2024-2025學年廣東省深圳市福田外國語學校九年級（上）開學數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2024-2025學年廣東省深圳市福田外國語學校九年級（上）開學數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分，每小題有四個選項，其中只有一個是正確的）1．（3分）在數(shù)學活動課中，同學們利用幾何畫板繪制出了下列曲線，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A．三葉玫瑰線 B．笛卡爾心形線 C．蝴蝶曲線 D．四葉玫瑰線2．（3分）下列各等式從左邊到右邊的變形中，是因式分解的是（）A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2 B．8x＝2×4x C．x2+4x+4＝（x+2）2 D．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+13．（3分）已知點P（m﹣3，m﹣1）在第二象限，則m的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．4．（3分）小明在解關(guān)于x的分式方程時，發(fā)現(xiàn)墨水不小心把其中一個數(shù)字污染了，翻看答案上說此方程有增根無解（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣25．（3分）下面是嘉嘉作業(yè)本上的一道習題及解答過程：已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，點M是AC的中點，連接BM并延長交AE于點D求證：四邊形ABCD是平行四邊形．證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3．∵∠CAN＝∠ABC+∠3，∠CAN＝∠1+∠2，∠1＝∠2，∴①______．又∵∠4＝∠5，MA＝MC，∴△MAD≌△MCB（②______）．∴MD＝MB．∴四邊形ABCD是平行四邊形．若以上解答過程正確，①，②應分別為（）A．∠1＝∠3，AAS B．∠1＝∠3，ASA C．∠2＝∠3，AAS D．∠2＝∠3，ASA6．（3分）某單位向一所希望小學贈送了1080件文具，現(xiàn)用A、B兩種不同的包裝箱進行包裝，已知每個B型包裝箱比A型包裝箱多裝15件文具，設(shè)B型包裝箱每個可以裝x件文具，根據(jù)題意列方程為（）A． B． C． D．7．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，連接CD與AB交于點F，E是邊DF的中點，若DF＝8，，則AB的長為（）A． B． C． D．48．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝CD，∠CBA＝60°，BC＝2，則對角線BD的長是（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）9．（3分）分解因式：3a3﹣12a＝．10．（3分）若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是．11．（3分）如圖所示，一次函數(shù)y＝kx+b與y＝﹣2x+4的交點坐標為（，3），則不等式kx+b≥﹣2x+4的解集為.12．（3分）如圖，AD為△ABC中∠BAC的外角平分線，BD⊥AD于D，DE＝5，AC＝3．13．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，，連接AP，以A為中心，連接CQ、DQ，且∠BCQ＝∠DCQ．三、解答題（本題共7小題，其中第14題5分，第15題7分，第16題8分，第17題8分，第18題9分，第19題12分，第20題12分，共61分）14．（5分）解方程：．15．（7分）先化簡：，再從﹣1，0，1，2中選擇一個適當?shù)臄?shù)作為x的值代入求值．16．（8分）如圖，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣3，0），B（﹣5，3），C（﹣1，1）．（1）畫出△ABC關(guān)于原點O成中心對稱的圖形△A1B1C1；（2）P（a，b）是△ABC的AC邊上一點，將△ABC平移后點P的對稱點P'（a+4，b+2）2B2C2；（3）若△A1B1C1和△A2B2C2關(guān)于某一點成中心對稱，則對稱中心的坐標為．17．（8分）端午節(jié)主要風俗有掛鐘道像、賽龍舟、飲用雄黃酒、吃五毒餅、咸蛋、粽子等，在端午節(jié)來臨之際，某單位準備購買粽子和咸蛋共30盒分發(fā)給員工回家過節(jié)．其中粽子比咸蛋每盒貴20元．（1）若用700元購買咸蛋與用900元購買粽子的數(shù)量相同，求粽子和咸蛋每盒的價格；（2）在（1）的條件下，若購買咸蛋數(shù)量不超過粽子數(shù)量的2倍18．（9分）如圖，在?ABCD中，點O是對角線AC的中點．某數(shù)學興趣小組要在AC上找兩個點E，F(xiàn)，現(xiàn)總結(jié)出甲、乙兩種方案如下：甲方案乙方案在AO，CO上分別取點E，F(xiàn)，使得AE＝CF作BE⊥AC于點E，DF⊥AC于點F請回答下列問題：（1）選擇其中一種方案，并證明四邊形BEDF為平行四邊形；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，若EF＝3AE，S△AED＝5，則?ABCD的面積為．19．（12分）如圖①②，在四邊形ABCD中，AD∥BC（﹣1，），B（﹣2，0），C（3，0），D（2，），∠ABC＝60°，動點N從C開始以每秒1個單位長度的速度沿線段CB向B運動，N、M同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，設(shè)運動時間為t秒．請回答下列問題：（1）AB＝，AD＝；（2）如圖①，若點M沿折線BA﹣AD﹣DC向C運動，①t為何值時，MN⊥AB，請說明理由；②t為何值時，以點M、N和四邊形ABCD的任意兩個頂點為頂點的四邊形是平行四邊形，請說明理由；（3）如圖②，若點M沿射線BA運動，當線段MN被AD平分時．20．（12分）綜合與實踐問題情境：“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：如圖1，在?ABCD中，點O是邊AD的中點，連接AC．保持?ABCD不動，繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△EFG，點A，D，F(xiàn)，G．當線段AB與線段FG相交于點M（點M不與點A，B，F(xiàn)，G重合）時，連接OM．老師要求各個小組結(jié)合所學的圖形變換的知識展開數(shù)學探究．初步思考：（1）如圖2，連接FD，請你證明這一結(jié)論；操作探究：（2）如圖3，連接BG，請你證明這一結(jié)論；拓展延伸：（3）已知，CD＝2，當以點F，C，D為頂點的三角形是等腰三角形時

2024-2025學年廣東省深圳市福田外國語學校九年級（上）開學數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分，每小題有四個選項，其中只有一個是正確的）1．（3分）在數(shù)學活動課中，同學們利用幾何畫板繪制出了下列曲線，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A．三葉玫瑰線 B．笛卡爾心形線 C．蝴蝶曲線 D．四葉玫瑰線【解答】解：A．該圖形不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B．該圖形不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；C．該圖形不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；D．該圖形既是中心對稱圖形，故此選項符合題意．故選：D．2．（3分）下列各等式從左邊到右邊的變形中，是因式分解的是（）A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2 B．8x＝2×4x C．x2+4x+4＝（x+2）2 D．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1【解答】解：A、從左到右的變形是整式的乘法；B、8x不是多項式；C、把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式；D、沒把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式．故選：C．3．（3分）已知點P（m﹣3，m﹣1）在第二象限，則m的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：∵點P（m﹣3，m﹣1）在第二象限，∴，解得：1＜m＜3，故選：D．4．（3分）小明在解關(guān)于x的分式方程時，發(fā)現(xiàn)墨水不小心把其中一個數(shù)字污染了，翻看答案上說此方程有增根無解（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2【解答】解：將關(guān)于x的分式方程＝﹣2兩邊都乘以x+1，得x＝m﹣2x﹣8，解得x＝，由于分式方程的增根是x＝﹣5，當x＝﹣1時，即﹣1＝m+6﹣2，解得m＝﹣1，由于方程有增根無解，所以m＝﹣3．故選：A．5．（3分）下面是嘉嘉作業(yè)本上的一道習題及解答過程：已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，點M是AC的中點，連接BM并延長交AE于點D求證：四邊形ABCD是平行四邊形．證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3．∵∠CAN＝∠ABC+∠3，∠CAN＝∠1+∠2，∠1＝∠2，∴①______．又∵∠4＝∠5，MA＝MC，∴△MAD≌△MCB（②______）．∴MD＝MB．∴四邊形ABCD是平行四邊形．若以上解答過程正確，①，②應分別為（）A．∠1＝∠3，AAS B．∠1＝∠3，ASA C．∠2＝∠3，AAS D．∠2＝∠3，ASA【解答】證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3，∵∠CAN＝∠ABC+∠3，∠CAN＝∠6+∠2，∴∠2＝∠3，∵點M是AC的中點，∴MA＝MC，在△MAD和△MCB中，，∴△MAD≌△MCB（ASA），∴MD＝MB，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∴①，②分別為∠2＝∠7，故選：D．6．（3分）某單位向一所希望小學贈送了1080件文具，現(xiàn)用A、B兩種不同的包裝箱進行包裝，已知每個B型包裝箱比A型包裝箱多裝15件文具，設(shè)B型包裝箱每個可以裝x件文具，根據(jù)題意列方程為（）A． B． C． D．【解答】解：∵每個B型包裝箱比A型包裝箱多裝15件文具，且B型包裝箱每個可以裝x件文具，∴A型包裝箱每個可以裝（x﹣15）件文具．依題意得：＝﹣12．故選：B．7．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，連接CD與AB交于點F，E是邊DF的中點，若DF＝8，，則AB的長為（）A． B． C． D．4【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠B＝90°，∵E是FD中點，∴AE＝DF＝FE＝DE，∴∠D＝∠EAD，∴∠AEC＝∠D+∠EAD＝3∠D，∵∠ACD＝2∠D，∴∠ACD＝∠AEC，∴AC＝AE＝DF＝，∵BC＝，∠B＝90°，..AB＝＝＝．故選：C．8．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝CD，∠CBA＝60°，BC＝2，則對角線BD的長是（）A． B． C． D．【解答】解：延長BA至F，使AF＝BC，∵四邊形ABCD中，∠ADC＝120°，∴∠BAD+∠C＝180°，∵∠BAD+∠DAF＝180°，∴∠DAF＝∠C，又∵AD＝CD，AF＝BC，∴△DAF≌△DCB，（SAS），∴DB＝DF，∠ADF＝∠CDB，∴△DBF為等腰三角形，∠FDB＝∠ADC，∵∠ADC＝120°，BC＝2，∴∠FDB＝120°，AF＝2，∴∠DBF＝30°，過D作DH⊥BF，垂足為H，∵AB＝2，∴BF＝AB+AF＝7，∴BH＝，在Rt△BDH中，∠DBF＝30°，∴HD＝BD，∴HD2+BH4＝BD2，∴，∴BD＝．故選：A．二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）9．（3分）分解因式：3a3﹣12a＝3a（a+2）（a﹣2）．【解答】解：3a3﹣12a＝7a（a2﹣4），＝7a（a+2）（a﹣2）．故答案為：3a（a+2）（a﹣2）．10．（3分）若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是x＞﹣3．【解答】解：要使代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義2x+6＞5，解得：x＞﹣3．故答案為：x＞﹣3．11．（3分）如圖所示，一次函數(shù)y＝kx+b與y＝﹣2x+4的交點坐標為（，3），則不等式kx+b≥﹣2x+4的解集為x≥.【解答】解：由圖象得：不等式kx+b≥﹣2x+4的解集為：x≥，故答案為：x≥．12．（3分）如圖，AD為△ABC中∠BAC的外角平分線，BD⊥AD于D，DE＝5，AC＝37．【解答】解：延長BD、CA交于點H，在△ADH和△ADB中，，∴△ADH≌△ADB（ASA），∴BD＝DH，AB＝AH，∵BD＝DH，BE＝EC，∴CH＝2DE＝10，∴AH＝CH﹣AC＝7，∴AB＝AH＝8，故答案為：7．13．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，，連接AP，以A為中心，連接CQ、DQ，且∠BCQ＝∠DCQ4﹣4．【解答】解：如圖，連結(jié)AC，連結(jié)OQ．在矩形ABCD中，OA＝OC＝OB＝OD，∵AB＝4．BC＝4，∴AC2＝AB2+BC3＝64．∴AC＝8（﹣8不合題意舍去）．∴AO＝OB＝AB＝7，∴△AOB是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∵線段AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AQ，∴AP＝AQ，∠PAQ＝60°，∵∠BAC＝∠PAQ，∴∠BAP＝∠CAQ，∵又AB＝AO，AP＝AQ，∴△ABP≌△AOQ（SAS）．∴∠ABP＝∠AOQ＝90°，∵O為AC的中點，∴OQ垂直平分AC，∴AQ＝CQ．∵∠BCQ＝∠DCQ，而∠BCQ+∠DCQ＝90°，∴∠QCB＝45°，而PQ＝CQ，∴∠PQC＝90°，設(shè)PB＝x，則CP＝4，在Rt△ABP中，AP＝＝，而CP＝PQ＝×＝4，∴x＝6﹣4（負值舍去），∴CP＝6﹣8，∴CQ＝CP＝4．故答案為：4﹣4．三、解答題（本題共7小題，其中第14題5分，第15題7分，第16題8分，第17題8分，第18題9分，第19題12分，第20題12分，共61分）14．（5分）解方程：．【解答】解：，方程兩邊都乘x﹣2，得x+6（x﹣2）＝﹣（x﹣4），解得：x＝7，檢驗：當x＝2時，x﹣2＝7，所以x＝2是增根，即原方程無解．15．（7分）先化簡：，再從﹣1，0，1，2中選擇一個適當?shù)臄?shù)作為x的值代入求值．【解答】解：＝（+）?＝?＝，∵x≠3，2，∴x＝﹣1或2，當x＝0時，分式＝16．（8分）如圖，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣3，0），B（﹣5，3），C（﹣1，1）．（1）畫出△ABC關(guān)于原點O成中心對稱的圖形△A1B1C1；（2）P（a，b）是△ABC的AC邊上一點，將△ABC平移后點P的對稱點P'（a+4，b+2）2B2C2；（3）若△A1B1C1和△A2B2C2關(guān)于某一點成中心對稱，則對稱中心的坐標為（2，1）．【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C3即為所求；（2）如圖所示，△A2B2C4即為所求．（3）對稱中心的坐標為（2，1）．故答案為（4，1）．17．（8分）端午節(jié)主要風俗有掛鐘道像、賽龍舟、飲用雄黃酒、吃五毒餅、咸蛋、粽子等，在端午節(jié)來臨之際，某單位準備購買粽子和咸蛋共30盒分發(fā)給員工回家過節(jié)．其中粽子比咸蛋每盒貴20元．（1）若用700元購買咸蛋與用900元購買粽子的數(shù)量相同，求粽子和咸蛋每盒的價格；（2）在（1）的條件下，若購買咸蛋數(shù)量不超過粽子數(shù)量的2倍【解答】解：（1）設(shè)粽子每盒的價格為x元，則咸蛋每盒的價格為（x﹣20）元，由題意得：＝，解得：x＝90，經(jīng)檢驗，x＝90是原方程的解，∴x﹣20＝90﹣20＝70，答：粽子每盒的價格為90元，咸蛋每盒的價格為70元；（2）設(shè)購買咸蛋為m盒，則購買粽子為（30﹣m）盒，由題意得：m≤2（30﹣m），解得：m≤20，設(shè)總費用為w元，則w＝70m+90（30﹣m）＝﹣20m+2700，∵﹣20＜0，∴w隨m的增大而減小，∴當m＝20時，w最小，此時，30﹣m＝30﹣20＝10，答：購買咸蛋20盒，粽子10盒時．18．（9分）如圖，在?ABCD中，點O是對角線AC的中點．某數(shù)學興趣小組要在AC上找兩個點E，F(xiàn)，現(xiàn)總結(jié)出甲、乙兩種方案如下：甲方案乙方案在AO，CO上分別取點E，F(xiàn)，使得AE＝CF作BE⊥AC于點E，DF⊥AC于點F請回答下列問題：（1）選擇其中一種方案，并證明四邊形BEDF為平行四邊形；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，若EF＝3AE，S△AED＝5，則?ABCD的面積為50．【解答】解：（1）甲方案，證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，∵∠BEF＝180°﹣∠AEB，∠DFE＝180°﹣∠CFD，∴∠BEF＝∠DFE，∴BE∥DF，∴四邊形BEDF是平行四邊形．乙方案，證明：∵BE⊥AC于點E，∴BE∥DF，∠AEB＝∠CFD＝90°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF，∴四邊形BEDF是平行四邊形；（2）由（1）得△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵EF＝3AE，∴AC＝5AE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴S△ABC＝S△ADC＝7S△AED＝5×5＝25，∴S?ABCD＝3×25＝50，故答案為：50．19．（12分）如圖①②，在四邊形ABCD中，AD∥BC（﹣1，），B（﹣2，0），C（3，0），D（2，），∠ABC＝60°，動點N從C開始以每秒1個單位長度的速度沿線段CB向B運動，N、M同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，設(shè)運動時間為t秒．請回答下列問題：（1）AB＝2，AD＝3；（2）如圖①，若點M沿折線BA﹣AD﹣DC向C運動，①t為何值時，MN⊥AB，請說明理由；②t為何值時，以點M、N和四邊形ABCD的任意兩個頂點為頂點的四邊形是平行四邊形，請說明理由；（3）如圖②，若點M沿射線BA運動，當線段MN被AD平分時（0，2）．【解答】解：（1）過點A作AE⊥x軸于點E，∵A（﹣1，），B（﹣2，∴BE＝﹣1﹣（﹣2）＝6，AE＝，∴AB＝＝8，∵A（﹣1，），D（3，），∴AD＝2﹣（﹣5）＝3，故答案為：2，5；（2）①由題意知N點運動過程中的坐標為（3﹣t，0），∵MN⊥AB，∴△BMN是直角三角形，∵∠ABC＝60°，∴∠BNM＝30°，∴BM＝3t，BN＝，∴＝＝，即4t＝8﹣t或4t＝t﹣5，解得t＝3或t＝﹣（舍去），∴t＝7時，MN⊥AB；②由題意，分兩種情況，MN∥AB時，由題得當1≤t＜時，M點在AD上運動，若想M，N與四邊形ABCD的任意兩個頂點構(gòu)成平行四邊形，即MD∥NC且MD＝NC，∵MD＝AD﹣AM＝3﹣（2t﹣8）＝5﹣2t，NC＝t，∴3﹣2t＝t，∴t＝；當MN∥AB時，根據(jù)題意，BH＝AB?sin30°＝1，∴BC＝1+5+3＝5，∴AM＝5t﹣2，NB＝5﹣t，∴3t﹣2＝5﹣t，∴t＝；當AM＝NC時，2t﹣6＝t，∴t＝2；故t的值為或或5；（3）設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，代入A，B兩點，則，得，∴y＝x+2，∴M（x，x+2，0），∵MN被AD平分，∴MN的中點P（，），∵P在線段AD上，∴P點縱坐標為，∴＝，∴x＝0，∴y＝x+2，∴M點坐標為（0，2），故答案為：（0，2）．20．（12分）綜合與實踐問題情境：“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：如圖1，在?ABCD中，點O是邊AD的中點，連接AC．保持?ABCD不動，繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△EFG，點A，D，F(xiàn)，G．當線段AB與線段FG相交于點M（點M不與點A，B，F(xiàn)，G重合）時，連接OM．老師要求各個小組結(jié)合所學的圖形變換的知識展開數(shù)學探究．初步思考：（1）如圖2，連接FD，請你證明這一結(jié)論；操作探究：（2）如圖3，連接BG，請你證明這一結(jié)論；拓展延伸：（3）已知，CD＝2，當以點F，C，D為頂點的三角形是等腰三角形時【解答】（1）證明：如圖1，連接CF，∵將△ADC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△EFG，∴∠ADC＝∠EFG，OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD，∵∠ADC＝90°，∴∠EFG＝90°，∵點O是邊AD的中點，∴OA＝OD，∴OA＝OF．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，又∵∠ADC＝90°，∴∠BAD＝180°﹣90°＝90°，∴∠BAD＝∠EFG＝90°，∵在Rt△OAM和Rt△OFM中，∴Rt△OAM≌Rt△OFM（HL），∴∠AOM＝∠FOM，∵∠AOF是△OFD的一個外角，∴∠AOF＝∠AOM+∠FOM＝∠ODF+∠OFD，即2∠AOM＝7∠ODF