甘肅省酒泉市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

酒泉市普通高中2021~2022學(xué)年度第二學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義可得出結(jié)論.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為，位于第二象限.故選：B.2.的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)余弦的差角公式即可化簡求值.【詳解】．故選：A3.已知向量，，若，則實數(shù)m的值為（）A. B.6 C. D.6【答案】C【解析】【分析】由平面向量共線的坐標表示求解即可【詳解】因為，所以，解得．故選：C4.已知直線l，平面，，如果，，那么l與平面的位置關(guān)系是（）A. B. C.或 D.【答案】D【解析】【分析】由面面平行和線面垂直的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】如果，，則.故選：D.5.在一段時間內(nèi)，若甲去參觀市博物館的概率為0.6，乙去參觀市博物館的概率為0.7，且甲乙兩人各自行動，則在這段時間內(nèi)，甲乙兩人至少有一個去參觀市博物館的概率是（）A.0.28 B.0.42 C.0.88 D.0.84【答案】C【解析】【分析】甲乙兩人至少有一個去參觀市博物館的對立事件為甲乙都不去參觀博物館，所以先計算甲乙都不去參觀博物館的概率，然后利用對立事件的概率公式計算即可.【詳解】由題知甲乙都不去參觀博物館的概率為，所以甲乙兩人至少有一個去參觀博物館的概率是．故選：C.6.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則的形狀是（）A.等腰三角形 B.銳角三角形 C.直角三角形 D.等腰或直角三角形【答案】A【解析】【分析】由余弦定理及得，即可判斷的形狀.【詳解】由余弦定理及得，，整理得，即，∴為等腰三角形．故選：A.7.中國古代數(shù)學(xué)瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體是上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，其中、、、是柱體的高，底面扇環(huán)所對的圓心角為，的長度為的長度的2倍，，，則該曲池的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由于幾何體是柱體，上下底面是扇環(huán)，因此只需要求該扇環(huán)面積，柱體的高即可得到體積.【詳解】依題意得，不妨設(shè)弧所在圓的半徑為R，弧所在圓的半徑為r，由弧長度為弧長度的2倍，可知，又，∴，，故該曲池的體積．故選：B8.梯形ABCD中，，，，，，點E在線段BD上，點F在線段AC上，且，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面向量的線性運算求得，，再根據(jù)數(shù)量積的運算求解即可【詳解】，，，，，．故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.給定一組數(shù)據(jù)5，1，4，2，3，2，5，2，則這組數(shù)據(jù)的（）A.中位數(shù)為2.5 B.方差為2 C.眾數(shù)為2 D.第55%分位數(shù)為2【答案】ABC【解析】【分析】由中位數(shù)、方差、眾數(shù)，百分位數(shù)的定義即可得出答案.【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排序為1，2，2，2，3，4，5，5，故中位數(shù)為2.5，故A正確；平均數(shù)是，方差是，故B正確；眾數(shù)為2，故C正確；將數(shù)據(jù)從小到大排列：1，2，2，2，3，4，5，5，第55百分位數(shù)為：，為第5個數(shù)字3，故D錯誤．故選：ABC.10.下列四個等式中正確有（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由正弦函數(shù)的差角公式可判斷選項A；由正弦的二倍角公式可判斷選項B；由正切的和角公式可判斷選項C；由輔助角公式結(jié)合直線的二倍角公式可判斷選項D.【詳解】，A正確；，B錯誤；，C錯誤；，D正確．故選：AD11.如圖，四棱錐中，底面ABCD，四邊形ABCD為梯形，，，，M是PA上靠近P點的三等分點，則下列敘述中正確的是（）A.平面PAD B.平面MBDC.異面直線BC與PD所成的角是 D.直線PC與底面ABCD所成角的余弦值為【答案】ABD【解析】【分析】由線面垂直的判定定理可判斷A；由線面平行的判定定理B；由題知異面直線BC與PD所成的角就是直線AD與PD所成的角為，求出可判斷C；直線PC與底面ABCD所成的角為，求出可判斷D.【詳解】∵底面ABCD，平面ABCD，∴，又，，∴平面PAD，A正確；設(shè)，連接ME，∵，，∴，又M是靠近P點的三等分點，∴，∴，又平面MBD，平面MBD，∴平面MBD，B正確；∵，∴異面直線BC與PD所成的角就是直線AD與PD所成的角為，∵是等腰直角三角形，∴，故異面直線BC與PD所成的角是，C錯誤；∵底面ABCD，∴直線PC與底面ABCD所成的角為，又∵，則，∴，D正確．故選：ABD.12.在中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，若，則a的值可以為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)正弦定理，結(jié)合余弦定理、基本不等式與三角形內(nèi)角的范圍可得，再逐個選項判斷即可【詳解】由三角形三邊關(guān)系，得到；由正弦定理得，即，由余弦定理得，因為，所以，且，，所以，所以，當且僅當時，等號成立，故．故選：AB三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.復(fù)數(shù)z滿足，則______．【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)乘法和除法法則計算得到，所以，進而求出模長.【詳解】由題知，所以，．故答案為：14.已知甲、乙兩地人口之比為，其中甲地人均年收入為10萬元，乙地人均年收入為12萬元，則甲，乙兩地的人均年收入為______萬元．【答案】【解析】【分析】設(shè)甲、乙兩地人口分別為，由平均數(shù)的求法可得答案.【詳解】由甲、乙兩地人口之比為3：5，設(shè)甲、乙兩地人口分別為∴甲乙兩地的人均年收入為：萬元．故答案為：15.已知，則______．【答案】【解析】【分析】對兩邊同時平方可求出，再由二倍角的余弦公式即可得出答案.【詳解】由題得，所以，所以，．故答案為：16.已知正方體的棱長為1，P是中點，過點作平面，滿足平面，則平面截正方體所得截面的周長為______．【答案】【解析】【分析】取AD中點E，AB中點F，連接PD，，EF，，，AC，BD，通過證明和來證明平面，再計算周長即可.【詳解】取AD中點E，AB中點F，連接PD，，EF，，，AC，BD，如圖所示：因為E為AD中點，F(xiàn)為AB中點，則，，所以，所以E，F(xiàn)，，四點共面，根據(jù)正方形性質(zhì)可知平面，而平面，所以，易得，可知，而，所以，即．因為，所以平面PDC，而平面PDC，所以．E為AD中點，F(xiàn)為AB中點，由正方形和正方體性質(zhì)可知，，且，所以平面PAC，而平面PAC，所以．又因為，，所以平面，即四邊形為平面與正方體的截面，正方體棱長為1，所以所得截面的周長．故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在中，角的對邊分別為，，．（1）求；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化邊可直接得到結(jié)果；（2）利用余弦定理可得，由同角三角函數(shù)平方關(guān)系可求得.【小問1詳解】由正弦定理得：，又，.【小問2詳解】由余弦定理得：，，.18.已知平面向量，的夾角為120°，且，．（1）求；（2）若與垂直，求實數(shù)k的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出，再根據(jù)平面向量運算律計算即得；（2）利用與的數(shù)量積為0即可得解.【小問1詳解】由題意【小問2詳解】由題意得，，因為與垂直，所以，所以，即，解得．19.“2022年全國城市節(jié)約用水宣傳周”于5月15日至21日舉行，某市圍繞“貫徹新發(fā)展理念，建設(shè)節(jié)水型城市”這一主題，開展了形式多樣，內(nèi)容豐富的活動，進一步增強全民保護水資源，防治水污染，節(jié)約用水的意識．為了解活動開展成效，某街道辦事處工作人員赴一小區(qū)調(diào)查住戶的節(jié)約用水情況，隨機抽取了100名業(yè)主進行節(jié)約用水調(diào)查評分，將得到的分數(shù)分成5組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）從第1，2，3組中用分層抽樣的方法抽取6人，則第1，2，3組每組各應(yīng)抽取多少人？（2）在（1）的前提下，在所抽取的6人中隨機抽取2人作進一步訪談，求這2人都是第3組的概率．【答案】（1）各應(yīng)抽取1人，2人，3人（2）【解析】【分析】(1)由頻率分布直方圖的的性質(zhì)知，每個矩形的面積為每個小組的概率，第1，2，3組的人數(shù)比為第1，2，3組概率之比，采用分層抽樣的方法抽取即可；(2)由(1)得到每個分組抽取的人數(shù)，則采用列舉法，羅列所有情況和符合題意的情況，根據(jù)古典概型的概率計算公式得到答案.【小問1詳解】由表中的數(shù)據(jù)可知：第1，2，3組的人數(shù)比為0.01：0.02：0.03=1：2：3，∴采用分層抽樣的方法抽取6人，則第1，2，3組每組各應(yīng)抽取1人，2人，3人．【小問2詳解】記抽取的6人來自第1組的1人為a，來自第2組的2人為b，c，來自第3組的3人為d，e，f，則在所抽取的6人中隨機抽取2人的可能結(jié)果有：ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef共15種，其中2人都來自第3組的有de，df，ef共3種，∴這2人都是第3組概率．20.如圖，四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的正方形，O是AC與BD的交點，底面ABCD，，E是PC的中點．（1）求證：平面PAC；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理即可證明平面PAC；（2）取OC中點F，先證明出為二面角的平面角．在中，求出．【小問1詳解】（1）證明：∵平面ABCD，平面ABCD，∴．在正方形ABCD中，，又∵，∴平面PAC．【小問2詳解】取OC中點F，連接EF．∵E為PC中點，∴EF為的中位線，∴．又∵平面ABCD，∴平面ABCD，由（1）可知平面PAC，而平面PAC，∴．∵，∴為二面角的平面角．在中，，，，∴．21.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期及最大值；（2）若，求x的取值范圍．【答案】（1）最小正周期，最大值為2（2），【解析】【分析】（1）由輔助角公式化簡，可求出的最大值，由周期的定義可求得的最小正周期.（2）由得，解三角函數(shù)不等式即可得出答案.【小問1詳解】，∴的最小正周期，的最大值為2．小問2詳解】由得，即．可得，，解得，．22.某市民公園的平面設(shè)計如圖所示，其中區(qū)域ABD為健身區(qū)，，，區(qū)域BCD為兒童游樂場，，現(xiàn)為了兒童的安全起見，將兒童游樂場周圍筑起護欄．（1）若，求護欄的長度（的周長）；（2）設(shè)，當取何值時，兒童游樂場BCD面積最