江蘇省淮安市高中教學(xué)協(xié)作體2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

PAGE15-江蘇省淮安市中學(xué)教學(xué)協(xié)作體2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）一、單項選擇題（本大題共有8小題，每題5分，共40分）1.已知直線l：x，則直線l的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意，由直線l的方程分析可得直線l是與x軸垂直的直線，據(jù)此可得答案.【詳解】依據(jù)題意，直線l：x，是與x軸垂直的直線，其傾斜角為.故選：B.【點睛】本題考查直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，留意直線l是與x軸垂直的直線，屬于基礎(chǔ)題.2.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點與點，若在軸上有一點滿意，則點坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意，設(shè)的坐標(biāo)，由空間兩點間距離公式可得，解可得的值，即可得答案.【詳解】已知點與點，若在軸上有一點滿意設(shè)的坐標(biāo)，若，則有解得：即的坐標(biāo)為故選：A.【點睛】本題考查空間中兩點間距離的計算，留意軸上點的坐標(biāo)的特點，考查了分析實力和計算實力，屬于基礎(chǔ)題.3.若坐標(biāo)原點在圓的內(nèi)部，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將原點坐標(biāo)代入圓的方程得到不等式，解不等式得到結(jié)果.【詳解】把原點坐標(biāo)代入圓的方程得:解得：本題正確選項：【點睛】本題考查點與圓的位置關(guān)系的問題，屬于基礎(chǔ)題.4.在△ABC中，若b＝8，c＝5，A＝120°，則a＝（）A. B. C.8 D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理即可得出.【詳解】由余弦定理可得：a2＝82+52﹣2×8×5×cos120°＝129.解得a.故選：D.【點睛】本題考查了余弦定理，考查了推理實力與計算實力，屬于基礎(chǔ)題.5.點關(guān)于點的對稱點的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意，設(shè)的坐標(biāo)為，分析可得為的中點，由中點坐標(biāo)公式可得，解可得、的值，即可得答案.【詳解】依據(jù)題意，設(shè)的坐標(biāo)為，點與關(guān)于點的對稱，為的中點，依據(jù)中點坐標(biāo)公式可得：，解可得，即的坐標(biāo)為故選：A.【點睛】本題考查中點坐標(biāo)公式的應(yīng)用，留意分析點為中點，考查了分析實力和計算實力，屬于基礎(chǔ)題.6.斜率為1的直線l被圓x2+y2＝4x截得的弦長為4，則l的方程為（）A.y＝x﹣3 B.y＝x+3 C.y＝x﹣2 D.y＝x+2【答案】C【解析】【分析】先由題設(shè)條件求得圓心的坐標(biāo)及半徑，再由弦長得出直線經(jīng)過圓心這一結(jié)論，然后寫出直線的方程.【詳解】由題設(shè)知圓心的坐標(biāo)為（2，0），半徑r＝2，又弦長為4＝2r，所以直線l過圓心（2，0），且斜率為1，∴直線l的方程為y＝x﹣2.故選：C.【點睛】本題主要考查如何由圓中的弦長求弦所在的直線方程，屬于基礎(chǔ)題.7.△ABC中，若，則該三角形肯定是（）A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】依據(jù)正弦定理把等式acosA＝bcosB的邊換成角的正弦，再利用倍角公式化簡整理得sin2A＝sin2B，進(jìn)而推斷A＝B，或A+B＝90°答案可得.【詳解】依據(jù)正弦定理可知∵bcosB＝acosA，∴sinBcosB＝sinAcosA∴sin2A＝sin2B∴A＝B，或2A+2B＝180°即A+B＝90°，所以△ABC為等腰或直角三角形.故選：C.【點睛】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，考查計算實力，屬基礎(chǔ)題.8.如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F(xiàn)，G分別是DD1，AB，CC1的中點，則異面直線A1E與GF所成角為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】如圖，連接B1G,B1F．則異面直線A1E與GF所成角為∠B1GF．△B1GF中，得∠B1GF=所以選D考點：異面直線所成角的算法．二、多項選擇題（本大題共有4小題，每題5分，共20分）9.已知A，B，C表示不同的點，L表示直線，α，β表示不同的平面，則下列推理錯誤的是()A.A∈L，A∈α，B∈L，B∈α?L?αB.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABC.L?α，A∈L?A?αD.A∈α，A∈L，L?α?L∩α＝A【答案】C【解析】A為公理一，推斷線在面內(nèi)的依據(jù)，故正確；B為公理二，推斷兩個平面相交的依據(jù)，正確；C中l(wèi)?α分兩種狀況：l與α相交或l∥α，l與α相交時，若交點為A，則C錯誤；DA∈α，A∈L，說明直線與平面有公共點，又L?α，所以L∩α＝A，正確.故選C10.在中，若，則可能為（）A B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】依據(jù)正弦定理“邊化角”，求得，結(jié)合范圍，即可求得的值.【詳解】由正弦定理可得：，則，，故：，由則或.故選：AD.【點睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是駕馭正弦定理：，考查了分析實力和計算實力，屬于基礎(chǔ)題.11.平行于直線x+2y+1＝0且與圓x2+y2＝4相切的直線的方程可能是（）A.x+2y+5＝0 B.x+2y+20 C.2x﹣y+5＝0 D.x+2y﹣20【答案】BD【解析】【分析】依據(jù)題意，設(shè)要求直線x+2y+m＝0，分析圓的圓心與半徑，由直線與圓相切的性質(zhì)可得d2，解可得m的值，將m的值代入即可得直線的方程，即可得答案.【詳解】依據(jù)題意，設(shè)要求直線x+2y+m＝0，圓x2+y2＝4的圓心為（0，0），半徑r＝2，則有d2，解可得：m＝±2，即要求直線的方程為x+2y±20；故選：BD.【點睛】本題考查直線與圓相切的性質(zhì)，涉及直線平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.12.下列說法正確的是（）A.點（2，0）關(guān)于直線y＝x+1的對稱點為（﹣1，3）B.過（x1，y1），（x2，y2）兩點直線方程為C.經(jīng)過點（1，1）且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y﹣2＝0或x﹣y＝0D.直線x﹣y﹣4＝0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是8【答案】ACD【解析】【分析】通過對稱性推斷A；兩點式方程的體積推斷B；截距式方程推斷C，三角形的面積推斷D；【詳解】點（2，0）與（﹣1，3）的中點（，）滿意直線y＝x+1，并且兩點的斜率為﹣1，所以點（2，0）關(guān)于直線y＝x+1的對稱點為（﹣1，3），所以A正確；當(dāng)x1≠x2，y1≠y2時，過（x1，y1），（x2，y2），兩點的直線方程為，所以B不正確；經(jīng)過點（1，1）且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y﹣2＝0或x﹣y＝0，所以正確；直線x﹣y﹣4＝0，當(dāng)x＝0時，y＝﹣4，當(dāng)y＝0時，x＝4，所以直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是：8，所以D正確；故選：ACD.【點睛】本題考查命題的真假的推斷，直線方程的求法，直線的位置關(guān)系的推斷，是基本學(xué)問的考查.三、填空題（本大題共有4小題，每題5分，共20分）13.在△ABC中，A＝60°，AB＝2，AC＝6，則△ABC的面積等于_____.【答案】3【解析】【分析】利用三角形面積計算公式即可得出.【詳解】解：由已知可得：2×6sin60°＝3.故答案為：3.【點睛】本題考查了三角形面積計算公式，重點考查了計算實力，屬于基礎(chǔ)題.14.圓與圓的公切線有_____條.【答案】【解析】【分析】求出兩個圓的圓心與半徑，推斷兩個圓的位置關(guān)系，然后推斷公切線的條數(shù).【詳解】因為圓化為，它的圓心坐標(biāo)，半徑為.圓化為，它的圓心坐標(biāo)，半徑為.因為，即圓心距等于兩個圓的半徑和，所以兩個圓相外切，所以兩個圓的公切線有條.故答案為：.【點睛】本題考查兩個圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，圓心距與兩個圓的半徑和與差的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，考查計算實力.15.如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)依次是A1D1和B1C1的中點，則異面直線AE與CF所成角的余弦值為_____.【答案】【解析】【分析】先推導(dǎo)出BF∥AE，從而∠BFC是異面直線AE與CF所成角（或所成角的補角），由此能求出異面直線AE與CF所成角的余弦值.【詳解】解：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，∵E，F(xiàn)依次是A1D1和B1C1的中點，∴BF∥AE，∴∠BFC是異面直線AE與CF所成角（或所成角的補角），設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱長為2，則BF＝CF，∴cos∠BFC.∴異面直線AE與CF所成角的余弦值為.故答案為：.【點睛】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運算求解實力，是中檔題.16.已知直線l：y＝k（x﹣2）+4與圓C：x2+（y﹣1）2＝4相切于點P，那么直線l恒過定點M的坐標(biāo)為_____，切線長PM＝_____.【答案】(1).（2，4）(2).3【解析】【分析】由直線系方程求解直線l恒過定點M的坐標(biāo)；畫出圖形，數(shù)形結(jié)合求解切線長PM.【詳解】解：由直線l：y＝k（x﹣2）+4，得k（x﹣2）+4﹣y＝0，則，即.∴直線l恒過定點M的坐標(biāo)為（2，4）；如圖，∵M(jìn)（2，4），圓心C（0，1），∴切線長PM＝.故答案為：（2，4）；3.【點睛】本題考查直線系方程的應(yīng)用，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.四、解答題（本大題共有6小題，第17題10分，其余每題12分，共70分）17.已知平面內(nèi)兩點M（4，﹣2），N（2，4）.（1）求MN的垂直平分線方程；（2）直線l經(jīng)過點A（3，0），且點M和點N到直線l的距離相等，求直線l的方程.【答案】（1）x﹣3y＝0（2）x＝3或3x+y﹣9＝0【解析】【分析】（1）求出線段MN中點坐標(biāo)和直線MN的斜率，再求線段MN中垂線的斜率和直線方程；（2）分別求出直線l與直線MN平行時和過MN的中點時的直線方程即可.【詳解】解：（1）平面內(nèi)兩點M（4，﹣2），N（2，4），所以MN中點坐標(biāo)為（3，1），又直線MN的斜率為，所以線段MN的中垂線的斜率為，線段MN的中垂線的方程為，即x﹣3y＝0.（2）當(dāng)直線l與直線MN平行時，由（1）知，kMN＝﹣3，所以此時直線l的方程為y＝﹣3（x﹣3），即3x+y﹣9＝0；當(dāng)直線l經(jīng)過點（3，1）時，此時直線的斜率不存在，所以直線方程為x＝3；綜上知，直線l的方程為x＝3或3x+y﹣9＝0.【點睛】本題考查了直線方程的求法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.18.已知圓x2+y2＝4，直線y＝x﹣b，當(dāng)b為何值時，（1）圓與直線沒有公共點；（2）圓與直線只有一個公共點；（3）圓與直線有兩個公共點.【答案】（1）b或b（2）b（3）b＜2【解析】【分析】（1）由圓心到直線距離大于圓的半徑求解即可；（2）由圓心到直線的距離等于圓的半徑求解即可；（3）由圓心到直線的距離小于圓的半徑求解即可.【詳解】解：由圓的方程x2+y2＝4可得，該圓的圓心O（0，0），半徑r＝2，圓心到直線y＝x﹣b的距離為d.（1）當(dāng)d＞r，即，即b或b時，直線與圓相離，無公共點；（2）當(dāng)d＝r，即，即b時，直線與圓相切，有一個公共點；（3）當(dāng)d＜r，即，即b＜2時，直線與圓相交，有兩個公共點.【點睛】本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查點到直線距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.19.△ABC中，BC＝7，AB＝4，且.（1）求AC的長；（2）求△ABC的面積.【答案】（1）5（2）4【解析】【分析】（1）由已知結(jié)合正弦定理即可求解AC，（2）由已知結(jié)合余弦定理可求A，然后結(jié)合三角形的面積公式即可求解.【詳解】解：（1）△ABC中，BC＝7，AB＝4，且，由正弦定理得：??AC5.（2）由余弦定理得：cosA，因為A∈（0，π），所以sinA.所以△ABC的面積為AB?ACsinA4×54.【點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面積公式的簡潔應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.20.已知圓C的方程為x2+y2﹣4x﹣12＝0，點P（3，1）.（1）求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑；（2）求過點P的直線被圓C截得弦長最大時的直線l的方程；（3）若圓C的一條弦AB的中點為P，求直線AB的方程.【答案】（1）圓心C（2，0），半徑r＝4（2）x﹣y﹣2＝0（3）x+y﹣4＝0【解析】【分析】（1）由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得出圓心坐標(biāo)以及半徑；（2）弦長最大即為直徑，直線l為圓心C與點P的連線所在直線方程；（3）弦AB中點與圓心連線與直線AB垂直，可得斜率，再由點P坐標(biāo)可得直線AB的方程.【詳解】（1）由圓的方程為x2+y2﹣4x﹣12＝0，則（x﹣2）2+y2＝16,故圓心C（2，0），半徑r＝4.（2）因為直線被圓截得的弦長最大時是過圓心的直線，所以直線l過點C，由過點P，C的斜率為，所以直線l的方程為y﹣1＝x﹣3，故直線l的方程為x﹣y﹣2＝0.（3）由弦AB的中垂線為CP，則,所以可得kAB＝﹣1，故直線AB的方程為：y﹣1＝（﹣1）（x﹣3）,故直線AB的方程為x+y﹣4＝0.【點睛】本題考查圓的方程，直線的方程，以及直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.21.已知△ABC的三個頂點分別為A(﹣2，0)，B(0，2)，C(2，﹣2)，求：（1）AB邊上的高所在直線的方程；（2）△ABC的外接圓的方程.【答案】（1）x+y＝0（2）【