2024-2025學(xué)年中考數(shù)學(xué)考前20天沖刺復(fù)習(xí)之圖形與幾何綜合（含答案）

2024?2025學(xué)年中考數(shù)學(xué)考前20天終極沖刺專題之圖形與幾何綜合

一、解答題

圖2

(1)如圖1,BP平分乙4BC,M,N分別在射線B4BC上，若BM=BN,求證：PM=PN；

(2)如圖2,在△ABC中，CP1CB交邊AB于點(diǎn)、P,PH1AC于點(diǎn)已知乙4cp=乙B,CH=2,AB=5,

求△ABC的面積;

(3)如圖3,在等邊△ABC中，點(diǎn)。在邊AB上，尸為84延長線上一點(diǎn)，￡為邊AC上一點(diǎn)，已知CA

平分=/-CPD,AE=2,AD=3,求P4的長.

2.已知Rt△4BC,^ACB=90°,NB4C=30。，點(diǎn)。是AC邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作DE_LAB于點(diǎn)E,連接BQ,

點(diǎn)F是BD中點(diǎn)，連接EF,CF.

031

(1)如圖①，線段EF,CF之間的數(shù)量關(guān)系為,ZEFC的度數(shù)為

⑵如圖②，將AAE。繞點(diǎn)4按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)以0。＜戊＜30。)，請(qǐng)判斷線段EF,CF之間的數(shù)量

關(guān)系及NEFC的度數(shù)，并說明理由;

(3)若AAE。繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點(diǎn)。落到直線上時(shí)，連接BE,若BC=3,AD=2,請(qǐng)直

接寫出BE的長.

3.如圖1,在菱形/BCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)。，AB=6,乙4BC=60。，點(diǎn)P為線段B。上的

動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B,。重合)，連接CP并延長交邊4B于點(diǎn)G,交DA的延長線于點(diǎn)H.

圖2

(1)當(dāng)點(diǎn)G恰好為的中點(diǎn)時(shí)，求證：4AGH三ABGC；

(2)求線段BC的長;

(3)當(dāng)為直角三角形時(shí)，求卷的值；

C4)如圖2,作線段CG的垂直平分線，交BD于點(diǎn)N,交CG于點(diǎn)M,連接NG,在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中,

NCGN的度數(shù)是否為定值？如果是，求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說明理由.

4.已知在RtAABC中，乙4cB=90。，BC=6,47=8,以邊AC為直徑作。。，與邊交于點(diǎn)。，點(diǎn)

M為邊BC的中點(diǎn)，連接OM.

(1)求證：DM是。。的切線；

(2)點(diǎn)P為直線BC上任意一動(dòng)點(diǎn)，連接ZP交。。于點(diǎn)Q,連接CQ.

①當(dāng)tcmNBAP=即寸，求BP的長；

②求黑的最大值.

Zir

5.已知△ABC內(nèi)接于。0,AB為。。的直徑，N為數(shù)的中點(diǎn)，連接ON交2C于點(diǎn)耳

(2)如圖②，點(diǎn)。在。。上，連接OB,DO,DC,DC交OH于點(diǎn)E,若DB=DC,求證。D||AC；

(3)如圖③，在(2)的條件下，點(diǎn)廠在3。上，過點(diǎn)尸作FG1。。，交。。于點(diǎn)G.DG=CH,

過點(diǎn)F作FRIDE,垂足為七連接EF,EA,EF：DF=3：2,點(diǎn)T在BC的延長線上，連接AT,過

點(diǎn)T作TM1DC,交DC的延長線于點(diǎn)M,若FR=CM,AT=4vL求的長.

6.小王在學(xué)習(xí)浙教版九上課本第72頁例2后，進(jìn)一步開展探究活動(dòng)：將一個(gè)矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)a(0?！慈?0。)，得到矩形N9C。，連結(jié)區(qū)D.

［探究1］如圖1,當(dāng)a=90。時(shí)，點(diǎn)C恰好在D3延長線上.若48=1,求3c的長.

［探究2］如圖2,連結(jié)/C,過點(diǎn)。作。W〃/C交3。于點(diǎn)肌線段。/與。M相等嗎？請(qǐng)說明理

由.

［探究3］在探究2的條件下，射線。3分別交AC于點(diǎn)、P,N(如圖3),發(fā)現(xiàn)線段。N,MN,

PN存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出這個(gè)關(guān)系式，并加以證明.

7.已知正方形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)。.

(1)如圖E,G分別是OB,0C上的點(diǎn)，CE與DG的延長線相交于點(diǎn)F.若DFLCE,

求證：0E=0G；

(2)如圖2,H是BC上的點(diǎn)，過點(diǎn)H作￡7/，BC交線段0B于點(diǎn)E,連結(jié)。”交CE

于點(diǎn)F,交0C于點(diǎn)G.若。E=0G,

①求證：乙ODG=AOCE；

②當(dāng)AB=1時(shí)，求HC的長.

二、實(shí)踐探究題

8.已知正方形ABCD,E為對(duì)角線AC上一點(diǎn).

①②③

(1)【建立模型】

如圖①所示，連接BE,DE.求證：BE=DE；

(2)【模型應(yīng)用】

如圖②所示，F(xiàn)是DE延長線上一點(diǎn)，EF交AB于點(diǎn)G,FBXBE,判斷4FBG的形狀，并說明理

由;

(3)【模型遷移】

如圖③所示，F(xiàn)是DE延長線上一點(diǎn)，EF交AB于點(diǎn)G,FB±BE,BE=BF,求證：GE=(V2-1)DE.

9.【問題呈現(xiàn)】

△Q4B和△CDE都是直角三角形，AACB=ADCE=90°,CB=mCA,CE=mCD,連接20,BE,

探究力D,BE的位置關(guān)系.

(1)如圖1,當(dāng)血=1時(shí)，直接寫出ZD,BE的位置關(guān)系：；

(2)如圖2,當(dāng)小。1時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由.

(3)【拓展應(yīng)用】

當(dāng)血=巡，AB=4小,￡>E=4時(shí)，將△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使4,D,E三點(diǎn)恰好在同一直線上,

求BE的長.

(1)【特例感知】

如圖1,在正方形48CD中，點(diǎn)尸在邊48的延長線上，連結(jié)BD,過點(diǎn)。作。尸D,交3C的

延長線于點(diǎn)求證：△DAPQDCM.

(2)【變式求異】

如圖2,在Rt^ABC中，N48c=90。，點(diǎn)。在邊4B上，過點(diǎn)。作交ZC于點(diǎn)。，點(diǎn)尸

在邊AB的延長線上，連結(jié)PQ,過點(diǎn)。作交射線BC于點(diǎn)M.已知BC=8,AC=10,AD

=2DB,求^的值.

（3）【拓展應(yīng)用】

如圖3,在RtZk/3C中，NR4C=90。，點(diǎn)尸在邊的延長線上，點(diǎn)。在邊NC上（不與點(diǎn)Z,C

重合），連結(jié)尸。，以0為頂點(diǎn)作NPQM的邊交射線BC于點(diǎn)跖若4C=mAB,

CQ=nAC（m,"是常數(shù)），求^的值（用含切，〃的代數(shù)式表示）.

1L【問題背景】

人教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第63頁“實(shí)驗(yàn)與探究”問題1如下：如圖，正方形ZBCD的對(duì)角線相交于

點(diǎn)。，點(diǎn)。又是正方形&B1C1。的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長相等，無論正方形4/1的。1。

繞點(diǎn)。怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積，總等于一個(gè)正方形面積的想一想，這是為什么？（此

問題不需要作答）

九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)上面的問題又進(jìn)行了拓展探究、內(nèi)容如下：正方形ABCC的對(duì)角線相交于點(diǎn)

。，點(diǎn)P落在線段。C上，薨=1（卜為常數(shù)）.

（1）【特例證明】

如圖1,將RMPEF的直角頂點(diǎn)P與點(diǎn)0重合，兩直角邊分別與邊AB,BC相交于點(diǎn)M,N.

①填空：k=▲；

②求證：PM=PN.（提示：借鑒解決【問題背景】的思路和方法，可直接證明4PAMW4PBN；

也可過點(diǎn)P分別作4B,BC的垂線構(gòu)造全等三角形證明.請(qǐng)選擇其中一種方法解答問題②.）

（2）【類比探究】

如圖2,將圖1中的/PEF沿。C方向平移，判斷PM與PN的數(shù)量關(guān)系（用含k的式子表示），并說明

理由.

（3）【拓展運(yùn)用】

如圖3,點(diǎn)N在邊BC上，乙BPN=45。,延長NP交邊CD于點(diǎn)E,若EN=kPN,求k的值.

12.【問題情境】如圖，在△力BC中，AB^AC,乙4cB=a.點(diǎn)。在邊BC上將線段DB繞點(diǎn)。順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)得到線段DE（旋轉(zhuǎn)角小于180。），連接BE,CE,以CE為底邊在其上方作等腰三角形FEC,使

Z.FCE=a,連接4F.

（1）【嘗試探究】

如圖1,當(dāng)a=60。時(shí)，易知4F=BE；

圖1

如圖2,當(dāng)a=45。時(shí)，則2F與BE的數(shù)量關(guān)系為;

（2）如圖3,寫出4尸與BE的數(shù)量關(guān)系（用含a的三角函數(shù)表示）.并說明理由;

如圖4,當(dāng)a=30。，且點(diǎn)8,E,廠三點(diǎn)共線時(shí).若BC=4b，BD=『C,請(qǐng)直接寫出4F的長.

13.【閱讀理解】如圖1,在矩形ZBCD中，若4B=a,BC=b,由勾股定理，得472=02+62,同理

BD2=a2+b2,故AC?+BD2=2(a2+b2).

圖1

（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2,四邊形ZBCD為平行四邊形，若2B=a,BC=b,則上述結(jié)論是否依然

成立？請(qǐng)加以判斷，并說明理由.

圖2

（2）【拓展提升】如圖3,已知B。為△4BC的一條中線，AB=a,BC=b,AC=c.求證：BO2=

a2+b2c2

———T

圖3

（3）【嘗試應(yīng)用】如圖4,在矩形4BCD中，若4B=8,BC=12,點(diǎn)P在邊4。上，貝iJPB?+PC?

的最小值為

14.綜合與實(shí)踐，【問題情境】：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖1,在正方形ABCD中，

E是BC的中點(diǎn)，AEVEP,EP與正方形的外角△DCG的平分線交于P點(diǎn).試猜想AE與EP的數(shù)

量關(guān)系，并加以證明；

圖1圖2

圖3

(1)【思考嘗試】同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，取AB的中點(diǎn)F,連接EF可以解決這個(gè)問題.請(qǐng)?jiān)趫D1中補(bǔ)全圖

形，解答老師提出的問題.

(2)【實(shí)踐探究】希望小組受此問題啟發(fā)，逆向思考這個(gè)題目，并提出新的問題：如圖2,在正方

形ABCD中，E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E,B不重合)，△AEP是等腰直角三角形，乙4EP=90。，

連接CP,可以求出乙DCP的大小，請(qǐng)你思考并解答這個(gè)問題.

(3)【拓展遷移】突擊小組深入研究希望小組提出的這個(gè)問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)：如圖3,

在正方形ABCD中,E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E,B不重合)，bAEP是等腰直角三角形，^AEP=90°,

連接DP.知道正方形的邊長時(shí)，可以求出AADP周長的最小值.當(dāng)4B=4時(shí)，請(qǐng)你求出△ADP

周長的最小值.

15.

(1)【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①所示，在正方形2BCD中，E為4。邊上一點(diǎn)，將沿BE翻折至IMBEF

處，延長EF交CD邊于G點(diǎn).求證：△BFGBCG

AED

G

BC

圖①

(2)【類比遷移】如圖②，在矩形2BCD中，E為4。邊上一點(diǎn)，且4。=8,AB=6,將△ZEB沿BE

翻折到ABEF處，延長EF交BC邊于點(diǎn)G,延長BF交CD邊于點(diǎn)H,且FH=CH,求ZE的長.

(3)【拓展應(yīng)用】如圖③，在菱形4BCD中，E為CD邊上的三等分點(diǎn)，4=60。，ADE'^AE

翻折得到AAFE,直線EF交BC于點(diǎn)P,求CP的長.

備用1備用2

16.華師版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第121頁習(xí)題19.3第2小題及參考答案.

2.如圖，在正方形ABCD中，CE1DF.求證：CE=DF.

證明：設(shè)CE與DF交于點(diǎn)O,

?.?四邊形ABCD是正方形，

."B=ZDCF=90°,BC=CD.

：.^BCE+^DCE=90°.

某數(shù)學(xué)興趣小組在完成了以上解答后，決定對(duì)該問題進(jìn)一步探究

(1)【問題探究】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在線段AB、BC、CD、DA上,

且EG1尸從試猜想第的值，并證明你的猜想.

(2)【知識(shí)遷移】如圖，在矩形ABCD中，AB=m,BC=兀，點(diǎn)E、F、G、H分別在線段AB、

(3)【拓展應(yīng)用】如圖，在四邊形ABCD中，Z.DAB=90°,乙4BC=60。，AB=BC,點(diǎn)E、F分

別在線段AB、AD上，且CE1BF.求器的值.

c

圖2圖3

(1)【基礎(chǔ)鞏固】

如圖1,在AABC中，D,E,F分別為AB,AC,BC上的點(diǎn)，DE〃BC,BF=CF,AF交DE于點(diǎn)G,

求證：DG=EG.

(2)【嘗試應(yīng)用】

如圖2,在(1)的條件下，連結(jié)CD,CG.若CGJ_DE,CD=6,AE=3,求嚼的值.

(3)【拓展提高】

如圖3,在口ABCD中，ZADC=45°,AC與BD交于點(diǎn)O,E為A0上一點(diǎn)，EG〃:BD交AD于點(diǎn)

G,EFLEG交BC于點(diǎn)F.若NEGF=40。，F(xiàn)G平分NEFC,FG=10,求BF的長.

18.如圖,

圖1

(1)【推理】

如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD上一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿著BE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連

結(jié)BE,CF,延長CF交AD于點(diǎn)G求證：△BCE=△CDG.

(2)【運(yùn)用】

如圖2,在（推理）條件下，延長BF交AD于點(diǎn)H.若黑,CE=9,求線段DE的長.

（3）【拓展】

將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊，連結(jié)CF,延長CF,BF交直線AD于G,兩點(diǎn)，若需=k,

罌他，求器的值（用含k的代數(shù)式表示）.

（1）【基礎(chǔ)鞏固】

如圖1,在AABC中，D為AB上一點(diǎn)，NACD=/B.求證：AC2=AD-AB.

（2）【嘗試應(yīng)用】

如圖2,在nABCD中，E為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)為CD延長線上一點(diǎn)，NBFE=NA.若BF=4,BE=3,

求AD的長.

（3）【拓展提高】

如圖3,在菱形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是aABC內(nèi)一點(diǎn)，EF〃AC,

AC=2EF,乙EDF=*乙BAD,AE=2,DF=5,求菱形ABCD的邊長.

三'綜合題

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，過M的直線分別交x軸，y軸的正半軸

于A,B兩點(diǎn)，且M是AB的中點(diǎn).以O(shè)M為直徑的。P分別交x軸，y軸于C,D兩點(diǎn)，交直線AB

于點(diǎn)E（位于點(diǎn)M右下方），連結(jié)DE交OM于點(diǎn)K.

①求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo);

②求ME的長.

(2)若林=3,求NOBA的度數(shù).

(3)設(shè)tanNOBA=x(0<x<l),送=y，直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式.

21.(1)［問題探究］

如圖1,在正方形4BCQ中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0.在線段4。上任取一點(diǎn)P(端點(diǎn)除外)，連

接PD、PB.

①求證：PD=PB；

②將線段DP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BA的延長線上的點(diǎn)Q處.當(dāng)點(diǎn)P在線段40上的位置

發(fā)生變化時(shí)，乙DPQ的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由；

③探究42與0P的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(2)［遷移探究］

如圖2,將正方形力BCD換成菱形ZBCD,且乙4BC=60。，其他條件不變.試探究/Q與CP的數(shù)量關(guān)

系，并說明理由.

22.如圖1,點(diǎn)G為等邊△4BC的重心，點(diǎn)。為BC邊的中點(diǎn)，連接GD并延長至點(diǎn)。，使得0。=DG,連

接GB,GC,OB,0C

圖2②

(1)求證：四邊形BOCG為菱形.

(2)如圖2,以。點(diǎn)為圓心，0G為半徑作。。

①判斷直線ZB與。。的位置關(guān)系，并予以證明.

②點(diǎn)M為劣弧BC上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)B、點(diǎn)C不重合)，連接BM并延長交2C于點(diǎn)E,連接CM并延長交2B

于點(diǎn)F,求證：2E+4F為定值.

23.綜合與實(shí)踐

問題背景

數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)國旗上五角星的五個(gè)角都是頂角為36。的等腰三角形，對(duì)此三角形產(chǎn)生了極大興趣并

探究發(fā)現(xiàn)

如圖1,在△ABC中，24=36。，AB=AC.

A

（1）操作發(fā)現(xiàn)：將△ABC折疊，使邊BC落在邊BA上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E,折痕交力C于點(diǎn)D,連接

DE,DB,則°,設(shè)ZC=1,BC=x,那么4E=（用含％的式子表示）；

（2）進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn):等=與L這個(gè)比值被稱為黃金比.在（1）的條件下試證明:警=與2

腰AC2腰AC2

拓展應(yīng)用:

當(dāng)?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時(shí)，這個(gè)三角形叫黃金三角形.例如，圖1中的△ZBC是黃

金三角形.如圖2,在菱形力BCD中，Z.BAD=72°,AB=1.求這個(gè)菱形較長對(duì)角線的長.

圖2

（3）拓展應(yīng)用：

當(dāng)?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時(shí)，這個(gè)三角形叫黃金三角形.例如，圖1中的△ABC是黃

金三角形.如圖2,在菱形2BCD中，ABAD=72°,AB=1.求這個(gè)菱形較長對(duì)角線的長.

圖2

24.綜合與實(shí)踐.

A

圖2

（1）提出問題.如圖1,在AABC和△ACE中AC,AD=AE,連

接BD,連接CE交BD的延長線于點(diǎn)0.

①NB0C的度數(shù)是.

②BD：CE=.

（2）類比探究.如圖2,在AABC和△￡）￡1（?中，ABAC=AEDC=90°,^.AB=AC,DE=DC,連

接2D、BE并延長交于點(diǎn)0.

①N40B的度數(shù)是;

（2）AD：BE=.

（3）問題解決.如圖3,在等邊A4BC中，4。LBC于點(diǎn)。，點(diǎn)E在線段4）上（不與/重合），以4E為

邊在2。的左側(cè)構(gòu)造等邊AAEF,將AAEF繞著點(diǎn)4在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度.如圖4,M為EF的中

點(diǎn)，N為BE的中點(diǎn).

①說明△MND為等腰三角形.

②求乙MMD的度數(shù).

答案解析部分

1.【答案】(1)證明：:BP平分N4BC,

Z.ABP=Z.CBP,

又「BP=BP,BM=BN,

??.ABMP=ABNP(SAS),

；.PM=PN；

(2)解：如圖，過C作CDL/B于點(diǎn)D.

vCP1CB,CDLAB,

???Z,PCD=乙B,

又???乙ACP=ZB,

???Z.ACP=乙PCD,

???PH1AC,PD1CD,

.?.CH=CD=2,

11、

:.SAABC=2^5?CD=彳x5x2=5；

(3)解：如圖，在線段CP上取一點(diǎn)F,使CD=CF,并連結(jié)41

???C4平分乙PCD,

?，?Z-FAC=Z.ACD,

又???CD=CF,AC=AC,

??.△CAF=△CAD{SAS},

.?.AF=AD=3,^CAF=4CAD=60°,

???^PAF=60°,

???^PAF=^DAE=60°,Z.ADE=乙CPD,

PAF~&DAE,

,AP_AF即力P_3

,,而一宿即丁-2

A。=1

2.【答案】(1)EF=CF；120°

(2)解：EF=CF,AEFC=120°；

理由：如圖，取4B的中點(diǎn)M,4。的中點(diǎn)N,連接MC,MF,EN,FN.

"：BM=MA,BF=FD,LACB=90°,

：.MF||AD,MF^^AD,CM=^AB=AM=MB,

,:AN=ND,

：.MF=AN,

四邊形MFM4是平行四邊形，

：.NF=AM=MC,乙FMA=aANF,

在RtMDE中，

VAN=ND,^AED=90°,

1

；?EN=^AD=AN=ND,

在42￡%和4ACM中，乙AEN=LEAN,^MCA=^MAC,

\'^.MAC=Z.EAN,

：.Z.AMC=LANE,

XVzFM71=乙ANF,

C.Z.FMC=乙ENF,

：?>MFC任ENF(SAS),

；?FE=FC,乙NFE=LMCF,

a：NF||AB,:?乙NFD=^ABD,

9：A.ACB=90°,A.BAC=30°,

：.Z.ABC=60°,△BMC是等邊三角形，^MCB=60°,

C.Z.EFC=乙EFN+乙NFD+乙DFC=匕MCF+乙ABD+乙FBC+(FCB=乙ABC+乙MCB=60°+

60°=120°；

(3)解：BE的長為包或商

3.【答案】(1)證明：???四邊形ZBCD是菱形，

???AD||BC,

???乙HAB=乙ABC,

,?,點(diǎn)G是43的中點(diǎn)，

:.AG—BG,

???乙AGH=乙BGC,

??△AGH三△BGC(ZZS)；

(2)解：???四邊形4BC0是菱形，AB=6,乙4BC=60。，

1

AAO=CO,BO=DO,AC1BD,/_ABD=^A.ABC=30%

???(AOB=90°,

1

??.AO=^AB=3,

BO=7AB2一協(xié)=V62-32=3后

BD=2BO=6V3;

(3)解：為直角三角形，

???AP1AD,

A^DAP=90°,

???四邊形ZBCD是菱形，

1

???乙ABC—Z-ADC—60°,Z.ADB--^Z-ADC-30°,AD—AB=6,AD||BC,

1

AP=^PD,

vAP2+AD2=PD2,BP(|PD)2+62=PD2,

??.PD=4V3,AP=2A

???AD||BC,乙ABC=60°,

???4BAD=180°-乙ABC=180°-60°=120°,

???4BAP=^BAD-/-PAD=120°-90°=30°=^ABP,

???BP=AP=2V3,

???AD||BC,

???△BPC-DPH,

.DP_HP

~BP=~PC'

HP4V3?

,,PL

(4)解：NCGN的度數(shù)是定值，

如圖，取BC的中點(diǎn)連接OH、HM、NC,

???MN是CG的垂直平分線，

GN=CN,GM=CM,

???乙NGC=乙GCN,

???點(diǎn)”是BC的中點(diǎn)，GM=CM,

MH||AB,

??泗邊形ABC。是菱形，

1

-?AO=CO,ACLBD,LCBO=^ABC=30°,

???點(diǎn)H是BC的中點(diǎn),AO=CO,

???OH||AB,

???點(diǎn)M、點(diǎn)H、點(diǎn)。三點(diǎn)共線，

???點(diǎn)”是3C的中點(diǎn),AC1BD,

/.HO=HB=CH,

???乙CBO=乙BOH=30°,

???乙COB=LNMC=90°,

??.ACON+/LNMC=180°,

???點(diǎn)。、點(diǎn)C、點(diǎn)M、點(diǎn)N四點(diǎn)共圓，

???乙BOH=(NCM=30°,

???乙CGN=乙NCM=30°.

4.【答案】(1)證明：如圖，連接OD,CD,

B

??,4。是0。的直徑，

???乙ADC=90°,

???乙BDC=180°一4ADC=90°,

???點(diǎn)M為邊的中點(diǎn)，

???MC=MD,

???乙MDC=4MCD,

???OC=OD,

?，?Z-ODC=Z-OCD,

vZ.ACB=90°,即乙MCD+4。。。=90。，

???乙MDC+ODC=乙MCD+(OCD=90°,

即4ODM=90°,

???DM1OD,

???0。是O。的半徑，

??.DM是。。的切線；

(2)①當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，如圖，過點(diǎn)P作PTJ.于點(diǎn)T,

設(shè)PT=X,

1

vtanZ-BAP—9，

PT

AT=39

??.AT=3PT=3x,

/.BT=AB-AT=10-3%,

也PTAC

tccnZ-ABC—pj；—

x_8

A10-3%=69

解得：%=*

DT8

PT=T

.APTACnnQ

vsin^ABC=jp=^即矗=喘'

BP=學(xué)；

當(dāng)點(diǎn)P在CB的延長線上時(shí)，如圖，過點(diǎn)B作BK14P于點(diǎn)K,

1

vtanZ-BAP—可,

BK1

..?旅二可

設(shè)BK=a,貝IJ4K=3a,

在RtAZBK中，AK2+BK2AB2,

即(3a)2+a2=102,

解得：a1=V10,a2=—VTG(舍去),

AK=3V10,BK=V10,

11

VS&ABP=3AP?BK=”P?AC,

APAC8

''BP=BK=7TO,

設(shè)BP=m,貝【Jap=

在RMACP中，AC2+CP2=AP2,

即8?+(m+6)2=("^zn)2,

解得：租1=等，租2=一學(xué)(舍去)，

???T

綜上所述，BP的長為學(xué)或患;

DZf

②設(shè)CP=n,貝IL4P=Jac2+cp2=164+[2,

如圖，??,AC是。。的直徑,

???CQ1AP,

■：CQ-AP=AC-CP,

“AC-CP8n

???CQ=^^=7^^

CQ_8九

4P64+n2'

vn>0,

???(九一8)2>o,

???64+n2>16n,

CQ_8n8TI_1

??麗-64+n2-16n-2'

??.穿的最大值為4

/11/

5.【答案】(1)證明：如圖，連接OC,

???N為公的中點(diǎn),

：?AH—HC,

??,OA=OB,

???OH是AABC中位線，

???BC=20H；

(2)證明：如圖，連接OC,

D

設(shè)=2a,

vBD=DC,DO=DO,OB=OC,

DOB=ADOC9

???Z-BDO—Z-CDO=與乙BDC—a,

?.?OB=OD,

???Z.DBO—Z-BDO=a,

:.Z.ACD=Z-ABD=a,

???Z.CDO=Z-ACD,

???DO||AC；

(3)解：連接AD,

圖③

???FG1OD,

AZ.DGF=90°,

???(CHE=90°,

???乙DGF=乙CHE,

???(FDG=LECH,DG=CH,

?e?△DGF=△CHE,

??.DF=CE,

???AH=CH,

???OH1AC,

???CE=AE=DF,

:.Z.EAC=Z.ECA=a,

Z-AED-Z.EAC+Z-ECA=2a,

???Z.BDC=Z-AED,

???DF||AE,

???四邊形ADFE是平行四邊形,

???4B是。。的直徑，

???乙ADB=90°,

???四邊形ADFE矩形，

???乙EFD=90°,

VSLXIZ-EDF——2，

過點(diǎn)A作AS±DE垂足為S,

???sin^AES=森，

???FR1DC,

FR

???sin4FDR=寄,

???FD||AE,

:.乙FDR=Z.AES,

???sin乙FDR=sinZ-AES,

???FR=AS,

???4B是O。的直徑，

???乙ACB=90°,

???乙BCE+乙4cs=90°,

???乙ASC=90°,

???NCZS+ZJ4cs=90。，

???Z-BCE=乙CAS,

???乙BCE=乙TCM,

??.ACAS=ZTCM,

???TM1DC,

???乙TMC=90°,

???乙TMC=A.ASC,

???FR=CM,

??.AS=CM,

△CA.S=△TCM

??.CT=AC,

???Z^CT=180°-90°=90°,

???乙CAT=乙CTA=45°,

:.AC=AT?smZ-CTA=4V2xsin45°=4,

???乙EDF=Z-BAC,

3

???tanzFDF=tanzBXC=彳，

BC3

??,AC=29

BC—6,

???AB=yjAC2+BC2=2V13.

??,矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。得到矩形ABCD，，點(diǎn)A,B,D在同一直線上,

???AD=AD=BC=x,DC=AB，=AB=1,

???D'B=AD'-AB=x-l,

???ZBAD=ZD*=90,DC〃DA,

又???點(diǎn)C在DB延長線上，

.,.△D'CB^AADB,

.D'C_D'Bnnl_x-1

',Q=NF'即h=丁'

解得X1=$I*2=與伺（不合題意，舍去）;

[探究2]DM=DM,理由如下：

證明：如圖2,連結(jié)DD,

圖2

VD'M^AC,AZAD'M=ZD'AC,

???AD，=AD,NADC=NDAB=90。,DC=AB,

???△AC'D之ZXDBA(SAS),

???NDAC=NADB,NADB=NADM,

VAD9=AD,???NADD，=NADD,

???ZMDD^ZMDD,

???DM=DM；

［探究3］關(guān)系式為：MN2=PN-DN,理由如下：

證明：如圖3,連結(jié)AM,

圖3

???DM=DM,AD』AD,AM=AM,

JAAD!M^AADM(SSS),

???NMAD'=NMAD,

JZAMN=ZMAD+ZNDA,NNAM=NMAD'+NNAP,

???NAMN=NNAM,

???MN=AN,

在ANAP與ANDA中，

NANP=NDNA,ZNAP=ZNDA,

??.ANAP^ANDA,

.PN_AN

U'AN~DN9

AAN2=PN-DN,

???MN2=PN,DN.

7.【答案】(1)證明：???四邊形ABCD是正方形.

.'.AC±BD,OD=OC.

'ZDOG=ZCOE=90°.

???ZOEC+ZOCE=90°.

VDF±CE.

???ZOEC+ZODG=90°.

???ZODG=ZOCE.

AADOG^ACOE(ASA).

AOE=OG.

(2)①證明?.?OD=OC,ZDOG=ZCOE=90°.

又OE=OG.

???△DOG2△COE(SAS).

???ZODG=ZOCE.

②解：設(shè)CH=x,

???四邊形ABCD是正方形，AB=1

???BH=l-x

NDBC=NBDC=ZACB=45°

VEH±BC

???NBEH=NEBH=45。

???EH=BH=l-x

ZODG=ZOCE

???ZBDC-ZODG=ZACB-ZOCE

???NHDC=NECH

VEHXBC

JNEHC=NHCD=90。

AACHE^ADCH

.EH_HC

*?HCTCD，

???HC2=EHCD

得x2+x-l=0

解得乂1=與1,X2=」|zl(舍去).

AHC-^71.

2

8.【答案】(1)證明：:AC是正方形ABCD的對(duì)角線,

???AB=AD,NBAE=NDAE=45。.

*/AE=AE,

???AABE^AADE(SAS),

，BE=DE.

(2)解：4FBG為等腰三角形.理由如下：

??,四邊形ABCD是正方形，

???ZGAD=90°,

???NAGD+NADG=90。.

由(1)知ZXABE也ZkADE,

NADG=NEBG,

,ZAGD+ZEBG=90°.

VFB±BE,

???ZEBF=90°,

???NFBG+NEBG=90。，

???NAGD=NFBG.

NAGD=NFGB,

???NFBG=NFGB,

???FG=FB,

???△FBG是等腰三角形.

(3)證明:VFB±BE,

???NFBE=90。.

在RtZ^EBF中，BE=BF,

EF=VfiF2+BF2=jBE2+BE2=V2BE.

由⑴知BE=DE,

由⑵知FG=BF,

???FG=BF=BE=DE,

???GE=EF-FG=V2BE-DE=V2DE-DE=(V2-1)DE.

9.【答案】(1)BELAD

(2)解：成立；理由如下：

?:(DCE=乙ACB=90°,

：.^DCA+^ACE=/.ACE+乙ECB=90°,

：.^DCA=乙ECB,

??DC_AC_1

*CE~BC~m

/.△DCAECB,

：.LDAC=乙CBE,

\^GAB+^ABG=^DAC+乙CAB+^ABG,

=乙CBE+乙CAB+乙43G

=乙CAB+乙CBA

=180°-乙ACB

=90°,

：./-AGB=180°-90°=90°,

：.BELAD；

（3）解：當(dāng)點(diǎn)E在線段4。上時(shí)，連接BE,如圖所示:

H

設(shè)力E=久，則=4E+DE=%+4,

根據(jù)解析(2)可知，&DCA八ECB,

.BEBC_

-AD=AC=m=

BE—y[3AD=V3(x+4)=V3x+4V3,

根據(jù)解析(2)可知，BELAD,

：.^AEB=90°,

根據(jù)勾股定理得：AE2+BE2=AB2,

即/+(V3x+4b尸=(4近＞，

解得：％=2或久=一8(舍去)，

,此時(shí)BE=V3x+4V3=6V3;

當(dāng)點(diǎn)D在線段4E上時(shí)，連接BE,如圖所示:

設(shè)Z￡)=y,貝iME=7W+OE=y+4,

根據(jù)解析(2)可知，XDCASXECB,

.BEBC_

?,AD=AC=m=

BE-WAD=有y,

根據(jù)解析(2)可知，BELAD,

C.AAEB=90°,

根據(jù)勾股定理得：AE2+BE2=AB2,

即(y+4)2+(V3y)2=(477)2,

解得：丫=4或〉=一6(舍去)，

二此時(shí)BE=V3y=4V3;

綜上分析可知，BE=6舊或4V3.

10.【答案】(1)證明：在正方形ABCD中，NA=NADC=NBCD=90。，AD=DC,

.?.ZDCM=180°-ZBCD=90°,

AZA=ZDCM,

VDMXPD,

/.ZADP+ZPDC=ZCDM+ZPDC=90°,

.,.ZADP=ZCDM,

在ADAP和ADCM中，

'Z.A=/-DCM

AD=CD,

/ADP=4CDM

AADAP^ADCM(ASA)；

(2)解：如圖2,作QN_LBC于點(diǎn)N,

4

P

圖2

VZABC=90°,DQ±AB,QN±BC,

J四邊形DBNQ是矩形，

AZDQN=90°,QN=DB,

VQMXPQ,

???ZDQP+ZPQN=ZMQN+ZPQN=90°,

AZDQP=ZMQN,

???ZQDP=NQNM=90。，

.".△DQP^ANQM,

.PQ_DQ_DQ

,?我一麗一而

VBC=8,AC=10,ZABC=90°,

-'-AB=VXC2-BC2=6，

VAD=2DB,

ADB=2,

ZADQ=ZABC=90°,

???DQ〃BC,

AADQ^AABC,

.DQ_AD_2

,,前

??.DQ=竽，

.PQ__DQ_8

(3)解：VAC=mAB,CQ=nAC,

CQ=mnAB,

.??AQ=AC-CQ=(m-mn)AB,

VZBAC=90°,

-'-BC=yjAB2+AC2=d'+m^AB，

如圖3,作QN_LBC于點(diǎn)N,

???ZBAC+ZABN+ZBNQ+ZAQN=360°,ZBAC=90°,

???ZABN+ZAQN=180°,

ZABN+ZPBN=180°,

???ZAQN=ZPBN,

VZPQM=ZPBC,

AZPQM=ZAQN,

AZAQP=ZNQM,

ZA=ZQNM=90°,

AAQAP^AQNM,

.PQ__AQ

^QM~~NQ9

VZA=ZQNC=90°,ZQCN=ZBCA,

???△QCNsABCA,

QN_CQ__mn

2

??B力CBJi+m2ABJl+m'

???QN=瞿廿B,

Vl+mz

IL【答案】（1）解：①1;

②證明：???四邊形4BCD是正方形，4EPF是直角三角形.

???乙APB=4MPN=90°,4PAB=乙PBC=45°,PA=PB,

???/.APB-乙BPM=乙MPN-乙BPM,

即乙4PM=ABPN,

???APAM三4PBN(ASA),

PM=PN.

(2)解：器=仁理由如下：

過點(diǎn)P作PG//BD交BC于G,如圖2(i),

圖2(i)

???Z.AOB=Z-APG,Z-PGC=Z-OBC,

???四邊形4BCD是正方形，

NP2M=AOCB=乙OBC=45°,NAOB=90°,

??.L.APG=乙MPN=L.AOB=90°,乙PGC=乙PCG=^PAM,

PG=PC,

^APG-乙MPG=乙MPN-乙MPG,

即乙4PM=NGPN,

.?.APAM八PGN,

PM_PA_PA_,,

,麗=可=定=上

(3)解：過點(diǎn)P作PM1PN交于M,作PH1BC于4,作PG14B于G,如圖3,

圖3

貝IJ/MPN=乙GPH=乙PGM=乙ECN=90°,

???乙MPN-乙GPN=乙GPH-乙GPN,

即ZMPG=乙NPH,

??.ZPMG=乙PNH,

由(2)得^^=k

：.PM=kPN,

又EN=kPN,

??.PM=EN,

PGM=AECN(AAS),

???GM=CN,PG=EC,

???乙BPN=Z.PCB=45°,乙PBN=(CBP,

BPN~>BCP,

.PB_BN

：，~BC=~PB"

/.PB2=BC?BN,

同理可得：PB?=BA.BM,

???BC=BA,

??.BM=BN,

AM=CN=GM,

???AG=2CN,

???L.PAB=45°,

??.PG—AG,

??.EC=2CN,

..PHEC

；.tan乙ErhNTCr=麗=,=2,

令HN=a,則PH=2a,CN=3a,EC=6a,

EN=J(3a)2+(6a)2=3V5a,

PN=“+(2a)2=V5a.

,EN3岳a?

,”=麗=苗=3.

12.【答案】（1）解：如圖，過點(diǎn)A作AH1.BC于點(diǎn)H,

A

BDH

'：AB=AC,乙ACB=a,

Z-ABC-Z-ACB-a,

：.LBAC=180。—2a.

?.?△FEC是以CE為底邊的等腰三角形，AFCE=a,

/.Z.FEC=Z-FCE=a,Z.ACB=乙FCE=a.

:?乙EFC=180。-2a.

：./.BAC=乙EFC.

△ABCFEC.

.BC__AC

,?FC-FC,

.BC_EC

?R-W

?；4ACB=乙FCE=a,

：./.BCE=乙ACF.

/.△BCEACF.

.BE_BC

,?而=痔

-AB=AC,H為BC的中點(diǎn)，

：.BC=2CH.

在Rt△///(:中，/LAHC=90°,

?

--cosZ.AAC^THT=cosa=芯CH.

,?而=密=2cosa.

:?BE=2cosaAF.

又a=45。，

，BE=y/2AF;

(2)解：BE=2cosaAF；

如圖，過點(diǎn)A作AHLBC于點(diǎn)H,

*：AB=AC,^ACB=a,

Z.ABC=Z-ACB=a,

：.^BAC=180。—2a.

???△FEC是以CE為底邊的等腰三角形，乙FCE=a,

/.Z-FEC=Z.FCE=a,Z-ACB=Z-FCE=a.

?"EFC=180°-2a.

C.A.BAC=LEFC.

：.AABC-AFEC.

.B￡_AC_

??瓦=7T

.BC_EC

^AC='FC'

?:(ACB=乙FCE=a,

，乙BCE=2LACF.

/.△BCEACF.

??希一律

9：AB=AC,H為BC的中點(diǎn)，

：.BC=2CH.

在RM/HC中，^AHC=90°,

?A^TTCH

??coszXCH=cosa—

?BE2CH

??麗==Q2cosa.

；?BE=2cosaAF.

(3)解：4/=竽.

如圖，過點(diǎn)D作DMLBF于點(diǎn)M,過點(diǎn)C作CHLBF,交BF延長線于點(diǎn)H,

：.DM||CH.

???線段DB繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段DE,

：.DB=DE.

：.BM=EM.

:△FEC是以CE為底邊的等腰三角形，Z.FCE=30°,

:.FE=FC,2LFEC=LFCE=30°.

:.乙HFC=乙FEC+乙FCE=60°.

:?(HCF=180°-Z-H-乙HFC=30°.

：.FC=2FH.

9：FE=FC,

：.FE=2FH.

設(shè)=y貝!JBE=2%,

\'DM||CH,

,BM_BD_1

：.BH=5BM=5%.

：.EH=BH-BE=3x.

■:FE=2FH,

：.FE=FC=2x,FH=x.

???"(?=岳.

在RtABHC中,Z-BHC=90°,BC=4^7,

：.BH2+CH2=BC2.

：.(5%)2+(V3x)2=(477)2,解得％=2.

：.BE=2x=4.

ABEC~XAFC,

,ATT遮RP4通

13.【答案】(1)解：結(jié)論依然成立，理由如下：

作4E1BC于點(diǎn)E,作OF1BC交BC的延長線于點(diǎn)F,則41EB=NCFD=90。,

圖2

,/四邊形4BCD為平行四邊形，若=a,BC=b,

.'.AB=DC=a,AD||BC,AD=BC=b,"：AE1BC,DF1BC,

：.AE=DF,

：.Rt△ABEmRt△DCF(HL),

：.BE=CF,

：.AC2+BD2=AE2+CE2+BF2+DF2=(AB2-BE2)+(BC-BE)2+(BC+CF)2+DF2=AB2-

BE2+BC2-2BC-BE+BE2+BC2+2BC-BE+BE2+AE2=AB2+BC2+BC2+BE2+AE2

=AB2+BC2+BC2+AB2=2(XB2+BC2)=2(a2+h2)；

(2)證明：延長BO到點(diǎn)C,使OD=B。，

圖3

為△4BC的一條中線，

/.OA—CO,

???四邊形/BC。是平行四邊形，

9?AB-a,BC-b,AC-c-

,由［探究發(fā)現(xiàn)］可知，AC2+BD2=2^AB2+BC2),

：.c2+(2BO)2=2(a2+b2),

：.C2+ABO2=2(a2+/),

“。2=中—彳；

(3)200

14.【答案】(1)解：AE=EP,

理由如下：取AB的中點(diǎn)F,連接EF,

圖I

?.?F、E分別為AB、BC的中點(diǎn),

，AF=BF=BE=CE,

.\ZBFE=45°,

；.NAFE=135。，

：CP平分NDCG,

AZDCP=45°,

.\ZECP=135°,

AZAFE=ZECP,

VAE±PE,

AZAEP=90°,

AZAEB+ZPEC=90°,

VZAEB+ZBAE=90°,

.".ZPEC=ZBAE,

AAAFE^AECP(ASA),

???AE=EP；

(2)解：在AB上取AF=EC,連接EF,

圖2

由(1)同理可得NCEP=NFAE,

?.,AF=EC,AE=EP,

AAFAE^ACEP(SAS),

AZECP=ZAFE,

VAF=EC,AB=BC,

ABF=BE,

AZBEF=ZBFE=45°,

ZAFE=135°,

AZECP=135°,

.'.ZDCP=45°；

(3)解：作DGJ_CP,交BC的延長線于G,交CP于O,連接AG,

AD

圖3

由（2）知,ZDCP=45°,

AZCDG=45°,

AADCG是等腰直角三角形，

.