3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（知識(shí)解題達(dá)標(biāo)測(cè)試）

3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程【考點(diǎn)1：對(duì)雙曲線定義的理解】【考點(diǎn)2：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】【考點(diǎn)3：由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程求參數(shù)范圍】

【考點(diǎn)4：雙曲線的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題】【考點(diǎn)5：雙曲線的軌跡問(wèn)題】【考點(diǎn)6：雙曲線中距離和差最值問(wèn)題】知識(shí)點(diǎn)1雙曲線的定義（1）平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2(|F1F2|＝2c>0)的距離之差的絕對(duì)值為非零常數(shù)2a(2a<2c)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)．（2）集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.①當(dāng)2a<|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是雙曲線；②當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是兩條射線；③當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)不存在．知識(shí)點(diǎn)2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【考點(diǎn)1：對(duì)雙曲線定義的理解】【典例1】雙曲線x29?y216=1的左右焦點(diǎn)分別是F1與A．1 B．13 C．1或13 D．3【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的定義即可求解.【詳解】M是雙曲線x2所以a2=9c由雙曲線定義可知MF2?MF故選：B.【變式11】雙曲線x225?y29=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1,F2A．17 B．7 C．7或17 D．2或22【答案】D【分析】討論P(yáng)點(diǎn)位置，結(jié)合PF1求【詳解】當(dāng)P在雙曲線左支上時(shí)，根據(jù)雙曲線的定義得PF解得PF當(dāng)P在雙曲線右支上時(shí)，根據(jù)雙曲線的定義得PF解得PF因?yàn)镻F2=2≥c?a=所以PF2=2故選:D.【變式12】已知點(diǎn)P是雙曲線C：x2?y215=1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)A．5 B．13 C．5或9 D．5或6【答案】C【分析】由雙曲線的定義求解.【詳解】由題意可知a=1，c=1+15=4，PF1>c+a=5，若PF1故選：C【變式13】若雙曲線E:x29?y216=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,FA．11 B．9 C．6 D．5【答案】B【分析】利用雙曲線的方程求出a，再利用雙曲線定義轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】解：由雙曲線E:x29PF1?PF故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義和簡(jiǎn)單性質(zhì)，相對(duì)簡(jiǎn)單.【考點(diǎn)2：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】【典例2】雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)?1,0，焦點(diǎn)分別為F1?2,0、F2A．x22?y2=1 B．x【答案】D【分析】由a,b,c的關(guān)系結(jié)合已知即可求解.【詳解】由題意知a=1，c=2，所以b2所以雙曲線的方程為x2故選：D.【變式21】已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，焦點(diǎn)為?4,0,A．x24?C．x2?y【答案】A【分析】根據(jù)題意設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程并列出關(guān)系式求解即可.【詳解】根據(jù)題意設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2則2a=4c=4c2所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2故選：A【變式22】以橢圓x28+【答案】x【分析】首先得到橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)與長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)所求雙曲線方程為x2a2?y2b【詳解】橢圓x28+y2設(shè)所求雙曲線方程為x2所以a=2，c=a2+所以雙曲線方程為x2故答案為：x【變式23】已知雙曲線的右焦點(diǎn)為5,0，實(shí)軸長(zhǎng)為8，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】x【分析】由題意可得條件c=5，2a=4，從而得到雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程..【詳解】由題可得雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，且c=5，2a=8，所以a=4，b2=c故答案為：x【考點(diǎn)3：由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程求參數(shù)范圍】【典例3】已知方程y2m?3+x22?m=1A．?∞，2 B．2，52 【答案】A【分析】先根據(jù)題意對(duì)方程變形，然后列出關(guān)于m的不等式組，可求得答案.【詳解】由y2m?3+因?yàn)榉匠蘺2m?3+所以2?m>03?m>0，解得m<2故選：A.【變式31】若方程x2m+4+y2A．m<?7或m>4 B．?7<m<4C．m<?4或m>7 D．?4<m<7【答案】D【分析】對(duì)雙曲線的焦點(diǎn)位置進(jìn)行分類(lèi)討論，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)m的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】若方程x2m+4+y2m?7=1若方程x2m+4+y2綜上所述，?4<m<7.故選：D.【變式32】已知方程x22+m2?A．m>?1 B．m>?2C．?2<m<?1 D．m<?2或m>?1【答案】A【分析】由雙曲線的性質(zhì)求出即可.【詳解】方程x2因?yàn)閙2所以m+1>0，解得m>?1，故選：A．【變式33】若方程x2m+2?y2A．(?2,0) B．(0,3)C．(?2,3) D．(?【答案】D【分析】若方程x2m+2?y2m?3=1表示的曲線是雙曲線，即m+2>0【詳解】因?yàn)榉匠蘹2所以(m+2)(m?3)>0，即m<?2或m>3.故選：D

【考點(diǎn)4：雙曲線的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題】【典例4】點(diǎn)F1,F2分別是雙曲線E:x24?y2=1【答案】3【分析】根據(jù)給定條件，利用雙曲線定義、余弦定理求出|PF【詳解】結(jié)合題意可得：雙曲線x24?y2有||PF在△F1P即有|F因此(25)2所以△F1P故答案為：3.【變式41】設(shè)雙曲線C:x24?y25=1的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)【答案】5【分析】由雙曲線的方程得到a、b、c，設(shè)PF1=m,【詳解】由題意a=2,b=5,c=3，F(xiàn)1則m?n=2a=4，由余弦定理cos所以m2+n所以mn=20，S△故答案為：53【變式42】已知雙曲線C：x216?y29=1的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2的直線與雙曲線C的右支交于A．20 B．22 C．28 D．36【答案】C【分析】先根據(jù)雙曲線定義列出AF1?AF2=2a=8【詳解】由題意知AF1?所以AF1+又AB=6所以AF所以△F1AB故選：C．【考點(diǎn)5：雙曲線的軌跡問(wèn)題】【典例5】多選題若F1(?5,0)，F(xiàn)2(5,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|?|PF2A．雙曲線 B．雙曲線的一支 C．一條射線 D．一條直線【答案】BC【分析】根據(jù)已知條件判斷|PF【詳解】當(dāng)a=3時(shí)，|PF1|?|PF2當(dāng)a=5時(shí)，|PF1|?|PF2故選：BC.【變式51】設(shè)F1、F2是兩定點(diǎn)，F(xiàn)1F2=6，動(dòng)點(diǎn)P滿足A．雙曲線 B．雙曲線的一支 C．一條射線 D．軌跡不存在【答案】B【分析】由PF【詳解】依題意，F(xiàn)1、F2是兩個(gè)定點(diǎn)，且P滿足PF1?故選：B【變式52】與兩圓x2+y2=4A．橢圓 B．雙曲線的一支 C．拋物線 D．圓【答案】B【分析】設(shè)所求動(dòng)圓圓心為P，圓P的半徑為r，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系結(jié)合雙曲線的定義可得出結(jié)論.【詳解】圓x2+y2=4圓x2+y2?8x+15=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為x?4設(shè)所求動(dòng)圓圓心為P，圓P的半徑為r，

由于動(dòng)圓P與圓O、圓B均外切，則PO=r+2所以，PO?PB=1<故選：B.【典例6】已知?jiǎng)訄A與圓F1:(x+4)2+A．x2?yC．x215?【答案】B【分析】設(shè)Mx,y，半徑為r，根據(jù)給定條件可得MF2?MF1【詳解】圓F1：x+42+y2圓F2：x?42+y2設(shè)動(dòng)圓圓心Mx,y，半徑為r，由動(dòng)圓M與圓F1，得MF1=r+1因此圓心M的軌跡是以F1,F即a=1，半焦距c=4，虛半軸長(zhǎng)b=c所以動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是x2故選：B【變式61】已知M?2,0，圓C:x2?4x+y2=0，動(dòng)圓P經(jīng)過(guò)M點(diǎn)且與圓A．x2?yC．x2?y【答案】C【分析】首先得到圓心坐標(biāo)與半徑，設(shè)動(dòng)圓P的半徑為R，分兩圓相內(nèi)切與外切兩種情況討論，結(jié)合雙曲線的定義計(jì)算可得.【詳解】圓C:x2?4x+y2=0，即x?2設(shè)動(dòng)圓P的半徑為R，若動(dòng)圓P與圓C相內(nèi)切，則圓C在圓P內(nèi)，所以PM=R，PC所以PM?所以動(dòng)點(diǎn)P是以M?2,0、C2,0為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且a=1、所以b=c所以動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是x2若動(dòng)圓P與圓C相外切，所以PM=R，PC所以PC?所以動(dòng)點(diǎn)P是以M?2,0、C2,0為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且a=1、所以b=c所以動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是x2綜上可得動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是x2故選：C【變式62】動(dòng)圓P過(guò)定點(diǎn)M(0，2)，且與圓N：x2+y+22=4A．y2?xC．y23?【答案】A【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系，結(jié)合雙曲線的定義得出動(dòng)圓圓心P的軌跡方程.【詳解】圓N：x2+y+22=4的圓心為設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r，則PM=r,PN=r?2即點(diǎn)P在以M,N為焦點(diǎn)，焦距長(zhǎng)為2c=4，實(shí)軸長(zhǎng)為2a=2，虛軸長(zhǎng)為2b=24?1=23的雙曲線上，且點(diǎn)P故動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是y故選：A【變式63】已知圓M與圓C1:x2+(y+5)2【答案】y【分析】根據(jù)兩圓外切時(shí)半徑與圓心的關(guān)系得出MC1=rM+5,MC2=r【詳解】當(dāng)圓M與圓C1,C所以MC則點(diǎn)M的軌跡為雙曲線D的上支，設(shè)軌跡方程為y2則2a=2,c=5，則a=1,b=5所以軌跡方程為y2故答案為：y2【考點(diǎn)6：雙曲線中距離和差最值問(wèn)題】【典例7】已知P是雙曲線x29?y27=1上的點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A【答案】82?6/【分析】根據(jù)已知求出a,c的值.結(jié)合圖象可知點(diǎn)P應(yīng)在雙曲線的右支上，根據(jù)雙曲線的定義可得PF+【詳解】由已知可得，a2=9，所以，c2=16，a=3，

如圖，設(shè)雙曲線左焦點(diǎn)為F1因?yàn)辄c(diǎn)A在雙曲線右支內(nèi)部，要使PF+PA最小，則點(diǎn)根據(jù)雙曲線的定義可得，PF所以，PF=所以，PF+由圖象可知，當(dāng)A,P,F1三點(diǎn)共線且如圖示位置時(shí)，PF又F1?4,0，所以所以，PF1+即PF+PA有最小值故答案為：82?6【變式71】已知F是雙曲線x216?y29=1【答案】8+17/【分析】利用雙曲線定義將PF轉(zhuǎn)化，用P到右焦點(diǎn)的距離表示，由點(diǎn)A與右焦點(diǎn)位于雙曲線右支異側(cè)，利用兩點(diǎn)之間線段最短可得最小值.【詳解】由題意知，a=4,b=3,c=5.設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F2由P是雙曲線右支上的點(diǎn)，則PF?則PF+當(dāng)且僅當(dāng)A,P,F又A4,4,F所以，PF+PA的最小值為故答案為：8+17

【變式72】已知F是雙曲線C：x2?y28=1的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的定義得PF=【詳解】由雙曲線方程x2?y28=1可知，a=1，當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線左支上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由雙曲線定義知PF?PF從而PA+PF=所以PA+PF≥6，此時(shí)點(diǎn)P故選：B.【變式73】已知點(diǎn)A0,37，雙曲線E:x22?y27=1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A．62 B．72 C．82【答案】C【分析】利用雙曲線的定義可以得出AP+PF=AP+PF【詳解】由雙曲線E:x22?y27=1得到設(shè)右焦點(diǎn)F13,0.當(dāng)△APF的周長(zhǎng)最小時(shí)，AP+AP+PF=AP+PF1+2a故選：C.【變式73】已知A0,4，雙曲線x24?y25=1的左、右焦點(diǎn)分別為A．5 B．7 C．9 D．11【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的方程，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，由雙曲線的性質(zhì)，整理PA+【詳解】由雙曲線x24?y25=1由題意，PPA+當(dāng)且僅當(dāng)A,P,F故選：C.【典例8】已知A(7,3)，雙曲線C：x24?y25=1的左焦點(diǎn)為A．?1 B．2 C．109 D．9【答案】D【分析】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為C，利用雙曲線的定義，將|PF|?|PA|的最大值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為PC?【詳解】設(shè)C為雙曲線右焦點(diǎn)C3,0，則PF?PC而PA≥PC?AC，僅當(dāng)P,C,A共線且所以PF?當(dāng)P,C,A共線且A在P,C之間時(shí)等號(hào)成立．故選：D．【變式81】已知等軸雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左焦點(diǎn)為F1，焦距為4，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1)，P為雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)，則PA．22 B．17 C．22+1【答案】C【分析】由雙曲線的定義和三點(diǎn)共線取得最值的性質(zhì)，可得最大值．【詳解】由題意可設(shè)雙曲線的方程為x2則2a2=c2=4，即由雙曲線的定義可得PF則PF當(dāng)F2,A,P三點(diǎn)共線時(shí)，取得等號(hào)，則PF故選：C．【變式82】P為雙曲線x2?y215=1右支上一點(diǎn)，M，N分別是圓x+42【答案】5【分析】由題意及圓的性質(zhì)知PMmax=PF1【詳解】雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)F1?4,0，

兩圓的半徑分別為r1=2，r2=1，易知故PM?PN的最大值為故答案為：5【變式83】已知雙曲線C:y24?x25=1的下焦點(diǎn)為F，A3,7A．不存在 B．8 C．7 D．6【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的定義以及三點(diǎn)共線來(lái)確定正確答案..【詳解】依題意a=2,b=5,c=3，下焦點(diǎn)F0,?3雙曲線的漸近線方程為y=±25x，直線A所以延長(zhǎng)F1A時(shí)，與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，設(shè)延長(zhǎng)AF1，交雙曲線上支于依題意，P是雙曲線C上支上的動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義可知PF??AF1≤PF1所以?1≤4+PF1所以0≤PF?PA故選：A一、單選題1．與雙曲線x25?y2A．x24+y23=1 B．【答案】C【分析】分析可知焦點(diǎn)為?3,0,3,0，結(jié)合離心率列式可得【詳解】由雙曲線x25?y24=1設(shè)橢圓的方程是x2則c=3e=ca所以橢圓的方程是x2故選：C.2．雙曲線x2?yA．15 B．3 C．17 D．4【答案】C【分析】利用給定的雙曲線方程，直接求出離心率即可.【詳解】雙曲線x2?y所以雙曲線的離心率e=故選：C3．設(shè)P是雙曲線x216?y220=1上一點(diǎn)，F(xiàn)A．1 B．17 C．1或17 D．5或13【答案】B【分析】先求出a,b,c，然后根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合PF1=9【詳解】雙曲線x216?由雙曲線的定義可得PF因?yàn)镻F1=9，所以9?若PF2=1，則P若PF2=17，則P故選：B．4．已知雙曲線的方程為x25?A．2 B．4 C．25 【答案】D【分析】利用雙曲線方程求出a，b，然后求出c即可得到結(jié)果.【詳解】雙曲線的方程為：x2可得a=5，b=2，所以c=所以雙曲線的焦距長(zhǎng)為：2c=6.故選：D.5．已知雙曲線x29?y216=1的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2A．13 B．10 C．1 D．13或1【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的定義求解．【詳解】由題意得焦距為F1F2所以PF2=13或PF2故選：A.6．已知雙曲線C:x29?y216=1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，M為線段A．8或20 B．20 C．6或22 D．22【答案】B【分析】根據(jù)中位線的性質(zhì)和雙曲線的定義，即可求PF.【詳解】由雙曲線方程可知，a2=9，a=3，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為△PFF′中，點(diǎn)M,O分別是PF,FF則PF′=14故選：B7．已知雙曲線C:x25?y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,A．25 B．?25 C．±5【答案】B【分析】利用雙曲線定義并結(jié)合點(diǎn)P是C的左支上一點(diǎn)可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可知a=5由雙曲線定義可得PF又F1為左焦點(diǎn)，點(diǎn)P是C的左支上一點(diǎn)，所以P可得PF故選：B8．已知點(diǎn)F是雙曲線C1:y24?x2=1的上焦點(diǎn)，M是CA．7 B．6 C．5 D．4【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圓的性質(zhì)和雙曲線的定義，即可求解.【詳解】由圓C2:x2+因?yàn)镕1是C1的下焦點(diǎn)，則由雙曲線定義可得MF?所以MF+當(dāng)且僅當(dāng)C2,N,F1,M故選：B.9．已知一個(gè)動(dòng)圓P與兩圓C1：x+32+y2=1和C2A．x2?y28=1C．x2?y28=1（x≥1【答案】A【分析】利用雙曲線的定義及兩圓的位置關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】由題意易知兩圓圓心分別為C1?3,0,設(shè)動(dòng)圓P圓心Px,y，半徑r則根據(jù)題意有PC根據(jù)雙曲線的定義知P的軌跡是以原點(diǎn)為中心，C1?3,0,C23,0為左右焦點(diǎn)，故選：A二、多選題10．設(shè)α為空間中兩直線的夾角，則在平面直角坐標(biāo)系中方程x2cos2α+A．兩條相交直線 B．圓C．焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 D．焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線【答案】BC【分析】分析α在不同范圍下cos2α【詳解】因?yàn)棣翞榭臻g兩直線的夾角，∴0≤α≤π若α=0，方程為x2若0<α<45°，方程為x21cos方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，選項(xiàng)C正確；若α=45°，方程為y2=1，即若45°<α≤90°，cos2α<0，方程表示焦點(diǎn)在故選：BC．三、填空題11．動(dòng)點(diǎn)Mx,y與定點(diǎn)F0,3的距離和它到直線l:y=43的距離的比是常數(shù)32【答案】y【分析】利用直接法建立等式，化簡(jiǎn)即可.【詳解】解：動(dòng)點(diǎn)Mx,y與定點(diǎn)F0,3的距離和它到直線l:y=4所以x?02+y?3展開(kāi)整理得y2故答案為：y212．若雙曲線C的焦點(diǎn)分別為F1?3,0，F(xiàn)23,0，且點(diǎn)P2,7在【答案】2【分析】利用雙曲線的定義計(jì)算2a即可.【詳解】雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為2a=P故答案為：2213．點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是