全國版2025屆高考數(shù)學二輪復習專題檢測二十基本初等函數(shù)函數(shù)與方程理含解析

PAGE專題檢測（二十）基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程A組——“12＋4”一、選擇題1．函數(shù)y＝ax＋2－1(a>0，且a≠1)的圖象恒過的點是()A．(0，0) B.(0，－1)C．(－2，0) D.(－2，－1)解析：選C令x＋2＝0，得x＝－2，所以當x＝－2時，y＝a0－1＝0，所以y＝ax＋2－1(a>0，且a≠1)的圖象恒過點(－2，0)．故選C.2．(2024·福建五校其次次聯(lián)考)已知a＝log3eq\f(7,2)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))，c＝logeq\f(1,5)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)>b>c B.b>a>cC．b>c>a D.c>a>b解析：選Da＝log3eq\f(7,2)，c＝logeq\f(1,5)＝log35，由對數(shù)函數(shù)y＝log3x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，可得log35>log3eq\f(7,2)>log33，所以c>a>1.借助指數(shù)函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x)的圖象易知b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))∈(0，1)，故c>a>b.故選D.3．函數(shù)f(x)＝|log2x|＋x－2的零點個數(shù)為()A．1 B.2C．3 D.4解析：選B函數(shù)f(x)＝|log2x|＋x－2的零點個數(shù)，就是方程|log2x|＋x－2＝0的根的個數(shù)．令h(x)＝|log2x|，g(x)＝2－x，在同一坐標平面上畫出兩函數(shù)的圖象，如圖所示．由圖象得h(x)與g(x)有2個交點，∴方程|log2x|＋x－2＝0的根的個數(shù)為2.故f(x)＝|logx2|＋x－2的零點個數(shù)為2.4．函數(shù)f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．(－∞，－2) B.(－∞，1)C．(1，＋∞) D.(4，＋∞)解析：選D由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2.因此，函數(shù)f(x)＝ln(x2－2x－8)的定義域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．留意到函數(shù)y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上單調(diào)遞增，由復合函數(shù)的單調(diào)性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調(diào)遞增區(qū)間是(4，＋∞)．故選D.5．已知函數(shù)f(x)＝log3eq\f(x＋2,x)－a在區(qū)間(1，2)內(nèi)有零點，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－1，－log32) B.(0，log52)C．(log32，1) D.(1，log34)解析：選C∵函數(shù)f(x)＝log3eq\f(x＋2,x)－a在區(qū)間(1，2)內(nèi)有零點，且f(x)在(1，2)內(nèi)單調(diào)，∴f(1)·f(2)<0，即(1－a)·(log32－a)<0，解得log32<a<1.故選C.6．已知函數(shù)f(x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1－x)＋a))是奇函數(shù)，且在x＝0處有意義，則該函數(shù)為()A．(－∞，＋∞)上的減函數(shù)B．(－∞，＋∞)上的增函數(shù)C．(－1，1)上的減函數(shù)D．(－1，1)上的增函數(shù)解析：選D由題意知，f(0)＝lg(2＋a)＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1－x)－1))＝lgeq\f(x＋1,1－x)，令eq\f(x＋1,1－x)>0，則－1<x<1，解除A、B，又y＝eq\f(2,1－x)－1在(－1，1)上是增函數(shù)，∴f(x)在(－1，1)上是增函數(shù)．故選D.7．若當x∈R時，函數(shù)f(x)＝a|x|(a>0，且a≠1)滿意f(x)≤1，則函數(shù)y＝loga(x＋1)的圖象大致為()解析：選C由a|x|≤1(x∈R)，知0<a<1，又函數(shù)y＝loga(x＋1)的圖象是由y＝logax的圖象向左平移一個單位而得，故選C.8．若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－x)，則f(2)＋g(4)＝()A．3 B.4C．5 D.6解析：選D法一：∵函數(shù)f(x)與g(x)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，又f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－x)＝2x，∴g(x)＝log2x，∴f(2)＋g(4)＝22＋log24＝6.故選D.法二：∵f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－x)，∴f(2)＝4，即函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(2，4)，∵函數(shù)f(x)與g(x)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，∴函數(shù)g(x)的圖象經(jīng)過點(4，2)，∴f(2)＋g(4)＝4＋2＝6.故選D.9．設方程10x＝|lg(－x)|的兩根分別為x1，x2，則()A．x1x2<0 B.x1x2＝1C．x1x2>1 D.0<x1x2<1解析：選D作出函數(shù)y＝10x，y＝|lg(－x)|的圖象，由圖象可知，兩個根一個小于－1，一個在(－1，0)之間，不妨設x1<－1，－1<x2<0，則10x1＝lg(－x1)，10x2＝|lg(－x2)|＝－lg(－x2)．兩式相減得：lg(－x1)－(－lg(－x2))＝lg(－x1)＋lg(－x2)＝lg(x1x2)＝10x1－10x2<0，即0<x1x2<1.故選D.10．(2024·唐山模擬)已知函數(shù)f(x)＝sinx－sin3x，x∈[0，2π]，則f(x)的全部零點之和等于()A．5π B.6πC．7π D.8π解析：選Cf(x)＝sinx－sin3x＝sin(2x－x)－sin(2x＋x)＝－2cos2xsinx，令f(x)＝0，可得cos2x＝0或sinx＝0，∵x∈[0，2π]，∴2x∈[0，4π]，由cos2x＝0可得2x＝eq\f(π,2)或2x＝eq\f(3π,2)或2x＝eq\f(5π,2)或2x＝eq\f(7π,2)，∴x＝eq\f(π,4)或x＝eq\f(3π,4)或x＝eq\f(5π,4)或x＝eq\f(7π,4)，由sinx＝0可得x＝0或x＝π或x＝2π，∵eq\f(π,4)＋eq\f(3π,4)＋eq\f(5π,4)＋eq\f(7π,4)＋0＋π＋2π＝7π，∴f(x)的全部零點之和等于7π.故選C.11．(2024·重慶市學業(yè)質(zhì)量調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝2x＋log3eq\f(2＋x,2－x)，若不等式feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)))>3成立，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(1，＋∞) B.(－∞，1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))解析：選D由eq\f(2＋x,2－x)>0得x∈(－2，2)，又y＝2x在(－2，2)上單調(diào)遞增，y＝log3eq\f(2＋x,2－x)＝log3eq\f(x－2＋4,2－x)＝log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(4,x－2)))在(－2，2)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)為增函數(shù)，又f(1)＝3，所以不等式feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)))>3成立等價于不等式feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)))>f(1)成立，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2<\f(1,m)<2，,\f(1,m)>1，))解得eq\f(1,2)<m<1.故選D.12．已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x)對隨意的x都滿意f(x＋1)＝－f(x)，且當0≤x<1時，f(x)＝x，則函數(shù)g(x)＝f(x)－ln|x|的零點個數(shù)為()A．2 B.3C．4 D.5解析：選B依題意，可知函數(shù)g(x)＝f(x)－ln|x|的零點個數(shù)即為函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝ln|x|的圖象的交點個數(shù)．設－1≤x<0，則0≤x＋1<1，此時有f(x)＝－f(x＋1)＝－(x＋1)，又由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即函數(shù)f(x)以2為周期的周期函數(shù)．而y＝ln|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx，x>0，,ln（－x），x<0，))在同一坐標系中作出函數(shù)y＝f(x)的圖象與y＝ln|x|的圖象如圖所示，由圖可知，兩圖象有3個交點，即函數(shù)g(x)＝f(x)－ln|x|有3個零點．故選B.二、填空題13．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)，x≤0，,log\s\do9()x，x>0，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(1,6)))＝________．解析：由題可得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝logeq\f(1,4)＝2，因為log2eq\f(1,6)<0，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(1,6)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(log2\f(1,6))＝2log26＝6，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(1,6)))＝8.答案：814．有四個函數(shù)：①y＝x；②y＝21－x；③y＝ln(x＋1)；④y＝|1－x|.其中在區(qū)間(0，1)內(nèi)單調(diào)遞減的函數(shù)的序號是________．解析：分析題意可知①③明顯不滿意題意，畫出②④中的函數(shù)圖象(圖略)，易知②④中的函數(shù)滿意在(0，1)內(nèi)單調(diào)遞減．答案：②④15．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－a，x≤0，,lnx，x>0))有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：當x>0時，由f(x)＝lnx＝0，得x＝1.因為函數(shù)f(x)有兩個不同的零點，所以當x≤0時，函數(shù)f(x)＝2x－a有一個零點，令f(x)＝0，得a＝2x，因為0<2x≤20＝1，所以0<a≤1.答案：(0，1]16．(2024·河北模擬調(diào)研改編)已知函數(shù)f(x)＝loga(－x＋1)(a>0，且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，則實數(shù)a＝________；若函數(shù)g(x)＝ax＋m－3的圖象不經(jīng)過第一象限，則實數(shù)m的取值范圍為________．解析：函數(shù)f(x)＝loga(－x＋1)(a>0，且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]．當a>1時，f(x)＝loga(－x＋1)在[－2，0]上單調(diào)遞減，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－2）＝loga3＝0，,f（0）＝loga1＝－1，))無解；當0<a<1時，f(x)＝loga(－x＋1)在[－2，0]上單調(diào)遞增，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－2）＝loga3＝－1，,f（0）＝loga1＝0，))解得a＝eq\f(1,3).∵g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x＋m)－3的圖象不經(jīng)過第一象限，∴g(0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(m)－3≤0，解得m≥－1，即實數(shù)m的取值范圍是[－1，＋∞)．答案：eq\f(1,3)[－1，＋∞)B組——“5＋3”1．若函數(shù)f(x)的圖象向右平移1個單位長度，所得圖象與曲線y＝ex關(guān)于y軸對稱，則f(x)的解析式為()A．f(x)＝ex＋1 B.f(x)＝ex－1C．f(x)＝e－x＋1 D.f(x)＝e－x－1解析：選D與y＝ex的圖象關(guān)于y軸對稱的圖象對應的函數(shù)為y＝e－x.依題意，f(x)的圖象向右平移1個單位長度，得y＝e－x的圖象，∴f(x)的圖象是由y＝e－x的圖象向左平移1個單位長度得到的，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.故選D.2．(2024·全國卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四號探測器勝利實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就．實現(xiàn)月球背面軟著陸須要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系．為解決這個問題，放射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行．L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設地球質(zhì)量為M1，月球質(zhì)量為M2，地月距離為R，L2點到月球的距離為r，依據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿意方程：eq\f(M1,（R＋r）2)＋eq\f(M2,r2)＝(R＋r)eq\f(M1,R3).設α＝eq\f(r,R).由于α的值很小，因此在近似計算中eq\f(3α3＋3α4＋α5,（1＋α）2)≈3α3，則r的近似值為()A.eq\r(\f(M2,M1))R B.eq\r(\f(M2,2M1))RC.eq\r(3,\f(3M2,M1))R D.eq\r(3,\f(M2,3M1))R解析：選D由α＝eq\f(r,R)得r＝αR，代入eq\f(M1,（R＋r）2)＋eq\f(M2,r2)＝(R＋r)eq\f(M1,R3)，整理得eq\f(3α3＋3α4＋α5,（1＋α）2)＝eq\f(M2,M1).又∵eq\f(3α3＋3α4＋α5,（1＋α）2)≈3α3，∴3α3≈eq\f(M2,M1)，∴α≈eq\r(3,\f(M2,3M1))，∴r＝αR≈eq\r(3,\f(M2,3M1))R.故選D.3．(2024·北京高考)在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿意m2－m1＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，其中星等為mk的星的亮度為Ek(k＝1，2)．已知太陽的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為()A．1010.1 B.10.1C．lg10.1 D.10－10.1解析：選A由題意知，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所給公式得－1.45－(－26.7)＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，所以lgeq\f(E1,E2)＝10.1，所以eq\f(E1,E2)＝1010.1.故選A.4．已知f(x)＝|ln(x＋1)|，若f(a)＝f(b)(a<b)，則()A．a(chǎn)＋b>0 B.a＋b>1C．2a＋b>0 D.2a解析：選A作出函數(shù)f(x)＝|ln(x＋1)|的圖象如圖所示，由f(a)＝f(b)(a<b)，得－ln(a＋1)＝ln(b＋1)，即ab＋a＋b＝0，∴0＝ab＋a＋b<eq\f(（a＋b）2,4)＋a＋b，即(a＋b)·(a＋b＋4)>0，又易知－1<a<0，b>0，∴a＋b＋4>0，∴a＋b>0.故選A.5．(2024·江西八所重點中學聯(lián)考)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿意x>0時，f(x)＝eq\f(2,π)x－lnx＋lneq\f(π,2)，則函數(shù)g(x)＝f(x)－sinx的零點個數(shù)是()A．1 B.2C．3 D.5解析：選C函數(shù)g(x)＝f(x)－sinx的零點個數(shù)即函數(shù)f(x)的圖象與y＝sinx圖象的交點個數(shù)．當x>0時，f(x)＝eq\f(2,π)x－lnx＋lneq\f(π,2)，則f′(x)＝eq\f(2,π)－eq\f(1,x)＝eq\f(2x－π,πx)，令f′(x)＝0，則x＝eq\f(π,2).當0<x<eq\f(π,2)時，f′(x)<0；當x>eq\f(π,2)時，f′(x)>0.則f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，＋∞))上單調(diào)遞增，所以當x＝eq\f(π,2)時，f(x)取得最小值，且最小值為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝1.函數(shù)y＝sinx在x＝eq\f(π,2)處取得最大值1，所以當x>0時，f(x)的圖象與y＝sinx的圖象的交點有且只有一個，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1)).又f(x)和y＝sinx均為奇函數(shù)，所以依據(jù)對稱性知當x<0時，兩函數(shù)圖象有且只有一個交點．又兩函數(shù)圖象均過原點，所以函數(shù)f(x)的圖象與y＝sinx圖象的交點個數(shù)為3，即函數(shù)g(x)＝f(x)－sinx的零點個數(shù)是3.故選C.6．已知函數(shù)f(x)＝ax＋x－b的零點x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常數(shù)a，b滿意0<b<1<a，則n的值為________．解析：由題意得函數(shù)f(x)＝ax＋x－b為增函數(shù)，所以f(－1)＝eq\f(1,a)－1－b<0，f(0)＝1－b>0，所以函數(shù)f(x)＝ax＋x－b在(－1，0)內(nèi)有一個零點，故n＝－1.答案：－17．函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2|x－1|－1，0<x≤2，,\f(1,2)f（x－2），x>2，))則函數(shù)g(x)＝xf(x)－1在[－6，＋∞)上的全部零點之和為________．解析：令g(x)＝xf(x)－1＝0，則x≠0，所以函數(shù)g(x)的零點之和等價于函數(shù)y＝f(x)的圖象和y＝eq\f(1,x)的圖象的交點的橫坐標之和，分別作出x>0時，y＝f(x)和y＝eq\f(1,x)的大致圖象，如圖所示，由于y＝f(x)和y＝eq\f(1,x)的圖象都關(guān)于原點對稱，因此函數(shù)g(x)在[－6，6]上的全部零點之和為0，而當x＝8時，f(x)