2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練：高考大題(四) 立體幾何的綜合運(yùn)用

專練40高考大題專練（四）立體幾何的綜合運(yùn)用

授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書85頁

1.[2023?新課標(biāo)I卷]如圖，在正四棱柱ABCD-AiBiCiZh中,AB-2,AAi=4.點(diǎn)4，昆，C2,。2分別

在棱AAi，BBi，CCi，DDi±,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

（1）證明:B2C2//AiDi；

⑵點(diǎn)P在棱BBi上，當(dāng)二面角P-A2c2-。2為150。時(shí)，求B2P.

解析：（1）方法一依題意，得瓦己=瓦瓦+

BICI+CIC2=DD2+AD+AM=AZD^,

所以

B2C2//A2D2.

方法二以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD,CB,CC1所在直線分別為無，y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系，則&(0,2,2),C2(0,0,3),A2(2,2,1),D2(2,0,2),

所以瓦7=(。，-2,1),瓦瓦=(。，一2,1),

所以用不=由兀，所以82c2〃4。2.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，建系方法同(1)中方法二，設(shè)BP="(0W"W4),則尸(0,2,〃),

所以P42=(2,0,1—/1),PC2—(0,—2,3—n),

設(shè)平面B42c2的法向量為a=(xi,yi,zi),

jPA2?a=0[2J-I+(1—n)zi=0

所以4_.，則4,

IPC2?a=0I—2yi+(3—〃)=0

令為=〃-1,得〃=(〃-1,3—n,2).

設(shè)平面A2c2。2的法向量為萬=。2,>2,Z2),

由(1)方法二知，不百=(-2,-2,2),不方=(0,-2,1),

[A2c2,b=0

所以〈____,，

|42。2,b=0

f-2x2一2y2+2Z2—0

貝葉_2y2+z2=0，

令m=1,得:=(1,1,2).

所以|cos150°|=|cos〈a,b)\—

_______I”一1+3-"+4|_______小

(n—1)2+4+(3—M)2X-\/62'

整理得4〃+3=0,解得〃=i或〃=3,

所以8P=1或8P=3,

所以82P=1.

2.[2023?新課標(biāo)II卷]如圖，三棱錐A-BCD中，DA=DB=DC,BD±CD,ZADBZADC^6Q0,E

為8C的中點(diǎn).

⑴證明：BC±DA；

(2)點(diǎn)/滿足濟(jì)=DA,求二面角O-AB-F的正弦值.

解析：(1)如圖，連接。E,AE,

因?yàn)椤=D8,且E為3C的中點(diǎn)，

所以DELBC.

因?yàn)?A￡)B=NAOC=60。，DA^DA,DC=DB,

所以△A￡)B名AADC(SAS).

可得AC=A3,ikAE±BC.

因?yàn)椤nAE=E,DE,AEu平面AOE,所以BC_L平面ADE

又。Au平面ADE,所以8C_LZ)A

（2）由（1）知，DEIBC,AE±BC.

不妨設(shè)DA=DB=DC=2,因?yàn)?AOB=/AOC=60。，所以AB=AC=2.

由題可知△Z）BC為等腰直角三角形，故DE=EB=EC=^.

因?yàn)锳E_LBC,所以AE=y/AB2—EB2=6.

在△AOE中，AEr+ED^^AD2,所以AE_LED.

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，M所在直線為x軸，班所在直線為y軸，EA所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖，則0（^2,0,0）,2（0,^2，0）,A（0,0,y[2）,DA=（一陋，0,陋），函=（0,一也，爽）.

設(shè)網(wǎng)XF,",ZF）,因?yàn)槌?DA,所以（封，"，ZF）=（一/，0,也），可得F（一小,0,也）.

所以前=(啦，0,0).

設(shè)平面ZMB的法向量為機(jī)=(xi,yi,zi),

DAm=0f—也x+也z=0

則，，即jll，取x=l,則y=z=l,m=(1,1,1).

〔函m=0J6+任=0

設(shè)平面A5尸的法向量為〃=(X2,>2,Z2),

FAn=0f^/2x=0

則<，即Ji-仁，得x=0,取y=1,則z=l,M=(0,1,1).

Un=0l-V2y+V2z=0

r、mn_______2_^6

所6以|Mcosz[m,n)—Ml川—gxg"3-

記二面角ZX42-F的大小為仇貝!]sin0=qi—cos24m,為1一(坐)2=

故二面角ZX42-F的正弦值為害.

3.[2024?九省聯(lián)考]如圖，平行六面體ABCZXAiBCiOi中，底面ABC。是邊長(zhǎng)為2的正方形，。為AC

與瓦）的交點(diǎn)，AAi=2,ZClCB=ZClCD,ZClCO=45°.

o,「

（1）證明：GO_L平面ABC。；

（2）求二面角8-441勿的正弦值.

解析：（1）證明：連接BG,DCi,

因?yàn)榈酌?2C￡)是邊長(zhǎng)為2的正方形，所以BCnOC,

又因?yàn)镹GCB=NGC。，CG=CG,

所以△GC3咨△GCZ),所以BCi=￡>Ci,

點(diǎn)O為線段8。中點(diǎn)，所以G0L2。，

在△GCO中，CG=2,CO=：AC=p,/GCO=45。，

北2,巫CiC^+OC-CiO2

所以cos/CiCO=r.=rye「7=>CiO=yr2,

乙ZXCiCX(JC

則C^^OC?+CxO-^CxOrOC,

又OCCBD=O,oct平面ABC。，BOu平面ABC。，

所以GO_L平面ABCD

(2)由題知正方形ABC。中ACJ_B。，CiOJ_平面ABC。，所以建系如圖所示,

則8（0,^2,0）,0（0,一也，0）,A（^2,0,0）,C（一也，0,0）,Ci（0,0,陋）,

則A4I=CG=N^,0,^2）,

AB=（一也，W，0）,Ab=（一啦，—地，0）,

設(shè)平面A4Al的法向量為ffi=（xi,yi,Z1）,平面D4A1的法向量為"=（X2,”，Z2）,

AA7,m=Q

則1元?帆=。=產(chǎn)；+也［°—）,

〔一也為+也刀=0

[AAi?n=Q

1Al5?n=0（y[2x2+y[2z2=0

寸—也—記『。n"=Q'-1,-1）,

設(shè)二面角B-AAi-D大小為仇

則?！?。=湍=忌忑=I心inf一商。T

所以二面角B-AAt-D的正弦值為手.

4.［2023?全國(guó)甲卷（理）］如圖，在三棱柱ABC-AiBiCt中，4C_L平面ABC,ZACB=9Q°,A4i=2,Ai

到平面BCGBi的距離為1.

(1)證明：AiC^AC；

(2)已知AAi與BBi的距離為2,求ABi與平面BCCB所成角的正弦值.

解析：(1)如圖，過4作垂足為。，

：4C_L平面ABC,BCu平面ABC,

：.AiC±BC,

又/AC8=90°,：.AC±BC,

VAiC,ACu平面ACG4,

且AiCCAC=C,

平面ACGAi,

平面ACC',：.BC±AiD,

又CCi,8Cu平面BCCiS,且CCiC8C=C,平面BCGS,

**.AiD=l.

由已知條件易證41cl是直角三角形，又CG=AAi=2,Ai￡)=l,

二。為CG的中點(diǎn)，又AbDLCG,

**?AiC=AiC*i)

又在三棱柱ABC-A/iG中，AC=AiCi,

AAiC=AC.

(2)如圖，連接AiB,由(1)易證48=481,故取8修的中點(diǎn)孔連接AF,

VA41與BBi的距離為2,.*.AiF=2,

又4。=1且AC=AC,

：.AlC=AiCl=AC=y[2,AB-小，BC=\[3.

建立空間直角坐標(biāo)系C-盯z如圖所示，

則C（0,0,0）,A（巾,0,0）,B（0,y/3,0）,6（一也，小，正）,G（一也，0,鏡）,

：.CB=(0,小，0),CC1=(-V2,0,陋)，AB1=(-2V2，小，巾),

設(shè)平面8CG51的法向量為〃=(%,y,z),

{n?CB=0,產(chǎn)=0,取

則1―>即J7=1,

\n?CCi=0,[一y[2x+&,z=0,

則y=0,z=1,

平面BCGS的一個(gè)法向量為〃=(1,0,1).

設(shè)AS與平面8CC1B1所成角為0,

周?,JAB

則sin6A=?cos</n,AB,>I=-I-----,——=>I?=^yTr7~s.

\n\\AB1\13

與平面BCCiBi所成角的正弦值為*?.

5.[2024?新課標(biāo)II卷]

如圖，平面四邊形ABCZ)中，AB=8,CD=3,AD=5^3,ZADC=90°,/8AZ)=30。，點(diǎn)E,尸滿足

靠=mAB,壽=不施，將△AE/沿所翻折至使得PC=4小.

⑴證明:EF±PD；

(2)求平面PCD與平面P8F所成的二面角的正弦值.

_A2_A_A1_A

解析：(1)證明：AD=5y/3,AB=8,AEAD,AF=5A8,

：.AE=2yf3,AF=4.

在△AEF中，由余弦定理得

EF2=AF2+AE2~2AF-AE-cosA=16+12-2X4X2V3X坐=4,

則EF=2,

：.在△AEF中，EF2+AE1=4產(chǎn)，

：.EF±AE.

又,?AAEF沿EF翻折至

J.EFLPE.

又；AEnPE=E,AE,PEu平面PED,

平面PED.

又：PZ)u平面PED,

：.EF±PD.

⑵由⑴知所，AE,

又?.?CO_LA。，：.CD//EF.

,/EF_L平面PED,；.C￡>_L平面PED.

又；POu平面PED,：.CD±PD.

在RtAPCD中，PDKPC-CD?=A/39.

又,：ED=AD—AE=3小,：.PE2+ED-^PD2,

：.PE±ED.

...以E為原點(diǎn)，EF,ED,“所在直線分別為X,y,Z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則尸（0,0,25）,F（2,0,0）,0（0,34，0）,8（4,2小,0）,C（3,3小，0）,

：.FP=(-2,0,2小),BP=(-4,-2^3,2^3),CD=(一3,0,0),DP=(0,-3^3,2事).

設(shè)平面PBF的法向量為“=(尤i,yi,zi),

FPn—0,—2xi+2，§zi=0,

則《即

—4xi—2^3yi+2-\/3zi=0,

BPn—Q,

令zi=l,貝I〃=（小，—1,1）.

設(shè)平面PCD的法向量為》1=（X2,yi,Z2）,

CD'm=Q,[—3x2=0,

則即r.r

^DP.m=O,1-3^+2^322=0,

令Z2=3,則機(jī)=(0,2,3).

設(shè)平面PCD與平面P&F所成的二面角的平面角為e,

則|cos6|=|cos〈"，帆〉尸面向=詬，

sin9=y[l—co^0.

6.

[2024?新課標(biāo)I卷]如圖，四棱錐P-ABCD中，E4_L底面ABC。，B4=AC=2,BC=1,AB=y[3.

(1)若AO_LPB,證明：A?！ㄆ矫鍼8C；

■x/42

(2)若AO_LOC,且二面角A-CAD的正弦值為工廠，求AD

解析：(1)證明：由8C=1,AB=y[3,AC=2可得，

AC2=AB2+BC2,：.AB1,BC.

又B4_L底面ABC。，BCu底面ABCD,

：.BC±PA.

又ABCE4=A,AB,B4u平面E4B,

.?.8(7，平面PAB.

：B4_L底面A8CD,AOu底面A3CZ),

：.AD±PA.

又且PBCB4=P,PB,E4u平面P48,

.?.4。_1平面如2,：.AD//BC,

又BCu平面PBC,AZM平面P8C,〃平面P8C.

(2)

p

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,0C所在直線分別為％,y軸，過點(diǎn)。且垂直于平面A5CO的直線為z軸，建立

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則。(0,0,0),

設(shè)A(x,0,0)(0<x<2),貝0,2),C(0,74T,0).

則元=(一心業(yè)T,0),AP=(0,0,2),DC=(0,,4T,0),DP=(x,0,2).

設(shè)平面ACP的法向量為〃i=(xi,yi,zi),

nvAC=0,

貝(_

nrAP=0,

目(—%)+竺々4一0=0,

即彳令y尸工,

l2zi=0,

則％1=)4—x2,.*.HI=(^/4—x2,x,0).

設(shè)平面CPZ)的法向量為"2=(X2,>2,22),

n2-DC—0,.々4——=0,

則《即，令Z2=X,則X2=—2,

%加+

、敢?￡)尸=0,2Z2=0,

/i2=(—2,0,x).

設(shè)二面角A-CP-D的平面角為仇

222

?,八⑶?敢I2A/4—x\l4~xEo八4—xA/429

貝怔°SO尸麗=卡==爭(zhēng)力,則Sir0=l—COS20=1一審=(7)2,

解得(負(fù)值舍去).

即AD的長(zhǎng)為切.

7.[2024?全國(guó)甲卷(理)]

如圖，在以A,2,C,E,歹為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形,E尸〃AD,

BC//AD,A￡>=4,AB=BC=EF=2,ED=?,FB=2小,M為4。的中點(diǎn).

(1)證明：8M〃平面CDE；

(2)求二面角F-BM-E的正弦值.

解析：(1)證明：由8c=2,A￡)=4,點(diǎn)M為A。的中點(diǎn)得8c=Z)M.

XBC//MD,所以四邊形BCDM為平行四邊形，則BM〃CD

又COu平面CDE,平面CDE,所以〃平面CDE.

(2)由(1)知BM=C￡),又CD=AB,所以8M=AB=2,

同理易知AP=FM=EL)=?.

取AM的中點(diǎn)。，連接。3,OF,則OF_LAM,OBLAM,0F=3,0B=y[3,又BF=2小,所以B產(chǎn)

=。戶+0"，則OB_LOP,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,OD,。尸所在直線分別為無，y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則F(0,

0,3),B(V3,0,0),M(0,1,0,),E(0,2,3),所以麗=(小，0,—3),BM=(一小，1,0),ME

=(0,1,3).

設(shè)平面FBAZ的法向量為yi,zi),由

[FB?m=4^>jci-3句=0,

iBM?+)i=0,

取Z1=1,可得,9=3,則m,3,1).

同理可取平面BME的一個(gè)法向量為〃=(S,3,-1),

所以cos〈帆，n)=禽：|,所以sin〈根，n)/1—(41)2=今§,即二面角尸的

正弦值為今g.

8.

[2022?新高考I卷，19]如圖，直三棱柱ABC—AiBiCi的體積為4,△4BC的面積為2

⑴求A到平面A\BC的距離；

(2)設(shè)。到AC的中點(diǎn)，AAi=AB,平面ABC,平面ABBiAi，求二面角4一2。一。的正弦值.

解析：(1)設(shè)點(diǎn)A到平面A1BC的距離為〃.

VV三棱錐Ai—A8C=V三棱錐A-AiBC

14

=3V三棱柱ABC—，

-S/\AiBC-h=^X4.

又,；S4AiBC=2吸,；.h=p.

.?.點(diǎn)A到平面ABC的距離為明.

圖①

(2)方法一如圖①，取的中點(diǎn)E,連接AE.

由A4i=A8,AAi±AB,得且4B.

:平面Ai8CJ_平面ABBiAi,

平面AiBCC平面ABBiAi=AiB,AEu平面ABB^Ai,

.?.AE_L平面ABC,：.AE=h=\f2,AELBC,

:.AiB=2巾,.,.AAi=AB=2.

由V三棱柱ABC—Ai8iCi=4,44i=2,得2sAABC=4,

SAABC=2.

易知A4I_LBC,AELBC,AiEdAA^A,

；.BC_L平面A1A3,：.BC±AB,，BC=2.

過點(diǎn)A作ARLBO于點(diǎn)尸，連接所，

易得/￡硒即為二面角A—B。一C的平面角的補(bǔ)角.

易得AC=、AB2+2c2=2吸,

則4。=［封+0=25.

VAiB