1.3 空間向量及其運算的坐標表示（原卷版）-2024-2025學年【暑假預習】高二數(shù)學（人教A版2019選擇性必修一）

.3空間向量及其運算的坐標表示知識點一點坐標的書寫【【解題思路】1.建立空間直角坐標系的原則（1）讓盡可能多的點落在坐標軸上或坐標平面．（2）充分利用幾何圖形的對稱性．2.求某點M的坐標的方法作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的橫坐標x，縱坐標y，即點M的橫坐標x，縱坐標y，再求M點在z軸上射影的豎坐標z，即為M點的豎坐標z，于是得到M點的坐標(x，y，z)．3.空間點對稱問題的解題策略(1)空間點的對稱問題可類比平面直角坐標系中點的對稱問題，要掌握對稱點的變化規(guī)律，才能準確求解．(2)對稱點的問題常常采用“關于誰對稱，誰保持不變，其余坐標相反”這個結論．【例1-1】（22-23高二·全國·課堂例題）已知是單位正交基底，分別寫出下列空間向量的坐標：(1)；(2)；(3)；(4)．【例1-2】（22-23高二上·浙江臺州·階段練習）已知是空間向量的一組基底，是空間向量的另一組基底，若向量在基底下的坐標為，則向量在基底下的坐標是（

）A． B． C． D．【例1-3】（23-24高二上·四川成都·階段練習）如圖，在長方體中，，以直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，則下列結論中不正確的是（

）A．點關于直線對稱的點為 B．點關于點對稱的點為C．點的坐標為 D．點關于平面對稱的點為【例1-4】（22-23高二·全國·課堂例題）長方體的長、寬、高分別為，，．建立適當?shù)目臻g直角坐標系，并求頂點A，B，C，D，，，，的坐標．【例1-5】（23-24高二下·江蘇·課后作業(yè)）如圖所示，已知平行六面體的底面為邊長為的正方形，分別為上、下底面的中心，且在底面上的射影是，且．請建立適當空間直角坐標系，并求點的坐標．【變式】1．（2024湖北）在正方體中，若點是側面的中心，則在基底下的坐標為（

）A． B． C． D．2．（2024上海）如圖，正方體的棱長為a，E，F(xiàn)，G，H，I，J分別是棱，，，AB，BC，的中點，寫出正六邊形EFGHIJ各頂點的坐標．3．（22-23高二下·全國·課后作業(yè)）在平行六面體中，底面是矩形，，，平行六面體高為，頂點在底面的射影是中點，設的重心，建立適當空間直角坐標系并寫出下列點的坐標.

(1)；(2)；(3)；4．（23-24高二·江蘇）如圖，在三棱柱中，平面平面，，且，，請建立適當空間直角坐標系，并求各個點的坐標．5．（23-24江西）如圖，在三棱柱中，側面，為棱上異于的一點，．已知，，．請建立適當空間直角坐標系，并求各個點的坐標．知識點二空間向量的坐標【【解題思路】向量坐標的求法(1)點A的坐標和向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐標形式完全相同；(2)起點不是原點的向量的坐標可以通過向量的運算求得．【例2】（2024河北邯鄲）（多選）如圖，在正三棱柱中，已知的邊長為2，三棱柱的高為的中點分別為，以為原點，分別以的方向為軸?軸?軸的正方向建立空間直角坐標系，則下列空間點及向量坐標表示正確的是（

）A． B．C． D．【變式】1．（23-24高二上·內蒙古呼和浩特·期末）（多選）在棱長為2的正方體中，如圖，以為原點建立空間直角坐標系，為中點，為的中點，則（

）A． B．C． D．2．（22-23高二下·甘肅天水·期中）已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別為棱，的中點，如圖所示建立空間直角坐標系.寫出向量，，的坐標.

3．（22-23高二·甘肅天水·期中）已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別為棱，的中點，如圖所示建立空間直角坐標系.寫出向量，，的坐標.

知識點三空間向量的坐標運算【【解題思路】空間向量坐標運算的規(guī)律及注意點(1)由點的坐標求向量坐標：空間向量的坐標可由其兩個端點的坐標確定；(2)直接計算問題：首先將空間向量用坐標表示出來，然后代入公式計算．(3)由條件求向量或點的坐標：把向量坐標形式設出來，通過解方程(組)，求出其坐標．【例3-1】（2024天津河西）若向量，向量，則（

）A． B．C． D．【例3-2】（23-24高二下·河北邢臺·階段練習）已知點，向量，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【例3-3】（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知、，且與夾角為鈍角，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例3-4】（2023高二·全國·專題練習）已知，，，則“”是“構成空間的一個基底”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式】1．（23-24高二上·北京通州·期中）已知，，，則等于（

）A．-4 B．-6 C．-7 D．-82．（2024江蘇無錫）已知，，，若，，三向量不能構成空間的一個基底，則實數(shù)的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（23-24甘肅白銀）已知空間向量,若,則（

）A．6 B． C．36 D．54．（22-23高二上·廣東佛山·階段練習）已知向量，，且與互相垂直，則k的值是（

）A．1 B． C． D．5．（23-24高二下·上?！るA段練習）已知向量，，若，，則的值是（

）A．或1 B．3或 C． D．16．（23-24高一下·重慶榮昌·階段練習）已知向量，滿足，且，則向量在向量上的投影向量的模為（

）A．3 B．3 C． D．7．（2024·浙江嘉興·模擬預測）設，，且，則（

）A． B．0 C．3 D．知識點四空間平行垂直問題【【解題思路】利用空間向量的坐標運算的一般步驟(1)建系：根據題目中的幾何圖形建立恰當?shù)目臻g直角坐標系．(2)求坐標：①求出相關點的坐標；②寫出向量的坐標．(3)論證、計算：結合公式進行論證、計算．(4)轉化：轉化為平行與垂直問題．【例4-1】（23-24高二上·陜西榆林·階段練習）如圖所示，平面，底面是邊長為1的正方形，，P是上一點，且．

(1)建立適當?shù)淖鴺讼挡⑶簏c的坐標；(2)求證：．【變式】1.（23-24高二上·遼寧朝陽·階段練習）在正方體中，為的中點，為的中點，為的中點．證明：(1)；(2)不與平行；(3)．2．（2024福建莆田·階段練習）在正棱錐中，三條側棱兩兩互相垂直，是的重心，，分別是，上的點，且.求證：（1）平面平面；（2），.知識點五夾角、距離【【解題思路】利用空間向量的坐標運算的一般步驟(1)建系：根據題目中的幾何圖形建立恰當?shù)目臻g直角坐標系．(2)求坐標：①求出相關點的坐標；②寫出向量的坐標．(3)論證、計算：結合公式進行論證、計算．(4)轉化：轉化夾角與距離問題．【例5-1】（22-23高二·全國·隨堂練習）如圖，在長方體中，，，點M在上，，N為的中點，求M，N兩點間的距離．

【例5-2】（24-25高二上·全國·課前預習）如圖，在棱長為的正方體中，為的中點，，分別在棱，上，，．

(1)求線段的長．(2)求與所成角的余弦值．【變式】1．（22-23高二·全國·課堂例題）如圖所示，已知直三棱柱中，，且D，E分別是棱的中點．建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求與的長．2．（2024甘肅）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側棱底面，，，分別為，，的中點．若，．

(1)求；(2)求．3．（2024云南）如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1D，BD的中點，G在棱CD上，且．求．知識點六空間向量解決探索性問題【例6】（2024吉林）在直三棱柱中，，，，．(1)在上是否存在點，使得？(2)在上是否存在點，使得平面？【變式】1．（24-25高二下·全國·期末）在直三棱柱中，，分別為棱中點.(1)證明：平面；(2)若，且，則當為何值時，有？2．（23-24高二上·浙江·期末）如圖所示，在四棱錐中，為等腰直角三角形，且，四邊形ABCD為直角梯形，滿足，

(1)求證；(2)若點E為PB的中點，點F為CD的中點，點M為棱AB上一點．當時，求的值．3．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）如圖，在正三棱柱中，所有的棱長均為2，M是邊的中點，則在棱上是否存在點N，使得與所成的夾角為？

【題組一點坐標的書寫】1．（23-24高二下·四川·階段練習）（多選）在空間直角坐標系O－xyz中，以下結論正確的是（

）A．點關于x軸對稱的點的坐標為(－1，－3，4)B．點關于xOy平面對稱的點的坐標為(－1，2，－3)C．點關于原點對稱的點的坐標為(3，－1，－5)D．兩點間的距離為32．（23-24高二下·江蘇·課前預習）在如圖所示的空間直角坐標系中，四邊形是正方形，則PD的中點M的坐標為.

3．（23-24高二上·上?！て谥校┮阎强臻g不共面的一組向量，是空間不共面的另一組向量，若向量在下的坐標為，則向量在下的坐標是．4．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）如圖，在三棱柱中，平面為棱的中點，已知.試建立合適的空間直角坐標系，求出圖中所有點的坐標.

5．（22-23高二下·江蘇·課后作業(yè)）如圖，四棱錐PABCD中，PA⊥底面ABCD，，M為線段AD上一點，，N為PC的中點．請建立適當空間直角坐標系，并求各個點的坐標【題組二空間向量的坐標】1．（23-24高二·江蘇·課后作業(yè)）如圖，在長方體中，，，，以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系．(1)寫出，C，，四點的坐標；(2)寫出向量，，，的坐標．2．（22-23高二·全國·課后作業(yè)）如圖，在空間直角坐標系中有長方體，，，．求：(1)向量，，的坐標；(2)，的坐標．【題組三空間向量的坐標運算】1．（23-24高二上·河南信陽·階段練習）（多選）已知向量,，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．2．（23-24高二上·山西朔州·階段練習）（多選）已知空間向量，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．3．（23-24高二上·廣東江門·期中）已知向量，，若，則（

）A． B．2 C． D．14．（23-24高二上·安徽·期中）在空間直角坐標系中，已知點，，，則（

）A． B． C． D．5．（23-24高二下·江蘇徐州·階段練習）已知空間向量，，則下列結論正確的是（

）A． B．與夾角的余弦值為C． D．6．（23-24高二上·福建福州·期末）（多選）已知空間向量，，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量為7．（23-24高二下·上?！て谥校┮阎臻g向量與夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍為．【題組四空間平行垂直問題】1．（2024河北）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，|AP|＝|AB|＝2，|BC|＝，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點．求證：PC⊥BF，PC⊥EF．

2．（23-24黑龍江）如圖，在棱長為的正方體中，是的中點，是的中點，是的中點.(1)試建立適當?shù)淖鴺讼担⒋_定、、三點的坐標；(2)求證：.3．（22-23高二上·重慶江北·期末）如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，，M、N分別是AB、PC的中點．(1)求證：MN⊥平面PCD；(2)求點C到平面MND的距離.4．（2024新疆）如圖，，是圓柱底面的圓心，，，均為圓柱的母線，是底面直徑，E為的中點．已知，．(1)證明：；(2)若，求該圓柱的體積．5．（23-24北京）如圖，已知多面體ABC，，，均垂直于平面ABC，，，，.證明：平面.【題組五夾角、距離】1．（23-24高二上·海南?？凇て谥校┤鐖D，在棱長為3的正方體中，點E，F(xiàn)分別是棱BC，的中點，若直線與平面AEF交于點M，則線段的長度為（

）

A． B．2 C． D．32．（23-24高二上·江西·期中）如圖，在直三棱柱中，線段，，的中點分別為，，.已知，，.

(1)證明：；(2)求.3．（2024·重慶巴南）如圖所示，直三棱柱中，，，棱．、分別是、的中點．(1)求證：；(2)求直線與直線所成夾角的余弦值．4．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）如圖所示，直三棱柱中，，，分別是棱的中點，是的中點，求的長度．

5．（23-24高二·全國·課后作業(yè)）如圖所示，在直三棱柱中，，，棱，、分別為、的中點.建立適當?shù)目臻g直角坐標系，解決如下問題：(1)求的模；(2)求的值；(3)求證：平面.【題組六空間向量解決探索性問題】1．（2023·河北·三模）如圖，四棱錐的底面是菱形，其對角線交于點，且平面是的中點，是線段上一動點．

(1)當平面平面時，試確定點的位置，并說明理由；(2)在（1）的前提下，點在直線上，以為直徑的球的表