初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)講義練習(xí)：面積等量問題的存在性

面積等量問題的存在性

D方法點撥

面積轉(zhuǎn)化

SAABC：SABCH=AI：HE

大

例題演練

1.拋物線y=-/*2+\@+3與x軸交于A、8兩點，與y軸交于點C,連接8C.

(1)如圖1,求直線BC的表達式；

(2)如圖1,點尸是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點，連接PC,PB,當(dāng)△PCB面積最

大時，一動點。從點尸從出發(fā)，沿適當(dāng)路徑運動到y(tǒng)軸上的某個點G再沿適當(dāng)路徑運動

到x軸上的某個點8處，最后到達線段BC的中點尸處停止.求當(dāng)△PC2面積最大時，

點尸的坐標(biāo)及點Q在整個運動過程中經(jīng)過的最短路徑的長；

(3)如圖2,在⑵的條件下，當(dāng)△尸C8面積最大時，把拋物線尸-92川^+3

向右平移使它的圖象經(jīng)過點P,得到新拋物線y,在新拋物線y上是否存在點E,使LECB

的面積等于△PC8的面積.若存在，請求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【解答】解：：拋物線尸與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，

.,.令尤=0,

；.y=3,

：.C(0,3),

令y=0,

.,.0=-/x。+7^+3,

；.尤=-&或x=3&,

：.B（3衣，0）,

設(shè)直線BC的解析式為y=fcv+3,

.?.3揚+3=0,

：.k=-返，

2_

返x+3；

...直線8c的解析式為＞=-

2

（2）如圖1,設(shè)尸（根，-工優(yōu)2+“歷加+3）（0＜根＜3&），

2

過點P作PM//y軸交BC于M,

V直線BC的解析式為尸-返什3,

2

'.M（"z,-^L^.m+3），

2_

PM---m2+\1r2,171+3-（-Y^.m+3）—---1（m-2）2+—,

2222224

2227

.,.SAPBC=A[-A（m-^2）+2]X35/2=-—（m-2^.）+^,

2224428

.7〃=心但時，SAPBC的面積最大，最大值為ZZ返，

28

即：點尸（三返，至），

24

'：B（3加，0）,C（0,3）,

：.F（芻返，旦），

22

點/和點P重合，

作點尸（之叵，至）關(guān)于y軸的對稱點P（-色但，至），

2424

再作點尸（設(shè)2,1）關(guān)于尤的對稱點F（退,-旦），

2222

連接尸尸交y軸于G,交x軸于“，連接PDG,H,HF

此時PG+GH+HF最小，最小值為「尸=紅；

4

（3）如圖2,在拋物線尸-yx2-*V2x+3=-￡（X-弧）2+4中，

令丫=匹，

4

2

.?.普=-yX+72^+3，

=或X=,

22_

由平移知，拋物線y向右平移到寸，則平移了名但-返=加個單位，-1（%-2V2）

222

2+4=-工7+2&x,

2

設(shè)點E（小-工/+2點w）,

2

過點E作EQ//y軸交BC于Q,

:直線8c的解析式為y=-;+3,

2

Q（〃，-工￡〃+3），

2_

，EQ=|-」/+2如/返〃-3|=A|?2-5衣什6|

222

；AECB的面積等于△PCB的面積，

由（2）知，PM=-工（根-盟2）2+.i,

224

4

EQ—PM最大,

A|n2-5J^〃+6|=9

24

，片殳囪2叵或〃=隨型11或片述或述（舍），

_2222_

:.E（研+26,——痘）或（麗-2日,_9-18叵或（述，7）

242424

2.如圖，拋物線-2a-3m（m>0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，點

M為拋物線的頂點.

（1）求A,8兩點的坐標(biāo)；

（2）是否存在以8M為斜邊的RtaBCM的拋物線？若存在，請求出拋物線的解析式；

如果不存在，請說明理由；

(3)在(2)的條件下，若拋物線上有一點P,連接PC交線段于。點，且S&BPQ

=S/iCMQ,請寫出點P的坐標(biāo).

付

-2iwc-3機=0,

即7-2X-3=0,

解得冗1=-1,12=3,

所以，點A(-1,0),B(3,0)；

(2)令1=0,則y=-3m,

???點C坐標(biāo)為(0,-3m),

,?y=iw?-2mx-3m=m(x-1)2-4m,

???拋物線的對稱軸為直線x=l，頂點M坐標(biāo)為(1，-4m),

BC2=32+(3m)2=9+9加2,BM2=(3-1)2+(4m)2=4+16m2,MC2=l2+[(-3m

-(-4m)]2=l+m2,

VRtABCM以BM為斜邊，

：.BC1+MC1=BM2,

即9+9m2+1+m2=4+16m2,

整理得，加2=1,

解得m=±1,

Vm>0,

??rn=1,

.??拋物線的解析式為y=--2x-3；

(3)在(2)的條件下，點C坐標(biāo)為(0,-3),M(1,-4),

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

則（b=-3,

l3k+b=0

解得心口,

lb=-3

所以直線BC的解析式為y=x-3,

*.*SABPQ=SM:MQ,

SABPQ+S^BCQ=SACMQ+SABCQ,

BPS^BPC=S叢BMC,

???點P到BC的距離等于點M到BC的距離,

設(shè)MP的解析式為y=x+c,

則l+c=-4,

解得c=-5,

所以，直線M尸的解析式為＞=]-5,

聯(lián)立卜=X2-2X-3,

y=x-5

，=1fXn=2

解得《（為點〃坐標(biāo)），J

71=-4〔了2=-3

3.已知拋物線C：y=-f+x+2與x軸交于點A,2（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點K,

頂點為D.

（I）求點A,B,K,。的坐標(biāo)；

（H）若向下平移拋物線C,使頂點。落在x軸上，拋物線C上的點尸平移后的對應(yīng)點

為P',若OP'=OP,求點P的坐標(biāo)；

(III)點E(-2,ri')在拋物線C上，則在拋物線C上是否存在一點0,使△QBE的面

積是△BEK面積的一半，若存在，求滿足條件的點。的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

2

【解答】解：(I)對于y=-X2+X+20,令y=-x+x+2=0,解得尤=-1或2,令x

=0,則y=2,

則點A、B、K的坐標(biāo)分別為(-1,0)、(2,0)、(0,2),

Vy=-/+x+2=-(尤-A)

24

故點。的坐標(biāo)為(』，目)；

24

(II)由平移的性質(zhì)知，平移后的拋物線表達式為y=-(x-1)2=

設(shè)點尸的坐標(biāo)為(x,-/+尤+2),則點P'的坐標(biāo)為(x,-j<r+x--1),

4

"：OP'=0P,

故點P、P'關(guān)于X軸對稱，

BP(-f+x+2)+(x,-尤2+尤-J_)=0,

4

解得元=2±哂,

4_

故點尸的坐標(biāo)為(”返，9)或(2+3返,9)

4848

(III)存在，理由：

當(dāng)尤=-2時，n=y=-X2+X+2,即點E的坐標(biāo)為(-2,-4),

由點8、E的坐標(biāo)得，直線3E的表達式為y=x-2,

①當(dāng)點。在BE上方時，

設(shè)直線EB交y軸于點P,則點尸的坐標(biāo)為(0,-2),

取PK的中點M,作直線機〃BE,則直線相和拋物線的交點即為所求的點。，

m

由點K、尸的坐標(biāo)得，點M的坐標(biāo)為（0,0）,

故直線m的表達式為y=x@,

聯(lián)立①②得：-f+x+2=尤，解得尸土?,

則點Q的坐標(biāo)為（如，&）或（-\歷-正）；

②當(dāng)點。在BE的下方時，

同理可得，直線”的表達式為y=x-4,

同理可得，點Q的坐標(biāo)為V6-4）或（--4）,

綜上，點Q的坐標(biāo)為（亞，正）或（-&，-正）或（加，氓-4）或（-五，

-V6-4）.

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=/-2x-3與x軸交于A、8兩點，與y軸交于

點C.

（1）求直線的解析式；

（2）若點尸為拋物線上一動點，當(dāng)點尸運動到某一位置時，SAABP=4S.ABC,求此時點

3

P的坐標(biāo).

（3）若將△AOC沿射線C8方向平移，平移后的三角形記為△AiOiCi,連接441,直線

AAi交拋物線于M點，是否存在點Ci,使得△AMC1為等腰三角形？若存在，直接寫出

G點橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【解答】解：(1)對于＞=/-2x-3①，令x=0,貝lJy=-3,令-21-3=0,解

得％=-1或3,

故點A、B、C的坐標(biāo)分別為(-1,0)、(3,0)、(0,-3),

設(shè)直線BC的表達式為y=fcv+b,則［―與，解得］k=l,

l0=3k+blb=-3

故直線BC的表達式為y=x-3；

(2),/SAABP——S^ABC,貝U|yp|=4|yc|=9X3=4,

33,3

則/-2x-3=±4,

解得x=l±2&或1,

故點尸的坐標(biāo)為(1+2點，4)或(1-2亞，4)或(1,-4)；

(3)存在，理由：

由BC的表達式知，直線BC與x軸的夾角為45°,則△AOC沿射線CB向右平移m個

單位就向上平移了機個單位，

則點Cl(m,m-3),

?：AAi//BC,則設(shè)直線A41的表達式為y=x+s,

將點A的坐標(biāo)代入上式并解得s=l,

故直線AA1的表達式為y=x+l②，

聯(lián)立①②并解得，x=&即點〃的坐標(biāo)為(%5),

ly=5

由點A、M、Ci的坐標(biāo)的：AM2=50,MCI2=(m-4)2+(m-8)2,ACI2=(m+1)2+

(,機-3)\

當(dāng)AM=MC1時，則AA/2=（m-4）2+（加-8）2,解得機=6±

當(dāng)AAf=ACi時，同理可得：相=1±A/21（舍去負值）；

當(dāng)A/Ci=ACi時，同理可得：zw=3.5；

綜上，點C1的橫坐標(biāo)為6+亞或6-,歷或1+收或3.5.

5.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A、2兩點的坐標(biāo)分別為（-4,0）、（4,0）,

CCm,0）是線段AB上一動點（與A、3兩點不重合），拋物線/i：y—a^+bix+ci（a

>0）經(jīng)過點A、C,頂點為。，拋物線/2：y^a^+bix+ci（。>0）經(jīng)過點C、B,頂點為

E,直線A。、BE相交于尸.

（1）若。=工，m=-1,求拋物線人、/2的解析式；

2

（2）若a=l,ZAFB=90°,求機的值；

（3）如圖2,連接。C、EC,記△ZMC的面積為Si,△ECB的面積為S2,△物3的面

積為S,問是否存在點C使得2sl?S2=a?S,若存在，請求出C的坐標(biāo)；若不存在，請說

明理由.

【解答】解：（1）解：（1）將A、C點代入y=o?+加x+ci中，可得：，2-bl+cl-°

8-4b?+c?=0

|A

解得：b12,

C[=2

二拋物線小解析式為尸尹+分+2；

同理可得：收飛+。2=0,解得：b2-

8+4b2+C2=0。2=-2

，拋物線乙2解析式為y=lx2-^x-2；

，拋物線￡1解析式為＞=/+（4-m）x-4m；

???點。坐標(biāo)為（Q1,-（1n+4））,

24

2

:.DG=（m+4）AG=m+4.

42

同理可得：拋物線乙2解析式為y=%2-（m+4）x+4m；

；.￡8=-（吧與,35=生&,

42

VAF±BF,DG_L龍軸,EH_Lx軸，

：.NAFB=NAGD=/EHB=90°,

'：ZDAG+ZADG^90°,/DAG+/EBH=90°,

/ADG=ZEBH,

:在△ADG和△EBH中,

'ZADG=ZEBH

ZAGD=ZEHB=90°'

1.叢ADG?AEBH,

.DG=AG

"BHEH

(m+4)2m+4

4~2~

化簡得：m2—12,

生里(m-4)2

2

解得：機=±2?；

(3)設(shè)Za：y=〃(x+4)(x-m)=ax+(4-m)ax-4ma,￡2：y—a(x-4)(x-m)

=ax2'-(4+m)QX+4m4,

：.D（Ql,-（m+4）2。）,E（型1,_魚也匕）,

2424

直線AF的解析式為y=-（m+4）a.2a（〃?+4）,直線BF的解析式為y=-

2'

(m-4)a%+2a(優(yōu)-4),

2

(m+4)a

產(chǎn)x-2a(m+4)x=-m

由，解得，(m+4)(m-4)a'

(m-4)a

x+2a(m-4)y=-n------

(m+4)(nr4)a)

~2~

,:2Si9S2=a9S,

22

/.2XAX(m+4)X-^m+^1'.aXAX(4-〃z)X.'，m~4''.=aXAX8X[-

24242

(m+4)(m-4)不

2

整理得：(m2-16)2=64,

m2-16=+8,

解得〃z=±2近或土2正（舍棄），

：.C（2&,0）或（-2立,0）；

6.如圖，拋物線/1：y=-7平移得到拋物線/2,且經(jīng)過點。（0,0）和點A（4,0）,h

的頂點為點8,它的對稱軸與/2相交于點C,設(shè)/1、/2與8C圍成的陰影部分面積為S,

解答下列問題:

（1）求/2表示的函數(shù)解析式及它的對稱軸，頂點的坐標(biāo).

（2）求點C的坐標(biāo)，并直接寫出S的值.

（3）在直線AC上是否存在點尸，使得SAPOA=」S?若存在，求點尸的坐標(biāo)；若不存在,

2

請說明理由.

2

【參考公式:拋物線y=4+6x+c的對稱軸是x=-2，頂點坐標(biāo)是（--L,.4ac：±.）］.

2a2a4a

【解答】解：(1)設(shè)/2的函數(shù)解析式為y=--+云+的

把點。(0,0)和點A(4,0)代入函數(shù)解析式，得：

(c=0

1-16+4b+c=0

解得:(b=4,

1c=0

；./2表示的函數(shù)解析式為：y=-7+4x,

-X2+4X=-(x-2)2+4,

???/2的對稱軸是直線x=2,頂點坐標(biāo)8(2,4)；

(2)當(dāng)冗=2時，y=-/=-4,

二?C點坐標(biāo)是(2,-4),

??,頂點坐標(biāo)5(2,4),

???S即是拋物線/I、/2與％軸組成的面積,

.\S=AX2X(4+4)=8；

2

(3)存在.

理由：設(shè)直線AC表示的函數(shù)解析式為y=fcc+a,

把A(4,0),C(2,-4)代入得：14k4n=°,

[2k+n=-4

解得：==2,

ln=-8

.\y=2x-8,

設(shè)△尸。4的高為h,

S^POA=—OA*h=2h=4,

2

設(shè)點P的坐標(biāo)為（m,2m-8）.

,：SAPOA=^S,且S=8,

2

S^POA=—X8=4,

2

當(dāng)點尸在無軸上方時，得工X4（2m-8）=4,

2

解得m=5,

??2m~8=2.

???尸的坐標(biāo)為（5,2）.

當(dāng)點尸在工軸下方時，得工X4（8-2m）=4.

2

解得m=3,

**?2m-8=-2,

點尸的坐標(biāo)為（3,-2）.

綜上所述，點P的坐標(biāo)為（5,2）或（3,-2）.

7.如圖，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點A（-3,-3）.

（1）求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；

（2）把直線向上平移后與反比例函數(shù)的圖象交于點8（-6,相），與x軸交于點C,

求m的值和直線BC的表達式；

（3）在（2）的條件下，直線BC與y軸交于點。，求以點A,B,。為頂點的三角形的

面積；

（4）在（3）的條件下，點A,B,。在二次函數(shù)的圖象上，試判斷該二次函數(shù)在第三象

限內(nèi)的圖象上是否存在一點E,使四邊形OECD的面積51與四邊形OABD的面積S滿足:

51=」工5?若存在，求點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

18

【解答】解：（1）設(shè)正比例函數(shù)的解析式是，代入（-3,-3）,得：-3k=-3,

解得：k=l,

則正比例函數(shù)的解析式是：y=x；

設(shè)反比例函數(shù)的解析式是y=±L把（-3,-3）代入解析式得:

M=9,

X

則反比例函數(shù)的解析式是：＞=旦；

（2）m=-^-=-士，則點B的坐標(biāo)是（-6,-S）,

-622

^y=kix+b的圖象是由＞=%平移得到，

???依=1,即y=x+b,

故一次函數(shù)的解析式是：＞=了+旦；

2

（3）的圖象交y軸于點。，

二。的坐標(biāo)是（0,旦），

2

作AMLy軸于點作BNLy軸于點N.

''A的坐標(biāo)是（-3,-3）,2的坐標(biāo)是（-6,--）,

2

的坐標(biāo)是（0,-3）,N的坐標(biāo)是（0,-3）.

2

：.OM=3,ON=&.

2

則知￡）=3+過=至，?？?旦+2=6,MN=3-2=旦.

222222

則SAAZ>M=」X3X_1§_=_^_,SABON=」X6X6=18,S梯形ABNM=x（3+6）x

2242iW-

nyqq

貝!Is四邊形A3OM=S梯形A3M1+SABQN=WL+18=T>，

44

gg4597

S/\ABD=S四邊形-S/\ADM-~—~-------=；

442

（4）設(shè)二次函數(shù)的解析式是丁=〃/+法+5,

9

9a-3b+^-=-3

則《

93

36a-6bq二三

_1

解得：@而，

b=4

則這個二次函數(shù)的解析式是：y=L?+4x+@；

-22

點C的坐標(biāo)是(-電，0).

2

則四邊形OABD的面積S=S^ABD+S^AOD—±1-+-XX3=.

2224

假設(shè)存在點E(xo,yo)，使51=」工5=」工X旦1=工園.

181848

1/四邊形CDOE的頂點E只能在x軸的下方，

.?.yoVO,

Si=S^OCD+S^OCE=AXJ.X-上義當(dāng)0="?^-當(dāng)o,

2222284

?81_9W153

848

.?.yo=-4,

；E(xo,yo)在二次函數(shù)的圖象上，

A.ro2+4xo+—=-4,

22

方程無解，

.,.不存在.

8.如圖，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點4(3,3).

(1)求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；

(2)把直線0A向下平移后與反比例函數(shù)的圖象交于點8(6,m),求優(yōu)的值和這個一

次函數(shù)的解析式；

(3)第(2)問中的一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于C、D,求過A、B、。三點的

三角形的面積.

(4)在第(3)間的條件下，二次函數(shù)的圖象上是否存在點E,使四邊形OEC。的面積

Si與四邊形OA8。的面積S滿足：Si=2s?若存在，求點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明

3

【解答】解：(1)設(shè)正比例函數(shù)的解析式是y=Ax，代入(3,3),得：3k=3,解得:

k=l,

則正比例函數(shù)的解析式是：y=x；

設(shè)反比例函數(shù)的解析式是把(3,3)代入解析式得：依=9,

X

則反比例函數(shù)的解析式是：y=9；

X

(2)m=-,則點3的坐標(biāo)是(6,—),

622

''y=kix+b的圖象是由y=x平移得到，

???依=1,即y=x+b,

一次函數(shù)的解析式是：y=x-l；

2

(3),?，=1-9的圖象交》軸于點。，

2

?-D的坐標(biāo)是（0,--）,

2

作AM±y軸于點M,作BN±y軸于點N.

的坐標(biāo)是（3,3）,2的坐標(biāo)是（6,旦），

2

的坐標(biāo)是（0,3）,N的坐標(biāo)是（0,旦）.

2

：.OM^3,ON=2.

2

則知￡）=3+再=至，?？?旦+2=6,MN=3-2=3.

222222

=

則3義」2=.45”S^BDN=—X6X618,S梯形ABNM=

2242冷義”

n*7nn

貝!IS四邊形A3OM=S梯形ABNM+S/\BDN=——+18—,

44

gg455497

S/\ABDS四邊形ABZ）A/—S/^ADM————--；

4442

（4）設(shè)二次函數(shù)的解析式是＞=。/+析-9,

2

廣9

9a+3b~—=3

貝M…

Q2

36a+6b--

解得：”彳，

b=4

則這個二次函數(shù)的解析式是：y=-1X2+4X-旦；

22

點C的坐標(biāo)是（旦，0）.

2

則5=至*6-Ax6X6-工X3X3=45-18-9-且

222424

假設(shè)存在點E（xo,yo）,使si=2s=&x2=ZL.

3432

,/四邊形CDOE的頂點E只能在x軸的上方，

SI=S^OCD+S^OCE=—X^X—+—yo

2222

81.9W

84

■:E（xo,jo）在二次函數(shù)的圖象上,

1Q

--xo?+4xo--3

2

解得：xo=2或6.

當(dāng)尤0=6時，點、E（6,旦）與點3重合，這時CDOE不是四邊形，故無0=6,（舍去）.

2

...￡1的坐標(biāo)是（2,旦）.

2

9.如圖，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點A（3,3）.

（1）求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；

（2）把直線向下平移后與反比例函數(shù)的圖象交于點B（6,也），求相的值和這個一

次函數(shù)的解析式；

（3）第（2）問中的一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于C、D,求過A、B、。三點的

二次函數(shù)的解析式；

（4）在第（3）間的條件下，二次函數(shù)的圖象上是否存在點E,使△OCE的面積51與4

OCO的面積S滿足：Si=2s?若存在，求點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【解答】解：(1)設(shè)正比例函數(shù)的解析式為y=G,反比例函數(shù)的解析式為y上,

X

??,正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點A(3,3),

.?.3=3〃，3=K,

3

%=9,

...正比例函數(shù)的解析式為y=x,反比例函數(shù)的解析式為y=3.

X

(2)?.?點3(6,m)在反比例函數(shù)上，

...m_——93

62

???2點的坐標(biāo)為(6,3),

2

:直線BD是直線平移后所得的直線，

...可設(shè)直線BD的解析式為y=x+b,

將B點代入上面的關(guān)系式得：

3

萬=6+b'

'.b=

2

...這個一次函數(shù)的解析式為y=x-5.

(3)令y=x-9■中的x=0得，y=

22

2

令y=x-2■中的y=0得，x=—,

22

：.C(旦，0),

2

設(shè)過A、B、。三點的二次函數(shù)的解析式為：

y=a)?+bx+c,

將A(3,3)、B(6,旦)、。(0,-旦)三點代入上面的關(guān)系式得:

22

'9a+3b+c=3①

O

36a+6b+c/②

C=-1?③

1

a~~T

解得：b=4,

9

°F

...過A、B、。三點的二次函數(shù)的解析式為：y=-lx2+4x_J_,

（4）存在點E,使△OCE的面積Si與△0C。的面積S滿足：Si=2s,

3

.?.si=2s=Zx—

3384

設(shè)E點的坐標(biāo)為（尤，j），

v

SAOCE=y'OC'|yb

.2719II

一丁革亍Ivl;

；.y=±3,

將y=3代入y=—^?x2+4x—|?得:

xi=3,皿=5,

：.EI(3,3),Ei(5,3),

將y=_3代入y=—^■x'dx-l■得：

X3=4^,r13,x4=4-713-

?■?E3(44V13r-3),E4(4-7137-3)-

存在4個點E,Ei(3,3),Ei(5,3),

E3(447137-3).E4(4-7137-3)-

使△OCE的面積Si與△OC。的面積S滿足：Si=2s.

10.如圖，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點A(3,3).

(1)求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；

(2)把直線OA向下平移后與反比例函數(shù)的圖象交于點8(6,m),求機的值和這個一

次函數(shù)的解析式；

(3)第(2)問中的一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于C、D,求過A、B、。三點的

二次函數(shù)的解析式；

(4)在第(3)間的條件下，二次函數(shù)在第一象限的圖象上是否存在點E,使四邊形OEC。

的面積Si與四邊形OABO的面積S滿足：Si=2s?若存在，求點E的坐標(biāo)；若不存在，

【解答】解：(1)設(shè)正比例函數(shù)的解析式為(內(nèi)。0),

因為的圖象過點A(3,3),

所以3=3匕，解得3=1.

這個正比例函數(shù)的解析式為y=x.

設(shè)反比例函數(shù)的解析式為(42W0),

X

因為>=”的圖象過點A(3,3),

X

所以3="，

3

解得上=9.

這個反比例函數(shù)的解析式為y=2.

X

(2)因為點8(6,m)在y=9的圖象上，

X

所以m=—=—,

62

則點8(6,3).

2

設(shè)一次函數(shù)解析式為y=%3x+Z?(fe^O),

因為尸女3%+。的圖象是由尸工平移得到的,

所以％3=1,即y=%+/?.

又因為y=x+6的圖象過點8(6,旦)，

2

所以國=6+6,

2

解得b=-9,

2

???一次函數(shù)的解析式為y=x-9.

2

(3)因為y=x-9的圖象交y軸于點。，

2

所以D的坐標(biāo)為(0,-2).

2

設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=Qx2+"+c(〃#0).

因為y=/+bx+c的圖象過點A(3,3)、B(6,旦)、和。(0,-9),

22

9a+3b+c=3

3

36a+6b+c=vr

所以

9

°，

11

解得《b=4,

9

這個二次函數(shù)的解析式為y=--lx2+4%-旦

22

(4)方法一：

?.?y=X-9交尤軸于點C，

...點c的坐標(biāo)是(9,o),

2

如圖所示，連接?！?CE,過點A作A尸〃x軸，交y軸于點R過點8作即/〃y軸，交

AF于點”，過點。作QG〃尤軸，交直線8H于點G,則5=至義6-小義6義6-上義3

2222

X3-」X3X3=45-18-2-且=其1.

2424

假設(shè)存在點E(xo,yo),使Si=Zs=aLxZ="^.

3432

?/四邊形CDOE的頂點E只能在x軸上方，

.*.Si=S^OCD+S/^OCE=—x—X—X^.

22222y084y0

.81927

-T"4yo"

,:EGo,yo)在二次函數(shù)的圖象上，

-12^,93

??^-Xo+4xo-y=r

解得xo=2或xo=6.

當(dāng)xo=6時，點E(6,3)與點2重合，這時CDOE不是四邊形，故無0=6舍去,

2

...點E的坐標(biāo)為(2,3).

2

方法二：

過點。作BD的垂線，垂足為設(shè)E(f,-lt2+4t_2),

22

OHLCD,：.OH=2x—，

224

SOECDs△OEC+SAOCD=-jocxIEyl-^DCXOD

1sz9szi12+A9I1v9v9一9v?12A9?81

yX-x|^-t4t-yl^-x-x---x|^-t+4t-y|^

?：OA〃BD,

119\萬QI

.?.SoABD=-i-(0A+BD)x0H=y(372+672)管

:si=2s,

3

-9I12,9|_27

.NXv|-yt+4t-q|-丁

ti=2,也=6,

：.Ei(2,2),Ei(6,g),

22

■:E2(6,3)在直線CD上，故舍去,

2

：.E(2,旦).

0),2(-2,0),C(0,3),

(1)求該拋物線的解析式;

(2)過C點作x軸的平行線交拋物線于點D,請直接寫出。的坐標(biāo);

(3)在該拋物線是否存在點P,使S^CDPmS△軸c?若存在，求出點尸的坐標(biāo)；若不

3

【解答】解：(1)設(shè)拋物線解析式為y=a(x+6)(x+2),

把C(0,3)代入得qX6X2=3,解得a=」,

4

二拋物線解析式為y=[（x+6）（x+2）,

即J=XX2+2X+3；

,4

（2）〃尤軸，

；.C點和。點的縱坐標(biāo)都為3,

當(dāng)y=3時，-X2+2X+3—3,解得xi=O,尤2=-8,

4

二。點坐標(biāo)為（-8,3）；

故答案為（-8,3）；

（3）存在.

設(shè)P（x,U+2x+3）

4

.._8_

'SACDP^3'SAABC，

.?.J?義8X|"+2x+3-3|=&XJLX4X3,

2432

整理得Ip+ZxL%

4

解方程工$+2犬=4得xi=-4-4加,尤2=-4+4]后，此時尸點坐標(biāo)為（-4-4貝，7）

4

或（-4+4加，7）；

解方程_l/+2x=-4得無1=無2=-4,此時￡點坐標(biāo)為（-4,-1）.

4

綜上所述，尸點坐標(biāo)為（-4-4、匹，7）或（-4+4加，7）或（-4,-1）.

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，拋物線y=ax2-5or+c交x軸于A,8兩

點，交y軸于點C,且08=00=8.

(2)點