高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)知識+高頻考點(diǎn)+解題訓(xùn)練）空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系

空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系(理)

1基礎(chǔ)知要打牢強(qiáng)雙基|固本源|得基礎(chǔ)分|掌握程度

［知識能否憶起］

一、空間向量及其有關(guān)概念

語言描述

共線向量(平行表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合.

向量)

共面向量平行于同一平面的向量.

共線向量定理對空間任意兩個向量a,b(bWO),a〃2存在4ER,使a=46.

若兩個向量a,b不共線，則向量。與向量a,b共面o存在唯一的有序?qū)?/p>

共面向量定理

數(shù)對(x,y),使。=xa+y6.

(1)定理：如果三個向量a、6、.c不共面，那么對空間任一向量口存在有

空間向量基本序?qū)崝?shù)組{x,7,z}^.%p=xa+yb+zc.

定理(2)推論：設(shè)。、4B、，是不共面的四點(diǎn)，則對空間一點(diǎn)戶都存在唯一的

三個有序?qū)崝?shù)X、y、zOP=xOA+yOB+zOCs,x+y+z-\.

二、數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算

1.兩個向量的數(shù)量積

(1)a?b=/a//Z>/cos(a,b)；

②6為非零向量)；

(3)\a\2=a,|a\-y^x+y+z.

2.向量的坐標(biāo)運(yùn)算

a-（5i,&,&）,b-（&,坊，bi）

向量和a+b-（a+瓦，.+迤+優(yōu)）

向量差a-6=(.一瓦，電一員、透一々)

數(shù)量積a,b二期bi+儂—+&員

共線a//b=^>.=一氏上電:入也、—二9力(ER)

垂直a±b<*aibi+儂―+儂&二0

夾角

劭―+石2—+續(xù)一

公式COS〈&u)—1-5-----9----2/~--2---2

迥+遨+聚\!玩+壇+&

三、平面的法向量

(1)所謂平面的法向量，就是指所在的直線與平面垂直的向量,顯然一個平面的法向量有無數(shù)多個，

它們是共線向量.

(2)在空間中，給定一個點(diǎn)/和一個向量a,那么以向量a為法向量且經(jīng)過點(diǎn)力的平面是唯二的一

［小題能否全?。?/p>

1.(課本習(xí)題改編)已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2)則下列結(jié)論正確的是()

A.a//c,b//cB.a//b,a±c

C.a//c,aLbD.以上都不對

解析：選Cc=(-4,-6,2)=2a,r.a〃c.又a?6=0,aLb.

2.(?濟(jì)寧一模)若{a,b,c}為空間的一組基底，則下列各項中，能構(gòu)成基底的一組向量是()

A.{a,a+b,a-b}B.{/>,a+b,a-b}

C.{c,a+b,a-b\D.{a+6,a-b,a+26}

解析：選C若c、a+6、a-b共面，則c=4(a+b)+/(a-Z>)=(4+〃)a+(八-血"則a、氏c

為共.面向量，與{a,b,c}為空間向量的一組基底矛盾，故c,a+b,a-b可構(gòu)成空間向量的一組基底.

3.(教材習(xí)題改編)下列命題：

①若/、B、C、，是空間任意四點(diǎn)，則有45+BC+CD+DA=0;

(2)gMB=xMA+yMB,則以P、4、6共面；

③若。=xa+y〃則。與a,6共面.

其中正確的個數(shù)為()

A.0B.1

C.2D,3

解析：選D可判斷①②③正確.

4在四面體。-46c中，OA=a,OB=b,OC=c,，為6C的中點(diǎn),E為力。的中點(diǎn)，則OE=(用

a,b,c表示).

->11

解析：如圖，OE=-OA+-OD

B

111

一

而o-

-帆+4-+4-c

1-11

26+

2-4-4-c

-111

答案：^a+~b+~c

5.已知力式》-4合44為正方體，.①+4已+4瓦/=34瓦2.②?（A瓦-A^A）

=0；③向量皿與向量為方的夾角是60。;④正方體四5-484〃的體積為|A5?AA；?A力1.其

中正確命題的序號是.

解析:設(shè)正方體的棱長為1,①中（&人+A”+A瓦）2=3A瓦2=3,故①正確；②中工瓦-

=AB）,由于AS1AC,故②正確；③中4人與兩異面直線所成角為60。，但AO；與的夾角為

120°,故③不正確;④中|AB?AA,?AD|=0.故④也不正確.

答案：①②

1.用空間向量解決立體幾何中的平行或共線問題一般用向量共線定理；求兩點(diǎn)間距離或某一線段的長

度，一般用向量的模來解決；解決垂直問題一般可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零；求異面直線所成的角，一般

可以轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角，但要注意兩種角的范圍不同，最后應(yīng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

2.直線的方向向量與平面的法向量的確定：

（1）直線的方向向量：，是空間一直線，46是直線/上任意兩點(diǎn)，則稱.方為直線）的方向向量，

與A5平行的任意非零向量也是直線/的方向向量.

（2）平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a,b是平面。內(nèi)兩不共線向量，A為平面。的法向量，則

［n,a=0,

求法向量的方程組為e=o.

后高頻考點(diǎn)要通關(guān)

抓考點(diǎn)I學(xué)技法I得拔高分I掌握程度

空間向量的線性運(yùn)算

典題導(dǎo)入

［例1］如圖，在平行六面體力6切-4為G"中G為△4初的重心,設(shè)AB=a,

AD=b,AA]=c,試用a,b,c表示AC】，AG

[自主解答]AC[=AB+BC+CC[=AB+AD+A^

=a+b+c.

AG=AAj+Afi

—1-?

=AA1+§z(4￡)+A^B)

-AAX+~(AD-AAX)+[(AB-AAX)

111

1病X1

一

-一

ooo

ooo

111

3a+3b+3a

>?一題叁變

本例條件不變，設(shè)4G與笈〃交點(diǎn)為四試用&b,。表示MG.

解：如圖，

MG=MAt+A^G

1——1——?

=_](A居+(A^D+AtB)

二+AD-AAX)+1(AB-AAr)

111111

一或一獷+於-鏟+鏟-鏟

112

--6a--6b--3c

由題悟法

用已知向量表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵，要正確理解向量加法、減

法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，靈活運(yùn)用三角形法則及四邊形法則.

以題試法

1.如圖所示，已知空間四邊形物8a其對角線為如、AC,M、“分別

中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段可上，且=2麗，若。。=xOA+yOB+zOC,

值分別為—.

—.■■1—.9—

解析：?「OG=OM+MG=-0A+-MN

12

-2-OA3-

122

一

麗

-2-帆+3-3-

1—.21—?—?91—?

=zOA+-x-(OB+OC)-TX-OA

乙J乙J乙

1-1-1

=~OA+-OB+-OC

633

???X,y,Z的值分別為!，T,T.

ooo

111

答

案6_3-3-

3共線、共面向量定理的應(yīng)用

典題導(dǎo)入

［例2］如右圖，已知平行六面體力85-卬B'CD',E、F、G、〃分別是

棱，P、"C、C。和的中點(diǎn)，求證￡、F、G、〃四點(diǎn)共面.

［自主解答］取即'=a,EF=b,EH=c,則HG=HB+BC+CG

------------1------

=D'F+2ED'+-AAf

=b—a+2a+j(AH+HE+EA')=6+a+-a-c-a)

Jb-gc,與6、C共面.即民尺G、〃四點(diǎn)共面.

由題悟法

應(yīng)用共線向量定理、共面向量定理證明點(diǎn)共線、點(diǎn)共面的方法比較：

三點(diǎn)（戶，46）共線空間四點(diǎn)（幽P,A,而共面

PA=A尸方且同過點(diǎn)，MP=xMA+yMB

對空間任一點(diǎn)。，OP=OM+xMA+

對空間任一點(diǎn)0,OP=OAf+tAB

yMB

對空間任一點(diǎn)。，OP=xOM+yOA+(1

對空間任一點(diǎn)。，OP=xOA+（1-x）OB

-x-y)OB

以題試法

2.已知以F、G、〃分別是空間四邊形26口的邊BC、CD、DA的中點(diǎn)，用向

量方法，求證：

(1)及F、G、〃四點(diǎn)共面；

(2)初〃平面斯就

證明：⑴連接用，則EG=EB+BG

—1——~?

=EB+-(BC+BD)

=EB+BF+EH=EF+EH,

由共面向量定理知：

E、F、G、〃四點(diǎn)共面.

(2)因為EH=AH-AE

11-11

=^AD--AB=-(AZ>-AB)=^BD,

又因為民H、B、，四點(diǎn)不共線，而以EH//BD.

又Ek平面EFGH,BIA平面EFGH,

所以劭〃平面及煙

3利用空間向量證明平行或垂直

典題導(dǎo)入

[例3](?湖南模擬)已知”，平面/期龐，平面/O,LACD

形，邊長為2a,AD=DE=2AB,尸為切的中點(diǎn).

(1)求證：平面比F；

(2)求證：平面加及L平面CDE.

[自主解答]依題意，以"C所在的直線為x軸，力6所在的直線為z軸，過

點(diǎn)A且垂直于/C的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則

4(0,0,0),C(2a,0,0),8(0,0,a),D{a,y[3a,0),E(a、y[3a,2a).

F為繆的中點(diǎn)，...ga，*a,o).

|a,半a,0),BE=(a,

⑴易知，AF=/a,a),BC=(2a,0,-a),

.AF=1(BE+BC),AFI平面及五

平面旌

(2)AF=^|a,乎a,o),CD=(-a,y[3a,0),ED=(0,0,-2a),

..AF?CD=0,XF-ED=0,

AF1CD,AFrED,即AFX.CD,AFVED.

又CDCED=D、.?J￡L平面CHE

又/%平面比F,，平面腔:L平面。血

由題悟法

利用直線的方向向量與平面的法向量，可以判定直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直.

(1)設(shè)直線Z的方向向量匕二(2，bi,Cl),4的方向向量02=(電生C2).

貝IJ/1〃/2=匕〃皈=(囪，61,c)=k(&、尻、Q)(4ER).

7i±72<=>V\±於=2&+Z?i&+。。=0.

(2)設(shè)直線/的方向向量為v=(a,bi,ci),平面a的法向量為刀二(物久Q),貝"〃a=

+b\bi+eg=0.

/_L。=0〃〃=(皿bi,。1)=4(石2,bi,C2).

(3)設(shè)平面。的法向量加=(4,bi,ci),￡的法向量為Zfe=(az,bz,c2),則a"BonJm、a1

80z?i_Lih.

以題試法

3.(-汕頭模擬)

如圖所示的長方體ABCD-ABCQ中，底面/及力是邊長為2的正方形，。為

〃與劭的交點(diǎn)，BB、=阻,〃是線段BM的中點(diǎn).

⑴求證：倒物平面RAC；

(2)求證：一班平面陽C

證明：(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)。(1,1,0)、"(0,0,

■-OD[=(-1,-1,p,

又點(diǎn)6(2,2,0),Ml,1,p,

BM=(-1,-1,^2),

OD[=BM,

又?.?如與胡不共線,

ODj/BM.

又如u平面D.AC,BMX平面KAC,

.?.碗〃平面〃然

A

(2)連接0B..■：OD.?。叫=(-1,-1,/2)?(1，1,血=0,ODX-AC=(-1,-1,鏡)?(-

2,2,0)=0,

ODl1OB】,OD^AC,

gpOIWOBx,ODtlAC,

又OBiC\AC=0,.?.40_L平面ABC

卻！解瞿”蜉要高效抓速度|抓規(guī)范|拒絕眼高手低|掌握程度

A級全員必做題

1.（?大同月考）若直線/的方向向量為4平面。的法向量為也能使/〃。的是（）

A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0)

B.a-(1,3,5),n-(1,0,1)

C.a-(0,2,1),(-1,0,-1)

D.a-(1,-1,3),n-(0,3,1)

解析：選D若7〃a,貝3?〃二。.而A中a?刀二一2,

B中石?〃=1+5=6,C中石?〃二一1,

只有D選項中a?n--3+3=0.

2.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,4),若a,b,c三向量共面，則實(shí)數(shù)才等于

)

6263

A-B-

6065

c-~D-

解析：選D由題意得c-ta+Li6=（2力一〃，—2+4〃，3方一2〃）,

33

t--

7，

7二22一）,

17

5=一方+4口--

7，

4二3方一2

?65

共二〒

3.如圖所示，在平行六面體4?5-4AG〃中，〃為4G與瓦91的交點(diǎn).若A5

a,AD=b,AA；=c,則下列向量中與5M相等的向量是（)

1111

A.-53+56+0B.~a+-b+c

1111

c.一1a一寸+cD.~a--b+c

—.1—.---

解析：選ABM=3瓦+BM二

X=4Al+-(AZ)-AB)

=c+-(Z?-a)=-+-/?+c.

__cJ[

4.（?晉中調(diào)研）如圖所示，已知空間四邊形物8a0B=0C、且乙/如木=AAOC=~,

則cos〈04,,BC）的值為（）

8

AOB1

-

2

CV23V1

D.2

OB-6*-

由已知條件<a,b)=〈a,c)=—,且歸=|c|,

OA,BC=a,(c-6)=a,c-a?b

11.

=-1a1\c\-~^\a.\\b.\=0,/.cos<OA,BC)=0.

5.(?舟山月考)平行六面體四切〃中，向量45、A。、AA；兩兩的夾角均為60°,且|A5

=1,AD1=2,1AA^1=3,貝力AC」等于()

A.5B.6

C.4D.8

解析：選A設(shè)AB=a,AD=b,AAX=c,則ACX=a+b+c,

21

ACX-a+if+c+2a?c+2b?c+2c,a=25,

因此I泡I=5.

6.在正方體力及/-48K〃中，戶為正方形48K〃四邊上的動點(diǎn)，0為底面正

方形切的中心，此"分別為2及6c的中點(diǎn)，點(diǎn)0為平面加切內(nèi)一點(diǎn)，線段"0

與。戶互相平分，則滿足MQ=AMN的實(shí)數(shù)A的值有()

A.0個B.1個

C.2個D.3個

解析：選C建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2,

則P(x,%2),0(1,1,0),

的中點(diǎn)坐標(biāo)為

(x+1y+1)

[2，2'

又知”(0,0,2),???0(x+l,y+1,0),

而。在胸上，為+為=3,

.'.x+y=1,即點(diǎn)尸坐標(biāo)滿足x+y=1.

二有2個符合題意的點(diǎn)P,即對應(yīng)有2個人

7,在下列條件中，使〃與4B、C一定共面的是

?OM=2OA-OB-OC-,(2)0M+\oB+\oC;?MA+MB+MC=0-@OM+

?Jz

OA+OB+OC=0.

解析：；MA+MB+MC=0,MA=-MB-MC,貝I]M4、MB.MC為共面向量，即M、

/、B、C四點(diǎn)共面.

答案：③

8.如圖，正方體力a/-4EG”的棱長為1,E、戶分別是棱比；DD\

6歸，平面ABF,則CE與小的和的值為.

解析：以"4、"G、〃，分別為x,y,2軸建立空間直角坐標(biāo)系，

=y,

則易知￡(x,l,1),5(1,1.0),.-.^=(^-1,0,1),

又尸(0,0,1-力,5(1,1.1),.-.^=(1.1,力,

由于故若45^平面/況

只需尸至一?B[E=(1,1,y)?(x-1,0,1)=0=x+y=l.

答案：1

9.如圖所示，為垂直于正方形/版所在平面，AB=2,￡為期的中點(diǎn)，COS

〈DP,AE)=乎，若以物、DC,分所在直線分別為x,y,z軸建

立空間直角

O

坐標(biāo)系，則點(diǎn)￡的坐標(biāo)為.

B

解析：設(shè)劃=a,則力(2,0,0),6(2,2,0),

戶(0,0,a),41,1,0

DP=(0,0,a),AE=^-1,1,|j.

由cos〈DP,AE〉=*，

???￡的坐標(biāo)為(1,1,1).

答案：(1,1,1)

10.如圖所示，在四棱錐P-26切中，為，底面46〃AB1AD,AC1.乙ABC

60°,PA=AB=BC,￡是戶C的中點(diǎn).證明：

WAELCD；

⑵PDL平面ABE.

證明：AB、AD、4P兩兩垂直,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)為="=歐=1,則2(0,0,1).

(1)???AABC=60°,

.?.△A6C為正三角形.

乎,°)4坐0

設(shè)，(0,萬o),AC1CD,得A0-CD=0,

即廠平,則6,平,0)

?■-C5=H'W"又版=3乎,9

AE-CD=-1x1+^x^=0,

AE1CD,即AEVCD.

⑵法-：)(0,0,1),，尸0=[o,平，-1

又AE?PD=-^x^^+|x(-1)=0,

PD1AE,gpPDLAE.

?「AB=(1,0,0),/.PD?AB=0.

.'.PD1AB,XABHAE=A,7.勿_1平面/股

法二：AB=(1,0,0),AE=小半，!

設(shè)平面力座的一個法向量為z?=(x,y,z),

x=0,

則’1事1

-x+^y+-z=Q,

令y=2,貝IJz=：.n=（0,2,-鄧）.

PD=|^0,平，-1J顯然PZ）=g.

???PD//n,：.PD1平面ABE,即PDA.平面ABE.

11.已知矩形極力中，力8=6,BC=6^2,￡為加的中點(diǎn)（圖甲）.沿龐將△/龍折起，使二面角4-

龐-C為直二面角（圖乙），且尸為的中點(diǎn).

4

圖乙

（1）求證：股/平面/龐；

⑵求證：ACLBE.

證明：⑴如圖1,設(shè)〃為8c的中點(diǎn)，連接〃儂MF.?.?尸為4C的中點(diǎn)，〃為比的

中點(diǎn)，：.MF//AB.

又?.?胡觸龐，，四邊形創(chuàng)定為平行四邊形，，加〃物1V1(_

圖1

■:MFC\MD=M、ABCBE=B,

，平面"洶7平面/龐：

又?.?如C平面毋W兩平面/龐，

如〃平面ABE.

⑵在矩形四切(如圖2)中，連接得交龐于￡

BE-AC=(BA+AE)?(AB+BC)

二-AB2+AE,BC=-36+36=0.

:.ACIBE.

二在圖3中，AG1BE,CGIBE.

A

BC

圖3

又AGQGC=G,

，龐_L平面AGC.

又：/后平面/GC,：.AC\.BE.

12.(?長春模擬)如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中，AD//BC,

AABC=9Q°,PDL^-^ABCD,AD=\,AB=y[3,BC=4.

⑴求證：BDLPC；

⑵設(shè)點(diǎn)￡在棱PC上,PEAPC若龐〃平面PAB,求A的值.

解：⑴證明：如圖，在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)2作直線DF//AB,交BC于點(diǎn)F,以D

為坐標(biāo)原點(diǎn)，加、DF、加所在的直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-

xyz,則4(1,0,0),6(1,木,0),2(0,0,0),(7(-3,/，0).

⑴設(shè)加=a,則尸(0,0,a),=(-1,甘,0),PC=(-3,小，-a),

BD?PC=3-3=0,：.BDVPC.

⑵由題意知，AB-(0,木,0),DP=(0,0,a),PA=(1,0,-a),PC=(-3,小,-a),

,/PE=APC,PE=(-34,-'Js4,-a4)，

DE=DP+PE=(0,0,a)+(-3-4,-^34,-a4)

=(-3,y[3,a-a.

AB?〃二0,

設(shè)A=(X,y,z)為平面序夕的法向量，貝行

PA?n=0,

'小y=Q,

即彳

x-az-0.

令z=l,得X=2:.n=0,1),

:龐〃平面處及DE?z?=0,

_3aX+乃一a4二0,即3(1_44)=0,

1

O1

aA-4-

B級重點(diǎn)選做題

1.已知45=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若入BP=(^-1,y,-3),且如，平面

ABC,則實(shí)數(shù)x,y,z分別為()

33154015

—4B.y,4

A-7'7，

4040

c-~'-2,4D,4,y,-15

解析：選B.AB1BC,..AB-BC=0,

即3+5-2z=0,得2=4.

x-1+5y+6=0,

又如_L平面/員\:.BPIAB,BPIBC,BC=(3,1,4),則解得

3x-1+y-12=0,

40

Y，

15

y=

2.設(shè)空間四點(diǎn)。，4B,尸滿足OP=。4+《45,其中0〈伙1,則有（)

A.點(diǎn)戶在線段力8上

B.點(diǎn)?在線段力6的延長線上

C.點(diǎn)?在線段BA的延長線上

D.點(diǎn)戶不一定在直線上

解析：選A?.?（）（K1,???尸點(diǎn)在線段相上.

.3.已知正方體力頷-4AG4的棱長為2,E、尸分別是隔、加的中點(diǎn).求證：

⑴陽〃平面/龐;

（2）平面/龐〃平面8GE

證明：（1）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

則有D(0,0,0)、2(2,0,0)、C(0,2,0)、G(0,2.,2)、￡(2,2,1)、b(0,0,1),所以

FC】=(0,2,1),DA=(2,0,0),AE=(0,2,1).

設(shè)Z21=（肛71,Z1）是平面力龐的一■個法向量，則Z211DA,7711AE,

721,DA=2,xi=0,

即1

/2i?AE=2yl+zi=0.

荀=0,

解得

zi=-2幾

令團(tuán)=2,則與=-1,所以Ai=(0,-1,2).

因為FQ,Th=-2+2=0,所以77cl1a.

又因為閨C平面ADE,所以閨〃平面ADE.

⑵由⑴得氏(2,2,2),。冉=(2,0,0).

設(shè)功=(X2,Z2)是平面61G6的一個法向量，

則m±FC],Ih1C1B1,

m?FC[=2萬+