遼寧省丹東市2025屆高三數(shù)學(xué)（文）總復(fù)習(xí)質(zhì)量測試試題二（含解析）

遼寧省丹東市2025屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)質(zhì)量測試試題（二）文（含解析）

一、選擇題：在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合A={x|x?=1},B={x|%2+x-2<0,%eZ},則Ac3=（）

A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}

【答案】A

【解析】

分析】

運(yùn)用二次不等式的解法，化簡集合6,再由交集的定義，即可得到所求集合.

【詳解】集合4=印爐=1}={—1",

集合3={x|x?+x-2<0,xeZ}={x|-2〈K1,—{~1,0},

則

故選：4

【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集的求法，考查了二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（2-i）z對應(yīng)的點(diǎn)位于其次象限，則復(fù)數(shù)z可?。ǎ?/p>

A.2B.-1C.iD.2+1

【答案】B

【解析】

【分析】

由題意首先分析復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部的關(guān)系，然后考查所給的選項(xiàng)即可確定z的值.

【詳解】不妨設(shè)z=a+bi（a,beR）,則（2—i）z=（2—z）（a+切）=（2a+Z?）+（2Z?-a）i,

結(jié)合題意可知：2a+b<0,2b-a>Q,逐一考查所給的選項(xiàng)：

對于選項(xiàng)42a+b=4,2b-a=-2,不合題意；

對于選項(xiàng)6：2a+b=-2,2b-a=2,符合題意；

對于選項(xiàng)C：2a+b=2,2b-a=4,不合題意；

對于選項(xiàng)〃：2a+b=5,2b-a=0,不合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，各個象限內(nèi)復(fù)數(shù)的特征等學(xué)問，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)

化實(shí)力和計(jì)算求解實(shí)力.

3.已知變量％,V之間具有線性相關(guān)關(guān)系，其散點(diǎn)圖如圖所示，回來直線/的方程為y=+

則下列說法正確的是（）

---??

OX

A-?>0?b<0B.a>Q>b>0

C.a<Q,b<0D.d<Q,b>0

【答案】D

【解析】

【分析】

利用回來直線方程，推斷斜率以及截距的大小，推斷選項(xiàng)即可.

【詳解】由題圖可知，回來直線的斜率是正數(shù)，即g>0；回來直線在y軸上的截距是負(fù)數(shù)，

即a<0,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查回來直線方程的推斷與應(yīng)用，是基本學(xué)問的考查.

,,1

4.設(shè)a=log3e,b=logi：,則（）

34

A.a>b>lB.a>l>b

C.b>a>lD.b>l>a

【答案】D

【解析】

【分析】

簡潔看出，0<log3e<l,l<logL^<2,從而可得出a,6的大小關(guān)系.

34

【詳解】0=log3l<log3e<log33=l,；

§J§43

a<1<Z?

故選：D.

【點(diǎn)睛】考查對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，對數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

5.在AABC中，C=60°-AC=也,AB=6，則4=（）

A.15°B.45°C.75°D.105°

【答案】C

【解析】

【分析】

由題意和正弦定理求出sin?,再由邊角關(guān)系求出角6,則可求得A.

【詳解】由題意得，C=60°,AC=&AB=6,,

不

由正弦定理得，――=—y—-，則sin8_■義2_虎，

sinBsinC=7^=

所以6=45?；?35。，

因?yàn)锳B>AC,所以O(shè)B,則B=45°,

則A=180°—45?！?0。=75°

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理及三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.經(jīng)過拋物線V=12%的焦點(diǎn)/，作圓（x—l>+（y—2>=8的切線/,貝U/的方程為（

A.x+y—3=0B.x+y—3=0或x=3

C.x-y—3=0D.x-y—3=0或％=3

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)切線/的方程為x=my+3,利用點(diǎn)到直線距離為r,即可求實(shí)數(shù)0的值

【詳解】拋物線J/=12%的焦點(diǎn)/（3,0）,圓的圓心為（1,2）,圓的半徑為2夜,

|l-2m-3|「

設(shè)切線/的方程為x=my+3,則（1,2）到切線/的方程的距離=2,2,

,1+77r

；.0=1；...切線/的方程為X—y—3=0,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.

7.據(jù)中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載，公元前344年，先秦法家代表人物商鞅督造一

種標(biāo)準(zhǔn)量器一商鞅銅方升，其三視圖如圖所示（單位：寸），其體積為12.6立方寸.若取圓周

率萬=3,則圖中了值為（）

A.1.5B.2C.3D.3.1

【答案】C

【解析】

【分析】

由三視圖可知：該幾何體是由一圓柱和長方體組而成，依據(jù)體積，可以求出圖中的左值。

【詳解】由三視圖可知：該幾何體是由一圓柱和長方體組而成，由題意可知：

12.6=n,（g）?x1.6+（5.4-1.6）x1-%=>%=3.

【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖還原立體幾何圖形實(shí)力，體積運(yùn)算實(shí)力.考查了空間想象實(shí)力和

運(yùn)算實(shí)力.

8.若tan(?H-)=-3,則sin2a-cos2tz=()

4

32

A.-B.---C.-1D.3

55

【答案】A

【解析】

分析】

由tanc+?=-3,可求出tana的值，所求式子可以寫成分母為1的形式，用

sin2o+cos2(z=l進(jìn)行代換，分子、分母同時(shí)除以cos?。，然后把tana的值代入求值即可.

71

/\tana+tan—

(詳解】tana+—=—3=>-----------=—3=>tana=2,

\4)71

v71-tana-tan—

4

.八2sin2a—cos2a2sinacosa-cos2a2tana-lc小、

sin2a-cosa-——---------=--------------------=----------，把tan。=2代入，

sina+cosasina+cosa1+tana

3

求得sinZa—cos?。=W，故本題選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了兩角和的正切公式、正弦的二倍角公式，解決本題的關(guān)鍵是

sin2「+cos2「二l的代換，變成雙齊次方程，這樣便于求出值來.

9.函數(shù)/(x)=W的圖象大致為()

X

【答案】A

【解析】

【分析】

首先求出函數(shù)的定義域，然后推斷奇偶性，再考慮x>0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性，用解除法進(jìn)行選

擇.

【詳解】函數(shù)的定義定義域?yàn)橛?0,y(x)=^n/(—x)=吐區(qū)=—貼=—/(X),

X—XX

所以函數(shù)/(九)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故可解除B,

當(dāng)X>1時(shí)，y(x)=^W=—>0,故可解除C；

XX

當(dāng)尤>0時(shí)，f(x)=^-=—=/'(%)=匕學(xué)，明顯當(dāng)X>1時(shí)，/1(x)<0,函數(shù)

XXX

/(力是單調(diào)遞減的，可解除D,故本題選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了識別函數(shù)的圖象.解決此問題可以從定義域、奇偶性、單調(diào)性、對稱性、

周期性入手，易采納解除法，有時(shí)找特別點(diǎn)、特別值也是常用的方法.

10.已知函數(shù)y=2sin2x+軍0<x<二的圖象與一條平行于x軸的直線有兩個交

點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為占，x2,則石+%2=()

71

A.—B.—C.D.—

336

【答案】B

【解析】

【分析】

作出函數(shù)圖象，由三角函數(shù)的對稱性可得荀+用的值.

【詳解】函數(shù)y=2sin(2x+9gMo<x<￥］的圖象,

S7T7TTT

又0<%<彳，.??對稱軸方程：%=-,由圖可得玉與%關(guān)于％=可對稱，

712萬

Xi+吊=2x—=—,

33

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象的改變和性質(zhì)，利用對稱性是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

22

11.雙曲線C：二-與=1（〃>0力>0）的左右焦點(diǎn)分別為qF2,以《為圓心，閨閭為半徑

ab

的圓與。的公共點(diǎn)為尸，若是直角三角形，則C的離心率為（）

A.72-1B.75-1C.72+1D.75+1

【答案】C

【解析】

【分析】

TT

利用AP片招是直角三角形可得/冏￡=萬，且|您|=2缶，結(jié)合定義解得離心率.

7T

【詳解】由題意知出網(wǎng)=2c=|陽1,若是直角三角形，則/陽￡=萬，且1期1=2缶，

又由雙曲線的定義，可得|如|-\PFi\=2a,

可得||=2a+2c=2^/^c，即2a=（2j^-2）c

c1

由=—-,解得e=j2+l，

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率的求法，留意運(yùn)用雙曲線的定義和直角三角形的勾股定理,

考查化簡整理的運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題.

12.當(dāng)x=l是函數(shù)/（尤）=（尤2+2公一/一3。+3），的極值點(diǎn)，則。的值為（）

A.-2B.3C.-2或3D.-3或2

【答案】B

【解析】

【分析】

由/⑴=0,解得a=3或-2,再檢驗(yàn)x=l是否函數(shù)/（%）的極值點(diǎn)，可得結(jié)論.

【詳解】由+2翻一片—3a+3）e*,

得/'（x）=（尤2+2cix+2無一ci—ci+3）e”,

：X=1是函數(shù)F（X）的極值點(diǎn)，

'（1）=6-q2+a=o,解得a=3或-2,

當(dāng)。=-2時(shí)，尸（左）=（尤②―2%+1120恒成立，即〃龍）單增，無極值點(diǎn)，舍去；

當(dāng)。=3時(shí)，/'（%）=（尤2+8x-9）e*=0時(shí)，x=l或x=-9,

滿意x=l為函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，

:.a=3.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值問題，留意在x=/處導(dǎo)數(shù)值為0不肯定滿意

是極值點(diǎn)，屬于易錯題.

二、填空題。

13.若兩個單位向量”，的夾角為60。，則［2。一囚=.

【答案】A/3

【解析】

【分析】

由條件利用兩個向量的數(shù)量積的定義求出的值，從而得到12a-川的值.

【詳解】；兩個單位向量a，b的夾角是60°,

0

.?..-巧=4。2—4。/+匕2=4-4X1X1XCOS60+1=3,

故.-4=6，

故答案為上.

【點(diǎn)睛】本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，求向量的模的方法，屬于基礎(chǔ)題.

x>0

14.設(shè)x,y滿意約束條件,則z=2x+y的最大值為.

x+y<2

【答案】3

【解析】

【分析】

畫出可行解域，平移直線y=-2x+z,找到Z的最大值.

【詳解】畫出如下圖可行解域:

y=x、

當(dāng)直線y=—2x+z經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，z有最大值，解得，A(l,l),所以

x+y=2

z=2x+y=3.

【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃問題，求線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，考查了畫圖實(shí)力.

ln(x+2),x>-l

15.設(shè)函數(shù)y(x)=,若/(。)=-1,貝_______.

-2%-4,x<-l

3

【答案】—不

2

【解析】

【分析】

當(dāng)1時(shí)，解方程ln(a+2)=-1,求出a值，推斷a是否存在；

當(dāng)a<—1時(shí)，解方程—2a—4=—1,求出a的值，推斷。是否存在，最終確定。的值.

..1—2el-2e

【詳解】當(dāng)1時(shí)，/(a)=-lnln(a+2)=—lna=-------，而-----<—1,故舍去;

ee

33

當(dāng)Qv—1時(shí)，/(a)=-1—2a—4=—1=>a=—5<—1,所以a=—5.

【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)求值問題，考查了分類運(yùn)算實(shí)力.

16.長方體ABCD-A^C^的底面ABCD是邊長為1的正方形，若在側(cè)棱A4上存在點(diǎn)E，

使得ZQEB=90°,則側(cè)棱A4的長的最小值為.

【答案】2

【解析】

【分析】

設(shè)側(cè)棱AA1的長為x,A1E=t,則AE=x-t,由已知得t?-xt+l=0,由此利用根的判別式能求

出側(cè)棱AAi的長的最小值.

【詳解】設(shè)側(cè)棱AAi的長為x,AjE=t,則AE=x-t,

:長方體ABCD-ABCD的底面是邊長為1的正方形，

ZCiEB=90°,

22

：.CXE+BE=BC：,

.\2+t2+l+(x-t)2=l+x2,

整理，得：V-xt+l=0,

:在側(cè)棱AAi上至少存在一點(diǎn)E,使得/QEB=90°,

.*.△=(-x)-eO,

解得x22.

側(cè)棱AAi的長的最小值為2.

故答案為2.

DiG

【點(diǎn)睛】本題考查長方體的側(cè)棱長的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要留意根的判別式的

合理運(yùn)用.

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.數(shù)列｛%｝中,q=l,an+x=an+2n+l.

（1）求｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)2=石口，求數(shù)列｛勿｝的前幾項(xiàng)和.

【答案】⑴冊=7/（2）北=j

【解析】

【分析】

（1）&+1=4+2〃+1可以采納累和法進(jìn)行求解，利用等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，可以求出

｛4｝的通項(xiàng)公式；

b==

（2）n^Ti^^~L~^+l],可以采納裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列也｝的前“項(xiàng)和，

【詳解】解：（1）因?yàn)椤?+i=4+2〃+1,所以當(dāng)“22時(shí),

%=(%―%)+(*―%-2)+(?2-?1)+?1=1+3++(2?-1)=?-.

由于％=1滿意4“，所以求｛&｝的通項(xiàng)公式為4“=/.

-11(11)

(2)因?yàn)?=-5二--------------，

4H2—12(2〃-12n+lJ

所以數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為

1」+」+n

Tn

=4+4+"23352/7+1

【點(diǎn)睛】本題考查了累和法求數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前九項(xiàng)和.解決此類問題的

關(guān)鍵是駕馭已知所給的通項(xiàng)公式、遞推公式的特征.

18.為了進(jìn)一步推動全市學(xué)習(xí)型黨組織、學(xué)習(xí)型社會建設(shè)，某市組織開展“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)問測

試，每人測試文化、經(jīng)濟(jì)兩個項(xiàng)目，每個項(xiàng)目滿分均為60分.從全體測試人員中隨機(jī)抽取了

100人，分別統(tǒng)計(jì)他們文化、經(jīng)濟(jì)兩個項(xiàng)目的測試成果，得到文化項(xiàng)目測試成果的頻數(shù)分布表

和經(jīng)濟(jì)項(xiàng)目測試成果的頻率分布直方圖如下：

經(jīng)濟(jì)項(xiàng)目測試成果頻率分布直方圖

分?jǐn)?shù)區(qū)間頻數(shù)

[0,10)2

[10,20)3

[20,30)5

[30,40)15

[40,50)40

[50,60]35

文化項(xiàng)目測試成果頻數(shù)分布表

將測試人員的成果劃分為三個等級如下：分?jǐn)?shù)在區(qū)間［0,30)內(nèi)為一般，分?jǐn)?shù)在區(qū)間［30,50)內(nèi)

為良好，分?jǐn)?shù)在區(qū)間［50,60］內(nèi)為優(yōu)秀.

(1)在抽取的100人中，經(jīng)濟(jì)項(xiàng)目等級為優(yōu)秀的測試人員中女生有14人，經(jīng)濟(jì)項(xiàng)目等級為

一般或良好的測試人員中女生有34人.填寫下面列聯(lián)表，并依據(jù)列聯(lián)表推斷是否有95%以上

的把握認(rèn)為“經(jīng)濟(jì)項(xiàng)目等級為優(yōu)秀”與性別有關(guān)？

優(yōu)秀一般或良好合計(jì)

男生數(shù)

女生數(shù)

合計(jì)

(2)用這100人的樣本估計(jì)總體.

(i)求該市文化項(xiàng)目測試成果中位數(shù)的估計(jì)值.

(ii)對該市文化項(xiàng)目、經(jīng)濟(jì)項(xiàng)目的學(xué)習(xí)成果進(jìn)行評價(jià).

附：

P(K2>k)0.1500.0500.010

k2.0723.8416.635

K?_n(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【答案】(1)見解析；(2)(i)46.25(ii)見解析

【解析】

【分析】

(1)由題意填寫列聯(lián)表，計(jì)算觀測值，比照臨界值得出結(jié)論；

(2)(i)由頻率分布表求得頻率，找到中位數(shù)所在的區(qū)間，利用比例求解即可；

(ii)評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)不唯一，可從中位數(shù)角度，也可從良好率、優(yōu)秀率或眾數(shù)、平均數(shù)角度比較

說明均可.

【詳解】(1)由頻率分布直方圖，得經(jīng)濟(jì)項(xiàng)目等級為優(yōu)秀人數(shù)為Q4xl00=40.其中女生數(shù)

為14人，男生數(shù)為26人.經(jīng)濟(jì)項(xiàng)目等級為一般或良好的60名測試人員中，女生數(shù)為34人，

男生數(shù)為26人.作出2x2列聯(lián)表：

優(yōu)秀一般或良好合計(jì)

男生數(shù)262652

女生數(shù)143448

合計(jì)4060100

r=100(26x34-26xl4)^45i4

40x60x48x52

由于4.514>3.841,故有95%以上的把握認(rèn)為“經(jīng)濟(jì)項(xiàng)目等級為優(yōu)秀”與性別有關(guān).

(2)(i)由頻數(shù)分布表知，文化項(xiàng)目測試成果低于40分的頻率為0.25<0.5,測試成果低于

50分的頻率為0.65>0.5.

故該市文化項(xiàng)目測試成果中位數(shù)的估計(jì)值為40+義I。=46.25.

0.4

(ii)①由直方圖知，經(jīng)濟(jì)項(xiàng)目測試成果低于40分的頻率為0.4<0.5,測試成果低于50分

05-04

的頻率為0.6>0.5,故該市文化項(xiàng)目測試成果中位數(shù)的估計(jì)值為40+二——-xlO=45.

0.2

因?yàn)?6.25>45,所以該市文化項(xiàng)目學(xué)習(xí)成果的更好.

②文化項(xiàng)目測試成果良好率估計(jì)值為0.9,經(jīng)濟(jì)項(xiàng)目測試成果良好率估計(jì)值為0.8,0.9>0.8,

所以該市文化項(xiàng)目學(xué)習(xí)成果的更好.

③文化項(xiàng)目測試成果平均數(shù)的估計(jì)值為

^(2x5+3x15+5x25+15x35+40x45+35x55)

=44.3.

經(jīng)濟(jì)項(xiàng)目測試成果平均數(shù)的估計(jì)值為

5x0.03+15x0.05+25x0.12+35x0.2+45x0.2+55x0.4=41.9.

因?yàn)?4.3>41.9,所以該市文化項(xiàng)目學(xué)習(xí)成果的更好.

④文化項(xiàng)目測試成果優(yōu)秀率估計(jì)值為0.35,經(jīng)濟(jì)項(xiàng)目測試成果優(yōu)秀率估計(jì)值為0.4,

0.35<0.4,所以該市對經(jīng)濟(jì)項(xiàng)目學(xué)習(xí)探討的更深化.

⑤該市文化項(xiàng)目測試成果眾數(shù)的估計(jì)值為45(分).

經(jīng)濟(jì)項(xiàng)目測試成果眾數(shù)的估計(jì)值為55(分).

因?yàn)?5<55,所以該市對經(jīng)濟(jì)項(xiàng)目學(xué)習(xí)探討的更深化.

【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的實(shí)際應(yīng)用，考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)問題及開放性的決策問

題，是綜合題.

19.如圖，四棱錐S—ABCD中，平面ABC。，AB//CD,AD1CD,SD=CD,

AB=AD，CD=2AD,M是BC中點(diǎn)，N是SA上的點(diǎn).

s

(1)求證：MV//平面SDC；

(2)求A點(diǎn)到平面MDN的距離.

【答案】(1)見證明；(2)d=~

7

【解析】

【分析】

(1)利用面面平行的判定定理，可以證明平面上WE//平面5DC,從而MV//平面SDC.

(2)由VA-MZW=MvYATO，先求出AMDN面積、AADM面積及“究竟面的距離，從而可求

4點(diǎn)到平面MDN的距離.

【詳解】(1)取A。中點(diǎn)為E，連結(jié)ME,NE,則ME//。。,

因?yàn)椤癊a平面SDC,所以旌//平面SDC,同理NE//平面5DC.

所以平面跖VE//平面SDC,從而因此MN//平面SDC.

(2)因?yàn)镃￡)J_AD,所以〃石_LAD.

因?yàn)槠矫鍭BC。，所以SDLCD,"石，SD.所以〃石，平面S4O.

設(shè)ZM=2，則ME=3,NE=2,

MN=ylNE2+ME2=y/13'MD=M,ND=5

在AMDN中，由余弦定理cosNMDN=正，

10

7B7

仄而sinNMDN=*，所以AMDN面積為彳.

102

又AADM面積為LX2X3=3.

2

7

設(shè)A點(diǎn)到平面MDN的距離為d,由匕.MON=^N-AMD得］d=3NE,

因?yàn)镹E=2,所以4點(diǎn)到平面MDN的距離4=12.

7

【點(diǎn)睛】本題考查面面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查點(diǎn)到平面的距離，考查了分析問題的實(shí)

力，屬于基礎(chǔ)題.

22

20.已知橢圓C：=+4=1（。＞匕＞0）的左右焦點(diǎn)分別為工，工，點(diǎn)P是橢圓C上的一點(diǎn),

ab

若陽司=2，鳥的面積為1.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過工的直線/與C交于A，3兩點(diǎn)，設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OE=Q4+O8,求四邊形

AOBE面積的最大值.

【答案】（1）y+y2=1（2）V2

【解析】

【分析】

（1）由橢圓的定義及勾股定理可求出a,又c=+,可得6,由此能求出橢圓C的方程.

（2）設(shè)出直線/的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、向量加法的意義以及三角形的面

積公式，結(jié)合基本不等式求解即可.

【詳解】⑴由題設(shè)|助「+怛閶2=4,||p^||PF2\=I,所以

+|明，附舊明2+2閘口喃=也.又c=i,所以

22

b=y/a2-c2=l-C的方程為:+/=1.

2

(2)由題設(shè)A3不平行于％軸，設(shè)A3：x^my+1,聯(lián)立二+y2=i,得

2

.+1)>0,VV_機(jī)±,2(療+1

m2+2)/+2my—1=0.A=

因?yàn)镺￡1=Q4+QB，所以四邊形AQB￡為平行四邊形，四邊形A05E面積

204療+1)2點(diǎn)

S=2SMOB=|%一%|蘇+2.府

ylm2+1

因?yàn)镴療+1+「—?2

當(dāng)且僅當(dāng)根=0時(shí)取等號，于是四邊形AO跖面積的最大值為

Vm+1

萬

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡潔性質(zhì)的應(yīng)用，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以

及計(jì)算實(shí)力.

21.已知函數(shù)/(x)=Inx-a(x-l)2.

(1)若。>0,求(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：存在正實(shí)數(shù)M，使得/(M)>0.

【答案】(1)見解析；(2)見證明.

【解析】

【分析】

(1)先求(x),探討/'(尤)的分子，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)推斷/(x)的符號得出『(x)

的單調(diào)性；

(2)當(dāng)aWO時(shí)，-a(x-l)~20,只需找一個x>l,使得lnx>0即可；

當(dāng)a>0時(shí)，由(1)知只需證/(%)>0即可，構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)證明

即可.

lax1-2ax-l

【詳解】⑴“尤)定義域?yàn)?。，轉(zhuǎn))，/,(%)=-A=4a2+8a.

x

當(dāng)a>0時(shí)，A>0,/'(尤)有一個零點(diǎn)/=?+J4+2a

la

當(dāng)X￡(O,%o)時(shí)，/*(x)>0,當(dāng)%￡(%+8)時(shí),y*(x)<o,

所以外力在(0,%)單調(diào)遞增，在(％,+8)單調(diào)遞減.

(2)當(dāng)aWO時(shí)，存在正實(shí)數(shù)河=e,使得y(M)=l—a(e—1)2>0.

11I2

當(dāng)a〉。時(shí)，x0=—+—.l+—>1.

22Va

由(1)知/(x)</(%)=lnxo_a(%o_Ip.

由/'(%)=。,得。(%()T)=^一，所以/(%o)=1nxo+^—.

-i-i。[

設(shè)g(%)=lnx+^——>當(dāng)%>1時(shí),g(x)=---->0,

所以g(x)在(1,+8)單調(diào)遞增，所以g(x)>g(l)=O,

即/(%)>0,存在正實(shí)數(shù)河=不，使得/(M)>O.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行函數(shù)單調(diào)性的推斷，考查了存在性問題與函數(shù)最值的轉(zhuǎn)化,

考查分類探討思想，屬于中檔題.

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，傾斜角為e