初中數(shù)學中考復習講義練習：PA-PB最大值模型

PA-PB最大值模型

一、方法突破：

1.口訣：同側差最大

2.圖形：如圖1所示，A、B為定點，P為I上一動點，試求\PB-PA\的最大值與最

小值.

解析1:“最大值”

①兩邊只差小于第三邊，<AB,當A、2、尸三點共線時，取等號

②所以連接BA并延長與I的交點即為所求點

解析2:“最小值”

①絕對值具有非負性—>0,當AP=PB時成立

②P為AB中垂線與/的交點.

二、典例精析：

例一：如圖，拋物線y=-M-x+Z的頂點為A,與y軸交于點艮

4

(1)求點A、點8的坐標；

(2)若點P是x軸上任意一點，求證：朋-PBWAB；

(3)當外-P2最大時，求點P的坐標.

【分析】(D把拋物線解析式的一般式寫成頂點式，可求頂點4坐標，令x=0,y=2,

可得B點坐標；

(2)當4、B、尸三點共線時，PA-PB^AB,當三點不共線時，根據“三角形的兩邊

之差小于第三邊”可證結論；

(3)通過分析可知，R4-P8最大時，4、3、P三點共線，求直線A3解析式，令y=0,

可得尸點坐標.

【解答】(1)解：拋物線￥=-12_*+2與了軸的交于點-

4

令x=0得y=2.

：.B(0,2)

?；y=-Ax2-x+2=-—(x+2)2+3

44

：.A(-2,3)

(2)證明：當點P是48的延長線與x軸交點時，

PA-PB=AB.

當點尸在x軸上又異于的延長線與x軸的交點時，

在點尸、4、5構成的三角形中，PA-PB<AB.

綜合上述：PA-PB^AB

(3)解：作直線A8交x軸于點P,由(2)可知：當最大時，點P是所求的

點

作AHLOP于H.

'：BOLOP,

J.ABOP^AAHP

???A-H=--H-P

BOOP

由(1)可知：AH=3、OH=2、OB=2,

：.OP=4,

故尸(4,0).

注：求出AB所在直線解析式后再求其與x軸交點P(4,0)等各種方法只要正確也相

應給分.

V

5」

/HO\尸'、、.？

例二：如圖，拋物線yuL+bx+c與直線y=L+3分別相交于A,B兩點,且此拋物線

22

與x軸的一個交點為C,連接AC,BC.已知A(0,3),C(-3,0).

(1)求拋物線的解析式；

(2)在拋物線對稱軸/上找一點使|M3-MC|的值最大，并求出這個最大值；

【分析】(D①將A(0,3),C(-3,0)代入y=L2+&x+c,即可求解；

2

(2)分當點3、C、M三點不共線時、當點3、C、M三點共線時，兩種情況分別求解

即可；

【解答】解：(1)①將A(0,3),C(-3,0)代入了=匕2+公+c得:

2

c=35

9，解得：,2,

5-3b+c=0

...拋物線的解析式是y=lx2+^x+3；

22

(2)將直線y=L+3表達式與二次函數(shù)表達式聯(lián)立并解得：x=0或-4,

2

VA(0,3),：.B(-4,1)

①當點3、C、M三點不共線時，

\MB-MC\<BC

②當點5、C、M三點共線時，

\MB-MC\=BC

...當點3、C、M三點共線時，也出-取最大值，即為3c的長,

如圖1,過點8作BELx軸于點E,在RtZVBEC中，由勾股定理得居右=

后，

A\MB-MC|取最大值為亞；

三、中考真題對決：

1.己知拋物線yi=a（尤-2）2-4（aWO）經過點（0,-3）,頂點為M,將拋物線yi向上平

移b個單位可使平移后得到的拋物線中經過坐標原點，拋物線中的頂點為A,與無軸的

另一個交點為B.

（2）@b=—,②拋物線”的函數(shù)表達式是；

（3）①點尸是y軸上一點，當|以-尸3|的值最大時，求點P的坐標;

【分析】(1)將(0,-3)代入力=a(x-2)2-4(“W0)中，即可求得a的值.

(2)拋物線yl經過(0,-3),向上平移后經過原點即可(0,0),因此拋物線向上平

移了3個單位，根據“上加下減”的平移規(guī)律即可得出力的函數(shù)表達式.

(3)①當尸、4、B三點不在同一直線上時，能構成△出5,由三角形三邊關系定理不

難看出|以-尸3|<43；若尸、4、5三點共線時，\PA-PB\=AB,顯然當|物-尸引的值

最大時，尸、4、5三點共線，所以直接求出直線45的解析式，該直線與y軸的交點即

為符合條件的尸點；

【解答】解：(1)拋物線力=。(x-2)2-4(aWO)經過點(0,-3),可得：

-3=a(0-2)2-4,

解得：a——.

4

(2),經過(0,-3)的拋物線yl向上平移，經過(0,0)得到拋物線y2,

二向上平移了3個單位，即。=3；

故拋物線%J2=—(x-2)2-4+3=—(x-2)2-1.

44

(3)\PA-PB\^AB,且當且僅當尸、4、3共線時取等號，

的值最大時，P、4、8共線；

由(2)的拋物線解析式知：A(2,-1)、B(4,0),設直線48的解析式：y=kx+b,

有：

[2k+b=-l,

l4k+b=0'

解得『2

b=-2

故直線AB：y^ljc-2,則尸(0,-2).

2

2.在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線的頂點坐標為(2,0),且經過點(4,1),如圖,

直線y=L與拋物線交于A、8兩點，直線/為y=-l.

4

(1)求拋物線的解析式；

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使出-尸8|取得最大值？若存在，求出點P

的坐標；若不存在，請說明理由；

【分析】(D設函數(shù)解析式為y=a(x-2)2,將點(4,1)代入，即可求解析式；

(2)聯(lián)立方程求出A(1,1),B(4,1),對稱軸x=2,點A關于對稱軸的對稱點為

4

A'(3,1),當點P,A',B共線時，\PA-尸3|取得最大值；待定系數(shù)法求出直線A'B

4

的解析式了=區(qū)-2,即可求點尸；

4

【解答】解：(1)設函數(shù)解析式為y=a(x-2)2,

將點(4,1)代入，

得到a=l,

4

A(%-2)2,

4

(2)(x-2)2與y=L的交點A(1,1),B(4,1),

444

對稱軸x=2f

點4關于對稱軸的對稱點為4,(3,1),

4

當點尸，A,,5共線時，-尸3|取得最大值；

設直線A'B的解析式為

T

?-7=3k+b

l=4k+b

3.如圖，已知拋物線>=y+云+0與直線y=/+3交于A,8兩點，交x軸于C、。兩點,

連接AC、BC,已知A(0,3),C(-3,0).

(1)求此拋物線的解析式；

(2)在拋物線對稱軸/上找一點使的值最大，并求出這個最大值；

【分析】(D根據待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

(2)根據對稱性，可得MC=MZ>,根據解方程組，可得5點坐標，根據兩邊之差小于

第三邊，可得5,C,拉共線，根據勾股定理，可得答案；

【解答】解：(1)將4(0,3),C(-3,0)代入函數(shù)解析式，得

rc=3

<9，

3b+c=0

解得「2,

c=3

拋物線的解析式是尸首+/+3；

(2)由拋物線的對稱性可知，點。與點C關于對稱軸對稱，

二對/上任意一點有MD=MC,

1

y丁x+3

聯(lián)立方程組IE，”「，

解得fx=O（不符合題意，舍），fx=-4,

Iy=3Iy=l

：.B（-4,1）,

當點3,C,拉共線時，也出-MD|取最大值，即為5c的長,

在RtZ\5EC中，由勾股定理，得

BC=22=

VBE-K:E正，

\MB-取最大值為亞；

4.（2021?鄂州）如圖，直線>=-］》+6與x軸交于點5,與y軸交于點A,點尸為線段至

的中點，點。是線段。4上一動點（不與點。、A重合）.

（1）請直接寫出點A、點3、點尸的坐標；

（2）連接PQ,在第一象限內將AOP。沿P。翻折得到AEP。，點O的對應點為點E.若

NOQ￡=90。，求線段AQ的長;

（3）在（2）的條件下，設拋物線y=a?_2/x+a3+a+imwo）的頂點為點

①若點C在APQE內部（不包括邊），求。的取值范圍；

②在平面直角坐標系內是否存在點C,使|CQ-CEI最大？若存在，請直接寫出點C的坐標;

若不存在，請說明理由.

備用圖1備用圖2

【分析】(1)先求出點A,點5坐標，由中點坐標公式可求點P坐標;

(2)過點P作尸產_LQ4于尸，由折疊的性質可得/OQP=g/OQC=45。，可得

QF=PF=2,即可求解；

(3)①先求出頂點C的坐標為m,a+1),可得點C是直線y=x+l(x20)上一點，即可求解;

②作點E關于直線y=x+l的對稱點身(4,6),連接?！?交直線y=x+l于點C,此時

ICQ-CEI最大，利用待定系數(shù)法求出QC的解析式，聯(lián)立方程組可求解.

解：(1)直線y=-萬*+6與x軸交于點8,與y軸交于點A,

..點4(0,6),點8(4,0),

點P是線段AB中點，

..點尸(2,3)；

(2)過點P作尸尸_LQ4于尸，

圖1

將AOPQ沿PQ翻折得到AEPQ,ZOQE=90°,

ZOQP=|ZOQC=45°,OQ=QE,

QF=PF,

點尸(2,3),

：.QF=