第二章 實數(shù) 單元測試2024-2025學年北師大版數(shù)學 八年級上冊VIP

第1頁（共1頁）第二章《實數(shù)》一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）實數(shù)，0.10101，，，，π中，無理數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（3分）下列運算正確的是（）A． B． C． D．33．（3分）若二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤24．（3分）如圖，若數(shù)軸上點P表示的數(shù)為無理數(shù)，則該無理數(shù)可能是（）A．2.7 B． C． D．5．（3分）若則ab的立方根為（）A．4 B．2 C．﹣2 D．86．（3分）下列說法中，正確的個數(shù)是（）①帶根號的數(shù)一定是無理數(shù)；②任何有理數(shù)都能和數(shù)軸上的一點對應；③平方根和立方根都等于本身的數(shù)有0和1；④的平方根為±8；⑤若an＝bn（n為正整數(shù)），則a＝b；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．（3分）已知，，則m2+2mn+n2的值為（）A． B．12 C．10 D．68．（3分）若算式k?（）的值是有理數(shù)，則k的值可以是（）A． B． C． D．9．（3分）如圖，一個大正方形被分割成四部分的面積分別為15mn、9n2、25m2、15mn（m＞0，n＞0），則大正方形的邊長為（）15mn9n225m215mnA．5m+9n B．5m﹣3n C．25m+9n D．5m+3n10．（3分）對于任意實數(shù)x，x均能寫成其整數(shù)部分[x]與小數(shù)部分{x}的和，即x＝[x]+{x}，其中[x]稱為x的整數(shù)部分，表示不超過x的最大整數(shù)，{x}稱為x的小數(shù)部分．如7.12＝[7.12]+{7.12}＝7+0.12，[7.12]＝7，{7.12}＝0.12，則下列結(jié)論正確的有（）①；②若，，則{x}×y＝﹣1；③若[x]＝4，[y]＝2則[x+y]所有可能的值為6和7；④[x+y]≤[x]+[y]．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二．填空題（共5小題，滿分20分，每小題4分）11．（4分）計算：＝＝＝12．（4分）比較大小：24．13．（4分）已知，則代數(shù)式x2+2x﹣5的值是．14．（4分）若最簡二次根式與是同類二次根式，則a+b＝．15．（4分）四個互不相等的實數(shù)a，b，c，m在數(shù)軸上的對應點分別為A，B，C，M，其中a＝4，b＝7，c為整數(shù)，m＝0.2（a+b+c）．（1）若c＝10，則A，B，C中與M距離最小的點為；（2）若在A，B，C中，點C與點M的距離最小，則符合條件的點C有個．三．解答題（共6小題，滿分50分）16．（8分）計算（1）﹣6+；（2）（+2）（2﹣）+（﹣）217．（6分）已知：x的兩個平方根是a+3與2a﹣15，且2b﹣1的算術平方根是3．（1）求a、b的值；（2）求a+b﹣1的立方根．18．（6分）已知x＝+3，y＝﹣3，求下列各式的值（1）x2﹣2xy+y2，（2）x2﹣y2．19．（9分）計算：（1）計算：；（2）求下列各式中的x．①（x+4）3＝﹣64；②（x﹣1）2﹣9＝0．20．（9分）【閱讀理解】愛思考的小名在解決問題：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是這樣分析與解答的：∵a＝＝＝2﹣，a﹣2＝﹣．∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．∴a2﹣4a＝﹣1．∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．請你根據(jù)小名的分析過程，解決如下問題：（1）計算：＝；（2）計算：+++?+＝；（3）若a＝，求3a2﹣12a﹣1的值．21．（12分）如圖，在數(shù)軸上有兩個長方形ABCD和EFGH，這兩個長方形的寬都是3個單位長度，長方形ABCD的長AD是6個單位長度，長方形EFGH的長EH是10個單位長度，點E在數(shù)軸上表示的數(shù)是5．且E、D兩點之間的距離為14．（1）填空：點H在數(shù)軸上表示的數(shù)是，點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是．（2）若線段AD的中點為M，線段EH上一點N，EN＝EH，M以每秒4個單位的速度向右勻速運動，N以每秒3個單位的速度向左運動，設運動時間為x秒，原點為O．當OM＝2ON時，求x的值．（3）若長方形ABCD以每秒2個單位的速度向右勻速運動，長方形EFGH固定不動，設長方形ABCD運動的時間為t（t＞0）秒，兩個長方形重疊部分的面積為S，當S＝12時，求此時t的值．

第二章《實數(shù)》參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）實數(shù)，0.10101，，，，π中，無理數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】無理數(shù)；算術平方根；立方根．【分析】無理數(shù)即無限不循環(huán)小數(shù)，據(jù)此進行判斷即可．【解答】解：是分數(shù)，0.10101是有限小數(shù)，＝3，＝3是整數(shù)，它們不是無理數(shù)；，π是無限不循環(huán)小數(shù)，它們是無理數(shù)，共2個；故選：B．【點評】本題考查無理數(shù)，算術平方根，立方根，熟練掌握其定義是解題的關鍵．2．（3分）下列運算正確的是（）A． B． C． D．3【考點】二次根式的加減法；二次根式的性質(zhì)與化簡．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)與化簡、二次根式的加減運算法則分別計算判斷即可．【解答】解：A、，故此選項不符合題意；B、3與不能合并，故此選項不符合題意；C、，故此選項不符合題意；D、，故此選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了二次根式的加減運算，二次根式的性質(zhì)與化簡，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．3．（3分）若二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2【考點】二次根式有意義的條件．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得到x﹣2≥0，然后解不等式即可．【解答】解：根據(jù)題意得x﹣2≥0，解得x≥2，即x的取值范圍是x≥2．故選：B．【點評】本題考查了二次根式有意義的條件：二次根式中被開方數(shù)的取值范圍．二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)．4．（3分）如圖，若數(shù)軸上點P表示的數(shù)為無理數(shù)，則該無理數(shù)可能是（）A．2.7 B． C． D．【考點】實數(shù)與數(shù)軸；無理數(shù)．【分析】根據(jù)點P表示的數(shù)為無理數(shù)，即可排除選項A，再根據(jù)、和的估計值，即可判斷出點P的無理數(shù)的可能表示數(shù)．【解答】解：∵2.3是有理數(shù)，≈1.414，≈1.732，≈2.236，由圖可知，點P表示的數(shù)為無理數(shù)，且2＜P＜3，∴點P表示的無理數(shù)可能是，故選：D．【點評】本題考查的是數(shù)軸與無理數(shù)，掌握、和的估計值是解題的關鍵．5．（3分）若則ab的立方根為（）A．4 B．2 C．﹣2 D．8【考點】立方根；非負數(shù)的性質(zhì)：絕對值；非負數(shù)的性質(zhì)：算術平方根．【分析】根據(jù)絕對值及二次根式的非負性得出a﹣2＝0及b+4＝0，求出a，b的值，再根據(jù)立方根的定義即可解決問題．【解答】解：因為，且|a﹣2|≥0，，所以a﹣2＝0，b+4＝0，解得a＝2，b＝﹣4，所以ab＝﹣8，則ab的立方根為﹣2．故選：C．【點評】本題主要考查了立方根、非負數(shù)的性質(zhì)：絕對值及非負數(shù)的性質(zhì)：算式平方根，熟知絕對值、二次根式的非負性及立方根的定義是解題的關鍵．6．（3分）下列說法中，正確的個數(shù)是（）①帶根號的數(shù)一定是無理數(shù)；②任何有理數(shù)都能和數(shù)軸上的一點對應；③平方根和立方根都等于本身的數(shù)有0和1；④的平方根為±8；⑤若an＝bn（n為正整數(shù)），則a＝b；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】實數(shù)；實數(shù)與數(shù)軸．【分析】根據(jù)有理數(shù)、實數(shù)、無理數(shù)和平方根的概念逐項判斷即可．【解答】解：①帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)，如，故原說法錯誤；②任何有理數(shù)都能和數(shù)軸上的一一點對應，說法正確；③平方根和立方根都等于本身的數(shù)有0，故原說法錯誤；④的平方根為，故原說法錯誤；⑤若an＝bn（n為正整數(shù)），當n為偶數(shù)時，則a＝b或a＝﹣b，故原說法錯誤；故正確的個數(shù)為1，故選：A．【點評】本題考查實數(shù)、無理數(shù)、平方根、立方根等知識，正確記憶相關知識點是解題關鍵．7．（3分）已知，，則m2+2mn+n2的值為（）A． B．12 C．10 D．6【考點】二次根式的化簡求值．【分析】據(jù)（m+n）2＝m2+2mn+n2，代入計算即可．【解答】解：∵，，∴m2+2mn+n2＝（m+n）2＝（2）2＝12．故選：B．【點評】本題考查了二次根式的化簡求值、完全平方公式，掌握完全平方公式（m+n）2＝m2+2mn+n2是解題的關鍵．8．（3分）若算式k?（）的值是有理數(shù)，則k的值可以是（）A． B． C． D．【考點】實數(shù)的運算．【分析】運用實數(shù)的運算法則和有理數(shù)的定義進行逐一計算、辨別．【解答】解：∵（﹣2）（﹣2）＝5﹣2，（+2）（﹣2）＝﹣1，（﹣1）（﹣2）＝5﹣3，（+1）（﹣2）＝1﹣，∴選項A，C，D不符合題意，選項B符合題意，故選：B．【點評】此題考查了實數(shù)的運算和有理數(shù)的辨別能力，關鍵是能準確理解并運用以上知識．9．（3分）如圖，一個大正方形被分割成四部分的面積分別為15mn、9n2、25m2、15mn（m＞0，n＞0），則大正方形的邊長為（）15mn9n225m215mnA．5m+9n B．5m﹣3n C．25m+9n D．5m+3n【考點】算術平方根．【分析】根據(jù)題意求出大正方形的面積，據(jù)此可求出大正方形的邊長．【解答】解：因為大正方形被分割成四部分的面積分別為15mn、9n2、25m2、15mn，所以大正方形的面積為：15mn+9n2+25m2+15mn＝（5m+3n）2．又因為m＞0，n＞0，所以大正方形的邊長為：5m+3n．故選：D．【點評】本題主要考查了算術平方根，能根據(jù)題意表示出正方形的面積及熟知算術平方根的定義是解題的關鍵．10．（3分）對于任意實數(shù)x，x均能寫成其整數(shù)部分[x]與小數(shù)部分{x}的和，即x＝[x]+{x}，其中[x]稱為x的整數(shù)部分，表示不超過x的最大整數(shù)，{x}稱為x的小數(shù)部分．如7.12＝[7.12]+{7.12}＝7+0.12，[7.12]＝7，{7.12}＝0.12，則下列結(jié)論正確的有（）①；②若，，則{x}×y＝﹣1；③若[x]＝4，[y]＝2則[x+y]所有可能的值為6和7；④[x+y]≤[x]+[y]．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】估算無理數(shù)的大?。痉治觥竣傧裙烙嬙谀膬蓚€整數(shù)之間，即可作出判斷；②先求出x的小數(shù)部分，再計算即可作出判斷；③先判斷出x，y的范圍，再判斷x+y的整數(shù)部分，即可作出判斷；④通過舉反例，即可作出判斷．【解答】解：①∵3＜＜4，∴，故①正確；②∵2＜＜3，∴{x}＝﹣2∵，∴則{x}×y＝（﹣2）（2+）＝5﹣4＝1≠﹣1；故②不正確；③∵[x]＝4，[y]＝2，∴4≤x＜5，2≤y＜3，∴6≤x+y＜8，∴[x+y]所有可能的值為6和7；故③正確；④若x＝4.6，y＝5.7，那么[x+y]＝[4.6+4.7]＝9，[x]+[y]＝[4.6]+[4.7]＝4+4＝8．[x+y]＞[x]+[y]，故④不正確．綜上，正確的是：①③．故選：B．【點評】本題考查新定義運算，估算無理數(shù)的大小，理解題意，正確估計無理數(shù)的大小是解題的關鍵．二．填空題（共5小題，滿分20分，每小題4分）11．（4分）計算：＝﹣5＝6＝【考點】分母有理化；二次根式的性質(zhì)與化簡；二次根式的乘除法．【分析】運用二次根式的性質(zhì)進行求解即可．【解答】解：；；，故答案為：﹣5，6，．【點評】本題主要考查二次根式的性質(zhì)和分母有理化，分母有理化是指把分母中的根號化去．12．（4分）比較大?。?＜4．【考點】實數(shù)大小比較．【分析】首先把括號外的數(shù)移到括號內(nèi)，再比較被開方數(shù)的大小可得答案．【解答】解：2＝，4＝，∵28＜32，∴＜，∴2＜4．故答案為：＜．【點評】此題主要考查了實數(shù)的比較大小，根據(jù)二次根式的性質(zhì)，把根號外的移到根號內(nèi)，只需比較被開方數(shù)的大?。?3．（4分）已知，則代數(shù)式x2+2x﹣5的值是﹣3．【考點】二次根式的化簡求值．【分析】利用完全平方公式得到x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，然后代入計算，即可得到答案．【解答】解：∵，∴x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6＝（+1﹣1）2﹣6＝3﹣6＝﹣3．故答案為：﹣3．【點評】本題考查了二次根式的化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握二次根式混合運算的法則．14．（4分）若最簡二次根式與是同類二次根式，則a+b＝4．【考點】同類二次根式；最簡二次根式．【分析】根據(jù)同類二次根式的定義列出方程組解答即可．【解答】解：∵最簡二次根式與是同類二次根式，∴，解得．a(chǎn)+b＝2+2＝4．故答案為：4．【點評】此題主要考查了同類二次根式的定義，即：二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式．15．（4分）四個互不相等的實數(shù)a，b，c，m在數(shù)軸上的對應點分別為A，B，C，M，其中a＝4，b＝7，c為整數(shù)，m＝0.2（a+b+c）．（1）若c＝10，則A，B，C中與M距離最小的點為點A；（2）若在A，B，C中，點C與點M的距離最小，則符合條件的點C有3個．【考點】實數(shù)大小比較；實數(shù)與數(shù)軸．【分析】（1）若c＝10，a＝4，b＝7，求出沒m的值，再求出A，B，C中與M距離，比較大小，得出與M距離最小的點為A；（2）若在A，B，C中，點C是一個變化的點，點M隨它變化，因此AM、BM、CM也隨之變化．點C與點M的距離最小，則符合條件的點C有3個．【解答】解：（1）m＝0.2（4+7+10）＝4.2．AM＝4.2﹣4＝0.2，BM＝7﹣4.2＝2.8，CM＝10﹣4.2＝5.8，所以A，B，C中與M距離最小的點為A．故答案為：點A．（2）m＝0.2（4+7+c）＝2.2+0.2c．①當c＝1時，m＝2.4．AM＝1.6BM＝4.6，CM＝1.4，此時CM最?。诋攃＝2時，m＝2.6．AM＝1.4BM＝4.4，CM＝0.6，此時CM最小．③當c＝3時，m＝2.8．AM＝1.2BM＝4.2，CM＝0.2此時CM最??；所以符合條件的點C有3個．故答案為：3．【點評】此題主要考查了實數(shù)大小比較的方法，在數(shù)軸上表示數(shù)的方法，以及數(shù)軸的特征：一般來說，當數(shù)軸正方向朝右時，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．三．解答題（共6小題，滿分50分）16．（8分）計算（1）﹣6+；（2）（+2）（2﹣）+（﹣）2【考點】二次根式的混合運算．【分析】（1）先把各二次根式化簡為最簡二次根式，然后合并即可；（2）利用平方差公式和完全平方公式計算．【解答】解：（1）原式＝2﹣2+4＝4；（2）原式＝4﹣3+3﹣2+2＝6﹣2．【點評】本題考查了二次根式的混合運算：先把各二次根式化簡為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可．在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．17．（6分）已知：x的兩個平方根是a+3與2a﹣15，且2b﹣1的算術平方根是3．（1）求a、b的值；（2）求a+b﹣1的立方根．【考點】立方根；平方根；算術平方根．【分析】（1）根據(jù)平方根與算術平方根的定義即可求得a，b的值；（2）將a，b的值代入a+b﹣1中計算后利用立方根的定義即可求得答案．【解答】解：（1）解：∵x的平方根是a+3與2a﹣15，且2b﹣1的算術平方根是3，∴a+3+2a﹣15＝0，2b﹣1＝9，解得：a＝4，b＝5；（2）∵a＝4，b＝5，∴a+b﹣1＝4+5﹣1＝8，∴a+b﹣1的立方根是2．【點評】本題考查平方根，算術平方根及立方根，熟練掌握其定義及性質(zhì)是解題的關鍵．18．（6分）已知x＝+3，y＝﹣3，求下列各式的值（1）x2﹣2xy+y2，（2）x2﹣y2．【考點】分母有理化．【分析】（1）將x、y的值代入x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2計算可得；（2）將x、y的值代入x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），計算可得．【解答】解：（1）當x＝+3，y＝﹣3時，x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2＝[（+3）﹣（﹣3）]2＝62＝36；（2）x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝[（+3）+（﹣3）][（+3）﹣（﹣3）]＝2×6＝12【點評】本題主要考查代數(shù)式的求值，熟練掌握完全平方公式和平方差公式是解題的關鍵．19．（9分）計算：（1）計算：；（2）求下列各式中的x．①（x+4）3＝﹣64；②（x﹣1）2﹣9＝0．【考點】實數(shù)的運算；平方根；立方根．【分析】（1）根據(jù)平方根和立方根進行化簡后計算即可；（2）①利用立方根計算可得；②先移項，再根據(jù)平方根的定義計算可得．【解答】解：（1）原式＝＝0；（2）①（x+4）3＝﹣64，∴x+4＝﹣4，解得x＝﹣8；②（x﹣1）2﹣9＝0，∴（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝±3，即x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，解得x＝4或x＝﹣2．【點評】本題主要考查實數(shù)的運算，熟練掌握立方根和平方根性質(zhì)是根據(jù)．20．（9分）【閱讀理解】愛思考的小名在解決問題：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是這樣分析與解答的：∵a＝＝＝2﹣，a﹣2＝﹣．∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．∴a2﹣4a＝﹣1．∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．請你根據(jù)小名的分析過程，解決如下問題：（1）計算：＝﹣1；（2）計算：+++?+＝9；（3）若a＝，求3a2﹣12a﹣1的值．【考點】二次根式的化簡求值；平方差公式；分母有理化．【分析】（1）分母有理化即可；（2）先分母有理化，再根據(jù)二次根式的加減法法則進行計算即可；（3）先分母有理化求出a＝+2，再求出a﹣2＝，兩邊平方后求出a2﹣4a＝1，再求出代數(shù)式的值即可．【解答】解：（1）＝＝﹣1．故答案為：；（2）原式＝++++＝﹣1+﹣+﹣++﹣＝﹣1＝10﹣1＝9．故答案為：9；（3）∵，∴．∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5．∴a2﹣4a＝1．∴3a2﹣12a﹣1＝3（a2﹣4a）﹣1＝3×1﹣1＝2．【點評】本題考查了二次根式的混合運算，分母有理化，平方差公式等知識點，能正確根據(jù)二次根式的運算法則進行計算是解此題的關鍵．21．（12分）如圖，在數(shù)軸上有兩個長方形ABCD和EFGH，這兩個長方形的寬都是3個單位長度，長方形ABCD的長AD是6個單位長度，長方形EFGH的長EH是10個單位長度，點E在數(shù)軸上表示的數(shù)是5．且E、D兩點之間的距離為14．（1）填空：點H在數(shù)軸上表示的數(shù)是15，點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是﹣15．（2）若線段AD的中點為M，線段EH上