蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)6.1.1空間向量的線性運(yùn)算【教學(xué)課件】

6.1.1空間向量的線性運(yùn)算第6章§6.1

空間向量及其運(yùn)算1.了解空間向量的概念，掌握空間向量的幾何表示與字母表示.2.掌握空間向量的線性運(yùn)算(加法、減法和數(shù)乘)及其運(yùn)算律.3.掌握共線向量定理，會(huì)用共線向量定理解決相關(guān)問(wèn)題.學(xué)習(xí)目標(biāo)國(guó)慶期間，某游客從上海世博園(O)游覽結(jié)束后乘車(chē)到外灘(A)觀賞黃浦江，然后抵達(dá)東方明珠(B)游玩，如圖1，游客的實(shí)際位移是什么？可以用什么數(shù)學(xué)概念來(lái)表示這個(gè)過(guò)程？導(dǎo)語(yǔ)如果游客還要登上東方明珠頂端(D)俯瞰上海美麗的夜景，如圖2，那它實(shí)際發(fā)生的位移是什么？又如何表示呢？隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練一、空間向量的概念二、空間向量及其線性運(yùn)算三、共線向量(或平行向量)內(nèi)容索引一、空間向量的概念1.定義：在空間，把既有

又有

的量，叫作空間向量.2.幾何表示法：空間向量用

表示.3.幾類(lèi)特殊的空間向量知識(shí)梳理大小方向有向線段名稱(chēng)定義及表示零向量規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量稱(chēng)為

，記作0單位向量

的向量，叫作單位向量相反向量與向量a長(zhǎng)度

，方向

的向量，叫作a的相反向量，記作－a零向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度相等相反注意點(diǎn)：(1)平面向量是一種特殊的空間向量.(2)兩個(gè)向量相等的充要條件為長(zhǎng)度相等，方向相同.(3)向量不能比較大小.相同的向量所有

相等且

的向量都看作相同的向量，向量a與b是相同的向量，也稱(chēng)a與b

.長(zhǎng)度方向相同相等例1

(1)下列關(guān)于空間向量的說(shuō)法中正確的是A.單位向量都相等B.若|a|＝|b|，則a，b的長(zhǎng)度相等而方向相同或相反D.相同的向量其方向必相同√解析

A中，單位向量長(zhǎng)度相等，方向不確定；B中，|a|＝|b|只能說(shuō)明a，b的長(zhǎng)度相等而方向不確定；C中，向量不能比較大小.(2)(多選)下列命題為真命題的是A.若空間向量a，b滿(mǎn)足|a|＝|b|，則a＝bC.若空間向量m，n，p滿(mǎn)足m＝n，n＝p，則m＝pD.任一向量與它的相反向量不相等√√解析

A為假命題，根據(jù)向量相等的定義知，兩向量相等，不僅模要相等，而且還要方向相同，而A中向量a與b的方向不一定相同；C為真命題，向量的相等滿(mǎn)足傳遞性；D為假命題，零向量的相反向量仍是零向量.反思感悟

空間向量的概念與平面向量的概念相類(lèi)似，平面向量的其他相關(guān)概念，如向量的模、相同的向量、平行向量、相反向量、單位向量等都可以拓展為空間向量的相關(guān)概念.跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，以長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的八個(gè)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，二、空間向量及其線性運(yùn)算問(wèn)題1

聯(lián)想平面向量的線性運(yùn)算，思考空間向量的線性運(yùn)算包括哪些？其相應(yīng)的運(yùn)算法則在空間向量中是否依然適用？提示

易知空間向量的線性運(yùn)算包括向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算；線性運(yùn)算法則也是一樣，如：加法滿(mǎn)足三角形法則和平行四邊形法則；減法是加法的逆運(yùn)算；數(shù)乘運(yùn)算，分λ>0，λ<0和λ＝0三種情況.問(wèn)題2

你能借助向量加法的幾何意義證明等式：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)嗎？提示

如圖，所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).知識(shí)梳理a＋ca－b－cλa2.空間向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算滿(mǎn)足如下運(yùn)算律：(1)a＋b＝

；(2)(a＋b)＋c＝

；(3)λ(a＋b)＝

(λ∈R).b＋aa＋(b＋c)λa＋λb例2

如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量.解結(jié)合加法運(yùn)算，得反思感悟(1)向量加法的三角形法則和向量減法的定義是解決空間向量加法、減法運(yùn)算的關(guān)鍵，靈活應(yīng)用相反向量可使向量間首尾相接.(2)利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量的運(yùn)算時(shí)，務(wù)必要注意和向量、差向量的方向，必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得更準(zhǔn)確的結(jié)果.跟蹤訓(xùn)練2

如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn).三、共線向量(或平行向量)問(wèn)題3

平面向量共線的充要條件是什么？它適用于空間向量嗎？提示

對(duì)任意兩個(gè)平面向量a，b(a≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使b＝λa，由于空間向量共線的定義與平面向量相同，因此也適用于空間向量.知識(shí)梳理1.定義：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相

或

，那么這些向量叫作共線向量或平行向量.向量a與b平行，記作

，規(guī)定

與任意向量共線.2.共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(a≠0)，b與a共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使

.平行重合a∥b零向量b＝λa例3

如圖，四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，且不共面，M，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，求證：CE∥MN.證明方法一∵M(jìn)，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，又∵直線CE與MN不重合，∴CE∥MN.方法二∵M(jìn)，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，又∵直線CE與MN不重合，∴CE∥MN.反思感悟向量共線的判定及應(yīng)用(1)判斷或證明兩向量a，b(a≠0)共線，就是尋找實(shí)數(shù)λ，使b＝λa成立，為此常結(jié)合題目圖形，運(yùn)用空間向量的線性運(yùn)算法則將目標(biāo)向量化簡(jiǎn)或用同一組向量表達(dá).跟蹤訓(xùn)練3

(1)若空間非零向量e1，e2不共線，則使2ke1－e2與e1＋2(k＋1)e2共線的k的值為_(kāi)_______.∴C1，O，M三點(diǎn)共線.1.知識(shí)清單：(1)空間向量的概念.(2)空間向量的線性運(yùn)算.(3)共線向量(或平行向量).2.方法歸納：類(lèi)比、三角形法則、平行四邊形法則、數(shù)形結(jié)合.3.常見(jiàn)誤區(qū)：混淆向量共線與線段共線、點(diǎn)共線.課堂小結(jié)隨堂演練A.1個(gè)

B.2個(gè)C.3個(gè)

D.4個(gè)1234√1234√1234A.平行四邊形

B.空間四邊形C.等腰梯形

D.矩形√∴四邊形ABCD為平行四邊形.1234－31234＝－2a－b－(a－2b)＝－3a＋b，因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)共線，即9a＋mb＝λ(－3a＋b).解得m＝λ＝－3.課時(shí)對(duì)點(diǎn)練基礎(chǔ)鞏固1234567891011121314151.(多選)下列命題中，真命題是A.同平面向量一樣，任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小B.兩個(gè)相同的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同C.只有零向量的模等于0D.共線的單位向量都相等解析容易判斷D是假命題，共線的單位向量是相同的向量或相反向量.16√√√2.向量a，b互為相反向量，已知|b|＝3，則下列結(jié)論正確的是A.a＝b

B.a＋b為實(shí)數(shù)0C.a與b方向相同

D.|a|＝312345678910111213141516解析向量a，b互為相反向量，則a，b模相等，方向相反，故選D.√12345678910111213141516A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分又不必要條件√12345678910111213141516√√√12345678910111213141516解析選項(xiàng)A中，選項(xiàng)B中，選項(xiàng)C中，12345678910111213141516選項(xiàng)D中，123456789101112131415A.1 B.2C.3 D.416√12345678910111213141516＝6e1＋6e2.所以e1＋ke2＝λ(6e1＋6e2).因?yàn)閑1，e2是不共線向量，12345678910111213141516A.P∈ABB.P?ABC.點(diǎn)P可能在直線AB上D.以上都不對(duì)√12345678910111213141516解析因?yàn)閙＋n＝1，所以m＝1－n，所以P，A，B三點(diǎn)在同一直線上，即P∈AB.12345678910111213141516解析延長(zhǎng)DE交邊BC于點(diǎn)F，012345678910111213141516123456789101112131415169.如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中點(diǎn).化簡(jiǎn)下列各式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)得到的向量.12345678910111213141516解因?yàn)镸是BB1的中點(diǎn)，1234567891011121314151612345678910111213141516求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線.1234567891011121314151612345678910111213141516所以E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線.123456789101112131415綜合運(yùn)用1611.(多選)若A，B，C，D為空間不同的四點(diǎn)，則下列各式為零向量的是√√1234567891011121314151612345678910111213141516√√1234567891011121314151613.(多選)有下列命題，其中真命題有12345678910111213141516D.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線的充要條件√√12345678910111213141516則AB∥CD或A，B，C，D四點(diǎn)共線，故A錯(cuò)誤；所以B正確；所以a∥b，故C正確；若a，b共線，則|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|－|b||，故D錯(cuò)誤.12