湖南省常德市2024屆九年級中考一模數(shù)學(xué)試卷（含答案）

湖南省常德市2024屆九年級中考一模數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：___________姓名：班級：考號：

一,單選題

1.下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（）

A.-|B.V2C.0.24D.2024

2.下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）

C.x（x+l）=f+1D.（2a-1）"=2a1-4?+l

4.長沙市2023年1月至9月地區(qū)生產(chǎn)總值約為10674億元，同比增長4.6%.其中數(shù)據(jù)

10674億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.1.0674xlO12B.0.10674xl013C.1.0674xlO13D.10.674x10”

5.已知三角形的兩邊長分別為5,8,另一邊長可能是（）

A.-B.14C.2D.5

2

6.如圖,^5//口￡,6。//跖,若4=110。,則的度數(shù)為（）

D

A.60°B,70°C.1OO0D.110°

7.若二次根式后門有意義，則x的取值范圍為（）

A.x—B.x—C.x2—D.x<--

3333

8.下列一次函數(shù)中,y隨元的增大而減小的函數(shù)是（）

A.y=5x+3B.y=x-2C.y=xD.y=_8x_5

9.如圖1所示的是一塊弘揚(yáng)“社會主義核心價值觀”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意

圖如圖2所示，它是以點(diǎn)。為圓心，分別以。1,08的長為半徑,圓心角NO=120。的扇面.

若Q4=6m,OB=4m,則陰影部分的面積為（）

圖2

A.1271m2B%m2C.8m2D.3n?

33

10.刀削面堪稱天下一絕，傳統(tǒng)的操作方法是一手托面，一手拿刀,直接將面削到開水鍋

里.如圖，面剛被削離時與開水鍋的高度差〃=0.45m,與鍋的水平距離L=0.3m,鍋的半徑

R=0.5m.若將削出的小面圈的運(yùn)動軌跡視為拋物線的一部分，要使其落入鍋中（鍋的厚

度忽略不計(jì)），則其水平初速度v0不可能為（提示：/z=g,g=iom/s2,水平移動距離

D.5m/s

二、填空題

11.分解因式：2/—8=.

12.睡眠管理作為“五項(xiàng)管理”中重要的內(nèi)容之一，也是學(xué)校教育重點(diǎn)關(guān)注的內(nèi)容.某老師

了解到班上某位學(xué)生的7天睡眠時間（單位：小時）如下：10,9,9,8,8,10,9,則該學(xué)生這7

天的平均睡眠時間是小時.

13.關(guān)于x的一元二次方程依2_仁左-1卜+左=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為.

14.如圖，已知/AOfi=40。,以點(diǎn)。為圓心，以適當(dāng)長度為半徑畫弧,分別交04,08于點(diǎn)

MN,再分別以點(diǎn)MN為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,作射線。匕過點(diǎn)

2

P作PQHOB交。1于點(diǎn)。，則NOPQ的度數(shù)是_____度.

A

M,

2

tvB

15.已知〃力為一元二次方程x2-2024%+1=0的兩實(shí)根，則-+-=____.

ab

16.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=^（左為常數(shù)，左>0,x>0）的圖像

X

上，過點(diǎn)A作x軸的垂線,垂足為3,連接。4.若△Q鉆的面積為5,則左=.

17.如圖，點(diǎn)A,3,C在半徑為R的。上,4。6=60。,00^,垂足為瓦交「。于點(diǎn)。,

連接Q4,已知OE=2,則H.

18.如圖,已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)的一個定點(diǎn)，若點(diǎn)P是以點(diǎn)。為圓心,4為半徑的圓上

的一個動點(diǎn)，連接AP,過點(diǎn)A作，AP,且AB=gAP.當(dāng)點(diǎn)尸在0上運(yùn)動一周時點(diǎn)B

三、解答題

⑼先化簡，再求值：「七J%2-4

，其中x=2024.

x2+4x+4

20.2023年5月30日9點(diǎn)31分,“神舟十六號”載人飛船在中國酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火

發(fā)射，成功把景海鵬、桂海潮、朱楊柱三名航天員送入中國空間站.如圖，在發(fā)射的過程

中，飛船從地面。處發(fā)射，當(dāng)飛船到達(dá)A處時，從位于地面C處的雷達(dá)站測得仰角為

30°；5s后飛船到達(dá)B處,此時從C處測得仰角為45°.已知飛船從A處到B處的平均速

度為300m/s,求雷達(dá)站C到飛船發(fā)射點(diǎn)。的距離。C.(結(jié)果精確到0.1km,百。1.73)

21.2023年H月7日，世界互聯(lián)網(wǎng)大會“互聯(lián)網(wǎng)之光”博覽會在浙江烏鎮(zhèn)開幕，大會主題

為“建設(shè)包容、普惠、有韌性的數(shù)字世界—攜手構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)空間命運(yùn)共同體”.為增強(qiáng)學(xué)

生網(wǎng)絡(luò)常識及安全意識,某校舉行了一次全校6000名學(xué)生參加的安全知識競賽.從中隨

機(jī)抽取〃名學(xué)生的競賽成績進(jìn)行了分析,把成績(滿分100分，所有競賽成績均不低于60

分)分成四個等級。60<x<70；C：70<x<80；B：80<x<90；A：90<%<100),

并根據(jù)分析結(jié)果繪制了不完整的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖.

D:60Wx(70

C:70WxV80

B:80Wx<90

A:904W100

請根據(jù)以上信息，解答下列問題:

⑴填空：n-,m-

(2)請補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;

(3)扇形統(tǒng)計(jì)圖中3等級所在扇形的圓心角度數(shù)為；

(4)若把A等級定為“優(yōu)秀”等級，請你估計(jì)該校參加競賽的6000名學(xué)生中達(dá)到“優(yōu)秀”等

級的學(xué)生人數(shù).

22.如圖,3E是.。的直徑，點(diǎn)A和點(diǎn)。是上的兩點(diǎn)，延長BE到點(diǎn)C,連接

DE,AE,AC,^.ZEAC=ZD.

⑴求證：AC為一)。的切線；

(2)若5O=CE=4,求陰影部分的面積.

23.黨的二十大報告提出：“加快建設(shè)高質(zhì)量教育體系，發(fā)展素質(zhì)教育”.某校為響應(yīng)二十

大報告的育人精神，進(jìn)一步落實(shí)“德、智、體、美、勞”五育并舉工作，有效開展“陽光體

育”活動，該校計(jì)劃從體育用品商場購買乒乓球拍和羽毛球拍用于“陽光體育大課間”和學(xué)

生社團(tuán)活動.已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍多30元，且用1000元購買乒乓球拍的數(shù)

量和用2000元購買羽毛球拍的數(shù)量一樣.

⑴求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的價格；

(2)學(xué)校計(jì)劃采購乒乓球拍和羽毛球拍共計(jì)100副，且乒乓球拍的數(shù)量不超過羽毛球拍數(shù)

量的2倍，求最多購買乒乓球拍多少副.

24.如圖,四邊形ABC。是正方形，點(diǎn)G為邊上一點(diǎn)，連接AG并延長，交的延長線

于點(diǎn)E連接3。交Ab于點(diǎn)瓦連接EC.

⑴求證：

(2)求證：AEGCS△ECF；

.DG1］、EG

(3)S知=一，求.

GC2AE

25.如圖,A3為。。的直徑，點(diǎn)尸為半徑上異于點(diǎn)。和點(diǎn)A的一個點(diǎn)，過點(diǎn)P作與直

徑垂直的弦C。,連接AZ),作連接AE,￡>E,AE交于點(diǎn)F,且DE與O

相切于點(diǎn)D.

⑴求證：OE//AD；

⑵若。。的半徑為5,tanNPA。=3,求的長；

(3)已知依=x,PD=y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系.

26.中央廣播電視總臺《2024年春節(jié)聯(lián)歡晚會》以“龍行噩噩，欣欣家國”為主題,引領(lǐng)全

球華人邁向生機(jī)盎然、充滿希望的甲辰龍年.若拋物線y=+法+。與x軸交于A,B兩

點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,且△ABC恰好是直角三角形,并滿足DC?=04.05(。為坐標(biāo)原點(diǎn)),

則稱拋物線y=ax2+bx+c是“疆疆欣欣拋物線”，其中較短直角邊所在直線為“疆矗線”,

較長直角邊所在直線為“欣欣線”.

⑴若“矗益欣欣拋物線"y=a/+法+。的“矗矗線”為直線y=-3x-1,求拋物線解析式；

⑵已知，儡慕欣欣拋物線"y=-V+法+c與x軸的一個交點(diǎn)為(-2,0)淇“欣欣線”與反

比例函數(shù)y=七的圖象僅有一個交點(diǎn)，求反比例函數(shù)解析式；

X

⑶已知“疆疆欣欣拋物線"丁=￥必+法一石°伍〉0)的，儡疆線,，“欣欣線,，及X軸圍成的

3A/29

三角形面積S的取值范圍是《5<3屈,令p=-加+2力+產(chǎn),且尸有最大值/,求/的

2

值.

參考答案

1.答案：B

2

解析：A.-：是有理數(shù)，故不符合題意；

B.0是無理數(shù),故符合題意；

C.0.24是有理數(shù),故不符合題意；

D.2024是有理數(shù)，故不符合題意；

故選：B.

2.答案：C

解析：根據(jù)中心對稱圖形的定義可知：

A,不是中心對稱圖形，不合題意；

B,不是中心對稱圖形，不合題意；

◎

C,是中心對稱圖形,符合題意；.

D,不是中心對稱圖形，不合題意；

故選C.

3.答案：A

解析：'%5+必=》5.2=%3,結(jié)論正確,故符合題意；

B.(x2『=必,結(jié)論錯誤，故不符合題意；

C.x(x+l)=x2+x,結(jié)論錯誤，故不符合題意；

D.(2?-l)2=46-4a+1，結(jié)論錯誤,故不符合題意；

故選：A.

4.答案：A

解析：10674億=1067400000000=1.0674xlO12

故選：A

5.答案：D

解析：設(shè)另一邊長為x,則有

8—5<x<8+5,

3<x<13,

故選：D.

6.答案：B

解析：如圖，

AB〃DE,NE=110°,

：.Z1=180°-ZE=180°-110°=70°,

BC//EF,

：.ZB=4=70。,

I./B的度數(shù)為70。.

故選：B.

解析：?.?二次根式J3x+1有意義，

3x+l>0,

解得：x>.

3

故選：C.

8.答案：D

解析：A.y=5x+3,左=5>0,，y隨x的增大而增大，故不符合題意;

B.y=x-2,左=l>0,，y隨x的增大而增大，故不符合題意；

C.y=x,左=l>0,，y隨x的增大而增大，故不符合題意；

D.y=-8%-5,?左=-8<0,，>隨x的增大而減小，故符合題意；

故選：D.

9.答案：B

解析：?.?如圖是以點(diǎn)。為圓心，分別以。4,08的長為半徑,圓心角/。=120。的扇面，且

0A=6m,OB=4m,

??5陰=S扇形。0A-S扇形BOC

1207rx6?1207r義42

360360

=12K-—71

3

20

—兀

???陰影部分的面積為3兀m?.

3

故選：B.

10.答案：D

解析：由題意得

1,

—x10』=045,

2

解得：4=0.34=_。-3（舍去）,

要使其落入鍋中,

/.L<s<L+2R,

.,.0.3<5<1.3,

0.3<voxO.3<1.3,

“13

013

5>T

5m/s不可能;

故選：D.

11.答案：2（x+2）（x-2）

解析：2%2-8=2(J-4)=2(x+2)(x-2),

故答案為：2（x+2）（x-2）.

12.答案：9

解析：由題意得

1(10+9+9+8+8+10+9)

=9（小時）,

故答案：9.

13.答案：k<-S.k^Q

4

解析：由題意得

△=[-（2左-1）丁-4左2

=-4%+1,

一元二次方程依2_但左-l）x+左=0有實(shí)數(shù)根,

.-.A>0,A：^0,

即：-4k+l>0

解得：k<\,

k<-

4

故答案為：左且左wO.

4

14.答案：20

解析：由作法得：

OP平分NAQB,

ZBOP^-ZAOB=20°,

2

PQHOB,

ZOPQ=ZBOP=20°,

故答案：20.

15.答案：2024

An-ur11Cl+b

解析：—十—=——，

abab

。力為一元二次方程必―2024x+l=0的兩實(shí)根，

a+b-2024

ab=l

原式2=0等24=2024；

故答案：2024.

16.答案：10

解析：?.?點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=七的圖像上,軸于民

X

,?=/|左|,

,?W=254°鉆，

,?/\OAB的面積為5,

.,.|^|=10,

'：k>0,

：.左=10.

故答案為：10.

17.答案：4

解析：如圖，連接08,

AB=AB,

ZAOB=2ZACB=120°,

ODLAB,

OA=OB,

ZAOE=-ZOAB=6Q°,

2

:.ZOAE=30°,

:.OA=2OE=4,

R=4；

故答案：4.

18.答案：4兀

解析：如圖，連接CM,過點(diǎn)A作ACLQ4,且連接OP,BC,以點(diǎn)C為圓心,CB

ZPAB=ZOAC=90°,

ZPAB-ZOAB=ZOAC-ZOAB,^ZPAO=ZBAC,

又AB=-AP,AC=-OA,

22

ABAC_1

,AP-AO-2'

Z\PAO^Z\BAC,

BC_1

,?，

PO2

BC=-OP=-x4=2,

22

以點(diǎn)C為圓心,CB長為半徑的圓即為點(diǎn)3運(yùn)動的軌跡,

???點(diǎn)3運(yùn)動的路徑長為：2兀-5。=2兀、2=4兀，

故答案為：471.

2____1

19.答案:

7^251011

x].x2-4

解析:

x+2Jx2+4%+4

x+2-x(x+2)

x+2(x+2)(x-2)

2(X+2)2

x+2(x+2)(x-2)

2

—x-2'

當(dāng)x=2024時，

原式=2=2/=1i

'、2024-220221011,

20.答案：3.5km

解析：由題意得

BO±CO,

AB=300x5

=1500(m)

=1.5(km),

ZOCA=30°,

ZOCB=45°,

OB=OC,

設(shè)OC=x,

在中，

Q4=(9CtanZ(9C4

顯

~33

:.OB=OA+AB

-^-x+1.5,

3

——x+1.5=x,

3

解得：x~3.5；

故雷達(dá)站C到飛船發(fā)射點(diǎn)。的距離OC3.5km.

21.答案:(1)150,36

(2)圖見解析

(3)144°

(4)估計(jì)960人

解析：(1)由頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖得

A等級有24人占16%,

m%=——x100%=36%,

150

m=36；

故答案:150,36;

(2)由題意得

。等級的人數(shù)為：

150—54—60—24=12（人）;

(3)由題意得

40%x360°=144°,

故答案：144。；

(4)由題意得

16%x6000=960(人)，

答：估計(jì)該校參加競賽的6000名學(xué)生中達(dá)到“優(yōu)秀”等級的學(xué)生人數(shù)為960人.

22.答案：(1)證明見解析

(2)8百一|兀

解析：⑴證明：如圖，連接Q4,

OA—OB,

:.NOBA=NBAO,

AE=AE,

：.ZOBA=ZD,

:.ZBAO=ZD,

ZEAC=ZD,

:.ZBAO=ZEAC,

BE是直徑，

:.ZBAE=90°,

ZBAO+ZEAO=9Q°,

:.ZEAC+ZEAO^90°,

:.ZOAC=90°,

:.OALAC,

：.AC為。的切線；

(2)BO=CE=4,

:.OA=OE^CE=4,

OC-8,

NQ4c=90。，

：.AE=0E^4,AC=y/0C2-O^=V§2-42=4A/3,

OA=OE=AE,

.?.△AOE是等邊三角形，

:.ZAOE=6Q°,

S陰影=S^OAC—S扇形AOE

60兀x42

=-ACOA-

2360

=—X4X4A^--TI

23

=8V3--TI；

3

23.答案：(1)每副乒乓球拍的價格是30元，每副羽毛球拍的價格是60元

(2)最多購買乒乓球拍66副

解析：⑴設(shè)每副乒乓球拍的價格是x元,則每副羽毛球拍的價格是(x+30)元

根據(jù)題意得：儂2000

%+30

解得：x=30,

經(jīng)檢驗(yàn),x=30是所列方程的解且符合題意，

x+30=30+30=60(兀).

答：每副乒乓球拍的價格是30元，每副羽毛球拍的價格是60元;

(2)設(shè)購買乒乓球拍m副，則購買羽毛球拍(100-m)副，

根據(jù)題意得：m<2(100—m),

解得：m<-----,

3

又???加為正整數(shù)，

的最大值為66.

答：最多購買乒乓球拍66副.

24.答案：(1)證明見解析

(2)證明見解析

解析：(1)證明：四邊形ABCD是正方形,

AD=CD,

ZADE=ZCDE,

在△的)￡和△€?￡中

AD=CD

<ZADE=ZCDE,

DE=DE

：.AADE^ACDE(SAS)；

⑵證明：四邊形ABC。是正方形,

AD//BF,

:.ZDAE=ZF,

由⑴得：AADE^ACDE,

：.ZDAE=ZDCE,

:.NDCE=NF,

ZCEG=ZFEC,

/XEGC^/XECF；

⑶證明：四邊形ABC。是正方形,

AD//BF,

:AADGsAFCG,

ADDG_1

"~FC~~GC~^

：?設(shè)。G=x,則有GC=2x,

AD=CD=3x

FC=2.AD—6x,

公EGCs^ECF,

.EGCG

一拓―7E'

△ADE^ACDE,

AE=CE,

.EGCG

,AE-FC

_2x_1

一晟一3；

..EG1

故一=-.

AE3

25.答案：(1)證明見解析

(2)6

⑶y=2x

解析：⑴證明：如圖，連接02

/.OA-OB-OD,,

DE與。相切于點(diǎn)D,

：.OD±DE,

BELAB,

NOBE=NODE=90。,

在RtAOBE和RtAODE中

OB=OD

OE=OE'

RtAOBE^RtAODE(HL),

：.ZBOE=ZDOE,

BD=BD,

ZOAD=-ZBOD=ZBOE,

2

OE//AD；

(2)AB±CD,tanZB4D=3,

PD

——=3,CD=2PD,

PA

設(shè)PA=x，則P￡)=3x,

PO=OA—PA=5—x,

在Rt△。尸。中,PO?+PD2=OD\

.-.(5-X)2+(3X)2=52,

整理得：x2-x=O,

解得：X]=1,x2=。(舍去)，

:.PD=3,

CD=2PD=6；

(3)CD±AB,BE±AB,

：.CD//BE,

:.ZAPD=ZOBE=90°,

：./\APF^Z\ABE,

PF_AP

?質(zhì)一益’

APBE

PF=

AB

ZOAD=ZBOE,ZAPD=NOBE=90°,

:△APDs4OBE,

PD_AP

~BE~~OB

APBE

PD=

OB

AB=2OB,

2OB

:.PF=-PD,

2

.-.PD=2PF,

y=2x.

Q

26.答案：(l)y=x2--x-l

⑵

解析：（I）：y=-3x-1,

；?當(dāng)x=0時,y=-l,當(dāng)y=0時,x=—L

3

不妨設(shè),c(o,—1),

/.OA=-,OC=1,

3

,?OC-^OAOB,

OB=3,

.??3(3,0)或3(-3,0)

:ZVIBC為直角三角形，

???5(3,0),

???拋物線經(jīng)過A,3,C三點(diǎn)，

???設(shè)拋物線的解析式為：y=a+g](x-3),將。(0,—1)代入，得：

T=a[°+g](°-3),

解得：a-1,

y=^x+^(x-3)=x2--|x-l；

(2):y=-必+以+。與％軸的一個交點(diǎn)為(一工o),

2)2—2b+c=0,對稱軸為直線x=《，

.??c=4+2Zj,拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為他+2),

當(dāng)光=0時，y=c,

?,.oc=M，

,?OC2^OAOB,

：.c2=2\b+2\,

I.(4+232=2忸+2],

35

解得：/?=-2(不合題意,舍去)或6=-]或。=-耳，

c=1或c=—1,

???拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),白,0)(0,1)或(-2,0)1-：。