2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)3.1函數(shù)的概念與性質(zhì)3.1.2函數(shù)的單調(diào)性第2課時(shí)函數(shù)的平均變化率課后課時(shí)精練新人教B版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE1第2課時(shí)函數(shù)的平均變化率A級(jí)：“四基”鞏固訓(xùn)練一、選擇題1．已知函數(shù)f(x)＝x2＋4圖像上的兩點(diǎn)A，B，xA＝1，xB＝1.3，則直線AB的斜率為()A．2 B．2.3C．2.09 D．2.1答案B解析∵f(1)＝5，f(1.3)＝5.69，∴kAB＝eq\f(f1.3－f1,1.3－1)＝eq\f(5.69－5,0.3)＝2.3，故選B.2．函數(shù)f(x)＝eq\r(2x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的平均變化率為()A．2 B.eq\f(2,3)C.eq\f(2\r(2),3) D.eq\r(2)答案B解析函數(shù)f(x)＝eq\r(2x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的平均變化率為eq\f(f2－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))),2－\f(1,2))＝eq\f(2－1,\f(3,2))＝eq\f(2,3).故選B.3．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x≥1，,－x2＋2，x<1))的最大值為()A．1 B．2C．3 D．4答案B解析當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)≤f(1)＝1，當(dāng)x<1時(shí)，f(x)≤f(0)＝2，所以函數(shù)f(x)的最大值為2.故選B.4．如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0))，頂點(diǎn)C，D位于第一象限，直線l：x＝t(0≤t≤eq\r(2))將正方形ABCD分成兩部分，設(shè)位于直線l左側(cè)部分的面積為f(t)，則函數(shù)S＝f(t)的圖像大致是()答案C解析判斷S＝f(t)的圖像，可用觀察法，直線l在運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)之前，左側(cè)面積增大的速度越來越快，而過了B點(diǎn)之后，左側(cè)面積增大的速度越來越慢，而速度的快、慢反映在圖像上是陡、緩．故選C.5．已知函數(shù)y＝x2－2x＋3在區(qū)間[0，m]上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是()A．[1，＋∞) B．[0,2]C．(－∞，2] D．[1,2]答案D解析由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2知，當(dāng)x＝1時(shí)，y的最小值為2，當(dāng)y＝3時(shí)，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2.由y＝x2－2x＋3的圖像知，當(dāng)m∈[1,2]時(shí)，能保證y的最大值為3，最小值為2.二、填空題6．如圖，函數(shù)y＝f(x)在A，B兩點(diǎn)間的平均變化率為________．答案－1解析由函數(shù)平均變化率的定義可得，函數(shù)y＝f(x)在A，B兩點(diǎn)間的平均變化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f3－f1,3－1)＝eq\f(1－3,3－1)＝－1.7．函數(shù)y＝－x2＋6x＋9在區(qū)間[a，b](a<b<3)上有最大值9，最小值－7，則a＝_______，b＝_______.答案－20解析y＝－(x－3)2＋18，∵a<b<3，∴函數(shù)y在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，即－b2＋6b＋9＝9，得b＝0(b＝6不符合題意，舍去)，由－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2(a＝8不符合題意，舍去)．8．已知－x2＋4x＋a≥0在x∈[0,1]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案[0，＋∞)解析－x2＋4x＋a≥0，即a≥x2－4x，x∈[0,1]，也就是a應(yīng)大于或等于f(x)＝x2－4x在[0,1]上的最大值，函數(shù)f(x)＝x2－4x在x∈[0,1]的最大值為0，∴a≥0.三、解答題9．證明函數(shù)f(x)＝eq\r(x)＋x是增函數(shù)．證明設(shè)x1≠x2，則eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq\f(\r(x2)＋x2－\r(x1)－x1,x2－x1).∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0，＋∞)，∴eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(1,\r(x2)＋\r(x1))＋1.∵x1，x2∈[0，＋∞)，∴eq\f(Δf,Δx)>0.∴函數(shù)f(x)＝eq\r(x)＋x是增函數(shù)．10．判斷函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x＋2)在區(qū)間[2,4]上的單調(diào)性，并求這個(gè)函數(shù)在該區(qū)間上的最值．解設(shè)x1≠x2，則eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq\f(\f(x2,x2＋2)－\f(x1,x1＋2),x2－x1)＝eq\f(2,x1＋2x2＋2).∵x1，x2∈[2,4]，∴x1＋2>0，x2＋2>0.∴eq\f(Δf,Δx)>0，∴函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x＋2)在區(qū)間[2,4]上是增函數(shù)．故該函數(shù)在區(qū)間[2,4]上的最大值為f(4)＝eq\f(2,3)，最小值為f(2)＝eq\f(1,2).B級(jí)：“四能”提升訓(xùn)練1．很多人都吹過氣球．回憶一下吹氣球的過程，可以發(fā)現(xiàn)，隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來越慢．若已知?dú)馇虻捏w積V(單位：L)與半徑r(單位：dm)之間的函數(shù)關(guān)系式為V(r)＝eq\f(4,3)πr3，從數(shù)學(xué)的角度，如何描述這種現(xiàn)象呢？解將半徑r表示為體積V的函數(shù)，得r(V)＝eq\r(3,\f(3V,4π)).當(dāng)空氣容量V從0增加到1L時(shí)，氣球半徑增加了r(1)－r(0)≈0.62(dm)，氣球的平均膨脹率為eq\f(r1－r0,1－0)≈0.62(dm/L)．類似地，當(dāng)空氣容量V從1L增加到2L時(shí)，氣球半徑增加了r(2)－r(1)≈0.16(dm)，氣球的平均膨脹率為eq\f(r2－r1,2－1)≈0.16(dm/L)．可以看出，隨著氣球體積逐漸變大，它的平均膨脹率逐漸變小了，即隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來越慢．2．已知f(x)＝eq\f(x,x－a)(x≠a)．(1)若a＝2，試證明f(x)在(－∞，2)上單調(diào)遞減；(2)若a>0，且f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解(1)證明：當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝eq\f(x,x－2).設(shè)x1≠x2，則eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq\f(\f(x2,x2－2)－\f(x1,x1－2),x2－x1)＝eq\f(－2,x1－2x2－2).當(dāng)x1，x2∈(－∞，2)時(shí)，有x1－2<0，x2－2<0，∴eq\f(Δf,Δx)<0.∴f(x)在(－∞，2)上單調(diào)遞減．(2)設(shè)x1≠x2，則eq\f(Δf,Δx)＝