2024-2025學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)上冊 軸對稱的綜合應(yīng)用 專項(xiàng)訓(xùn)練

軸對稱的綜合應(yīng)用

一、課標(biāo)導(dǎo)航

課標(biāo)內(nèi)容課標(biāo)要求目標(biāo)層次

軸對稱能運(yùn)用軸對稱的知識解決簡單問題

二、核心綱要

1.利用軸對稱變換解題

軸對稱變換是作點(diǎn)、線、圖形關(guān)于某一直線的對稱圖形，從而使圖形中隱藏條件凸顯出來，或?qū)⒎稚l件集

中起來，從而達(dá)到解題目的.那么，我們在什么情況下應(yīng)該想到用或作軸對稱呢？下面給出幾種常見考慮要用或作

軸對稱的基本圖形.

(1)線段或角度存在2倍關(guān)系的，可考慮對稱

(2)有互余、互補(bǔ)關(guān)系的圖形，可考慮對稱.

(3)角度和或差存在特殊角度的，可考慮對稱

(4)路徑最短問題：運(yùn)用軸對稱，將分散的線段集中到兩點(diǎn)之間，從而運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短，來實(shí)現(xiàn)最短路

徑的求解.所以最短路徑問題，需考慮軸對稱.

下表給出幾何最值問題的幾種中考題型及解題作圖方法.

問題作法圖形原理

?B

-----------------------APA+PB最小值為AB.兩

連接AB

在1上找一點(diǎn)P使PA+P/點(diǎn)之間，線段最短.

B最小.

?B

A

?作A關(guān)于1的對稱點(diǎn)B

------------------------1AP+BP=AB,兩點(diǎn)之間,

A1,連接AB，與1的交—

在直線1上求一點(diǎn)P,使線段最短.

點(diǎn)即為點(diǎn)P

AP+BP最小

zS,

分別作點(diǎn)P關(guān)于兩直

線的對稱點(diǎn)P'、P”,連接PM+MN+PN=PP",兩點(diǎn)

在直線11、12上分別P'P”,與兩直線交點(diǎn)即之間，線段最短

求點(diǎn)M、、使4PMN周為M、N

長最小

續(xù)表

問題作法圖形原理

4

分別作點(diǎn)P、Q關(guān)于

PQ+PM+MN+NQ=P'Q'

直線11、12的對稱點(diǎn)

+PQ,兩點(diǎn)之間，線段

在直線11、12上分別求、連接與直線

pQ',PQ',最短

點(diǎn)M、N,使四邊形PMNQ的交點(diǎn)即為M、N紗

周長最小

S將A向右平移a個單

----------------------1位到A；作A關(guān)于1的對B

在直線1上求兩點(diǎn)M、N稱點(diǎn)A”,連接A“B,與1AM+MN+NB=a+A”B,

兩點(diǎn)之間，線段最短

（M在左），使得MN=a，并使交點(diǎn)即為點(diǎn)N,將點(diǎn)NM；/N'

AM+MN+NB最小向左平移a個單位即為

M

S

_______________f連接BA并延長與直B|AP-BP|=AB,三角形任

線的交點(diǎn)即為點(diǎn)意兩邊之差小于第三邊.

在直線1上求點(diǎn)P,使IAP-1Ppv----------------------------/

BP|最大

A.

----------------------1作點(diǎn)B關(guān)于直線1的

|AP-BP|=AB：三角形任

*H對稱點(diǎn)B;作直線AB，與

意兩邊之差小于第三邊

在直線1上求點(diǎn)P,使IAP-1的交點(diǎn)即為點(diǎn)P

BP|最大

小

八.|PA-PB|=0,垂直平分線

連接AB，作AB中垂

----------------------1上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)距

在直線1上求點(diǎn)P,使IIP線與1的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.

離相等

A-PB|最小.

/

作點(diǎn)P關(guān)于直線OB

的對稱點(diǎn)P',過P'向直線PD+CD的最小值為PC

點(diǎn)P在銳角/AOB內(nèi)部,

OA作垂線與OB的交長度.點(diǎn)P到直線OA的

在OB邊上求作一點(diǎn)D,

點(diǎn)為所求點(diǎn)D,垂足即、p.距離，垂線段最短.

在OA邊上求作一點(diǎn)C,使

為點(diǎn)C.

PD+CD最小.

2.利用構(gòu)造等邊三角形

等邊三角形有許多重要的性質(zhì)，在解題中，若已知條件出現(xiàn)某一個角為60°,或角度的和、差、倍、分與60°

有聯(lián)系時，一般地構(gòu)造出等邊三角形，匯聚分散的條件，探究解題思路，達(dá)到簡捷解題目的.

本節(jié)重點(diǎn)講解：兩個應(yīng)用（軸對稱和等邊三角形的應(yīng)用）

三、全能突破

基礎(chǔ)演練

1.如圖13-3-1所示，直線L是一條河，P,Q是兩個村莊.欲在L上的某處修建一個水泵站，向P,Q兩地供水，現(xiàn)

有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則所需管道最短的是（）.

A.B.C.D.

圖13-3-1

2.如圖13-3-2所示，A、B兩點(diǎn)分別表示兩幢大樓所在的位置，直線a表示輸水總管道，直

線b表示輸煤氣總管道.現(xiàn)要在這兩根總管道上分別設(shè)一個連接點(diǎn)，安裝分管道將水和煤

氣輸送到A、B兩幢大樓，要求使鋪設(shè)至兩幢大樓的輸水分管道和輸煤氣分管道的用料最

短.圖中，點(diǎn)A'是點(diǎn)A關(guān)于直線b的對稱點(diǎn),AB分別交b、a于點(diǎn)C、D;點(diǎn)B'是點(diǎn)B關(guān)于直

線a的對稱點(diǎn)BA分別交b、a于點(diǎn)E、F.則符合要求的輸水和輸煤氣分管道的連接點(diǎn)依次

是（）.

A.F和CB.F和EC.D和CD.D和E

3.如圖13-3-3所示，已知NAOB的大小為a,P是NAOB內(nèi)部的一個定點(diǎn)，且0P=2,點(diǎn)E、F分別是OA、0B上的動點(diǎn),

若4PEF周長的最小值等于2,則a=（）.

A.30°B.45°C.60°D.90°

4.如圖13-3-4所示，已知△ABC為等邊三角形.高AH=10cm,P為AH上一動點(diǎn),D為AB的中點(diǎn)廁PD+PB的最小值為

_____cm.

5.加油站A和商店B在馬路MN的同一側(cè)（如圖13-3-5所示）,A到MN的距離大于B到MN的距離,AB=7m,,—

個行人P在馬路MN上行走，問：當(dāng)P到A的距離與P到B的距離之差最大時，這個差等于

圖13-3-5

6.如圖13-3-6所示，凸六邊形ABCDEF的六個角都是120。,邊長AB=2cm,BC=8cm,CD=ll

cm,DE=6cm,你能求出這個六邊形的周長嗎？

圖13-3-6

7.如圖13-3-7所示,在△ABC中,4B=AC,AA=100°,BD平分NABC,求證:BC=BD+A

D.

圖13-3-7

8.在正△ABC內(nèi)取一點(diǎn)D,使DA=DB,iSAABC外取一點(diǎn)E,使乙DBE=NDBC,,且BE=BA,求/BED的度數(shù).

能力提升

9.如圖13-3-8所示點(diǎn)P為ZAOB內(nèi)一點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn).P2，連接Pi戶,

P2交OA于點(diǎn)M,交OB于點(diǎn)N,若.P1P2=6,貝必PMN周長為（）.

A.4B.5

C.6D.7

圖13-3-8

10.如圖13-3-9所示，在某一地方，有條小河和草地，一天某牧民的計劃是從A處的牧場

牽著一只馬到草地牧馬，再到小河飲馬，再回到B處，你能為他設(shè)計一條最短的路線

嗎？（在N上任意一點(diǎn)即可牧馬，M上任意一點(diǎn)即可飲馬.）（保留作圖痕跡，需要證明）

圖13-3-9

D

1L如圖13-3-10所示，點(diǎn)M為正三角形ABD的邊AB所在直線上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)B除外）,

作/DMN=60。,射線MN與NDBA外角的平分線交于點(diǎn)N,DM與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)

系？

AMB

圖13-3-10

12.如圖13-3-11所示，在△ABC中,NBAC=120。,P為△ABC內(nèi)一點(diǎn).

求證:PA+PB+POAB+AC.

13.如圖13-3-12所示，已知線段AB的同側(cè)有兩點(diǎn)C、D滿足NACB=/ADB=60

=90°NDBC.求證:AC=AD.

圖13-3-12

14.如圖13313所示，在△ABC中,AB=AC,D是4ABC外一點(diǎn)且/人8口=60。,/人?口=60。,求證3口+口?=

C

圖13-3-13

15.如圖13314所示，已知P是^ABC邊BC上一點(diǎn)，且PC=2PB,gZABC=45°,ZAPC=60°,^<

ZACB的大小.

圖13-3-14

16.如圖13-3-15所示，在四邊形ABCD^^C=CD^BCA-ZACD^O^ScilEAD+CD^AB.

圖13-3-15

17.如圖13-3-16所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC頂角NA=20。,在邊AB上取點(diǎn)D,使AD二BC,求NB

DC.A

BC

圖13-3-16

18.如圖13-3-17所示，在△ABC4I,ZBAC=ZBCA=44°,MABC內(nèi)一點(diǎn)，使得NMCA=3()o,NMAC=16。,求NBM

C的度數(shù).

圖13-3-17

19如圖13-3-18所示，在四邊形ABCD中,NBAD=120o,NB=ND=90。,在BC、CD上分別找一

點(diǎn)M、N,使△AMN周長最小時，則NAMN+NANM的度數(shù)為（）.

A.13O°B.1200

C.1100D.1000

圖13-3-18

AABC中，BA=BC,Z.BAC=a,,M是AC的中點(diǎn)，P是線段BM上的動點(diǎn)，將線段PA繞點(diǎn)P順時針旋

轉(zhuǎn)2a得到線段PQ.

⑴若a=60。。且點(diǎn)P與點(diǎn)M重合(如圖13319(a)所示).線段CQ的延長線交射線BM于點(diǎn)D,請補(bǔ)全圖形，并寫

出NCDB的度數(shù).

圖13-3-19

⑵在圖13319(b)中，點(diǎn)P不與點(diǎn)B、M重合，線段CQ的延長線與射線BM交于點(diǎn)D,猜想/CDB的大小(用含a

的代數(shù)式表示)，并加以證明.

(3)對于適當(dāng)大小的a,當(dāng)點(diǎn)P在線段BM上運(yùn)動到某一位置(不與點(diǎn)B、M重合)時,能使得線段CQ的延長線

與射線BM交于點(diǎn)D,且PQ=QD,請直接寫出a的范圍.

巔峰突破

21.如圖13320所示，已知ABC中,/B=9(F,AB=3,BC=4,D、E、F分別是三邊AB、B

C、CA上的點(diǎn)，貝!]DE+EF+FD的最小值為().

A-B.-

55

圖13-3-20

C.5D.6

22如圖13-3-21所示,P為公ABC內(nèi)部一點(diǎn)，使得Z-PBC=30°f^PBA=8。,且乙PAB=Z.PAC=22。,求NAPC的度

數(shù).

圖13-3-21

基礎(chǔ)演練

1.D;2.A;3.A;4.10;5.7

6.如圖，分別作線段AB、CD、EF的延長線使它們交于點(diǎn)G、H、P.：六邊形ABCDEF的六個角都是120。,

六邊形ABCDEF的每一個外角的度數(shù)都是60°.

.?.△APF、ABGC.ADHEX△GHP者B是等邊三角形.

GC=BC=8cm,DH=DE=6cm.

???GH=8+11+6=25cm,FA=PA=PG-AB-BG=25-2-8=15cm,EF=PH-PF-EH=25-15-6=4cm.

所以六邊形的周長為2+8+1l+6+4+15=46cm.

7.在BC上截取BE=BA,延長BD至1]F使BF=BC,連接DE、CF.

又?:ZABD=ZEBD,BD=BD,BE=BA,

/.△ABD^AEBD.

ZDEB=ZA=100°,.\ZDEC=80°.

AB=AC,BD平分/ABC,

ZABD=ZEBD=20°.ZDCE=40°.

VBC=BF,ZEBD=20°,

ZF=乙FCB=|(180°-4EBD)=80°.

NF=NDEC.ZDCF=80°-ZDCE=40°.

ZDCE=ZDCF,ZF=ZDEC,

又：DC=DC,

ADCE^△DCF".DF=DE=AD.

，BC=BF=BD+DF=BD+AD.

8.如下圖所示，連接DC,

?/DA=DB,AC=BC,CD=CD

AADC^ABDC..'.ZBCD=30°.

/DBE=/DBC,BE=AB=BC,BD=BD

ABDE^ABDC..*.ZBED=ZBCD=30°.

能力提升

9.C

10.作點(diǎn)A關(guān)于ON的對稱點(diǎn)E,作點(diǎn)B關(guān)于OM的對稱點(diǎn)F,連接EF交ON、OM于點(diǎn)C、D,連接AC、DB,則沿

AC-CD-DB路線走是最短的路線如下圖所示：

證明：在ON上任意取一點(diǎn)T,在OM上任意取一點(diǎn)R,連接FR、BR、RT、ET、AT,

A、E關(guān)于ON對稱,AC=EC,

同理BD=FD,FR=BR,AT=ET,

AC+CD+DB=EC+CD+FD=EF.

AT+TR+BR=ET+TR+FR,

?/ET+TR+FR>EF,

，AC+CD+DB<AT+TR+BR,

即沿AC-CD-DB路線走是最短的路線.

11.猜測DM=MN.

理由:過點(diǎn)M作MG〃BD交AD于點(diǎn)G,

則AG=AM.；.GD=MB.

又：/ADM+/DMA=120°,/DMA+NNMB=120°.

；./ADM=NNMB.

VZDGM=ZMBN=120°.

，ADGM^AMBN..*.DM=MN.

12.如下圖所示把4APC繞A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△AP'C.

.?.ZCAC=ZPAP'=60o,AC=AC',AP=AP,,PC=P,C,

...△APP為等邊三角形.二PP'=AP.

■：A.BAC=120°,.-.ABAC=120°+60°=180°.

；.B、A、C三點(diǎn)共線,BC<BP+PP'+P'C.

即AB+AC<AP+BP+CP.

13.以AB為軸作△ABC的對稱△ABC,如下圖所示:

.?.AC=AC,ZC=ZC=60°,ZABC=ZABC.

1

V^ABD=90°-jzDBC,

.?.2ZABD+ZDBC=180°.

ZABD+ZDBC+ZABD=180°.

gpZABC+ZABD=180°.

ZABC+ZABD=180°,Z.DxB、C三點(diǎn)共線.

又：/D=60。，

^DAC=180°-ZC-=60°=ND=zC.

△ADC'是等邊三角形.，AD=AC'=AC.

14.如下圖所示，延長BD到F,使BF=BA,連接AF、CF.

?//ABD=60。,AABF為等邊三角形.

，AF=AB=AC=BF,/AFB=60°.

ZACF=ZAFC.

又：ZACD=60°,.\ZAFB=ZACD=60°.

ZDFC=ZDCF,.\DC=DF,

，BD+DC=BD+DF=BF=AB,即BD+DC=AB.

15.如下圖所示，作C關(guān)于AP的對稱點(diǎn)C,連接AC；BC；PC；DC',.,.PC'=PC=2PB,ZAPC'=ZAPC=

60°.

可證△BCP為直角三角形.

延長PB到點(diǎn)D,使BD=BP,則PD=PC',又NC'PB=60。,

則ACPD是等邊三角形.

由三線合一性質(zhì)有C'BXBP,ZC,BP=90°,

ZABC=45°,.\ZC'BA=45°=ZABC.

/.BA平分/CBC.

過點(diǎn)A作AE±BC,AF±PC',AG±BM.

/.AE=AF=AG.CA平分NMC'P.

1

r

???乙ACP=~^MCP=75°=^ACB.

2

16.以AC為對稱軸將△DAC翻折到△D'AC的位置，連接BD'.

貝！］CD=CD二BC,NACD二NACDl

VZBCD'=ZBCA-ZACD'=ZBCA-ZACD=60°,

AADBC為等邊三角形.

???AD+CD=AD+DBNAB,等號成立時AC平分/BAD.

17.如下圖所示，以AD為邊在△ABC外作等邊三角形^ADE,連接EC.

VZCAE=60°+20°=ZACB,AE=AD=CB,AC=CA>J

:.AACB^ACAE.氣：A