尤2，竺），貝U

〃+》=（無(wú)i+x2，yi+j2），a-B=（xi—無(wú)2，2a=（&i，2yi）,|a|=yjxi+yi.

（2）向量坐標(biāo)的求法

①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

②設(shè)A（X1，巾），8（無(wú)2，J2），則AB=（X2—XI，/一yi），|A8|=N（X2—尤產(chǎn)+①一yi）2.

4.平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示

設(shè)。=（尤1,yi）,b—（xi,yi）,其中5W0,則a〃?0尤i"一無(wú)29=0.

5.已知產(chǎn)為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，若A（xi，yi）,B（x2,刃），則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為"^己知AABC的頂點(diǎn)

A（xi，%）,8（x2,刃），CS，乃），則△ABC的重心G的坐標(biāo)為"半土與，'+；+「）.

彩健題海籍

（一）

平面向量基本定理的應(yīng)用

（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)

算.

（2）用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一個(gè)基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量

的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.

題型1：平面向量基本定理的應(yīng)用

1-1.（2024高一下?重慶北倍?階段練習(xí)）設(shè)q、e；是兩個(gè)不平行的向量，則下列四組向量中，不能組成平面向

量的一個(gè)基底的是（）

A.q+e,和G—e、B.q+2e〔和+2q

C.3q—2e?和4e2—6e1D.e2和e,+q

【答案】C

【分析】根據(jù)基底的知識(shí)確定正確答案.

【詳解】依題意，分02不共線(xiàn)，

A選項(xiàng)，不存在/IER使,+4-弓），

所以q+弓和,-弓可以組成基底.

B選項(xiàng)，不存在4ER使弓+2/=丸92+24）,

所以q+2/和4+2,可以組成基底.

C選項(xiàng)，4^2—6q=—2（3,-26），

所以為-2%和4%-6q不能構(gòu)成基底.

D選項(xiàng)，不存在4ER使％=之（?2+G）,

所以4和4+,可以組成基底.

故選：C

1-2.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)向量｛e；,ej是平面內(nèi)一個(gè)基底，><2=^+2^,/?=-^+^,則向量6+弓

可以用另一個(gè)基底小修表示，即e*2.

21

【答案】—

【分析】設(shè)G+/=3+應(yīng)?，將。=,+24,"=一,+4代入，利用向量基本定理，得出利〃的關(guān)系式，求解,

即可得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)G+I+泌（北”￡尺），因?yàn)閍=q+24，方=一￡1+^2，

所以=m（^e1+2e2^+n+e2^=（m-n）e[+（2m+n）e2,因?yàn)榕c心不共線(xiàn)，

m—n=l

所以2-，解得

^21

故答案為：—a——b.

33

1-3.（2024高三上?陜西西安?期末）在ABC中，。在BC上，且50=20。，E在AD上，且AD=4AE.若

BE=xAB+yAC,則無(wú)+丁=.

3

【答案】--/-0.75

4

21

【分析】根據(jù)已知條件先確定助二§5C,AE=-AD,再根據(jù)平面向量基本定理，把向量筋與向量AC作

為一組基底表示出向量研即可.

21

【詳解】因?yàn)?0=20。，所以因?yàn)锳Q=4AE*，所以

因?yàn)锳D=AB+BO=A3+-8C=A3+—（AC-AB）=—A3+-AC,

33、'33

所以4￡=工4。=-1-43+工4。，則BE=AE-AB=-UAB+LAC,

4126126

「位寸?1111113

因?yàn)锽E=xAB+yAC,所以犬=一二,、=:，貝nI1Jx+y=—二+二=一二.

12o1264

故答案為：--3

4

1?

1-4.（2024?湖南?模擬預(yù)測(cè)）在^ABC中，A5=c,AC=A，點(diǎn)/滿(mǎn)足BM=ABC（0<A<1）AM=-b+-cf

則幾的值為.

【答案】I

【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算即可得出答案.

【詳解】由題意可得:

AM=AB+BM=AB+ABC=AB+A^AC-AB^

___..i2

=AAC+（l-A）AB=Ab+（l-A,）c=-b+-c.

所以2

故答案為：—.

1-5.（2024高三下?河南?開(kāi)學(xué)考試）已知N分別為平行四邊形ABCD的邊BCCD的中點(diǎn)，若點(diǎn)P滿(mǎn)足

MP

6AP+5ZM=4￡）C，貝1--=.

MN

【答案】|

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合平面向量的運(yùn)算，由條件可得MP=g（AO-AB）,MN=g（AD-AB）,即可得到結(jié)

果.

【詳解】因?yàn)?AP+51M=4Z）C，貝1J6A尸=4OC-4ZM—ZM=4AC+AO，

21

所以AP=zAC+wA，又AC=A5+AD，

Jo

i-ii

貝|叱=始+4尸=^/5+胡+耳人5+耳人。+%入。=§4。一§715=］（40—45）,

MN=MC+CN=-BC+-CD=-（AD-AB\,

222、）

MP2

所以——=T.

MN3

故答案為：g

1-6.（2024?天津紅橋?一模）如圖所示，在ABC中，點(diǎn)。為5C邊上一點(diǎn)，且30=2。。，過(guò)點(diǎn)。的直線(xiàn)石尸

與直線(xiàn)A5相交于E點(diǎn)，與直線(xiàn)AC相交于尸點(diǎn)（E,F交兩點(diǎn)不重合）.若A￡）=機(jī)A5+〃AC，則mn=，

若AE=4A5,AF=JLIAC,則丸+〃的最小值為.

21+宜1

【答案】

93

【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算，以A氏AC為基底，表示出A。，和已知等式比較，即可得孤〃的值，求得機(jī)〃

的值；結(jié)合已知用4E,A尸表示A。，結(jié)合三點(diǎn)共線(xiàn)可得J+二=1（九〃＞。），將幾+〃化為

37tJ/LI

:+。］,展開(kāi)后利用基本不等式,即可求得a十"的最小值.

(丸+〃)

2

【詳解】在中，AD=AB+BD^BD=2DC，則5￡)=§3C,

22(

^AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-\AC-AB

33V

2212

=AB——AB+-AC=-AB+-AC

3333f

故加J,“=?，””—?

339

12

XAD=-AB+-AC,而AE=4A3，A/=〃AC,

1i12

以AB=—AE,AC=—AF,貝|AD——AE-\AF,

44343〃

12

又”尸三點(diǎn)共線(xiàn)，所以互+結(jié)合己知可知4…，

1212〃2%…22,2y/2

故；1+〃=(丸+4)------1------=-+-+—+——>1+2---------=1-1,

323〃33343〃3/13//---------3

11+V2

X=----------

當(dāng)且僅當(dāng)然=T結(jié)合:+；=叱〃叫，即〈3廠(chǎng)時(shí)，取等號(hào);

2+V2

〃=-----

3

即彳+〃的最小值為1+逑,

3

故答案為：：；1+一°

93

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：^OA=xOB+yOC,則A,3,C三點(diǎn)共線(xiàn)=x+y=1.

1-7.（2024高三上?陜西西安?期末）在ABC中，。在上，且5。=在AD上，且AQ=4A￡.若

BE=xAB+yAC,則%+丁=()

13

D.

12

【答案】C

【分析】根據(jù)平面向量的基本定理和平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算求得正確答案.

Qr\1ry

【詳解】因?yàn)锳D=+=A2+,2C=AB+§(Ae—AB)=§AB+,衣,

所以=則BE=AE-AB=-UAB+LAC.

4126126

因?yàn)?石=xAB+yAC,所以％=一￡，＞=；，貝1」1+丁=-11+3=一：.

故選：C

彩他題海籍

(二)

平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要是利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則，然后根據(jù)“兩個(gè)向量相等當(dāng)且僅當(dāng)

它們的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等”這一原則，化歸為方程(組)進(jìn)行求解.

(2)向量的坐標(biāo)表示使向量運(yùn)算代數(shù)化，成為數(shù)與形結(jié)合的載體，可以使很多幾何問(wèn)題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟

知的數(shù)量運(yùn)算.

題型2:平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

2-1.(2024高三?全國(guó)?對(duì)口高考)AC為平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，AB=(2,4),AC=(1,3)-貝l」A￡>=—.

【答案】(TT)

【分析】畫(huà)圖，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及向量加法法則運(yùn)算即可.

如圖在平行四邊形ABCD中，

AB=DC=(2,4),

在，AC。中，AC=AD+DC=AD+AB^

所以AD=AC-AB=(1,3)-(2,4)=(-1,-1),

故答案為：(-LT).

iiiiA

2-2.(2024IWJ二?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))已知向量〃=(一2,1),b=(3,2)，c=(5,8),且c=+則一=

【答案】I

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)線(xiàn)性運(yùn)算即可求解.

【詳解】c-2,a+jub-(-22+3//,2+2//),

—24+34=5,A=2,

由c=(5,8)可知解得

A+2〃=8,4=3,

故答案為：:

2-3.(2024高三?全國(guó)?對(duì)口高考)已知點(diǎn)A(l,-2),若加與。=(2,3)的夾角是180，|AB|=2A/B,則點(diǎn)5坐

標(biāo)為.

【答案】(—3,—8)

【分析】由向量與〃=(2,3)的夾角是180，知向量與.方向相反，設(shè)5(羽y),則A3=XQ，A<0,則

(x-l,y+2)=(2A,32),卜囚忖，解得4,得到答案.

【詳解】由向量AB與。=(2⑶的夾角是180，

所以向量AB與。方向相反，

設(shè)則AB=2a，A<0,

貝U(龍一l,y+2)=(2%3；l),

x=2/1+1

故

y=3A-2f

所以M=|加卜回加=2岳,

故囚=2=2=±2,由;1<0,

所以2=-2,故

故答案為：(-3,-8).

2-4.（2024高一下?全國(guó)?課后作業(yè)）己知A（-2,4）,C（-3,-4）,且CM=3C4,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為

【答案】（0,20）

【分析】設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，將各個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)代入CM=3C4中，計(jì)算結(jié)果.

【詳解】解：由題意得8=（-2+3,4+4）=（1,8）,所以CM=3C4=（3,24）.

設(shè)M（x,y）,貝UCM=（x+3,y+4）=（3,24）,

x+3=3x=0

所以y+4=24,解得

y=20

故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0,20）.

故答案為：（0,20）

彩做題被籍（二）

向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示

平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示問(wèn)題的解題策略

（1）若。=（尤1,yi）,b=（X2,>2）,其中5W0,則?！╞的充要條件是為竺=尤2yl.

（2）在求與一個(gè)已知向量a共線(xiàn)的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為eR）.

題型3:利用向量共線(xiàn)求參數(shù)

3-1.（2024?江西上饒?一模）已知向量A3=（3,〃”3）,BC=（2,4）,若A,3,C三點(diǎn)共線(xiàn)，則加=.

【答案】9

【分析】由三點(diǎn)共線(xiàn)得向量共線(xiàn)，然后利用向量共線(xiàn)的坐標(biāo)運(yùn)算得答案.

【詳解】A,反C三點(diǎn)共線(xiàn)，

AB與BC共線(xiàn)，

.,.3x4=2（m-3）,解得加=9.

故答案為：9.

3-2.（2024高三上?上海黃浦?開(kāi)學(xué)考試）若4（1,2）、網(wǎng)-3,4）、C（5,m）三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，貝.

【答案】0

【分析】三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線(xiàn)，利用向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示求解即可.

【詳解】當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)，即時(shí)，三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形.

由已知4(,2)、3(-3,4)、C(5m)得，

AB=(-4,2),AC=(4,m-2),

由AB〃AC得，-4(加一2)-8=0,解得〃z=0.

故答案為：0.

3-3.(2024?湖南長(zhǎng)沙?二模)已知向量AC=(1,sintz—1),84=(3,1),30=(2,cosa),若2,C,D三點(diǎn)共線(xiàn)，

貝！]tan(2019%-a)=.

【答案】-2

【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線(xiàn)得出向量共線(xiàn)，從而得到taim=2,然后根據(jù)誘導(dǎo)公式求tan(2019;r-。)的

值.

【詳解】因?yàn)锳C=(l,sin(z-l),fiA=(3,l),BZ)=(2,cos(z),

所以3C=3A+A?=(l,sina-l)+(3,l)=(4,sin(z),

CD=BD-BC=(2,cossina)=(-2,cosa-sina),

因?yàn)?,C,。三點(diǎn)共線(xiàn)，

所以4(costz—sintz)+2sinar=0,即tana=2,

所以tan(2019]-a)=tan(-a)--tana--2.

故答案為：-2.

3-4.(2024高三下?全國(guó),開(kāi)學(xué)考試)已知向量〃z=(-l+a,2-a),〃=(3-q,4+a),若(〃/+")//〃?，則實(shí)數(shù)a——

【答案】|

4

【詳解】%+〃=(2,6),由(w+〃)//〃z,得6(-l+a)-2(2-a)=0,解得

3-5.(2024高一下?山西運(yùn)城?期中)己知向量a=(2,5),6=(44),若；//力，則2=.

【答案】|

【分析】利用向量平行的充分必要條件得到關(guān)于彳的方程，解方程即可求得實(shí)數(shù)4的值.

【詳解】由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得：2x4-2x5=0,

Q

解方程可得：2=|.

Q

故答案為：—.

3-6.(2024高三?全國(guó)?對(duì)口高考)已知向量〃=(1,2))=(1,4),c=(3,4).若a+b與0共線(xiàn)，則實(shí)數(shù)八.

【答案】I

【分析】求得a+b的坐標(biāo)，根據(jù)向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示，列式即可求得答案.

【詳解】由題意知向量〃=(1,2),Z?=(1,4),c=(3,4),

故a+Z?=(2,2+4),

2

由于a+b與c共線(xiàn)，故2x4—3(2+2)=0,.*.2=—,

故答案為：g

3?7.(2024高三上?天津河北?期中)設(shè)。4=(-2,4),03=(-a,2),OC=伍,0),其中〃>0,b>0,。為坐

標(biāo)原點(diǎn)，若A,3,C三點(diǎn)共線(xiàn)，則2a+6=,工+1的最小值為.

【答案】23+1

【分析】由題意求得鉆=(-。+2,-2),AC=S+2,T),根據(jù)三點(diǎn)共線(xiàn)可得向量共線(xiàn)，利用向量共線(xiàn)的條件

可得2a+b的值，將工+：化為：d+!)(2a+b),展開(kāi)后利用基本不等式即可求得答案.

ab2ab

【詳解】由OA=(-2,4),OB=(-a,2),OC=0,0)可得AB=(-a+2,-2),AC=g+2,-4),

由于A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn)，故4^=(一。+2,-2),4?=(8+2,與)共線(xiàn)，

所以(一a+2)x(-4)—(一2)(6+2)=0,即2a+%=2,

rmi11I/1\小7、1/人2ac、、10lb2a..n-3

則—+;=X(—十丁)(2〃+^)=-(—+——+3)>—(2./........-+3)=v2+—,

ab2ab2ab2\ab2

當(dāng)且僅當(dāng)2=半，結(jié)合2a+Z?=2,即〃=2-0/=20-2時(shí)取等號(hào)，

ab

故答案為：2；V2+—

題型4:利用向量共線(xiàn)求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)

4-1.(2024高三上?福建廈門(mén)?開(kāi)學(xué)考試)寫(xiě)出一個(gè)與向量)=(1,2)共線(xiàn)的向量匕=.

【答案】(2,4)(答案不唯一)

【分析】根據(jù)共線(xiàn)向量定理求解即可

【詳解】與向量)=(1,2)共線(xiàn)的向量為旗=4(1,2).

取4=2,可得出一個(gè)與向量)=(1,2)共線(xiàn)的向量為b=(2,4)

(答案不唯一，滿(mǎn)足腦(4eR)即可).

故答案為：(2,4)(答案不唯一)

4-2.(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))在ABC中，已知點(diǎn)0(0,0),A(0,5),8(4,3),OC=-OA,OD=-OB,AD與

42

BC交于點(diǎn)/,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為.

【答案】修，2：

【分析】將相交條件轉(zhuǎn)化為向量共線(xiàn)建立點(diǎn)M坐標(biāo)滿(mǎn)足的方程組，求解即可.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)0(0,0),A(0,5),3(4,3),OC=-OA,OD=-OB,

42

所以c1,：1

設(shè)M(x,y),貝I]AM=(x,y-5),而A￡>=(2,-g),

因?yàn)锳,M,D三點(diǎn)共線(xiàn)，所以AM與共線(xiàn)，

7

所以_5X—2(y_5)=0,即7x+4y=20.

而.=卜了一￡|,C2=(4_0,3-1,

因?yàn)镃,M,B三點(diǎn)共線(xiàn)，所以CM與CB共線(xiàn)，

所以：x_4(y_；J=0,即7尤一16y=—20.

f1o

f7x+4y=20x

由1八得7,

7x-16y=-20c

i[y=2

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為[]，2}

故答案為：

4-3.(2024?河南鄭州?模擬預(yù)測(cè)汨知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA=(1,1),OB=(-3,4)，點(diǎn)P在線(xiàn)段A8上，且網(wǎng)=1,

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

1Q

【答案】(5|)

【分析】解設(shè)A8點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)已知得出4(1,1),3(-3,4),利用直線(xiàn)A3方程，解設(shè)p點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)網(wǎng)=1,

得出答案即可.

【詳解】由題知,0(0,0),設(shè)以孫為)，

OA=(1,1),OB=(-3,4),.'.(^-0,^-0)=(1,1),(x2-0,y2-0)=(-3,4),

f玉—1fx?~—3

一1%=4，

337

/.A(l,l),B(-3,4),。=一貝I直線(xiàn)A5方程為y=—+“

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為,-3<x0<1,

AP=(jo一1，一%0+t卜尸卜J(x°一1)2+,=1'

1Q1Q

求解可得，XO=-,...%=不即尸點(diǎn)坐標(biāo)為

1Q

故答案為：(葭)

44(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))已知點(diǎn)4(4,0),3(4,4),C(2,6),。為坐標(biāo)原點(diǎn),則AC與。8的交點(diǎn)尸的

坐標(biāo)為.

【答案】(3,3)

【分析】法一：利用向量的共線(xiàn)可設(shè)。尸=408=(4442),表示出AP,AC的坐標(biāo)，根據(jù)向量共線(xiàn)列出方程,

即可求得答案；

法二：設(shè)點(diǎn)P(%y),進(jìn)而表示出相關(guān)向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量共線(xiàn)，列出方程，求得答案.

【詳解】法一油。，P,2三點(diǎn)共線(xiàn)，可設(shè)OP=408=(42,44),

則AP=OP-OA=(42-4,42),

XAC=OC-OA=(-2,6),

由AP,AC共線(xiàn)，得(42-4)x6-42x(-2)=0,

33

解得占，所以O(shè)P=[OB=(3,3),

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3),

故答案為：0,3)

法二:設(shè)點(diǎn)P(x,y),則OP=(無(wú)，y),因?yàn)椤?=(4,4),且。尸與。8共線(xiàn),

所以4x-4y=0,即x=y.

又AP=(x-4,y),AC=(-2,6),且AP,AC共線(xiàn)，

所以(尤—4)x6-yx(—2)=0,解得x=y=3,

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3),

故答案為：(3,3)

陳習(xí)與置計(jì)

一、單選題

1.(2024?北京)已知向量&I滿(mǎn)足a+6=(2,3),力=(-2,1),則|°「_叫2=()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律，數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解作答.

【詳解】向量滿(mǎn)足。+6=(2,3),a—b=(—2,1),

所以laFTbFu5+bxa-OMZxJZ)+SxlMT.

故選：B

；E是線(xiàn)段AD上的動(dòng)點(diǎn)(與端點(diǎn)不重合),

2.(2024高三上?天津武清?階段練習(xí))在ABC中,BD=BC,

設(shè)“二心+與’則生產(chǎn)的最小值是(

)

A.10B.4C.7D.13

【答案】D

3

【分析】由已知條件結(jié)合平面向量基本定理可得冗+萬(wàn)>=1,x>0,y>0,貝ij

2x+3y+xy=2+3+1=r2+3V^+3Y化簡(jiǎn)后利用基本不等式可得答案.

孫yxI〉》八2）

13

【詳解】因?yàn)?所以C8=￡C。，

...3

因?yàn)镃E=xCA+yC8,所以。石二九以+萬(wàn)〉。。，

因?yàn)锳RE三點(diǎn)共線(xiàn)，所以％+》=1,x>0,y>0,

2x+3y+孫二+幻/""/+1

孫yxI〉x八2）

2xcc9yl)2x9y、刀c12x9y..

=——+3+3+—+1=7+——+—>7+2--------=13,

y2xy2xy2x

2x_9y1

x=—

當(dāng)且僅當(dāng)y2尤

即:時(shí)取等.

31

x+—y=1y=-

12，3

3.（2024?四川成都?一模）已知平行四邊形ABC。，若點(diǎn)M是邊BC的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)3處），點(diǎn)N是邊AB

的中點(diǎn)，直線(xiàn)50與MN相交于點(diǎn)“，則—二（）

BD

2211

A.—B.-C.—D.一

3554

【答案】C

【分析】

f3A=1—//1

設(shè)BM=a,BN=b,設(shè)=MH=juMN,利用向量的基本定理可得《一，求得2==,從而

[2X=〃5

問(wèn)題可解.

AD

【詳解】

設(shè)BM=a,BN=b,貝l」2O=3a+26，MN=b-a，

設(shè)3H=ABD，MH=/uMN,

貝1」88=32。+2/16，MH=jub-jua,

HBH=BM+MH=a+/db-/ja=(l~/j^a+/jb,

3A=1—//1

所以”,解得2=3,

24=〃5

所以BH=LBD,即典

5BD\BD\5

故選：C.

ABC中，點(diǎn)。滿(mǎn)足2D=2￡>C，點(diǎn)E滿(mǎn)足CE=；CD+：CA,若

4.（2024高三上?陜西西安?階段練習(xí)）在

AC=xBE+yBC,則x+y=()

1111

A.——B.——C.——D.——

5432

【答案】C

【分析】用班、BC作為一組基底表示出BE、AC，再根據(jù)平面向量基本定理得到方程組，解得即可.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)E滿(mǎn)足CE==CD+gCA,所以E為AD的中點(diǎn),

22

所以BE=:BA+gBD,又BD=2DC，

2

所以BD=§5C,

所以=+y.AC=BC-BA，

因?yàn)锳C=x3E+yBC,所以BC-BA=x［；BA+；BcJ+yBC,

即BC-BA=^xBA+^x+y^BC,

1

—x+y=1xr=-21

3I

所以;，解得=5,所以x+y=——.

一Y——1y。3

故選：c

5.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)。是線(xiàn)段A3上靠近B的四等分點(diǎn)，點(diǎn)E是線(xiàn)段CD上靠近。的

三等分點(diǎn)，則AE=（）

211S5112

A.——CA+-CBB.-CA——CBC.——CA+-CBD.——CA+-CB

33266233

【答案】C

【分析】方法一：利用平面向量基本定理得到答案；

方法二：設(shè)ABC是等腰直角三角形，且C4=CB=4,建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)

AE=mCA+nCB，從而得到方程組，求出答案.

【詳解】方法一：如圖，由題意得。￡=彳8,AD=^-AB,

34

Qr\ir\

^AE=AC+CE=AC+^CD=AC+-^AD-AC^=-AC+^AD

=-AC+-AB=--CA+-（CB-CA\=--CA+-CB；

3232、'62

方法二：不妨設(shè)，ABC是等腰直角三角形，且C4=C3=4,

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則40,0）,4（0,4）,8（4,0）,￡＞（3,1）,42,3，

則Ci=（0,4）,CB=（4,0）,

設(shè)AE=mCA+nCB，

故[2廠(chǎng)^]=根（0,4）+“（4,0）,

所以4〃=2,4機(jī)=一3，解得加=一9,幾=工，

故選：C.

6.(2024高二上?甘肅蘭州?學(xué)業(yè)考試)已知向量。=(2,1),6=(-2,4),貝!)口-力|=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】計(jì)算匕=(4,-3),再計(jì)算模長(zhǎng)即可.

［詳解］由題意知￡-1=(2,1)-(-2,4)=(4,-3)，

所以,_0=也2+(一3『=5,

故選：D.

7.(2024?廣東?模擬預(yù)測(cè))古希臘數(shù)學(xué)家帕波斯在其著作《數(shù)學(xué)匯編》的第五卷序言中，提到了蜂巢，稱(chēng)蜜

蜂將它們的蜂巢結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)為相同并且拼接在一起的正六棱柱結(jié)構(gòu)，從而儲(chǔ)存更多的蜂蜜，提升了空間利用

率，體現(xiàn)了動(dòng)物的智慧，得到世人的認(rèn)可.已知蜂巢結(jié)構(gòu)的平面圖形如圖所示，則A3=()

3553，

A.——CE+-DEB.一一CE+-DE

2662

2552

C.——CE+-DED.——CE+-DE

3663

【答案】B

【分析】利用坐標(biāo)法，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，表示出各點(diǎn)坐標(biāo)利用坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合平面向量基本

定理即得.

【詳解】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

不妨設(shè)45=2,則4-1,網(wǎng)，昨,5@,D（0,0）,E（9,⑹，C（0,4月,

故A8=（6,4g）,CE=（9,-3A/3）,D￡=（9,>/3）.

\6-9x+9y

^AB=xCE+yDE貝U146=_3氐+島

5

x=——

6

解得3.

7=2

53

所以A2=——CE+-DE.

62

故選：B.

8.（2024高三上?上海浦東新?階段練習(xí)）設(shè)。=（金%）,6=每，%），則"匕=三"是的（）

玉％2

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充分必要條件D.非充分非必要條件

【答案】A

【分析】先得到充分性成立，再舉出反例得到必要性不成立，得到答案.

【詳解】若乂=&,則占%=3%,即%％-%%=°，故a//b，充分性成立,

%]X2

不妨設(shè)。=（0,1）,。=（0,2）,此時(shí)°//b，但不滿(mǎn)足卜!故必要性不成立，

所以“&=&"是"°/功”的充分非必要條件.

項(xiàng)x2

故選：A

9.（2024?四川綿陽(yáng),模擬預(yù)測(cè)）己知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，片尸=-2尸鳥(niǎo)，若出1,2）、￡（2,-1）,則與。尸共線(xiàn)的單

位向量為（）

A.（3,-1）B.（3T）或（一3,4）

3_43_4

5，-55，-5

【答案】C

【分析】求出。尸的坐標(biāo)，除以|。耳，再考慮方向可得.

【詳解】由勺尸=一2邛得々P+2P鳥(niǎo)=0,即《￡+尸6=0,P1P2=P2P,

OP2-OF[=OP-OP2,

OP=2OP2-Of；=2（2,-1）-（1,2）=（3,-4）,

|OP|=V32+（-4）2=5,

OP,34、34

與OP同向的單位向量為網(wǎng)=1，一二），反向的單位向量為（-：會(huì).

故選：C.

10.（2024高三上?四川?開(kāi)學(xué)考試）設(shè)向量4=（1,%-1）,b=（x+l,3）,則〃〃與b同向〃的充要條件是（）

A.x=2B.x=—2C.x=±2D.x=—

2

【答案】A

【分析】根據(jù)平面平行向量的坐標(biāo)表示求出無(wú)的值，驗(yàn)證同向與反向即可.

【詳解】a〃b=3ox=±2,

當(dāng)％=2時(shí)，d=（1,1）,卜=（3,3）,Q”同向；

當(dāng)了=-2時(shí)，a=（1,-3）,Z?=（-1,3）,反向.

故選：A.

11.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在菱形ABCD中，=,點(diǎn)E是線(xiàn)段CB上靠近8的三等分點(diǎn)，點(diǎn)尸是線(xiàn)段

上靠近3的四等分點(diǎn)，則。。=（）

6446

A.-AE+—DFB.-AE+-DF

515155

4444

C.-AE+—DFD.—AE+-DF

515155

【答案】C

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系后計(jì)算即可得.

【詳解】作出圖形如圖所示.記線(xiàn)段ACM交于點(diǎn)。，

分別以所在直線(xiàn)為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

AB=BD=2,則4卜吁,。）,。（。,-1）,，?,。（返’。）,

6]

故。C=(61),AE=,DF=一彳可,^DC=xAE+yDF,

64百石4

73----x---yx=—

34544

則,解得，DC=-AE+—DF

1274515

l=—x+—yy=-

3415

故選：C.

12.（2024高三上?河南?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在正八邊形ABCDEFGH中，AD=xAC+yAE,則爐+丁二（）

A1Q1r1+63

A.1b.-C.---------nD.一

224

【答案】D

【分析】分別以所在直線(xiàn)為x,y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求出向量的坐標(biāo)運(yùn)算得解.

【詳解】分別以所在直線(xiàn)為％y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖.設(shè)正八邊形ABCDEFG”的邊長(zhǎng)為

1,

可得。(0,0),4(0,1+71),c(-—￡(1,0),

22

所以A￡>=(0,-l-&)，AC=(-與T-今,AE=(1,-1-V2).

因?yàn)锳D=xAC+yAE,所以(0,-1一6=M-號(hào)T-§+yQT-偽,

一旦+y=0亞

x=a

22

所以（萬(wàn)、，解得，,則/+:/=:.

-1------卜+（_]_拒）y=_]_血14

y=—

2

故選：D.

13.（2024?陜西西安?一模）已知向量￡=（1,0）,。=（4,"?）,若不超過(guò)3,則加的取值范圍為（）

A.[-73,73]B.[-75,75]C.[-3,3]D.[-5,5]

【答案】B

【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示和幾何意義可得4+/M9,解之即可求解.

【詳解】由題意知，2a-b=（-Z-ni）,

所以忸-^=，4+加=3,得4+/V9,

即m2<5解得<m<y/5,

即實(shí)數(shù)m的取值范圍為[-如，6].

故選：B

14.（2024高三上?河北保定?期末）已知向量Q=（2,-3）"=（1,2）,c=（9,4）,若正實(shí)數(shù)相，孔滿(mǎn)足°=加〃+.,

則,+工的值為（）

mn

7345

A.B.C.一D.

To777

【答案】A

【分析】

利用向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求得加，“，從而得解..

【詳解】

因?yàn)?=（2,—3）,b=（l,2）,2=（9,4）,

所以c=%々+泌=（2m+幾,一3m+2〃）=（9,4）,

2m+n=9m=2

所以，解得

-3m+2〃=4n=5

匕…11117

所以—+—=二+匚=77「

mH2510

故選：A.

15.（湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第一次階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）已知向量〃、匕不共

線(xiàn)，且c=xa+Z?,d=a+（2x-lW，若0與d共線(xiàn)，則實(shí)數(shù)1的值為（）

1c.1或一;D.T或一;

A.1B.

2

【答案】C

【分析】根據(jù)平面向量共線(xiàn)的基本定理可得關(guān)于實(shí)數(shù)犬的等式，解之即可.

【詳解】因?yàn)镃與d共線(xiàn)，則存在使得*=h，即〃+（2x—1）6=去。+左乩

[kx=\

,整理可得x（2x-l）=l,2

因?yàn)橄蛄縜、6不共線(xiàn)，則\k=2x-1即2x-x-l=O,

解得x=_g或1.

故選：C.

16.（2024?陜西寶雞?一模）設(shè)向量a=（2,-l）,b=（m,2）,若向量a與a-b共線(xiàn)，貝Ua+b=（

A.（—2,1）B.（-2,-1）C.（-4,2）D.（-2,-4）

【答案】A

【分析】由向量共線(xiàn)的坐標(biāo)運(yùn)算求出，"的值，再由向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求a+-

【詳解】向量a=（2,T）,b=（m,2）,則a-6=（2-W-3）,

若向量d與a-b共線(xiàn)，W2x（-3）=-（2-m）,解得m=Y,貝2=（T,2）,

所以〃+人=(—2,1).

故選：A.

17.(2024?山東青島?一模)已知向量a=(-1,2),b=(3,m),加3R,則，i=—6"是"〃回(。+可”的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】由平面向量線(xiàn)性運(yùn)算及共線(xiàn)的的坐標(biāo)表示運(yùn)算可得解.

【詳解】由題意得a+6