高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)精講精練(新高考專(zhuān)用)第05講復(fù)數(shù)(分層精練)(原卷版+解析)

第05講復(fù)數(shù)(精練（分層練習(xí)）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·北京海淀·中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．2．（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）已知，則（

）A．2 B． C．4 D．103．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，其中為虛數(shù)單位，則的實(shí)部為（

）A．1 B． C．0 D．5．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解得方程的兩根為，則（

）A．4 B．1 C．2 D．36．（2023秋·吉林遼源·高三校聯(lián)考期末）若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則（

）A． B． C． D．7．（2023秋·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）已知（，i為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．8．（2023春·上海嘉定·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，則“”是“”的（

）條件.A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要二、多選題9．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．z的虛部為1B．C．為純虛數(shù)D．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限10．（2023·吉林·統(tǒng)考二模）已知復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的共軛復(fù)數(shù)是B．的虛部是C．D．若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值是11．（2023秋·貴州貴陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋．依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)中不正確的是（

）A．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限 B．為純虛數(shù)C．的模長(zhǎng)等于 D．的共軛復(fù)數(shù)為12．（2023秋·浙江寧波·高三期末）已知，且，則（

）A．當(dāng)時(shí)，必有B．復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心、半徑為的圓C．D．三、填空題13．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則銳角______．14．（2023秋·天津南開(kāi)·高三崇化中學(xué)?？计谀┮阎獮樘摂?shù)單位，若復(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_________．四、解答題15．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)：（1）在虛軸上；（2）在第二象限；（3）在的圖象上，分別求實(shí)數(shù)的取值范圍．16．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，求的值．B能力提升1．（2023春·河北邯鄲·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部均為整數(shù)，則滿(mǎn)足的復(fù)數(shù)z的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，有下列命題：①的平方根只有i；②i是1的平方根；③若復(fù)數(shù)是某一元二次方程的根，則一定是方程的另一個(gè)根；④若z為純虛數(shù)i，則z的平方根為虛數(shù)．上述命題中真命題的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．2 C．0 D．13．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）歐拉公式（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將復(fù)數(shù)、指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)充為復(fù)數(shù)域，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式可知，的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第______象限．4．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）（1）已知，，求證：；（2）求函數(shù)的最小值．C綜合素養(yǎng)1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）歐拉公式（i為虛數(shù)單位，）是由瑞土著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，它被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)此公式可知，下面結(jié)論中正確的是（

）．A．；B．；C．；D．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限．2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知頂點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為，，，若虛數(shù)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，且是鈍角，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是______．3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）對(duì)于復(fù)數(shù)，，稱(chēng)復(fù)數(shù)是關(guān)于的變換．(1)計(jì)算復(fù)數(shù)關(guān)于的變換的結(jié)果；(2)若復(fù)數(shù)關(guān)于的變換在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在線(xiàn)段上，求．4．（2023·高一單元測(cè)試）已知復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位.(1)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若虛數(shù)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，求實(shí)數(shù)值.第05講復(fù)數(shù)(精練（分層練習(xí)）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·北京海淀·中央民族大學(xué)附屬中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所?故選：D.2．（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）已知，則（

）A．2 B． C．4 D．10【答案】B【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：B.3．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【詳解】已知，得，所以，所以其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限；故選:D4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，其中為虛數(shù)單位，則的實(shí)部為（

）A．1 B． C．0 D．【答案】C【詳解】解：，所以，，的實(shí)部為0．故選：C5．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解得方程的兩根為，則（

）A．4 B．1 C．2 D．3【答案】C【詳解】由題意，在中，解得：，∴，故選：C.6．（2023秋·吉林遼源·高三校聯(lián)考期末）若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由可得，所以.故選：A7．（2023秋·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）已知（，i為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：因?yàn)椋ǎ琲為虛數(shù)單位），所以，所以，所以，故選：B8．（2023春·上海嘉定·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，則“”是“”的（

）條件.A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【詳解】設(shè)，，當(dāng)時(shí)，即，，充分性；取，則，，不必要性.綜上所述：“”是“”的充分不必要條件.故選：A二、多選題9．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．z的虛部為1B．C．為純虛數(shù)D．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限【答案】AC【詳解】，則z的虛部為1，選項(xiàng)A正確；，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；為純虛數(shù)，選項(xiàng)C正確；在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：AC．10．（2023·吉林·統(tǒng)考二模）已知復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的共軛復(fù)數(shù)是B．的虛部是C．D．若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值是【答案】AD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，則，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，復(fù)數(shù)的虛部為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，令，則，即在圓心為半徑為1的圓上，而表示圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，由圓心到原點(diǎn)的距離為，結(jié)合圓上點(diǎn)到定點(diǎn)距離范圍易知：的最大值為，D對(duì).故選：AD.11．（2023秋·貴州貴陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋．依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)中不正確的是（

）A．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限 B．為純虛數(shù)C．的模長(zhǎng)等于 D．的共軛復(fù)數(shù)為【答案】ABC【詳解】對(duì)于A：，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故A正確；對(duì)于B：，為純虛數(shù)，故B正確；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：，所以的共軛復(fù)數(shù)為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.12．（2023秋·浙江寧波·高三期末）已知，且，則（

）A．當(dāng)時(shí)，必有B．復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心、半徑為的圓C．D．【答案】BD【詳解】A項(xiàng)：，故錯(cuò)誤；B項(xiàng)：因?yàn)?，故正確；C項(xiàng)：，當(dāng)與i對(duì)應(yīng)向量同向時(shí)取等，故錯(cuò)誤；D項(xiàng)：，當(dāng)與對(duì)應(yīng)向量反向時(shí)取等，故正確.故選：BD.三、填空題13．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則銳角______．【答案】【詳解】，，若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則，解得，則銳角，故答案為：.14．（2023秋·天津南開(kāi)·高三崇化中學(xué)校考期末）已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_________．【答案】-2【詳解】，由，所以復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則，，此時(shí)，滿(mǎn)足.故答案為：-2四、解答題15．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)：（1）在虛軸上；（2）在第二象限；（3）在的圖象上，分別求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或；（2）；（3）．【詳解】復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為．（1）由題意得，解得或；（2）由題意，得，解得；（3）由已知得，解得．16．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，求的值．【答案】【詳解】解：因?yàn)?，所以所以所以，，所以B能力提升1．（2023春·河北邯鄲·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部均為整數(shù)，則滿(mǎn)足的復(fù)數(shù)z的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【詳解】設(shè)，則因?yàn)?，所以因?yàn)椋?，?當(dāng)時(shí)，，即，有兩組滿(mǎn)足條件，當(dāng)時(shí)，或，所以，，但時(shí)，不符合題意，故個(gè)數(shù)為4，故選：C.2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，有下列命題：①的平方根只有i；②i是1的平方根；③若復(fù)數(shù)是某一元二次方程的根，則一定是方程的另一個(gè)根；④若z為純虛數(shù)i，則z的平方根為虛數(shù)．上述命題中真命題的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．2 C．0 D．1【答案】D【詳解】對(duì)于①，的平方根有兩個(gè)，分別為和，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，1的平方根是和1，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，令，則是方程的一個(gè)根，但方程的另一個(gè)根是，并非，實(shí)際上，只有實(shí)系數(shù)方程的虛根才是共軛復(fù)數(shù)，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，設(shè)的平方根為，則，即，故，解得或，所以的平方根為或，顯然z的平方根是虛數(shù)，故④正確；綜上：①②③錯(cuò)誤，④正確，故真命題的個(gè)數(shù)為.故選：D.3．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）歐拉公式（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將復(fù)數(shù)、指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)充為復(fù)數(shù)域，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式可知，的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第______象限．【答案】二【詳解】依題意得,，其共軛復(fù)數(shù)的實(shí)部,虛部分別為，，因?yàn)?所以,因此的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限,故答案為：二.4．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）（1）已知，，求證：；（2）求函數(shù)的最小值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）5【詳解】（1）設(shè)復(fù)平面上的點(diǎn)，是復(fù)數(shù)，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，∴向量，是復(fù)數(shù)，所對(duì)應(yīng)的向量，∴，，當(dāng)，不共線(xiàn)時(shí)，平行四邊行對(duì)角線(xiàn)所成向量（如下圖所示），∴向量，是復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量，∴，∴在中由“三角形兩邊之和大于第三邊”和“三角形兩邊之差小于第三邊”的性質(zhì)可得，，，∴；當(dāng)且僅當(dāng)，共線(xiàn)且方向相同，即且時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，共線(xiàn)且方向相反，即且時(shí)，，綜上所述，.（2）∵∴令，，，∴由第（1）問(wèn)證明的不等式，有則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)，等號(hào)成立.∴時(shí)，函數(shù)的最小值為.C綜合素養(yǎng)1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）歐拉公式（i為虛數(shù)單位，）是由瑞土著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，它被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)此公式可知，下面結(jié)論中正確的是（

）．A．；B．；C．；D．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限．【答案】B【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確：對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，依題意可知表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，則該點(diǎn)位于第四象限，故D錯(cuò)誤.故選：B.2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知頂點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為，，，若虛數(shù)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，且是鈍角，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是______．【答案】【詳解】由已知，虛數(shù)也是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，所以，解得，，則、的坐標(biāo)為，，所以，，因是鈍角，故，解得，又當(dāng)，共線(xiàn)時(shí)有，即．所以的取值范圍是．故答案為：3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）對(duì)于復(fù)數(shù)，，稱(chēng)復(fù)數(shù)是關(guān)于的變換．(1)計(jì)算復(fù)數(shù)關(guān)于的變換的