高考數學一輪復習高頻考點精講精練(新高考專用)第03講兩角和與差的正弦、余弦和正切公式(高頻精講)(原卷版+解析)VIP

第03講兩角和與差的正弦、余弦和正切公式(精講）目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知識點必背 2第二部分：高考真題回歸 3第三部分：高頻考點一遍過 4高頻考點一：公式的基本應用 4高頻考點二：公式的逆用及變形 7高頻考點三：輔助角公式的運用 11高頻考點四：二倍角 14高頻考點五：拼湊角 18高頻考點六：降冪公式 23第四部分：數學文化題 25第五部分：高考新題型 28①開放性試題 28②劣夠性試題 28溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識點必背1、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式①兩角和與差的正弦公式②兩角和與差的余弦公式③兩角和與差的正切公式2、二倍角公式①②；；③3、降冪公式4、輔助角公式：(其中)5、常用結論①兩角和與差的正切公式的變形：②③④第二部分：高考真題回歸1．（2022·全國（新高考Ⅱ卷）·統(tǒng)考高考真題）若，則（

）A． B．C． D．2．（2021·北京·高考真題）函數是A．奇函數，且最大值為2 B．偶函數，且最大值為2C．奇函數，且最大值為 D．偶函數，且最大值為3．（2021·全國（甲卷文，理）·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．4．（2021·全國（乙卷文）·統(tǒng)考高考真題）（

）A． B． C． D．第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：公式的基本應用典型例題例題1．（2023秋·吉林遼源·高一校聯考期末）若，，則=（

）A．-1 B．0 C．2 D．3例題2．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考二模）已知，，則（

）A． B． C． D．例題3．（2023春·江蘇常州·高一?？茧A段練習）已知，則__________.例題4．（2023春·江蘇連云港·高一?？茧A段練習）已知，求值：(1)；(2).練透核心考點1．（2023春·江蘇淮安·高一淮陰中學?？茧A段練習）已知，則（

）A．2 B． C．0 D．2．（2023·全國·高一專題練習）（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高一專題練習）已知，則（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·高三專題練習）已知，則________．5．（2023·全國·高一專題練習）已知角的終邊經過點(1)求角的正弦?余弦和正切值；(2)求的值．高頻考點二：公式的逆用及變形典型例題例題1．（2023春·甘肅張掖·高一高臺縣第一中學?？茧A段練習）的值為（

）A． B． C． D．例題2．（2023春·江蘇·高一校聯考階段練習）結果為（

）A． B． C． D．例題3．（2023春·江蘇連云港·高一?？茧A段練習）的值為（

）A．0 B． C． D．例題4．（2023·全國·高三專題練習）（

）．A．-1 B． C． D．1例題5．（多選）（2023春·重慶銅梁·高一銅梁中學校?？茧A段練習）下列計算正確的是（

）A． B．C． D．練透核心考點1．（2023春·四川眉山·高一仁壽一中?？茧A段練習）的值為（

）A．1 B． C．－ D．2．（2023春·吉林長春·高一長春市第二中學校考開學考試）下列化簡正確的是（

）A． B．C． D．3．（2023秋·廣東云浮·高一統(tǒng)考期末）（

）A． B． C． D．4．（多選）（2023春·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習）下列各式中，值為1的是（

）A．B．C．D．5．（多選）（2023秋·陜西西安·高一?？计谀┫旅娓魇交喺_的是（

）．A．B．C．D．高頻考點三：輔助角公式的運用典型例題例題1．（2023·高一單元測試）（

）A． B． C． D．例題2．（2023·高一單元測試）______.例題3．（2023·全國·高一專題練習）化簡：____.例題4．（2023·高一課時練習）把下列各式化成的形式.(1)；

(2)；(3)；

(4).練透核心考點1．（2023·甘肅蘭州·校考一模）等于（

）A． B． C． D．12．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）______．3．（2022·全國·高三專題練習）化簡(1)(2)4．（2022·高一課時練習）求證：(1)；(2)．高頻考點四：二倍角典型例題例題1．（2023·貴州黔東南·統(tǒng)考一模）若，則（

）A． B． C． D．例題2．（2023春·陜西咸陽·高一?？茧A段練習）已知，則（

）A． B． C． D．例題3．（2023春·上海松江·高一上海市松江一中校考階段練習）已知，化簡的結果是（

）A． B． C． D．例題4．（2023春·四川成都·高一?？茧A段練習）已知角在第二象限，且則______．例題5．（2023·全國·高三專題練習）求的值．練透核心考點1．（2023·江西·校聯考模擬預測）（

）A． B． C． D．2．（2023·甘肅·統(tǒng)考一模）已知，則（

）A． B． C． D．3．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考二模）已知，，則（

）A． B． C． D．4．（2023·北京·?？寄M預測）在平面直角坐標系中，角以為始邊，終邊與單位圓交于點，則（

）A． B． C． D．5．（2023春·四川廣安·高一廣安二中?？茧A段練習）______．高頻考點五：拼湊角典型例題例題1．（2023春·江蘇南京·高一南京市大廠高級中學?？茧A段練習）已知，則的值等于（

）A． B． C． D．例題2．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考二模）已知，則（

）A． B． C． D．例題3．（2023春·河北保定·高一河北省唐縣第二中學校考階段練習）已知，則_______.例題4．（2023春·黑龍江佳木斯·高一校考開學考試）已知，且，則________．例題5．（2023·黑龍江牡丹江·高一牡丹江一中校考）（1）已知，求的值；（2）已知，，且，，求的值.例題6．（2023·浙江·模擬預測）已知角，角的頂點都與原點重合，它們的始邊都與軸的非負半軸重合，角的終邊過點，角的正切線為.（1）求的值；（2）若，，求的值.練透核心考點1．（2023春·江西南昌·高一?？茧A段練習）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2023春·江西南昌·高一南昌市第五中學校考階段練習）已知，則___________.3．（2023秋·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知，，則____________.4．（2023秋·河北邯鄲·高一校考期末）已知，且，則___________.5．（2023秋·江蘇連云港·高一?？计谀┮阎?1)求；(2)若，求.6．（2023·江西·高二寧岡中學校考開學考試）已知角的始邊與x軸的非負半軸重合（頂點為原點），它的終邊為射線.（1）分別求，的值；（2）若角滿足且為第一象限的角，求的值.高頻考點六：降冪公式典型例題例題1．（2023春·山東煙臺·高一?？茧A段練習）函數的最小值為（

）A． B． C． D．例題2．（2023·全國·高一專題練習）已知則（

）A． B． C． D．例題3．（2023·全國·高三專題練習）已知，且，則的值是______.練透核心考點1．（2023春·山東濟南·高一濟南外國語學校?？茧A段練習）的值是（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高一專題練習）已知，則（）A． B． C． D．3．（2023·全國·高一專題練習）已知，則（

）A． B． C． D．4．（2023春·山西太原·高三山西大附中?？茧A段練習）已知，，則__________．第四部分：數學文化題1．（2023·全國·高三專題練習）《周髀算經》中給出了弦圖，所謂弦圖是由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成一個大的正方形，若圖中直角三角形兩銳角分別為、，且小正方形與大正方形面積之比為，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江·校聯考模擬預測）我國古代數學家僧一行應用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了影長l與太陽天頂距θ（）的對應數表，這是世界數學史上較早的一張正切函數表.根據三角學知識可知，晷影長l等于表高h與太陽天頂距θ正切值的乘積，即.對同一“表高”測量兩次，第一次和第二次太陽天頂距分別為α，β，若第一次的“晷影長”是“表高”的3倍，且，則第二次的“晷影長”是“表高”的（

）A．1倍 B． C．倍 D．倍3．（2022·全國·高三專題練習）黃金分割比是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，該比值為，這是公認的最能引起美感的比例．我國著名數學家華羅庚以此引入并優(yōu)化了現如今廣泛應用于國內各個領域的“0.618優(yōu)選法”．黃金分割比，它還可以近似表示為，則的值近似等于（

）A． B．1 C．2 D．4．（2023·全國·高三專題練習）公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現了黃金分割約為0.618，這一數值也可以表示為，若，則（

）A．－4 B．－2 C．2 D．45．（2023·高一課時練習）2002年在北京召開的國際數學家大會，會標是以我國古代數學家趙爽的弦圖為基礎設計的．弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為，那么的值等于___________________．第五部分：高考新題型①開放性試題1．（2023·江西·校聯考模擬預測）若，則的值可能為___________.2．（2023春·河北衡水·高一?？茧A段練習）寫出滿足的的一個值：_______．②劣夠性試題1．（2023秋·湖南郴州·高一統(tǒng)考期末）（1）已知，求的值；（2）在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中并解答.已知為第四象限的角，__________.求的值.2．（2022春·湖南衡陽·高一衡陽市一中?？茧A段練習）在①，②，③三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并對其求解．問題：若銳角滿足________，求的值．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．第03講兩角和與差的正弦、余弦和正切公式(精講）目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知識點必背 2第二部分：高考真題回歸 3第三部分：高頻考點一遍過 4高頻考點一：公式的基本應用 4高頻考點二：公式的逆用及變形 7高頻考點三：輔助角公式的運用 11高頻考點四：二倍角 14高頻考點五：拼湊角 18高頻考點六：降冪公式 23第四部分：數學文化題 25第五部分：高考新題型 28①開放性試題 28②劣夠性試題 28溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識點必背1、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式①兩角和與差的正弦公式②兩角和與差的余弦公式③兩角和與差的正切公式2、二倍角公式①②；；③3、降冪公式4、輔助角公式：(其中)5、常用結論①兩角和與差的正切公式的變形：②③④第二部分：高考真題回歸1．（2022·全國（新高考Ⅱ卷）·統(tǒng)考高考真題）若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故選：C[方法二]：特殊值排除法解法一:設β=0則sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0則sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；選C.[方法三]：三角恒等變換所以即故選：C.2．（2021·北京·高考真題）函數是A．奇函數，且最大值為2 B．偶函數，且最大值為2C．奇函數，且最大值為 D．偶函數，且最大值為【答案】D【詳解】由題意，，所以該函數為偶函數，又，所以當時，取最大值.故選：D.3．（2021·全國（甲卷文，理）·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，，，，解得，，.故選：A.4．（2021·全國（乙卷文）·統(tǒng)考高考真題）（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意，.故選：D.第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：公式的基本應用典型例題例題1．（2023秋·吉林遼源·高一校聯考期末）若，，則=（

）A．-1 B．0 C．2 D．3【答案】D【詳解】.故選：D例題2．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考二模）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，，則，，所以.故選：A例題3．（2023春·江蘇常州·高一?？茧A段練習）已知，則__________.【答案】##【詳解】因為①，由因為②，①②聯立可得，，則，故答案為：.例題4．（2023春·江蘇連云港·高一?？茧A段練習）已知，求值：(1)；(2).【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以.因為，所以.所以.（2）由（1）可知，.練透核心考點1．（2023春·江蘇淮安·高一淮陰中學?？茧A段練習）已知，則（

）A．2 B． C．0 D．【答案】B【詳解】因為，所以.故選：B2．（2023·全國·高一專題練習）（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】故選：D.3．（2023·全國·高一專題練習）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以（1），因為，所以（2），（1）+（2）得，∴.故選：A．4．（2023·全國·高三專題練習）已知，則________．【答案】【詳解】故答案為：5．（2023·全國·高一專題練習）已知角的終邊經過點(1)求角的正弦?余弦和正切值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵角的終邊經過點，，；（2）高頻考點二：公式的逆用及變形典型例題例題1．（2023春·甘肅張掖·高一高臺縣第一中學校考階段練習）的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】故選：B例題2．（2023春·江蘇·高一校聯考階段練習）結果為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，所以，所以.故選：B.例題3．（2023春·江蘇連云港·高一?？茧A段練習）的值為（

）A．0 B． C． D．【答案】D【詳解】因為，所以，故選:D.例題4．（2023·全國·高三專題練習）（

）．A．-1 B． C． D．1【答案】C【詳解】.故選：C.例題5．（多選）（2023春·重慶銅梁·高一銅梁中學校?？茧A段練習）下列計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】，A正確；，B正確；，C錯誤；因為，故，所以，D正確，故選：ABD練透核心考點1．（2023春·四川眉山·高一仁壽一中?？茧A段練習）的值為（

）A．1 B． C．－ D．【答案】D【詳解】，所以，故選：D2．（2023春·吉林長春·高一長春市第二中學?？奸_學考試）下列化簡正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】對于A，，故A不正確；對于B，，故B不正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D不正確；故選：C.3．（2023秋·廣東云浮·高一統(tǒng)考期末）（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】.故選：D.4．（多選）（2023春·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習）下列各式中，值為1的是（

）A．B．C．D．【答案】BC【詳解】對于選項A，，故A錯誤；對于選項B，，故B正確；對于選項C，，故C正確；對于選項D，，故D錯誤.故選：BC.5．（多選）（2023秋·陜西西安·高一?？计谀┫旅娓魇交喺_的是（

）．A．B．C．D．【答案】AC【詳解】，A正確；，B錯誤；，C正確；，D錯誤；故選:AC.高頻考點三：輔助角公式的運用典型例題例題1．（2023·高一單元測試）（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】.故選：A例題2．（2023·高一單元測試）______.【答案】【詳解】.故答案為：例題3．（2023·全國·高一專題練習）化簡：____.【答案】【詳解】解：原式=故答案為：例題4．（2023·高一課時練習）把下列各式化成的形式.(1)；

(2)；(3)；

(4).【答案】(1)；(2)；(3)，其中滿足，；(4)，其中滿足，.【詳解】(1)因為，所以.(2).(3)因為，所以，其中滿足，.(4)因為，所以，其中滿足，.練透核心考點1．（2023·甘肅蘭州·?？家荒＃┑扔冢?/p>

）A． B． C． D．1【答案】C【詳解】因為，所以.故選：C.2．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）______．【答案】【詳解】由三角函數的誘導公式和兩角和的余弦公式，可得：.故答案為：.3．（2022·全國·高三專題練習）化簡(1)(2)【答案】(1)(2)【詳解】（1）（2）4．（2022·高一課時練習）求證：(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(1)證明：.(2)證明：.高頻考點四：二倍角典型例題例題1．（2023·貴州黔東南·統(tǒng)考一模）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，解得，所以．故選：A．例題2．（2023春·陜西咸陽·高一?？茧A段練習）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，，又，.故選：D.例題3．（2023春·上海松江·高一上海市松江一中?？茧A段練習）已知，化簡的結果是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】.故選：B例題4．（2023春·四川成都·高一?？茧A段練習）已知角在第二象限，且則______．【答案】##【詳解】，即，則，角在第二象限，則，則，.故答案為：.例題5．（2023·全國·高三專題練習）求的值．【答案】【詳解】令，則而N≠0，故練透核心考點1．（2023·江西·校聯考模擬預測）（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】注意到，.則原式.故選：A.2．（2023·甘肅·統(tǒng)考一模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，，解得.故選：D.3．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考二模）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】,①,又②，由①②得.故選：D.4．（2023·北京·?？寄M預測）在平面直角坐標系中，角以為始邊，終邊與單位圓交于點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為是角終邊與單位圓的交點，所以，故.故選：A5．（2023春·四川廣安·高一廣安二中?？茧A段練習）______．【答案】【詳解】由題意可得：.故答案為：.高頻考點五：拼湊角典型例題例題1．（2023春·江蘇南京·高一南京市大廠高級中學?？茧A段練習）已知，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以，故選：A.例題2．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考二模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，所以，兩邊平方得，則，故．故選：C.例題3．（2023春·河北保定·高一河北省唐縣第二中學?？茧A段練習）已知，則_______.【答案】##【詳解】因為.故答案為：.例題4．（2023春·黑龍江佳木斯·高一?？奸_學考試）已知，且，則________．【答案】##【詳解】設,,那么,從而.于是.因為,所以.由,得.所以,所以.故答案為：.例題5．（2023·黑龍江牡丹江·高一牡丹江一中?？迹?）已知，求的值；（2）已知，，且，，求的值.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）.（2），，，，，，，又，，，.例題6．（2023·浙江·模擬預測）已知角，角的頂點都與原點重合，它們的始邊都與軸的非負半軸重合，角的終邊過點，角的正切線為.（1）求的值；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）【詳解】（1）角的終邊過點，，根據誘導公式得：.（2），，.，，又，.，.角的正切線為，，，.練透核心考點1．（2023春·江西南昌·高一?？茧A段練習）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意，得，故選：A2．（2023春·江西南昌·高一南昌市第五中學?？茧A段練習）已知，則___________.【答案】【詳解】.故答案為：.3．（2023秋·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知，，則____________.【答案】【詳解】因為，所以.故答案為：.4．（2023秋·河北邯鄲·高一?？计谀┮阎?，且，則___________.【答案】##【詳解】∵，∴，∵，∴．所以,∴.故答案為：5．（2023秋·江蘇連云港·高一?？计谀┮阎?1)求；(2)若，求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）.（2），若，則，所以.6．（2023·江西·高二寧岡中學?？奸_學考試）已知角的始邊與x軸的非負半軸重合（頂點為原點），它的終邊為射線.（1）分別求，的值；（2）若角滿足且為第一象限的角，求的值.【答案】（1），.

（2）【詳解】（1）設的終邊與單位圓的交點為由解得

得，.所以，，.

（2）由（1）知，，又且在第一象限得.

由得，所以.高頻考點六：降冪公式典型例題例題1．（2023春·山東煙臺·高一?？茧A段練習）函數的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，.故選：C.例題2．（2023·全國·高一專題練習）已知則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由得，故.所以.故選：B例題3．（2023·全國·高三專題練習）已知，且，則的值是______.【答案】【詳解】由于，且，則，得，則.故答案為：.練透核心考點1．（2023春·山東濟南·高一濟南外國語學校?？茧A段練習）的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】.故選：D.2．（2023·全國·高一專題練習）已知，則（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵，∴．故選：B．3．（2023·全國·高一專題練習）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，，即，，.故選：B4．（2023春·山西太原·高三山西大附中校考階段練習）已知，，則__________．【答案】##【詳解】解：由，，得，所以．故答案為：第四部分：數學文化題1．（2023·全國·高三專題練習）《周髀算經》中給出了弦圖，所謂弦圖是由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成一個大的正方形，若圖中直角三角形兩銳角分別為、，且小正方形與大正方形面積之比為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設大的正方形的邊長為1，由于小正方形與大正方形面積之比為，可得:小正方形的邊長為，可得:，①，②由圖可得:，，①×②可得:，解得:，故選:A.2．（2022·浙江·校聯考模擬預測）我國古代數學家僧一行應用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了影長l與太陽天頂距θ（）的對應數表，這是世界數學史上較早的一張正切函數表.根據三角學知識可知，晷影長l等于表高h與太陽天頂距θ正切值的乘積，即.對同一“表高”測量兩次，第一次和第二次太陽天頂距分別為α，β，若第一次的“晷影長”是“表高”的3倍，且，則第二次的“晷影長”是“表高”的（

）A．1倍 B． C．倍 D．倍【答案】A【詳解】由第一次的“晷影長”是“表高”的3倍得，，又，所以，故第二次的“晷影長”是“表高”的1倍.故選：A.3．（20