初中數(shù)學中考復習講義練習：面積的存在性問題解題策略

面積的存在性問題解題策略

專題攻略

面積的存在性問題常見的題型和解題策略有兩類：

第一類，先根據(jù)幾何法確定存在性，再列方程求解，后檢驗方程的根.

第二類，先假設關(guān)系存在，再列方程，后根據(jù)方程的解驗證假設是否正確.

例題解析

例?如圖1-1,矩形ABCD的頂點C在y軸右側(cè)沿拋物線

y=f-6x+10滑動，在滑動過程中8/戊軸，CD=1,48在

的下方.當點。在y軸上時，落在x軸上.當矩形48CZ)

在滑動過程中被x軸分成兩部分的面積比為1:4時，一求點C的

坐標.

圖1-1

【解析】先求出圓=5,再進行兩次轉(zhuǎn)化，然后解方程.

把上下兩部分的面積比為1：4轉(zhuǎn)化為S上：S全=1：5或S上：S全=4：5.

把面積比轉(zhuǎn)化為點C的縱坐標為1或4.

如圖1-2,

例?如圖2-1,二次函數(shù)y=(x+相＞+上的圖象與x軸交于A、8兩點，頂點M的坐標

為(1,—4),AM與y軸相交于點C,在拋物線上是否還存在點P,使得SAPMB=SABCM，如存在,

求出點尸的坐標.

【解析】△BCM是確定的，與三角形有公共邊根據(jù)“同底等高的三

角形面積相等”和“平行線間的距離處處相等”，過點C畫的平行線與拋物線的交點就

是點P.一目了然，點尸有2個.

由y=(x-l)2—4=(x+l)(x-3),得4(一1,0)，8(3,0).由A、M,得C(0,-2).

如圖2-2,設尸(x,f—2x—3),由尸C〃2M,得NCPE=/BMF.所以烏=".

PEMF

解方程0一1)一一4+2=±,得尤=2±?.所以尸(2+后,2+2君)或(2-&\2-26).

x2

例?如圖3-1,直線>=尤+1與拋物線y=—f+2x+3交于A、8兩點，點尸是直線

A8上方拋物線上的一點，四邊形必。8是平行四邊形，當四邊形必。8的面積最大時，求

點P的坐標.

【解析】的面積最大時，平行四邊形玄。8的面積也最大.

我們介紹三種割補的方法求的面積：如圖3-2,把分割為兩個共底PE的

三角形，高的和等于A、B兩點間的水平距離；如圖3-3,用四邊形B4CB的面積減去△ABC

的面積；如圖3-4,用直角梯形的面積減去兩個直角三角形的面積.

我們借用圖3-2介紹一個典型結(jié)論.已知4—1,0）、3（2,3）,設尸（無一，+2工+3）.

S^PAB=S^PAE~\~S^PBE=-^PE（AF+BD）—~（yp一%）（%5一%A）

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=-（-x2+%+2）X3=--（X--）2+—?

2228

當尤=工時，△B48的面積最大.x=!的幾何意義是點E為AB的中。點，這是一個典型

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結(jié)論.同時我們可以看到，由于獨一冽是定值，因此當PE最大時，△B42的面積最大.

例?如圖4-1,在平行四邊形ABC。中，AB=3,BC=5,ACLAB,△AC。沿AC方

向勻速平移得到△PMW,速度為每秒1個單位長度；同時點。從點C出發(fā)，沿CB方向勻

速移動，速度為每秒1個單位長度；當△PNM停止運動時，點。也停止運動，如圖4-2,

設移動時間為/秒（0<f<4）.是否存一在某一時刻f,使SA°MC：S四娜AB°P=1：4?若存在，

求出」的值；若不存在，請說明理由.

△A8C的一部分.

因此S^QMC:S四邊形A80P=1：4就轉(zhuǎn)化為S^QPC:SAABC=1?5,更進一步轉(zhuǎn)化為S^QPC

如圖4-3,解方程工義9（4—/）4=9,得片2.

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圖4-3

例?如圖5-1,在平面直角坐標系中，點A的坐標為（0,1）,直線y=2x-4與拋物線

y=；%2相交于點8,與y軸交于點。.將△A3。沿直線8。折疊后，點A落在點C處(如

圖5-2),問在拋物線上是否存在點P,使得SAPCO=3SAMB?如果存在，請求出所有滿足條

件的點尸的坐標；如果不存在，請說明理由.

一圖1圖2

【解析】由4。，1)，8(4,4),D(0,-4),可得AB=A￡>=5,這里隱含了四邊形A￡>CB

是菱形.因此△■?(?￡)與是等底三角形，而且兩底CD//AB.

如果SAPCD=3SAPAB，那么點P到直線CD的距離等于它到直線AB距離的3倍.

如果過點P與CD平行的直線與y軸交于點Q,那么點Q到直線CD的距離等于它到直

線AB距離的3倍.

所以?！?=3。4.點。的位置有兩個，在D4的延長線上或4。上.

如圖53過點。(0，/畫C。的平行線，得21±普，&士|叵，或

如圖5-4,過點2(0,--)畫CD的平行線，得p(l±Yl,Z±±5),或(三立,05).

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例?如圖6-1,拋物線>經(jīng)過點及6,幾)，與x軸正半軸交于點A,若點尸

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為拋物線上位于第一象限內(nèi)的一個動點，以/、0、A、E為頂點的四邊形的.面積記作S,則

S取何值時，相應的點P有且只有3個?

【解析】如圖6-2,當點P在直線AE上方的拋物線上，過點P作AE的平行線，當這

條直線與拋物線相切時，△麗的面積最大.這時我們可以在直線0E的上方畫一條與0E

平行的直線，這條直線與拋物線有2個交點P和P",滿足SAPAE=SAP，OE=SAP，，OE.

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設過點P與直線AE平行的直線為y=x+根，聯(lián)立y=—消去y,一整理，

得f—iex+gm：。.由A=0,解得〃2=8.

因此方程f—16x+64=o的根為陽=尤2=8.所以尸(8,2).

如圖6-3,作軸于“，可以求得S=S西娜OAPE=9+5+2=16.

分別為(0,6)、(-4,0).若將“使△2￡>￡的面積為整數(shù)”的點P記作“好點”，請寫出所有

“好點”的個數(shù).

圖7-1

【解析】第一步，求的面積S關(guān)于點尸的橫坐標x的函數(shù)關(guān)系式；第二步，分

析S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

如圖7-2,SAPDE=SAPOD~\~SAPOE—SADOE=--^-(x+6)2+13.

因此S是x的二次函數(shù)，對稱軸為直線x=—6,S的最大值為13.

如圖7-3,當一8WxW0時，4WSW13.所以面積的值為整數(shù)的個數(shù)為10.

當5=12時，對應的x有兩個解一8,-4,都在一8WxW0范圍內(nèi).

所以“使△2￡>￡的面積為整數(shù)”的“好點”尸共有11個.

例?如圖8-1,在平面直角坐標系中，已知點A的坐標為（。，3）（其中a>4）,射線

與反比例函數(shù)》=一的圖象交于點P,點、B、C分

X,

別在函數(shù),="的圖象上，且A2//X軸，AC//y軸.試

X

說明24處的值是否隨a的變化而變化？一3>*

SAACP

圖8-1

【解析】如圖8-2,我們在“大環(huán)境”中認識這個問題,關(guān)系清清楚楚.

由于所以所以、。至［

Si=S2,SM6O=S3CO.8JP\

E---------

A0的距離相等.于是△A3P與△AC尸就是同底等高Q/、

的三角形，它們的面積比為1.

OF

圖8-2

例?如圖9-1,已知扇形AOB的半徑為2,圓心角/AO8=90°,點C是弧AB上的

,CD_LOA于。，CE1.0B于E,求四邊形。Z：

住

ODA

圖9-1

【解析】如圖9-2,圖9-3,設矩形ODCE的對角線交于點F,那么0尸=1為定值.

作OHLDE于H,那么OHWOF.因為DE=2為定值，因此當OH與。尸相等時（如

圖9-4),△OOE的面積最大,最大值為1.所以矩形ODCE的面積的最大值為2.

例?如圖10-1,在△ABC中，ZC=90°,AC=6,8C=8,設直線/與斜邊AB交于

點、E,與直角邊交于點足