空氣動(dòng)力學(xué)基本概念：流場(chǎng)：流場(chǎng)數(shù)值模擬基礎(chǔ)

空氣動(dòng)力學(xué)基本概念：流場(chǎng)：流場(chǎng)數(shù)值模擬基礎(chǔ)1空氣動(dòng)力學(xué)基本概念：流場(chǎng)1.1流體的連續(xù)性方程連續(xù)性方程描述了流體在流動(dòng)過程中質(zhì)量守恒的原理。在不可壓縮流體中，流體通過任意截面的流量保持恒定。數(shù)學(xué)上，連續(xù)性方程可以表示為：?其中，ρ是流體的密度，v是流體的速度向量，??是散度算子。對(duì)于不可壓縮流體，ρ?1.1.1示例考慮一個(gè)二維不可壓縮流體流動(dòng)，速度場(chǎng)為v=ux,y,vx,y，其中u和v分別是ximportnumpyasnp

fromscipyimportndimage

#定義速度場(chǎng)

defvelocity_field(x,y):

u=np.sin(x)*np.cos(y)

v=-np.cos(x)*np.sin(y)

returnu,v

#創(chuàng)建網(wǎng)格

x=np.linspace(0,2*np.pi,100)

y=np.linspace(0,2*np.pi,100)

X,Y=np.meshgrid(x,y)

#計(jì)算速度場(chǎng)

u,v=velocity_field(X,Y)

#使用ndimage庫計(jì)算散度

divergence=ndimage.sobel(u,axis=0)+ndimage.sobel(v,axis=1)

#輸出結(jié)果

print("連續(xù)性方程驗(yàn)證結(jié)果（散度）：")

print(divergence)1.2動(dòng)量守恒方程動(dòng)量守恒方程，也稱為納維-斯托克斯方程，描述了流體在流動(dòng)過程中動(dòng)量的變化。對(duì)于不可壓縮流體，無粘性流動(dòng)的簡(jiǎn)化形式為：?其中，p是流體的壓力，g是作用在流體上的外力，如重力。1.2.1示例使用Python的SciPy和NumPy庫，我們可以模擬一個(gè)簡(jiǎn)單的二維不可壓縮流體流動(dòng)，其中僅考慮重力作用。importnumpyasnp

fromegrateimportsolve_ivp

#定義動(dòng)量守恒方程

defnavier_stokes(t,y,g):

u=y[0]

v=y[1]

du_dt=-1/rho*dP_dx+g[0]

dv_dt=-1/rho*dP_dy+g[1]

return[du_dt,dv_dt]

#參數(shù)設(shè)置

rho=1.225#空氣密度，單位：kg/m^3

dP_dx=0#x方向的壓力梯度

dP_dy=-9.81#y方向的壓力梯度，考慮重力

g=[0,-9.81]#重力加速度

#初始條件

y0=[1,0]#初始速度：u=1,v=0

#時(shí)間范圍

t_span=[0,10]

#解方程

sol=solve_ivp(navier_stokes,t_span,y0,args=(g,),t_eval=np.linspace(0,10,100))

#輸出結(jié)果

print("動(dòng)量守恒方程解：")

print(sol.y)1.3能量守恒方程能量守恒方程描述了流體流動(dòng)過程中能量的守恒，包括動(dòng)能、位能和內(nèi)能。對(duì)于不可壓縮流體，能量守恒方程可以表示為：?其中，E是總能量，f是單位體積的外力，T是應(yīng)力張量。1.3.1示例在Python中，我們可以使用數(shù)值方法來近似求解能量守恒方程。這里我們使用一個(gè)簡(jiǎn)化的模型，假設(shè)流體僅在x方向上流動(dòng)，且忽略粘性效應(yīng)。importnumpyasnp

#定義能量守恒方程

defenergy_conservation(t,E,v,P,f):

dE_dt=-v*dP_dx+v*f

returndE_dt

#參數(shù)設(shè)置

v=1#流體速度，單位：m/s

P=101325#壓力，單位：Pa

dP_dx=-100#x方向的壓力梯度

f=0#外力

#初始條件

E0=100#初始能量

#時(shí)間范圍

t_span=[0,10]

#解方程

E=np.zeros_like(t_span)

E[0]=E0

foriinrange(1,len(t_span)):

dt=t_span[i]-t_span[i-1]

E[i]=E[i-1]+dt*energy_conservation(t_span[i-1],E[i-1],v,P,f)

#輸出結(jié)果

print("能量守恒方程解：")

print(E)1.4流場(chǎng)分類：層流與湍流流場(chǎng)可以分為層流和湍流。層流是指流體流動(dòng)時(shí)，各流層之間互不混雜，流線平直且平行。湍流則是流體流動(dòng)時(shí)，流線變得極為復(fù)雜，流體內(nèi)部出現(xiàn)大量隨機(jī)的渦旋和脈動(dòng)。1.4.1層流示例考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的層流流動(dòng)，流體在管道中以恒定速度流動(dòng)。importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#管道尺寸

L=1#管道長(zhǎng)度

D=0.1#管道直徑

#創(chuàng)建網(wǎng)格

x=np.linspace(0,L,100)

y=np.linspace(-D/2,D/2,100)

X,Y=np.meshgrid(x,y)

#層流速度分布

u=np.zeros_like(X)

v=np.zeros_like(Y)

foriinrange(len(y)):

v[:,i]=2*U_max*(D/2-np.abs(y[i]))/D

#繪制速度分布

plt.figure()

plt.contourf(X,Y,v)

plt.colorbar()

plt.title('層流速度分布')

plt.xlabel('x')

plt.ylabel('y')

plt.show()1.4.2湍流示例湍流的模擬通常需要更復(fù)雜的數(shù)值方法，如大渦模擬（LES）或雷諾平均納維-斯托克斯方程（RANS）。這里我們使用一個(gè)簡(jiǎn)化的湍流模型，僅展示湍流速度場(chǎng)的隨機(jī)性。importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#創(chuàng)建網(wǎng)格

x=np.linspace(0,1,100)

y=np.linspace(0,1,100)

X,Y=np.meshgrid(x,y)

#湍流速度場(chǎng)

u=np.random.normal(0,0.1,X.shape)

v=np.random.normal(0,0.1,Y.shape)

#繪制速度場(chǎng)

plt.figure()

plt.quiver(X,Y,u,v)

plt.title('湍流速度場(chǎng)')

plt.xlabel('x')

plt.ylabel('y')

plt.show()以上示例和方程展示了空氣動(dòng)力學(xué)中流場(chǎng)的基本概念和數(shù)值模擬的基礎(chǔ)。通過這些示例，我們可以更好地理解流體流動(dòng)的物理過程和數(shù)學(xué)描述。2數(shù)值模擬基礎(chǔ)2.1網(wǎng)格生成技術(shù)網(wǎng)格生成技術(shù)是流場(chǎng)數(shù)值模擬中的關(guān)鍵步驟，它將連續(xù)的流體區(qū)域離散化為一系列有限的、規(guī)則或不規(guī)則的單元，以便于數(shù)值方法的計(jì)算。網(wǎng)格的質(zhì)量直接影響到數(shù)值解的準(zhǔn)確性和計(jì)算效率。網(wǎng)格可以分為結(jié)構(gòu)網(wǎng)格和非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格。2.1.1結(jié)構(gòu)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)網(wǎng)格通常在形狀規(guī)則的區(qū)域中使用，如矩形、圓柱形等。它由一系列平行的線段組成，形成矩形或正方形的網(wǎng)格單元。結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的生成相對(duì)簡(jiǎn)單，但對(duì)復(fù)雜幾何形狀的適應(yīng)性較差。2.1.2非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格適用于復(fù)雜幾何形狀的流體區(qū)域，它由不規(guī)則的多邊形或三角形組成。非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的生成較為復(fù)雜，但能更好地適應(yīng)復(fù)雜邊界條件，提高計(jì)算精度。2.2有限差分方法有限差分方法是將偏微分方程在空間和時(shí)間上離散化的一種數(shù)值方法。它通過在網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上用差商代替導(dǎo)數(shù)，將連續(xù)的微分方程轉(zhuǎn)換為離散的代數(shù)方程組。有限差分方法適用于求解偏微分方程的初值問題和邊界值問題。2.2.1示例代碼#一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程的有限差分求解

importnumpyasnp

#定義網(wǎng)格參數(shù)

L=1.0#材料長(zhǎng)度

N=10#網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)

dx=L/(N-1)#網(wǎng)格間距

#定義材料熱導(dǎo)率和邊界條件

k=1.0#熱導(dǎo)率

T_left=100.0#左邊界溫度

T_right=200.0#右邊界溫度

#初始化溫度分布

T=np.zeros(N)

#設(shè)置邊界條件

T[0]=T_left

T[-1]=T_right

#構(gòu)建有限差分方程

A=np.diag(np.ones(N-1)*2)-np.diag(np.ones(N-2),1)-np.diag(np.ones(N-2),-1)

A[0,0]=1

A[-1,-1]=1

#求解內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的溫度分布

T[1:-1]=np.linalg.solve(A,np.ones(N-2))

#輸出溫度分布

print(T)此代碼示例展示了如何使用有限差分方法求解一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程。通過構(gòu)建差分方程矩陣并求解，得到網(wǎng)格內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的溫度分布。2.3有限體積方法有限體積方法是基于控制體原理的數(shù)值方法，它將流體區(qū)域劃分為一系列控制體，然后在每個(gè)控制體上應(yīng)用守恒定律，得到控制體的守恒方程。有限體積方法適用于求解流體力學(xué)中的守恒方程，如連續(xù)性方程、動(dòng)量方程和能量方程。2.3.1示例代碼#二維不可壓縮流體的有限體積方法求解

importnumpyasnp

#定義網(wǎng)格參數(shù)

nx,ny=10,10#網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)

dx,dy=1.0/nx,1.0/ny#網(wǎng)格間距

#初始化速度場(chǎng)

u=np.zeros((nx,ny))

v=np.zeros((nx,ny))

#定義邊界條件

u[:,0]=0.0#左邊界速度

u[:,-1]=1.0#右邊界速度

v[0,:]=0.0#下邊界速度

v[-1,:]=0.0#上邊界速度

#構(gòu)建有限體積方程

foriinrange(1,nx-1):

forjinrange(1,ny-1):

#連續(xù)性方程

div_u=(u[i+1,j]-u[i-1,j])/(2*dx)+(v[i,j+1]-v[i,j-1])/(2*dy)

#動(dòng)量方程

u[i,j]=u[i,j]-div_u*dx

v[i,j]=v[i,j]-div_u*dy

#輸出速度場(chǎng)

print(u)

print(v)此代碼示例展示了如何使用有限體積方法求解二維不可壓縮流體的速度場(chǎng)。通過在每個(gè)控制體上應(yīng)用連續(xù)性方程和動(dòng)量方程，更新速度場(chǎng)。2.4有限元方法有限元方法是將連續(xù)的流體區(qū)域離散化為一系列有限的、規(guī)則或不規(guī)則的單元，然后在每個(gè)單元上應(yīng)用變分原理，得到單元的變分方程。有限元方法適用于求解復(fù)雜的流體力學(xué)問題，如非線性流體流動(dòng)、流固耦合問題等。2.4.1示例代碼#二維彈性體的有限元方法求解

importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義網(wǎng)格參數(shù)

nx,ny=10,10#網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)

dx,dy=1.0/nx,1.0/ny#網(wǎng)格間距

#初始化位移場(chǎng)

u=np.zeros((nx,ny))

v=np.zeros((nx,ny))

#定義材料參數(shù)

E=1.0#彈性模量

nu=0.3#泊松比

#構(gòu)建有限元方程

K=lil_matrix((nx*ny*2,nx*ny*2))

F=np.zeros(nx*ny*2)

#應(yīng)用變分原理

foriinrange(nx-1):

forjinrange(ny-1):

#計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃?/p>

Ke=np.array([[E/(1-nu**2),0,-E*nu/(1-nu**2),0],

[0,E/(2*(1+nu)),0,-E/(2*(1+nu))],

[-E*nu/(1-nu**2),0,E/(1-nu**2),0],

[0,-E/(2*(1+nu)),0,E/(2*(1+nu))]])/(dx*dy)

#計(jì)算單元力向量

Fe=np.array([0,0,0,0])

#更新全局剛度矩陣和力向量

K[i*ny*2:i*ny*2+4,i*ny*2:i*ny*2+4]+=Ke

F[i*ny*2:i*ny*2+4]+=Fe

#設(shè)置邊界條件

K[0,0]=1

K[-1,-1]=1

F[0]=0

F[-1]=0

#求解位移場(chǎng)

U=spsolve(K,F)

#更新位移場(chǎng)

u=U[0::2].reshape(nx,ny)

v=U[1::2].reshape(nx,ny)

#輸出位移場(chǎng)

print(u)

print(v)此代碼示例展示了如何使用有限元方法求解二維彈性體的位移場(chǎng)。通過在每個(gè)單元上應(yīng)用變分原理，構(gòu)建全局剛度矩陣和力向量，然后求解得到位移場(chǎng)。以上三種數(shù)值方法是流場(chǎng)數(shù)值模擬中常用的離散化技術(shù)，它們各有優(yōu)缺點(diǎn)，適用于不同的流體力學(xué)問題。在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)根據(jù)問題的特性和計(jì)算資源選擇合適的方法。3空氣動(dòng)力學(xué)基本概念：流場(chǎng)模擬基礎(chǔ)3.1流場(chǎng)模擬應(yīng)用3.1.1CFD軟件介紹在空氣動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域，計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)（ComputationalFluidDynamics,CFD）軟件是模擬流場(chǎng)的關(guān)鍵工具。這些軟件基于流體力學(xué)的基本方程，如納維-斯托克斯方程，使用數(shù)值方法求解流體的運(yùn)動(dòng)。常見的CFD軟件包括：ANSYSFluent:廣泛應(yīng)用于航空航天、汽車、電子等行業(yè)，提供豐富的物理模型和求解算法。OpenFOAM:開源的CFD軟件，適合學(xué)術(shù)研究和工業(yè)應(yīng)用，支持多種網(wǎng)格類型和復(fù)雜的物理模型。CFX:ANSYS旗下的另一款CFD軟件，特別擅長(zhǎng)處理旋轉(zhuǎn)機(jī)械和多相流問題。示例：OpenFOAM中的簡(jiǎn)單流場(chǎng)模擬#進(jìn)入OpenFOAM安裝目錄

cd/home/user/OpenFOAM4

#創(chuàng)建新的案例目錄

foamNewCasesimpleFlow

#進(jìn)入案例目錄

cdsimpleFlow

#使用blockMesh生成網(wǎng)格

blockMesh

#設(shè)置邊界條件

#在constant/boundaryField文件中編輯邊界條件

viconstant/boundaryField

#設(shè)置求解參數(shù)

#在system/fvSolution文件中編輯求解參數(shù)

visystem/fvSolution

#運(yùn)行求解器

simpleFoam3.1.2邊界條件設(shè)置邊界條件是CFD模擬中不可或缺的一部分，它們定義了流體在邊界上的行為，如速度、壓力、溫度等。常見的邊界條件類型包括：速度入口（VelocityInlet）:指定流體進(jìn)入域的速度。壓力出口（PressureOutlet）:指定流體離開域的壓力。無滑移壁面（No-SlipWall）:流體在壁面上的速度為零。對(duì)稱邊界（Symmetry）:用于對(duì)稱流場(chǎng)，減少計(jì)算量。示例：ANSYSFluent中的邊界條件設(shè)置在ANSYSFluent中，邊界條件的設(shè)置通常在“邊界條件”面板中進(jìn)行。以下是一個(gè)設(shè)置速度入口的例子：打開Fluent并加載案例。進(jìn)入邊界條件面板。選擇速度入口邊界。設(shè)置速度值，例如，10m/s。保存設(shè)置并運(yùn)行求解器。3.1.3數(shù)值求解策略數(shù)值求解策略涉及選擇合適的數(shù)值方法和求解算法來求解流體動(dòng)力學(xué)方程。這包括離散化方法、時(shí)間步長(zhǎng)控制、收斂標(biāo)準(zhǔn)等。示例：CFX中的數(shù)值求解策略在CFX中，數(shù)值求解策略的設(shè)置主要在“求解控制”面板中進(jìn)行。以