2025高考數學一輪復習 直線與橢圓的位置關系 專項訓練

2025高考數學一輪復習-8.52直線與橢圓的位置關系-專項訓練

A級?基礎達標

1.已知直線/：葉廠3=0,橢圓手+9=1,則直線與橢圓的位置關系是（）

4

A.相交B.相切

C.相離D.無法確定

2.直線x—y+l=0被橢圓9+V=l所截得的弦長IABI=（）

C.2V2D.3V2

3.如圖，橢圓管+y2=i（°>1）與x軸，>軸的正半軸分別交于點A,B,點尸是過左焦點吊且垂直

于x軸的直線與橢圓的一個交點，O為坐標原點，若AB〃OP,則橢圓的焦距為（）

A.V3B.2V3

C.lD.2

4.已知橢圓C：1+V=l的左、右焦點分別為A，F2,直線y=x+:〃與C交于A,B兩點,若△RA2

面積是△面積的2倍，則機=（）

B在

3

02

3D--

3

5.在橢圓『十言=1上求一點P,使它到直線/：3x—2y—16=0的距離最短，則點P的坐標為（

37

B.2’4

C.(0,1)D.(1,0)

6.（多選）已知橢圓的方程為［+1=1,斜率為左的直線不經過原點。，而且與橢圓相交于A,B兩

24

點，M為線段的中點，則下列結論正確的是（）

A.直線與0M垂直

B.若點M坐標為（1,1）,則直線方程為2x+y—3=0

C.若直線方程為y=x+l,則點M坐標為0，1）

D.若直線方程為y=x+2,則IABI=竽

7.已知橢圓C：9+產=1的左、右焦點分別為Fz,上頂點為A,直線與橢圓C的另一個交

點為8,貝必48巳的面積為.

8.已知直線/：y=fcc+l與橢圓J+y2=l交于加，N兩點，且IMNI=誓，則％=.

2

9.（2024?臨泉一模）直線尤+4y+m=0交橢圓v二十產=1于A,2兩點，若線段42中點的橫坐標為1,

貝Im—.

10.已知橢圓4f+y2=l及直線y=x+m.

（1）當直線和橢圓有公共點時，求實數機的取值范圍；

（2）求被橢圓截得的最長弦所在的直線方程.

B級?綜合應用

11.過橢圓內定點M且長度為整數的弦，稱作該橢圓過點"的“好弦”.在橢圓1+1=1中，過點/

6416

（4V3,0）的所有“好弦”的長度之和為（）

A.120B.130

C.240D.260

12.（多選）設橢圓篙+,=1的右焦點為尸，直線尸機（0＜機＜舊）與橢圓交于A,8兩點，則（）

A.IA/N+II為定值BZA8尸的周長的取值范圍是［6,12］

C.當機=?時，△ABB為直角三角形D.當機=1時，△ABF的面積為歷

22

13.已知橢圓C：5+卷=1(。＞6＞。)的長軸長是短軸長的2倍，尸是橢圓C的一個焦點，點M(0,

a2bz

2),且I=V10.

(1)求橢圓c的方程；

(2)若過點M的直線/與橢圓C交于A,8兩點，線段的中點為N,且滿足IAMI=IBNI,

求直線/的方程.

C級?能力提升

14.已知橢圓?+丁=1的左、右焦點分別為尸1，B，過尸2的直線與橢圓交于48兩點，則△RA8

的周長是,AFiAB內切圓面積的最大值是.

15.若兩個橢圓的離心率相等，則稱它們?yōu)椤跋嗨茩E圓”.如圖，在平面直角坐標系。沖中，已知橢圓

22

G：9+5=1，Ai，4分別為橢圓G的左、右頂點.橢圓C2以線段4A2為短軸且與橢圓Ci為“相

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似橢圓”.

(1)求橢圓C2的方程；

(2)設P為橢圓C2上異于4,42的任意一點，過P作PQLx軸，垂足為。，線段P。交橢圓C1

于點求證：AIH±R\2.

參考答案與解析

1.C聯立丁+y一1'消去y,整理得，5f—24x+32=0,該方程判別式/=(—24)2

,x+y—3=0

4X5X32=576—640=-64<0,即直線和橢圓沒有交點，故直線和橢圓相離.故選C.

(x-y+1=0,

2.A由婷。得交點為(0,1),—1，甘)，貝WABI=J?2+(1+1)2=￥-

-+y2=l

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由題意知，則點尸(一。，-),所以直線的斜率依

3.DFi(-c,0),A(a,0),B(0,1),a3AA=

i

直線尸。的斜率作>0=2=一2.由BA〃P。，得kBA=kpo,所以一工=一工，則c=l,所以橢圓

a—cacaac

的焦距為2c=2.故選D.

4.C由題意，Fi(-V2,0),F2(V2,0),△為45面積是△BAB面積的2倍，所以點尸i到直線

AB的距離是點F2到直線AB的距離的2倍，即?-空向=2X1今W，解得m=—*或m=—3近(舍

去)，故選C.

5.A設與橢圓相切并與/平行的直線方程為y=|x+如代入9+9=1,并整理得4/+33十加一

7=0,由/=9汴—16(加—7)=0得病=16,"=±4,故兩切線方程為尸|x+4和尸|x—4,

(日+”=1(%=三，

顯然y=1x—4距/最近，由447'得42即p(q,一：).

[y=|x-4(7=一7

6.BD對于A項，因為在橢圓中，根據橢圓的中點弦的性質以B?OM=一9=—2W—1,所以A項不

正確；對于B項，根據ZA夕上OM=-2,所以上A8=—2,所以直線方程為y—1=—2(x—1),即2x+y

—3=0,所以B項正確；對于C項，若直線方程為y=x+l,點M》，則—碗=1X4=4W

-2,所以C項不正確；對于D項，若直線方程為y=x+2,與橢圓方程9+9=1聯立，得到2r十

(x+2)2—4=0,整理得Bf+AxuO,解得尤i=0,尤2=-右所以IABI=71+F卜)—0|=竽,

所以D項正確.

7.1解析：由題意知A(0,1),Fi(-1,0),F2(1,0),直線AQ的方程為y=x+l,聯立方程

(立+y2=1,

2>解得

即3(Y，所以S“BFZ=；X2X(1+p

、y=久+1,

y=kx+1,

8+1解析：設M（尤1,以），N（x,以），由消去y并整理得（1+2於）必+4日=0,

21+y2=1

所以為+%2=-mt即冗2=0.由IMNI=竽，得（即一刀2）2+（以一y2）2=拳所以（1+K）（X1

一X2）2=拳所以（1+F）［（X1+X2）2—4xiX21=景即（1+F）?（五券）=卷化簡得左4+^—2=0,

所以必=1,所以k=±l.

9.—2解析：,.?％+4丁+m=0,；?y=—%—~9設A(xi,yi),B(松,

相減得，紇及一小及、T，由為+及=2,得?+以=；,則A3中點的縱坐標為I將（1,

%1-％216（yi+y2）424

-）代入直線＞=一4：一"，解得根=-2.

4,44

10.解：（1）由］y'消去y,整理得5f+2mx+m2—1=0,

y=x+m

因為直線與橢圓有公共點，所以/=4療一20（m2—1）20,解得一日WmW日,

即實數機的取值范圍是［―亨，爭.

（2）設所截弦的兩端點分別為ACxi,第），B（必，＞2）,

由（1）可得?2

出犯=m三~l

所以弦長IA8I（久1+久2）2-4久1%2=泥乂/黑-嗯二=^X）5-4m2,

因此當m=0時，弦長最大，此時所求直線的方程為丫=乂

11.C由已知可得。=8,6=4,所以c=4百，故M為橢圓的右焦點，由橢圓的性質可得當過焦點

的弦垂直龍軸時弦長最短，所以當x=4百時，最短的弦長為空=等=4,當弦與x軸重合時，弦長

最長為2a=16,則弦長的取值范圍為［4,16］,故弦長為整數的弦有4到16的所有整數，則“好弦”

的長度和為4+16+（5+6+7HH15）X2=240.

12.ACD設橢圓的左焦點為F',貝ijIA尸I=I8尸I,IAPI+I2尸I=IAFI+IAF'I=6

為定值，A正確；△A3尸的周長為IABI+IAFI+I8尸I,；IAFI+II為定值6,且IABI

的取值范圍是（0,6）,...△A3F的周長的取值范圍是（6,12）,B錯誤；設點A在點8的左側，將

尸日與橢圓方程聯立，可解得A（—苧，y）,8（娛當），XVF（V6,0）,：.AF-BF=（y/6+

2

手）x（6一嶗+停）=（）...?△AM為直角三角形，C正確；將尸1與橢圓方程聯立，解得A（一

V6,1）,B（V6,1）,.，.SAABF=|X2V6X1=V6,D正確.故選A、C、D.

（a=2b,廠

13.解：（1）由題意，可得Ic2+4=10,解得［=曾2,故橢圓c的方程為三+。=1.

_lb=五,82

\b2+c2=a2,

（2）根據題意可得，點A必在點B的上方，才有=

當/的斜率不存在時，IAMI=2-V2,IBNI=V2,IAMI#IBNI,不符合題意，故/的斜

率必定存在.

住!十”=1

設/的方程為y=fcc+2,由82'得（1+4妤）；^+16履+8=0,

y=kx+2

則/=（16左）2—32（1+4M）=128妤一32＞0,即標＞士

4

設A（xi,yi）,B（X2,”），

則Xl+%2=一二l+4：/：c2,即％2=一l+4：/“c2?

設N（xo,加），則為=守=一蒜.

由IAMI=IBNI可得，IABI=IMNI,

.*.V1+k2Ixi—X2I=V1+/c2I必一0I,

則j（久i+汽2）2—4%62=I%0I，

2

即一4V2XN4k~l=I*|,

1l+4k21l+4fc2?'

整理得妤*＞工，故—±￡

242

.?.直線/的方程為y=±yx+2.

14.4a-解析：根據橢圓定義可知△—AB的周長C=4a=4企；在ABAB內，S=-Cr=242r,

42

問題轉化為求△尸1A5面積最大值，設AS：x=my+l,A（xi,%）,B（必＞2）,貝I（m2+2）y2+2my

_2m

yi+y2m2+2

1=001于是s=iIF1F2I-Iyi

y，2=29

Vm+2

2

2V2Vm2+l2V22V2

—2m4V2則

2222

7712+2m+2m+2Vm+1+,n2Vm+1-?=4=

2

N