2025高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：權(quán)方和不等式、柯西不等式

2025高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)權(quán)方和不等

式、柯西不等式

權(quán)方和系學(xué)式、軻曲系等式

I2.考情探究?

本節(jié)內(nèi)容為基本不等式的高階拓展,熟練掌握后能快速解決基本不等式中的最值問題,常在高考及競賽

中做到類型題的秒解！

IN.考點梳理?

知識講解

1一、柯西不等式

1.二維形式的柯西不等式

（a2+62）（c2+d2）（ac+&d）2（a,6,c,dER,當(dāng)且僅當(dāng)ad=be時，等號成立.）

2.二維形式的柯西不等式的變式

22

（1）y/a+b?+\ac+bd\（ayb,CydER,當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時，等號成立.）

（2）Va2+62-Vc2+d2>\ac\+\bd\（a,b,c,dER,當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時，等號成立.）

（3）（a+6）（c+d）>（Vac+Vbd）2（a,b,c,d>0,當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時，等號成立.）

2

3.擴(kuò)展：（Q；+Q；+Q：H-Fa，）（憂+b|+b：H---卜底）>（。也+a2b2+a3b3T---Fanbn）

2權(quán)方和不等式：

若a,b,x,y>Q則/+空刃I當(dāng)且僅當(dāng)烏=2時取等.

xyx-\-yxy

（注:熟練掌握這個足以應(yīng)付高考中的這類型最值問題可以實現(xiàn)對一些問題的秒殺）

廣義上更為一般的權(quán)方和不等式：

設(shè)電,叫，…應(yīng)e…，y“eR+,

m+1

以+i,破+i,,需+i、（X1+X2+---+x^

若？TI>0或m<—1,則

V1紡Vn（仇+紡+…+%）

若一1<小<0,則丁…丁、（%+紡+???+.?

上述兩個不等式中的等號當(dāng)且僅當(dāng)—=—=—=???=—時取等

V1紡禽Vn

注意觀察這個不等式的結(jié)構(gòu)特征，分子分母均為正數(shù)，且始終要求分子的次數(shù)比分母的次數(shù)多1,

出現(xiàn)定值是解題的關(guān)鍵，特別的，高考題中以m=l最為常見，此時這個不等式是大家熟悉的柯

西不等式.?M

考點一權(quán)方和不等式全解析

典例引領(lǐng)

四_￡若正數(shù)，，夕滿足上+工=1,則2+2夕的最小值為______

力y

吼2若①>°'夕>°,$+房=2,則60+5"的最小值為

如已知正數(shù).滿足《+￡=]’則的最小值為

2X2-\-Xy2+y

]

網(wǎng)]4若a>l,b>0,a+b=2,則+y-的最小值為

a—1b----------

22

而15若a>l,b>l,則ab的最小值為

b—1a—1

詞6已知正數(shù)力，y,z滿足力+0+z=1,則的最小值為

y+2zz+2力x+^y

題7已知正數(shù)名，“2滿足/+“+z=l,則工+叁+2的最小值為

■---xyz----------

???

血］8已知正數(shù),夕滿足，+夕=1,則工+區(qū)的最小值為

Xy

/一

皿求器+高的最小值為

期110求"力)=5+8的最小值為

2sin2x+35cos2力+6

而11權(quán)方和不等式”是由湖南理工大學(xué)楊克昌教授于上世紀(jì)80年代初命名的.其具體內(nèi)容為:設(shè)冊＞0,圖

m+lm+1m+1m+1（Qi+。2+Q3T----l-a）m+1當(dāng)日僅當(dāng)ai

n_電_

一,一…，、印嫄媛常（仇+62+63+…+勾廠仇戾

與)，當(dāng)"+取得最小值時，，

善=...=魯時，等號成立.根據(jù)權(quán)方和不等式，若，e（o,的值為

27COST

dbnsmx

()

A-2Lp_ZLO兀D?得

A，12B，6GT

皿已知正數(shù)”滿足:+\=L則+二,的最小值為一

4

題13已知c+2夕+3z+4〃+5。=30,求療+2靖+3z?+4u2+的最小值為

?M

網(wǎng)）14已知a>0,b>0,a+b=5,求Va+T+Vb+3的最大值為

(^115求/(力)=—3力+2+J2+3力一力2的最大值為

網(wǎng)116已知正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1,求，3。+1+，36+1+V3c+1的最大值為

考點二

典例引領(lǐng)

血］1用柯西不等式求函數(shù)"=岳二五十斤多的最大值為()

A.V22B.3C.4D.5

網(wǎng)］2由柯西不等式，當(dāng)c+2”+z=4時，求石+、歷+V7的最大值為()

A.10B.4C.2D.V10

題◎已知eye(o,+8),若乃+3的〈孰//恒成立，利用柯西不等式可求得實數(shù)k的取值范圍是

_______________________________________________________________________________________________________J

的4已知2力+3g+6z=12,求/+#/的最小值.（利用柯西不等式）

5已知正實數(shù)a,b,c,d滿足a+b+c+d=l,則的最小值

a+b+cb+c+dc+d+ad+a+b

是.

吼色已知非負(fù)實數(shù)a、b、c、d滿足ab+6c+cd+da=l,求證：/7+1三+鬲花

.

12.好題沖關(guān)

能力提升

一、單領(lǐng)

題目田（2024?山西臨汾?三模）若OV，＜1,則工+--的最小值是（）

X1—X

A.1B.4C.2+2V2D.3+2V2

BS-2024.江蘇揚州.模擬預(yù)測）已知C。,心。，且2f=1，則詈的最小值為（）

A.4B.4V2C.6D.2V2+3

題目區(qū)（2024?江蘇南通二模）設(shè)。＞0,沙＞0,里+2g=2,則；r+上的最小值為（）

Xy

A.B.2A/2C.+vnD.3

?M

題目目（2024.四川成都.模擬預(yù)測）若a力是正實數(shù)，且/+丁1r=1,則a+6的最小值為（）

3a+o2a+46

42

A.多B.4C.1D.2

53

題目回（2024.河南.模擬預(yù)測）己知點P⑶n）在以原點。為圓心，半徑r=/的圓上，則—+的

x+1y+1

最小值為（）

I題目回（2024.全國.模擬預(yù)測）設(shè)正實數(shù)a,6滿足a+6=2,則白+小的最小值為（）

a+16+2

題目［7j（2021?浙江?模擬預(yù)測）已知c>0,9G兒且/+我一2+5y=30,則+j30—3g的最大值為

A.V3B.V6D.3V2

1目回（高三上?浙江寧波?期中）設(shè)a,b為正實數(shù)，且&+26+工+卷=學(xué)，則上+工的最大值和最小值

ab2ab

之和為（）

A.2B.yC.y-D.9

題目回（2024.遼寧.一模）已知小>2n>0,則+也的最小值為（）

m—2nn

A.3+2V2B.3-2V2C.2+3V2D.3V2-2

【題目I10〕（23-24高一上?甘肅蘭州?期末）對任意實數(shù)x>l,y>^-,不等式/Q"）+］恒成

立,則實數(shù)a的最大值（）

A.2B.4C.D.2V2

二、填空題

題目彳口（2024?寧夏石嘴山.模擬預(yù)測）已知（0,+8）,+n=4,則m+?的最小值為.

mn----------

題目亙（2024.內(nèi)蒙古呼和浩特?一模）已知實數(shù)。>0,b>2,且-4T+鼻=春,則2。+b的最小值是

Q+1b—23

■亙（2。24.河南.三模）在中，角4BC的對邊分別為若a+b+c=2,則是+十的最

小值為?

題目W（2024.廣西河池.模擬預(yù)測）若實數(shù)a>1>6>0,且a?+26="+2a,則」彳+《的最小值為

a—1b

題目E（2。24.全國.模擬預(yù)測）已知2>1,"。,且‘+￡=2,則」+"的最小值是一

題目正（2024?全國?模擬預(yù)測）已知2>V>0,—『+」一=!_,則2c—g的最小值為

x-\-yx—y----------

題目兀（21-22高三上?天津南開?期中）已知正實數(shù)a,6滿足a+6=1,則十+爵的最小值為.

題目逗（2024.江西.一模）已知正數(shù)c,v滿足，+夕=6,若不等式aW+-^―恒成立，則實數(shù)a的取