2025年中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：路徑最值和取值范圍 選填題壓軸題

第十二單元路徑、最值和取值范圍

專題一路徑、最值和取值范圍(1)——線段拼接

兩條線段和的最值問題，大家最先想到的是“將軍飲馬”，要求的兩條線段往往有公共端點，即使沒有公共端

點，我們也可以通過平移變換去處理.但下面這類問題，雖然也是兩線段和的最小值，但是和“將軍飲馬”問題有一

定的區(qū)別，它會有一個非常明顯的特征條件，就是在動點的運動過程中，有兩條線段始終保持相等，我們可以在

等線段處構(gòu)造全等三角形，從而將要求的兩條線段拼接到一起.

01.如圖，在等腰RtAABC中,NBAC=90。,點M,N分別為BC,AC上的動點，且AN=CM,AB=VI當(dāng)AM+BN的值最小

時,CM的長為

02.如圖，AABC中，乙4cB=60。,AC=AB6,,點E,F分別為線段AC,BC上的動點,(CE=8尸,求AF+BE的最小

值.

03.如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,點E,F分別為線段BC,DB上的動點,DB與AE相交于點M,且BE=DF.

當(dāng)4E+AF取最小值時，cos/EAF的值是.

DC

AB

專題二路徑、最值和取值范圍⑵一費馬點問題

01.如圖,在4ABC中，ZACB=90°,ZBAC=30°,AB=2.若點P是△ABCC內(nèi)一點，貝（］PA+PB+PC的最小值為

02.正方形ABCD內(nèi)一動點E到正方形三個頂點A,B,C三點距離之和((R4+EB+EC)的最小值為遙+則

這個正方形的邊長為

AD

03.如圖，已知矩形ABCD,.=4,BC=6,,點M為矩形內(nèi)一點，點E為BC邊上任意一點，則MA+MD+ME的最

小值為

04.如圖，已知△ABC中,乙ACB=30°,BC=6,AC=4,點P為△ABC內(nèi)部一點,貝！jAABC3PA+4PB+5

PC的最小值為

B

C

專題三路徑、最值和取值范圍⑶一將軍飲馬及變式拓展

核心考點一“一動點+兩定點”型(1)—同側(cè)線段和的最小值問題

01.如圖，點P為矩形ABCD的對角線AC上一動點，點E為BC的中點,連接PE,PB,若.AB=4,BC=4觴則PE+PB

的最小值為

核心考點二“兩動點+一定點”型——利用對稱及垂線段最短求線段和的最小值問題

02已知在RtAACB中,NC=90。,ZABC=75°,AB=5,點E為邊AC上的動點，點F為邊AB上的動點，則線段FE+EB

的最小值是.

核心考點三“一動點+兩定點”型(2)——同側(cè)線段差的最大值問題

03.如圖,在正方形ABCD中*AB=8,AC與BD交于點O,N是AO的中點，點M在BC邊上,且BM=6.P為對角線B

D上一點,則PM-PN的最大值為

AD

BMC

04.如圖,在菱形ABCD中,過點D作DE1CD交對角線AC于點E,連接BE,點P是線段BE上一動點，作P關(guān)于

直線DE的對稱點F,點Q是AC上一動點，連接P'Q,DQ.若AE=14,CE=18,則DQ-PQ的最大值為

P'

B

專題四路徑、最值和取值范圍(4)—將軍飲馬和三角形的三邊關(guān)系

01.如圖,長方形ABCD中,AB=2,2。=3,,將AD邊沿一直線翻折，使點D的對應(yīng)點G落在BC上,折痕交AB,

CD于點E,F,則DG+DH的最小值是.

02.如圖,將矩形ABCD沿MN折疊，點A落在點R處，點B落在CD邊的點S處，連接BS交MN于點P,Q是RS的

中點.若AB=2,BC=3,直接寫出PS+PQ的最小值為

03.如圖,點M是矩形ABCD內(nèi)一個動點,AB=AM=6,BC=4,,點N為線段AM上一點，AN=14M連接BN和

CM,則BN+CM的最小值為.

04.如圖,sinzO=:長度為2的線段DE在射線OB上滑動，點C在射線OA上，旦(OC=5,ACDE的兩個內(nèi)角的

角平分線相交于點F,過點F作.FGLDE,,垂足為G,則FG的最大值為

ACO

專題五路徑、最值和取值范圍(5)—胡不歸問題

形如“PA+kPB”這樣的式子的最值，一般可以分為兩類問題：⑴胡不歸問題；(2)阿氏圓.本專題簡單介紹

“胡不歸”模型.

模型總結(jié)

在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”

型，而這里的PB必須是一條方向不變的線段，方能構(gòu)造定角利用三角函數(shù)得到kPB的等線段.

核心考點一在直線型中的應(yīng)用模型

01.如圖,平行四邊形ABCD中，ZDAB=60°,AB=6,BC=2,P為邊CD上的一動點，則PB+亨PD的最小值等于—

02.如圖,在小ABC中,AB=5,2C=4,sinX=1,BD1AC交AC于點D.點P為線段BD上的動點,則PC+|PB的

最小值為

03.如圖，M為矩形ABCD中AD邊的中點,E,F分別為BC,CD上的動點，且BE=2DF若AB=1,BC=2,則ME+

2AF的最小值為

BE

核心考點二在圓中應(yīng)用模型

04.如圖，半徑為6的扇形AOB中,（OA1OB,點C是AB上一點，過C作（CD1OB于口,則（CD+遍。。的最大值為

05.如圖,AC是圓O的直徑,AC=4,ZBCA=60°,點D是弦AB上的一個動點,那么OD+坪。的最小值為

06.如圖，已知AB是。O的直徑,F是。O上一點,NB4F的平分線交。O于點E,交。O的切線BC于點C,過點E作

ED±AF,交AF的延長線于點D.若4E=3,BC=2,=2,點M為AC上一點，則:M+FM最小值為一.

07.如圖，拋物線y=/-4x+3交x軸于A,B兩點，交y軸于點C,點P為直線BC下方拋物線上一點，點Q為

y軸上一點，當(dāng)△PBC的面積最大時，求2PQ+CQ的最小值.

專題六路徑、最值和取值范圍(6)—阿氏圓問題

方法：構(gòu)造子母型相似，轉(zhuǎn)化為兩點之間，線段最短

核心考點一認識模型

01.問題提出:如圖1,在RSABC中，ZACB=90°,CB=4,CA=6,OC半徑為2,P為圓上一動點，連接AP,BP,求2P

+匏P的最小值.

(1)嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖2,連接CP,在CB上取點D，使CD=1,則

有等=?U又：々CD=/BCP,???△PCDMBCP..??DP|:.PD=AP+^BP=AP+PD.

請你完成余下的思考，并直接寫出答案：4P+^BP的最小值為

(2)自主探索：在“問題提出”的條件不變的情況下，+BP的最小值為」

(3)拓展延伸：已知扇形COD中，NCOD=90。,OC=6,OA=3,OB=5,點P是說上一點，求2PA+PB的最小值.

核心考點二發(fā)現(xiàn)與應(yīng)用模型

02.如圖,在Rt△ABC中,AB=AC=4,點E,F分別是AB,AC的中點，點P是扇形AEF的并上任意一點,連接BP,CP,

貝-BP+CP的最小值是

BC

03.如圖,等腰RtAABC中，乙4cB=90°,AC=BC=8,,O是AB上一點,以O(shè)為圓心的半圓與AC,BC均相切,P

為半圓上一動點,連PC,PB,則PC+孝PB的最小值為.

04.如圖,菱形ABCD的邊長為2,銳角大小為60°,OA與BC相切于點E,在。A上任取一點P,則PB+^-PD的最

小值為—.

核心考點三尋找與構(gòu)造隱含的模型

05.如圖,在RtAABC中,ZACB=90°,AC=6,BC=8,D,E分別是邊BC,AC上的兩個動點,且DE=4,P是DE的中點,

連接PA,PB,則PA+JPB的最小值為

4

06.如圖,矩形ABCD中,=4,A。=4次,M為邊BC上一點,將△DMC沿DM翻折得到△DMR連PB,PA,則

4尸+：8。的最/」\值是_

BMC

專題七路徑、最值和取值范圍(7)—主從聯(lián)動，瓜豆原理(1)

——直線型軌跡

核心考點一構(gòu)造手拉手型全等得特殊定角一直線型軌跡

01.如圖,在4ABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,點D是BC邊的中點，點P是AC邊上一個動點，連接PD,以PD為

邊在PD的下方作等邊△PDQ,連接CQ,則CQ的最小值是.

02.如圖,在矩形ABCD中,DC=1,AD=2DC,P為線段AD上一個動點,過P作PG±AC,垂足為G,連接BP,取BP

的中點E,連接EG,則線段EG的最小值為一.

核心考點二構(gòu)造手拉手型相似得特殊定角一直線型軌跡

03.如圖,在RtAABC中./ACB=90。，ZA=30°,BC=6,點P從A點出發(fā)沿AB運動到點B,連接PC,作RtAPQC,目

乙CPQ=30。,NCQP=90。,，連接BQ,則線段BQ的取值范圍是.

核心考點三構(gòu)造雙8字型相似比得定角一直線型軌跡

04.如圖,在矩形ABCD中,AB=4,力。=6?點E在射線CD運動,F是CE中點線段BE和線段AF交于點G,BG最

小值為

AD

BC

專題八路徑、最值和取值范圍(8)—主從聯(lián)動，瓜豆原理(2)

—圓弧型軌跡

核心考點一折疊可得到定點的距離等于定長一圓弧型軌跡

01.如圖,在矩形ABCD中,已知.AB=2,BC=4,點O,P分別是邊AB,AD的中點，點H是邊CD上的一個動點,連接

OH,將四邊形OBCH沿OH折疊.得到四邊形OFEH,連接PE,則PE長度的最小值是.

核心考點二相似比與勾股得定線段，發(fā)現(xiàn)到定點的距離等于定長一圓弧型軌跡

02.如圖.矩形ABCD,AB=8,BC=6,E,F分別為AB,DC中點P,Q分別在線段AE,CF上且FQ=2PE,過點B作BH

，PQ于H,連接DH,則線段DH長度的最小值為

核心考點三中位線與瓜豆原理

03.如圖.在1Rt△ABC中，N4CB=90°,AC=8,BC=6,,點P是平面內(nèi)一個動點，且AP=3,,Q為BP的中點，

在P點運動過程中，設(shè)線段CQ的長度為m,則m的取值范圍是.

核心考點四旋轉(zhuǎn)相似與瓜豆原理

04.在,A2BC中，ABAC=60°,BC=2陋,點D為AC上一動點，.28=2CD,,貝UBD的最小值是____.

A

B

專題九路徑、最值和取值范圍(9)—隱切線最值

核心考點一定直角動弦構(gòu)造外接圓，切線與最小直徑

01.如圖,在4ABC中,NC=90。,點D為BC邊上一動點,DE1AD交AB于E..AC=2,BC=4.點D在運動過程中,BE

的最大值為

核心考點二定點與定長，切線與最值

02.如圖，在矩形ABCD中,48=5,力。=4,,M是邊AB上一動點(不含端點),將.AADM沿直線DM對折,得到△

NDM.當(dāng)射線CN交線段AB于點P時,連接DP,則4CDP的面積△CDP為;DP的最大值為

03.如圖,已知AB為半圓的直徑,AB=4,DA1AB,CB1AB,AD=2,BC=6,,點P為半圓上的動點，則AD,AB,BC,

CP,PD圍成的圖形的面積的最大值是.

04.如圖，已知Rt△力BC中，乙ACB=90°,D,E分別是AC,BC上的點,連DE,藍/=百,tan"當(dāng)若CD=1,當(dāng)

ACDE繞C點旋轉(zhuǎn)過程中，則AH的最大值是.

E

05.如圖，半徑為1的。O與直線1相切于點A,C為。O上的一點，（CB1/于點B,則AB+BC的最大值是.

06.如圖,乙4cB=45。,半徑為2的。O與角的兩邊相切，點P是。O上任意一點，過點P向角的兩邊作垂線，垂足

分別為E,F,設(shè)t=PE+近PF,則t的取值范圍是.

核心考點三定角動弦構(gòu)造外接圓

07.矩形ABCD的對角線BD=4,DE14C于點E,則當(dāng)NDBE最大時，BE的長度為

08.如圖,在Rt△4BC中，ABAC=90°?點D為AC上一點,連接BD,若乙DBC=45。,則終的最大值為

B

專題十路徑、最值和取值范圍（10）—函數(shù)模型最值

核心考點一直線型

01.如圖,在矩形ABCD中,若AB=8,BC=12,點P在邊AD上,則PB?+PC?的最小值為

02.如圖,在4ABC中,BC=5,AC=12,AB=13,在邊AB,AC上取點D,E使得線段DE將△ABC分割為面積相等的2

個部分，則DE的最小值是一

核心考點二圓相關(guān)的函數(shù)最值

03.如圖，直線1與半徑為4的。。相切于點A,P是。O上的一個動點（不與點A重合）,過點P作PBL1,垂足為B,

連接PA.設(shè).PA=x,PB=y,則O-y）的最大值是____.

04.如圖,正方形ABCD內(nèi)接于。O,AB=2,EF為。O的一條動直徑,P為正方形ABCD的邊上一動點，且.NEPF=

120。,則PE+PF的最大值為.

專題十一路徑、最值和取值范圍(11)——垂線段最短和垂足三角形

核心考點一垂線段的和差型

01.如圖，在△ABC中,AB=2/ABC=60。,乙4cB=45。,,D是BC的中點直線1經(jīng)過點D,AEL,BFL1,垂足分別

為E,F,則AE+BF的最大值為

02.如圖，直線1繞平行四邊形ABCD頂點A轉(zhuǎn)動,分別過點B,C,D作1的垂線段，垂足分別為M,N,P.已知

ZABC=60°,AB=6,BC=5,則BM+CN+DP的最大值為.

核心考點二垂足三角形與雙對稱

03.如圖,在4ABC中,Z=60。,〃=75°,AB=10,,點D,E,F分別在AB,BC,CA上，則△OE尸的周長的最小值為

核心考點三旋轉(zhuǎn)相似與斜大于垂

04.如圖,在.△4BC中,^ACB=90。］為△A8C內(nèi)一點，目."28=乙PBC=NPC4則登的最小值為.

BC

專題十二路徑、最值和取值范圍(12)——建橋選址

01.【問題探究】如圖1,2,a〃b,直線MN±a,垂足為M,交b于點N,點A到直線a的距離為2,點B到b的距離為1,

MN=1,AB=5,則AM+BN的最小值是.

【關(guān)聯(lián)運用】如圖3,在等腰RtAABC和等腰RtADEF中，ZACB=ZDFE=90°,ED在直線AB上,BC=2DF=4,

連接CE,CF,則CE+CF的最小值是一

CA

圖3

02.如圖,在矩形ABCD中,AB=5,AD=10,若點E是邊AD上的一個動點,過點E作EF±AC且分別交對角線AC,直

線BC于點O,F,則在點E移動的過程中,AF+FE+EC的最小值為

03.如圖,E為正方形ABCD中BC邊上的一點,且AB=3BE=6,M,N分別為邊CD,AB上的動點,且始終保持MN±A

E,則AM+NE的最小值為.

專題十三路徑、最值和取值范圍（13）——折疊與范圍

01.如圖所示,在RtAABC中,ZC=90°,AB=10,BC=6,點E,F分別在邊AB,BC上,沿直線EF折疊△ABC，使頂點

B落在AC上的點B，處，則AE的最大值為.

B

02.如圖,在RtAABC中.ZACB=90°,AC=1,BC=2,D是邊AB上一點.連接CD,將仆ACD沿直線CD折疊點A落

在E處，當(dāng)點E在△2BC的內(nèi)部（不含邊界）時，AD長度的取值范圍是_.

03.如圖,已知。O的半徑為2,痛所對的圓心角.乙4OB=60。,點C為福的中點，點D為半徑OB上一動點（D不與

B重合）,將4CDB沿CD翻折得到4CDE,若點E落在半徑OA,OB,AB圍成的封閉圖形的邊界上,則CD的長

為

04.如圖，在四邊形ABCD中,AD\\BC,^A=90。,4。=2,AB=4,BC=6?M為邊AD上一動點（不包括端點）,連接

BM,將小BAM沿BM折疊得到△BNM,連接DN,CN,則△CDN的面積S的取值范圍是.

BC