專題4.5 圖形的全等（知識梳理與考點分類講解）-2023-2024學年七年級數(shù)學下冊專項突破講與練（北師大版）

專題4.5圖形的全等（知識梳理與考點分類講解）【知識點一】全等圖形1.定義：能夠完全重合的兩個圖形稱為全等圖形全等圖形的特征“兩相同”、“兩無關(guān)”“兩相同”：形狀相同；大小相同；“兩無關(guān)”：與位置無關(guān)；與方向無關(guān)性質(zhì)：全等圖形的形狀和大小都相同。特別提醒：完全重合說明兩個圖形的周長和面積相等；反之，周長或面積相等的兩個圖形不一定是全等圖形【知識點二】全等三角形1、全等三角形的相關(guān)概念全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。全等三角形的對應元素：①對應頂點：全等三角形中，能夠重合的頂點；②全等三角形中，能夠重合的邊；③全等三角形中，能夠重合的角。全等三角形的表示方法全等用符號“≌”表示，讀作“全等于”，記兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上?！局R點三】全等三角形的性質(zhì)性質(zhì)：全等三角形的對應邊相等，對應角相等；幾何語言：拓展：全等三角形的對應元素相等。全等三角形對應邊、對應角、對應邊上的中線、高線、角平分線相等，周長、面積相等。特別提醒：①應用三等三角形的性質(zhì)時，要先確定兩個條件：（1）兩個三角形全等；（2）找出對應元素；其次②全等三角形的性質(zhì)是證明線段、角相等的常用方法。.【考點目錄】【考點1】全等圖形的認識；【考點2】全等三角形的認識；【考點3】利用全等三角形的性質(zhì)求值；【考點4】利用全等三角形的性質(zhì)證明與求值；【考點5】全等三角形的性質(zhì)綜合應用；【考點1】全等圖形的認識；【例1】找出七巧板中（如圖）全等的圖形．【答案】全等的圖形解：分析：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形,做題時認真觀察圖形,根據(jù)是否重合去判斷.本題解析：由圖知：△ADE與△DEC，△EHK與△CJF，△ADC與△ABC，四邊形AGKE與四邊形CFKE，四邊形AGKD與四邊形CFKD是重合的，即是全等的圖形．【變式1】如圖，四邊形是由8個全等梯形拼接而成，其中，，則的長為（）

A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8【答案】B【分析】本題考查了全等圖形的性質(zhì)，由圖形知，所示的圖案是由梯形和七個與它全等的梯形拼接而成，根據(jù)全等圖形的性質(zhì)有是解決問題的關(guān)鍵．解：∵四邊形為梯形，上底，下底，四邊形是由8個全等梯形拼接而成，∴．故選：B．【變式2】如圖，四邊形四邊形，若，，，則°．

【答案】【分析】根據(jù)全等圖形的性質(zhì)可得，，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得，進一步可得的度數(shù).解：∵四邊形四邊形，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，故答案為：105．【點撥】本題考查了全等圖形，四邊形的內(nèi)角和等，熟練掌握全等圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【考點2】全等三角形的認識；【例2】如圖，在中，于點D，．完成下面說明的理由的過程．解：（已知），___________（垂直的定義）．當把圖形沿AD對折時，射線DB與DC___________．（___________）點B與點___________重合，與___________，___________（全等三角形的定義），（___________）．【答案】；重合；已知；C；重合；；全等三角形的性質(zhì)【分析】根據(jù)全等三角形的定義，即可得到答案．解：（已知），（垂直的定義）．當把圖形沿AD對折時，射線DB與DC重合．（已知）點B與點C重合，與重合，（全等三角形的定義），（全等三角形的性質(zhì)）．故答案為：；重合；已知；C；重合；；全等三角形的性質(zhì)．【點撥】本題主要考查證明三角形全等，掌握全等三角形的定義：能夠完全重合的三角形叫做全等三角形，是關(guān)鍵．【變式】下列說法正確的是（

）A．兩個長方形是全等圖形 B．形狀相同的兩個三角形全等C．兩個全等圖形面積一定相等 D．所有的等邊三角形都是全等三角形【答案】C【分析】性質(zhì)、大小完全相同的兩個圖形是全等形，根據(jù)定義解答．解：A、兩個長方形的長或?qū)挷灰欢ㄏ嗟?，故不是全等圖形；B、由于大小不一定相同，故形狀相同的兩個三角形不一定全等；C、兩個全等圖形面積一定相等，故正確；D、所有的等邊三角形大小不一定相同，故不一定是全等三角形；故選：C．【點撥】此題考查全等圖形的概念及性質(zhì)，熟記概念是解題的關(guān)鍵．【考點3】利用全等三角形的性質(zhì)求值；【例3】如圖，已知△ABC≌△DEB，點E在AB上，AC與BD交于點F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°．（1）求AE的長度；（2）求∠AED的度數(shù)．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)線段的和差即可得；（2）先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得．解：（1）∵，∴，∵，∴；（2）∵，∴，∵，∴．【點撥】本題考查全等三角形的性質(zhì)等知識點，熟練掌握全等三角形的對應角和對應邊相等是解題關(guān)鍵．【變式1】如圖所示，，則的長是（

）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】A【分析】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的對應邊相等．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，進而可得答案．解：，，，，．故選：A．【變式2】如圖所示，，，若，，則的度數(shù)是．【答案】80°/80度【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理及平行線的性質(zhì)，熟知這些定理的內(nèi)容是正確解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，進而得到的度數(shù)．解：，，，，，，，，所以的度數(shù)是．【考點4】利用全等三角形的性質(zhì)證明與求值；【例4】如圖所示，已知在四邊形中，，過點作于點，連接，，且．（1）求的度數(shù)；（2）若，試判斷與之間的關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）；（2），，理由見分析【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和等于，熟練掌握相關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵．（1）由平行線的性質(zhì)得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角和等于，求得，最后根據(jù)全等三角形的對應角相等，即可求得答案；（2）由可得，，再根據(jù)平行線的判定，即可得到答案．解：（1），，，，，，，；（2），且．理由：，，，．【變式1】如圖，分別以直角△ABC的斜邊AB，直角邊AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，F(xiàn)為AB的中點，DE與AB交于點G，EF與AC交于點H，∠ACB=90°，∠BAC=30°，下列結(jié)論不正確的是（）A．EF⊥AC B．AD=4AGC．四邊形ADEF為菱形 D．FH=BD【答案】C【分析】根據(jù)已知先判斷△ABC≌△EFA，則∠AEF=∠BAC，得出EF⊥AC，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠BDF=30°，從而證得△DBF≌△EFA，則AE=DF，再由FE=AB，得出四邊形ADFE為平行四邊形而不是菱形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD=4AG，從而得到答案．解：∵△ACE是等邊三角形，∴∠EAC=60°，AE=AC，∵∠BAC=30°，∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC，∵F為AB的中點，∴AB=2AF，∴BC=AF，∴△ABC≌△EFA，∴FE=AB，∴∠AEF=∠BAC=30°，∴EF⊥AC，故A正確；∵EF⊥AC，∠ACB=90°，∴HF∥BC，∵F是AB的中點，∴HF=BC，∵BC=AB，AB=BD，∴HF=BD，故D說法正確；∵AD=BD，BF=AF，∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，∴∠DFB=∠EAF，∵EF⊥AC，∴∠AEF=30°，∴∠BDF=∠AEF，∴△DBF≌△EFA（AAS），∴AE=DF，∵FE=AB，∴四邊形ADFE為平行四邊形，∵AE≠EF，∴四邊形ADFE不是菱形；故C說法不正確；∴AG=AF，∴AG=AB，∵AD=AB，則AD=4AG，故B說法正確，故選C．【點撥】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，解題時需先根據(jù)已知條件先判斷出一對全等三角形，然后按排除法來進行選擇．【變式2】如圖，，若，則，．【答案】54【分析】已知△ABD≌△CDB，根據(jù)全等三角形的對應邊相等從而求解．解：∵△ABD≌△CDB．∴BC＝AD，CD＝AB．∵AB＝4，AD＝5．∴BC＝5，CD＝4．故答案為5，4．【點撥】此題主要考查學生對全等三角形的邊對應相等的理解及運用．【考點5】全等三角形的性質(zhì)綜合應用；【例5】如圖，C為BE上一點，點A，D在線段BE的兩側(cè)，若△ABC≌△CED，試說明：AB∥ED.【答案】證明見分析【分析】由△ABC≌△CED可得∠B＝∠E，再由內(nèi)錯角相等則兩直線平行即可判斷.解：由△ABC≌△CED可得∠B＝∠E，根據(jù)內(nèi)錯角相等則兩直線平行可知AB∥ED.【點撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì).【變式1】如圖所示，銳角△ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點，△ADC≌，△AEB≌，且，BE、CD交于點F，若∠BAC=40°，則∠BFC的大小是（

）

A．105° B．100° C．110° D．115°【答案】B【分析】延長C′D交AB′于H．利用全等三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)證明∠BFC=∠C′+∠AHC′+∠CAD，再求出∠C′+∠AHC′即可解決問題．解：延長C′D交AB′于H．

∵△AEB≌△AEB′，∴∠ABE=∠B′，∠EAB=∠EAB′=40°，∵C′H∥EB′，∴∠AHC′=∠B′，∵△ADC≌△ADC′，∴∠C′=∠ACD，∠DAC=∠DAC′=40°，∵∠BFC=∠DBF+∠BDF，∠BDF=∠CAD+∠ACD，∴∠BFC=∠AHC′+∠C′+∠CAD，∵∠DAC=∠DAC′=∠CAB′=40°，∴∠C′AH=120°，∴∠C′+∠AHC′=60°，∴∠BFC=60°+40°=100°，故選：B．【點撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)等知識，熟練掌握基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，中，，，，點從點出發(fā)沿路徑向終點運動，終點為點；點從點出發(fā)沿路徑向終點運動，終點為點．點和分別以2和6的運動速度同時開始運動，兩點都要到相應的終點時才能停止運動，在某時刻，分別過和作于，于．若要與全等，則點的運動時間為．【答案】或或【分析】根據(jù)題意分為五種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，代入得出關(guān)于t的方程，解方程即可．解：設點運動秒時，以、、為頂點的三角形和以、、為頂點的