高考數學 熱點題型和提分秘籍 專題06 函數的奇偶性與周期性 理（含解析）

專題六函數的奇偶性與周期性【高頻考點解讀】從近幾年的高考試題來看，函數的奇偶性、周期性是高考命題的熱點．主要是奇偶性與單調性的小綜合，周期性的考查常以利用周期性求函數值，以選擇題、填空題的形式出現，這部分知識對學生要求很高，屬中低檔題.1.結合具體函數，了解函數奇偶性的含義．2.會運用函數的圖象理解和研究函數的奇偶性．3.了解函數周期性、最小正周期的含義，會判斷、應用簡單函數的周期性.【熱點題型】題型一函數奇偶性的判定例1、判斷下列各函數的奇偶性：(1)f(x)＝lgx2＋lgeq\f(1,x2)；(2)f(x)＝(x－1)eq\r(\f(1＋x,1－x))；(3)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x<0,－x2＋x，x>0))；(4)f(x)＝eq\f(lg1－x2,|x－2|－2).(4)易知f(x)的定義域是(－1,0)∪(0,1)，∵f(x)＝－eq\f(lg1－x2,x)，f(－x)＝－f(x)．【提分秘籍】(1)利用定義判斷函數奇偶性的步驟：(2)分段函數奇偶性的判斷，要注意定義域內x取值的任意性，應分段討論，討論時可依據x的范圍取相應的解析式化簡，判斷f(x)與f(－x)的關系，得出結論，也可以利用圖象作判斷．【舉一反三】判斷下列函數的奇偶性：(1)f(x)＝eq\f(\r(4－x2),|x＋3|－3)；(2)f(x)＝x2－|x－a|＋2.因此f(x)既不是偶函數也不是奇函數．【熱點題型】題型二函數奇偶性的應用(1)設f(x)是定義在R上的奇函數，當x≤0時，f(x)＝2x2－x，則f(1)＝()A．－3 B．－1C．1 D．3(2)若函數f(x)＝eq\f(x,2x＋1x－a)為奇函數，則a＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4) D．1(3)已知偶函數f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調遞增，則滿足f(2x－eq\r(2))＜f(eq\r(2))的x的取值范圍是()A．(－∞，0)B．(0，eq\r(2))C．(0,2eq\r(2))D．(eq\r(2)，＋∞)【提分秘籍】根據函數的奇偶性，討論函數的單調區(qū)間是常用的方法．奇函數在對稱區(qū)間上的單調性相同；偶函數在對稱區(qū)間上的單調性相反．所以對具有奇偶性的函數的單調性的研究，只需研究對稱區(qū)間上的單調性即可．【舉一反三】在本例(1)中的條件下，求f(x)在R上的解析式．解：當x＞0時，－x＜0，又x≤0時，f(x)＝2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又f(－x)＝－f(x)，即：－f(x)＝2x2＋x，∴f(x)＝－2x2－x.綜上，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2－x，x≤0,－2x2－x，x＞0)).【熱點題型】題型三函數的周期性例3、設f(x)是定義在R上的奇函數，且對任意實數x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．當x∈[0,2]時，f(x)＝2x－x2.(1)求證：f(x)是周期函數；(2)當x∈[2,4]時，求f(x)的解析式．【提分秘籍】1．深化奇函數和偶函數的定義(1)定義域在數軸上關于原點對稱是函數f(x)為奇函數或偶函數的必要非充分條件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定義域上的恒等式．在利用定義時，可應用定義的等價形式：f(－x)＝±f(x)?f(－x)±f(x)＝0?eq\f(f－x,fx)＝±1(f(x)≠0)．2．奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱，反之也真．利用這一性質可簡化一些函數圖象的畫法，也可以利用它去判斷函數的奇偶性．3．若對于函數f(x)的定義域內任一個自變量的值x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝eq\f(1,fx)或f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)(a是常數且a≠0)，則f(x)是一個周期為2a的周期函數．4.函數的周期性反映了函數在整個定義域上的性質．對函數周期性的考查，主要涉及函數周期性的判斷，利用函數周期性求值，以及解決與周期有關的函數綜合問題．解決此類問題的關鍵是充分利用題目提供的信息，找到函數的周期，利用周期在有定義的范圍上進行求解．【舉一反三】已知函數f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函數，若對于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且當x∈[0,2)時，f(x)＝log2(x＋1)，則f()＋f(－)的值為()A．－2 B．－1C．1 D．2【熱點題型】題型四利用奇偶性破解函數的最值例4、設函數f(x)＝eq\f(x＋12＋sinx,x2＋1)的最大值為M，最小值為m，則M＋m＝________.【提分秘籍】本題看似復雜，其實并不難，破解本題的關鍵就是把函數f(x)＝eq\f(x＋12＋sinx,x2＋1)的解析式分解成1＋g(x)，其次利用奇函數的圖象關于原點對稱這一性質得出g(x)max＋g(x)min＝0，突出轉化思想，問題得到圓滿解決．【舉一反三】已知y＝f(x)是奇函數．若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，則g(－1)＝________.【高考風向標】1．（·福建卷）已知函數f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x>0，,cosx，x≤0，))則下列結論正確的是()A．f(x)是偶函數B．f(x)是增函數C．f(x)是周期函數D．f(x)的值域為[－1，＋∞)2．（·湖南卷）已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數和奇函數，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，則f(1)＋g(1)＝()A．－3B．－1C．1D．33．C【解析】因為f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.3．（·新課標全國卷Ⅰ）設函數f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，則下列結論中正確的是()A．f(x)g(x)是偶函數B．|f(x)|g(x)是奇函數C．f(x)|g(x)|是奇函數D．|f(x)g(x)|是奇函數3．C【解析】由于偶函數的絕對值還是偶函數，一個奇函數與一個偶函數之積為奇函數，故正確選項為C.4．（·新課標全國卷Ⅱ）已知偶函數f(x)在[0，＋∞)單調遞減，f(2)＝0，若f(x－1)＞0，則x的取值范圍是________．5．[·廣東卷]定義域為R的四個函數y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sinx中，奇函數的個數是()A．4B．3C．2D．12．C【解析】函數y＝x3，y＝2sinx是奇函數．6．（·江蘇卷）已知f(x)是定義在R上的奇函數．當x>0時，f(x)＝x2－4x，則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為________．7．（·山東卷）已知函數f(x)為奇函數，且當x>0時，f(x)＝x2＋eq\f(1,x)，則f(－1)＝()A．－2B．0C．1D．23．A【解析】∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))為奇函數，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))＝－f(1)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12＋\f(1,1)))＝－2.8．（·四川卷）已知f(x)是定義域為R的偶函數，當x≥0時，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．【隨堂鞏固】1．滿足f(π＋x)＝－f(x)且為奇函數的函數f(x)可能是()A．cos2x B．sinxC．sineq\f(x,2) D．cosx解析：選B.由f(π＋x)＝－f(x)，得f(2π＋x)＝f[π＋(π＋x)]＝－f(π＋x)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴2π是奇函數f(x)的一個周期．∴只有sinx滿足此條件．2．設f(x)是定義在R上的奇函數，當x≤0時，f(x)＝2x2－x，則f(1)＝()A．－3 B．－1C．1 D．3解析：選A.∵f(x)是奇函數，當x≤0時，f(x)＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－33．若函數f(x)＝ax＋eq\f(1,x)(a∈R)，則下列結論正確的是()A．?a∈R，函數f(x)在(0，＋∞)上是增函數B．?a∈R，函數f(x)在(0，＋∞)上是減函數C．?a∈R，函數f(x)為奇函數D．?a∈R，函數f(x)為偶函數4．下列函數中，既是偶函數，又是在區(qū)間(0，＋∞)上單調遞減的函數為()A．y＝lneq\f(1,|x|) B．y＝x3C．y＝2|x| D．y＝cosx5．對于定義在R上的任何奇函數，均有()A．f(x)·f(－x)≤0 B．f(x)－f(－x)≤0C．f(x)·f(－x)＞0 D．f(x)－f(－x)＞0解析：選A.∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0.6．設函數f(x)和g(x)分別是R上的偶函數和奇函數，則下列結論恒成立的是()A．f(x)＋|g(x)|是偶函數B．f(x)－|g(x)|是奇函數C．|f(x)|＋g(x)是偶函數D．|f(x)|－g(x)是奇函數解析：選A.由f(x)是偶函數，可得f(－x)＝f(x)，由g(x)是奇函數可得g(－x)＝－g(x)，故|g(x)|為偶函數，∴f(x)＋|g(x)|為偶函數．7.定義在R上的偶函數f(x)的部分圖象如圖所示，則在(－2,0)上，下列函數中與f(x)的單調性不同的是()A．y＝x2＋1B．y＝|x|＋1C．y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≥0,x3＋1，x＜0))D．y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≥0,e－x，x＜0))8．f(x)＝eq\f(1,x)－x的圖象關于()A．y軸對稱 B．直線y＝－x對稱C．坐標原點對稱 D．直線y＝x對稱9．若函數f(x)＝2x＋2－x與g(x)＝2x－2－x的定義域為R，則()A．f(x)與g(x)均為偶函數B．f(x)為奇函數，g(x)為偶函數C．f(x)與g(x)均為奇函數D．f(x)為偶函數，g(x)為奇函數解析：選D.∵f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，∴f(x)為偶函數．又∵g(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－g(x)，∴g(x)為奇函數，故選D.10．設f(x)是周期為2的奇函數，當0≤x≤1時，f(x)＝2x(1－x)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝()A．－eq\f(1,2) B．－eq\f(1,4)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)11．設函數f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函數，則實數a的值為________．12．函數f(x)在R上為奇函數，且x＞0時，f(x)＝eq\r(x)＋1，則當x＜0時，f(x)＝________.13．設f(x)是定義在R上的奇函數，且f(x＋3)·f(x)＝－1，f(－1)＝2，則f()＝________.解析：由已知f(x＋3)＝－eq\f(1,fx)，∴f(x＋6)＝－eq\f(1,fx＋3)＝f(x)，∴f(x)的周期為6.∴f()＝f(335×6＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－2.答案：－214．判斷下列函數的奇偶性：(1)f(x)＝eq\r(x2－1)＋eq\r(1－x2)；(2)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x＋3x>0，,0x＝0，,－x2－2x－3x<0.))15．已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x>0,0，x＝0,x2