第2章　特殊三角形（A卷）　培優(yōu)單元練習(xí)　2024-2025學(xué)年浙教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)

浙教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)培優(yōu)單元練習(xí)第2章特殊三角形（A卷）一、選擇題1．已知等腰三角形兩邊的長(zhǎng)分別為3和7，則此等腰三角形的周長(zhǎng)為()A．13 B．17C．13或17 D．13或102．下列各組數(shù)據(jù)中不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是()A．3，4，5 B．1.5，2，2.5C．15，8，17 D．12，13，73．如圖，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，點(diǎn)D在邊AB上，且BD＝BC，連結(jié)CD，則∠ACD的大小為()A．30° B．25°C．15° D．10°第3題圖4．如圖，為了測(cè)算出學(xué)校旗桿的高度，小明將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在與旗桿等長(zhǎng)的地方打了一個(gè)結(jié)，然后將繩子底端拉到離旗桿底端5米的地面某處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子底端距離打結(jié)處約1米，則旗桿的高度是()A．12米 B．13米C．15米 D．24米第4題圖5．命題“直角三角形的兩銳角互余”的逆命題是()A．如果兩個(gè)銳角互余，那么這兩個(gè)角是同一個(gè)直角三角形中的角B．如果兩個(gè)三角形的銳角互余，則這兩個(gè)三角形是直角三角形C．如果兩個(gè)銳角是直角三角形中的角，那么這兩個(gè)角互余D．如果一個(gè)三角形的兩個(gè)銳角互余，那么這個(gè)三角形是直角三角形6．定義：若三角形的一條角平分線與被平分的角的一邊相等，則稱這個(gè)三角形為“優(yōu)美三角形”，這條角平分線叫做這個(gè)三角形的“優(yōu)美線”，下列四個(gè)三角形中，BD平分∠ABC，其中BD是“優(yōu)美線”的是()A．B．C．D．7．如圖，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，連結(jié)MC，MD，CD，若CD＝6，則△MCD的面積為()A．12 B．12.5C．15 D．24第7題圖8．如圖，一只螞蟻繞著圓柱向上螺旋式爬行，假設(shè)螞蟻繞圓柱外壁從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，圓周率π取近似值3，則螞蟻爬行路線的最短路徑長(zhǎng)為()A．6eq\r(2)cm B．8cmC．12cm D．10cm第8題圖9．如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是BC邊上任意一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．若BC＝2，則DE＋DF的值為()A．2 B．eq\r(3)C．1 D．eq\f(\r(3),2)第9題圖10．如圖，在△ABC和△ABD中，AB＝AC＝AD，AC⊥AD，AE⊥BC于點(diǎn)E，AE的反向延長(zhǎng)線與BD交于點(diǎn)F，連結(jié)CD，則線段BF，DF，CD三者之間的關(guān)系為()A．BF－DF＝CD B．BF＋DF＝CDC．BF2＋DF2＝CD2 D．無(wú)法確定第10題圖二、填空題11．“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”這個(gè)命題的逆命題是：_________________________．12．如圖，在等邊三角形網(wǎng)格中，每個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)都為1，圖中已經(jīng)涂黑了3個(gè)三角形，從①、②、③號(hào)位置選擇一個(gè)三角形涂黑，其中不能與圖中涂黑部分構(gòu)成軸對(duì)稱圖形是_________號(hào)位置的三角形．第12題圖13．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，則∠DBC的大小為_________．第13題圖14．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BP＝CE，BD＝CP，則∠DPE＝_________．第14題圖15．如圖，AE＝BD，CE＝CD，∠E＝∠D，∠DCE＝60°.若BD＝eq\f(5,2)，CD＝eq\f(3,2)，且AB長(zhǎng)為奇數(shù)，則AB的長(zhǎng)為_________．第15題圖16．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，按圖中方法將△BCD沿BD折疊，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)C′處，那么△ADC′的面積是_________cm2.第16題圖17．如圖，已知所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中A，B，C，D四個(gè)小正方形的面積之和等于8，則最大正方形的邊長(zhǎng)為_________．第17題圖18．如圖，A，B兩個(gè)村莊在河邊所在直線的同側(cè)，它們到直線l的距離分別為2km和7km，且AB＝13km.現(xiàn)要在直線l上建一自來(lái)水廠P，分別向A村和B村送水，已知鋪設(shè)水管的預(yù)算費(fèi)用為每千米9000元，則鋪設(shè)水管所需的最低預(yù)算為_________元．第18題圖19．如圖，在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，三條角平分線相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P到AB的距離為_________．第19題圖20．如圖，以△ABC(∠ABC＞120°)三邊為邊向外作等邊三角形，分別記△ABC，△ABD，△BCE，△ACF面積為S，S1，S2，S3，作△ABD關(guān)于AB對(duì)稱的△ABM，連結(jié)MF，BF，若△ABC≌△BMF，則∠ABC＝_________，S3＝_________________(用含S，S1，S2的式子表示)．第20題圖三、解答題21．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DF⊥AB于點(diǎn)F，DE⊥AC于點(diǎn)E，且BF＝CE．求證：點(diǎn)D在∠BAC的平分線上．第21題圖22．在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的方格紙中，若三角形的各頂點(diǎn)都在方格的格點(diǎn)(橫豎格子線的交錯(cuò)點(diǎn))上，這樣的三角形稱為格點(diǎn)三角形．(1)請(qǐng)?jiān)趫D甲中作一個(gè)格點(diǎn)三角形，使△ABC是一個(gè)等腰直角三角形，并求出△ABC的面積．(2)請(qǐng)?jiān)趫D乙中僅用無(wú)刻度的直尺，作出∠ABC的平分線(保留作圖痕跡)．23．如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，∠DAE＝60°，AE交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)E．求證：△ADE是等邊三角形．第23題圖24．我們定義：三角形的邊長(zhǎng)和面積都是整數(shù)的三角形叫做海倫三角形，如三邊長(zhǎng)分別為5，5，6的三角形，邊長(zhǎng)為整數(shù)，且面積為12，則這個(gè)三角形為海倫三角形．如圖，在△ABC中，AB＝15，BC＝4，AC＝13.求證：△ABC是海倫三角形．第24題圖25．如圖，已知點(diǎn)D為等腰直角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠CAD＝∠CBD＝15°，點(diǎn)E為AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE＝CA.第25題圖(1)求證：DE平分∠BDC；(2)若點(diǎn)M在DE上，且DC＝DM，求證：ME＝BD.26．【基礎(chǔ)鞏固】(1)如圖1，點(diǎn)E在線段BC上，AE＝DE，∠AED＝∠ABE＝∠DCE＝90°.求證：△ABE≌△ECD.圖1【嘗試應(yīng)用】(2)如圖2，∠AED＝∠ABE＝∠DCE＝90°，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AB＝4，CD＝6，求AD的長(zhǎng)．圖2【拓展提高】(3)如圖3，∠AED＝∠ABC＝90°，∠DCE＝120°，E是BC的中點(diǎn)，AB＝4，CD＝2eq\r(3)，求AD的長(zhǎng)．圖3第26題圖【答案解析】一、選擇題1．已知等腰三角形兩邊的長(zhǎng)分別為3和7，則此等腰三角形的周長(zhǎng)為(B)A．13 B．17C．13或17 D．13或102．下列各組數(shù)據(jù)中不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是(D)A．3，4，5 B．1.5，2，2.5C．15，8，17 D．12，13，73．如圖，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，點(diǎn)D在邊AB上，且BD＝BC，連結(jié)CD，則∠ACD的大小為(C)A．30° B．25°C．15° D．10°第3題圖4．如圖，為了測(cè)算出學(xué)校旗桿的高度，小明將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在與旗桿等長(zhǎng)的地方打了一個(gè)結(jié)，然后將繩子底端拉到離旗桿底端5米的地面某處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子底端距離打結(jié)處約1米，則旗桿的高度是(A)A．12米 B．13米C．15米 D．24米第4題圖5．命題“直角三角形的兩銳角互余”的逆命題是(D)A．如果兩個(gè)銳角互余，那么這兩個(gè)角是同一個(gè)直角三角形中的角B．如果兩個(gè)三角形的銳角互余，則這兩個(gè)三角形是直角三角形C．如果兩個(gè)銳角是直角三角形中的角，那么這兩個(gè)角互余D．如果一個(gè)三角形的兩個(gè)銳角互余，那么這個(gè)三角形是直角三角形6．定義：若三角形的一條角平分線與被平分的角的一邊相等，則稱這個(gè)三角形為“優(yōu)美三角形”，這條角平分線叫做這個(gè)三角形的“優(yōu)美線”，下列四個(gè)三角形中，BD平分∠ABC，其中BD是“優(yōu)美線”的是(D)A．B．C．D．7．如圖，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，連結(jié)MC，MD，CD，若CD＝6，則△MCD的面積為(A)A．12 B．12.5C．15 D．24第7題圖8．如圖，一只螞蟻繞著圓柱向上螺旋式爬行，假設(shè)螞蟻繞圓柱外壁從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，圓周率π取近似值3，則螞蟻爬行路線的最短路徑長(zhǎng)為(D)A．6eq\r(2)cm B．8cmC．12cm D．10cm第8題圖9．如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是BC邊上任意一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．若BC＝2，則DE＋DF的值為(B)A．2 B．eq\r(3)C．1 D．eq\f(\r(3),2)第9題圖10．如圖，在△ABC和△ABD中，AB＝AC＝AD，AC⊥AD，AE⊥BC于點(diǎn)E，AE的反向延長(zhǎng)線與BD交于點(diǎn)F，連結(jié)CD，則線段BF，DF，CD三者之間的關(guān)系為(C)A．BF－DF＝CD B．BF＋DF＝CDC．BF2＋DF2＝CD2 D．無(wú)法確定第10題圖二、填空題11．“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”這個(gè)命題的逆命題是：兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形．12．如圖，在等邊三角形網(wǎng)格中，每個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)都為1，圖中已經(jīng)涂黑了3個(gè)三角形，從①、②、③號(hào)位置選擇一個(gè)三角形涂黑，其中不能與圖中涂黑部分構(gòu)成軸對(duì)稱圖形是③號(hào)位置的三角形．第12題圖13．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，則∠DBC的大小為30°．第13題圖14．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BP＝CE，BD＝CP，則∠DPE＝70°．第14題圖15．如圖，AE＝BD，CE＝CD，∠E＝∠D，∠DCE＝60°.若BD＝eq\f(5,2)，CD＝eq\f(3,2)，且AB長(zhǎng)為奇數(shù)，則AB的長(zhǎng)為3．第15題圖16．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，按圖中方法將△BCD沿BD折疊，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)C′處，那么△ADC′的面積是6cm2.第16題圖17．如圖，已知所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中A，B，C，D四個(gè)小正方形的面積之和等于8，則最大正方形的邊長(zhǎng)為2．第17題圖18．如圖，A，B兩個(gè)村莊在河邊所在直線的同側(cè)，它們到直線l的距離分別為2km和7km，且AB＝13km.現(xiàn)要在直線l上建一自來(lái)水廠P，分別向A村和B村送水，已知鋪設(shè)水管的預(yù)算費(fèi)用為每千米9000元，則鋪設(shè)水管所需的最低預(yù)算為135000元．第18題圖19．如圖，在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，三條角平分線相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P到AB的距離為2．第19題圖20．如圖，以△ABC(∠ABC＞120°)三邊為邊向外作等邊三角形，分別記△ABC，△ABD，△BCE，△ACF面積為S，S1，S2，S3，作△ABD關(guān)于AB對(duì)稱的△ABM，連結(jié)MF，BF，若△ABC≌△BMF，則∠ABC＝150°，S3＝3S＋S1＋S2(用含S，S1，S2的式子表示)．第20題圖三、解答題21．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DF⊥AB于點(diǎn)F，DE⊥AC于點(diǎn)E，且BF＝CE．求證：點(diǎn)D在∠BAC的平分線上．第21題圖證明：∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴∠DFB＝∠DEC＝90°．∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD.在Rt△DFB和Rt△DEC中，BD＝CD，BF＝CE，∴Rt△DFB≌Rt△DEC(HL)．∴DF＝DE．∴點(diǎn)D在∠BAC的平分線上．22．在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的方格紙中，若三角形的各頂點(diǎn)都在方格的格點(diǎn)(橫豎格子線的交錯(cuò)點(diǎn))上，這樣的三角形稱為格點(diǎn)三角形．(1)請(qǐng)?jiān)趫D甲中作一個(gè)格點(diǎn)三角形，使△ABC是一個(gè)等腰直角三角形，并求出△ABC的面積．解：(1)如答圖1，△ABC即為所求(任一種即可)；根據(jù)題意，得AB＝AC＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×eq\r(5)＝eq\f(5,2).答圖1(2)請(qǐng)?jiān)趫D乙中僅用無(wú)刻度的直尺，作出∠ABC的平分線(保留作圖痕跡)．(2)如答圖2，射線BP即為所求．答圖223．如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，∠DAE＝60°，AE交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)E．求證：△ADE是等邊三角形．第23題圖證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝AB，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°.∵∠DAE＝60°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.∵CE是∠ACB的外角平分線，∴∠ACE＝60°.∴∠ACE＝∠B．∴△ABD≌△ACE(ASA)．∴AD＝AE．又∵∠DAE＝60°，∴△ADE是等邊三角形．24．我們定義：三角形的邊長(zhǎng)和面積都是整數(shù)的三角形叫做海倫三角形，如三邊長(zhǎng)分別為5，5，6的三角形，邊長(zhǎng)為整數(shù)，且面積為12，則這個(gè)三角形為海倫三角形．如圖，在△ABC中，AB＝15，BC＝4，AC＝13.求證：△ABC是海倫三角形．第24題圖證明：如答圖，過(guò)點(diǎn)A作BC邊上的高AD，∴AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2，即152－(4＋CD)2＝132－CD2，解得CD＝5，AD＝12，∴S△ABC＝eq\f(1,2)·AD·BC＝24，∴三角形的邊長(zhǎng)和面積都是整數(shù)，∴△ABC是海倫三角形．答圖25．如圖，已知點(diǎn)D為等腰直角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠CAD＝∠CBD＝15°，點(diǎn)E為AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE＝CA.第25題圖(1)求證：DE平分∠BDC；證明：(1)在等腰直角三角形ABC中，CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°.∵∠CAD＝∠CBD＝15°，∴∠BAD＝∠ABD＝45°－15°＝30°，∴BD＝AD.又∵CD＝CD，∴△BDC≌△ADC(SSS)．∴∠DCA＝∠DCB＝45°.∵∠BDM＝∠ABD＋∠BAD＝30°＋30°＝60°，∠EDC＝∠DAC＋∠DCA＝15°＋45°＝60°，∴∠BDM＝∠EDC．∴DE平分∠BDC．(2)若點(diǎn)M在DE上，且DC＝DM，求證：ME＝BD.(2)如圖，連結(jié)MC.∵DC＝DM，且∠MDC＝60°，∴△MDC是等邊三角形．∴CM＝CD．又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，∠ADC＝180°－∠MDC＝180°－60°＝120°，∴∠EMC＝∠ADC．又∵CE＝CA，∴∠CEM＝∠DAC＝15°.∴△ADC≌△EMC(AAS)．∴ME＝AD＝DB．26．【基礎(chǔ)鞏固】(