高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點精講精練(新高考專用)第02講函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值(分層精練)(原卷版+解析)

第02講函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲?精練（分層練習(xí)）A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023秋·湖南邵陽·高一統(tǒng)考期末）下列四個函數(shù)中，在上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·廣東東莞·高一統(tǒng)考期末）“”是“在上單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知命題，，若是真命題，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值是,最小值是,則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．5．（2023秋·江西撫州·高三臨川一中校考期末）已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2023秋·內(nèi)蒙古赤峰·高二統(tǒng)考期末）已知，，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：．已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．二、多選題9．（2023秋·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中滿足“對任意，都有”的是（

）A． B．C． D．10．（2022秋·江蘇常州·高一?？计谀┮阎瘮?shù)的最小值為，則的可能取值是（

）A．1 B．3 C．5 D．7三、填空題11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)y＝log5(x2＋2x－3)的單調(diào)遞增區(qū)間是______．12．（2023秋·湖北襄陽·高一襄陽四中校考階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集為R，則的取值范圍是______.四、解答題13．（2023秋·內(nèi)蒙古赤峰·高一統(tǒng)考期末）已知，.(1)解不等式；(2)判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性.14．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)的表達式，求在上的最大值和最小值．15．（2023春·高一校考開學(xué)考試）已知函數(shù)(1)作出函數(shù)的圖象；(2)寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)當(dāng)時，求的值域.16．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù).(1)用單調(diào)性定義證明函數(shù)在上為減函數(shù)；(2)求函數(shù)在上的最大值.B能力提升1．（2023秋·內(nèi)蒙古赤峰·高二統(tǒng)考期末），，若對任意的，存在，使，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·湖南郴州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，用表示中的較小者，記為，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．3．（2023秋·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)證明:函數(shù)為奇函數(shù)；(2)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明.C綜合素養(yǎng)1．（2023春·安徽馬鞍山·高二安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)?？紝W(xué)業(yè)考試）下列函數(shù)中，對任意且，同時滿足性質(zhì)：（1）；（2）的函數(shù)是（）A． B．C． D．2．（2023秋·山東濱州·高一統(tǒng)考期末）定義，若，則關(guān)于函數(shù)的三個結(jié)論：①該函數(shù)值域為；②該函數(shù)在上單調(diào)遞減；③若方程恰有四個不等的實數(shù)根，則m的取值范圍是.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．33．（2023秋·黑龍江大慶·高一大慶實驗中學(xué)?？计谀┮阎魏瘮?shù).(1)若關(guān)于的不等式對恒成立，求的取值范圍；(2)已知函數(shù)，若對，使不等式成立，求的取值范圍.4．（2023春·山東青島·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖所示，為增加學(xué)生勞動技術(shù)實踐活動區(qū)域，學(xué)校計劃將一矩形試驗田擴建成一個更大的矩形試驗田，要求在的延長線上，在的延長線上，且對角線過點．已米，米，設(shè)（單位：米），記矩形試驗田的面積為．(1)要使不小于64平方米，求的取值范圍；(2)若（單位：米），求的最大值及此時的長度．第02講函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲?精練（分層練習(xí)）A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023秋·湖南邵陽·高一統(tǒng)考期末）下列四個函數(shù)中，在上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】在上單調(diào)遞減，故A錯誤；在上單調(diào)遞增，故B正確；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故C錯誤；在上單調(diào)遞減，故D錯誤.故選:B.2．（2023秋·廣東東莞·高一統(tǒng)考期末）“”是“在上單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】在單調(diào)遞增，充分性成立，若時在單調(diào)遞增，但是不滿足，所以必要性不成立.故選：A3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知命題，，若是真命題，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】若是真命題，由題意知不等式有解，，解得:.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：A4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值是,最小值是,則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意可知拋物線得對稱軸為,開口向上,在對稱軸的左側(cè),對稱軸的左側(cè)圖象為單調(diào)遞減,在對稱軸左側(cè)時有最大值,上有最大值,最小值,當(dāng)時,,的取值范圍必須大于或等于,拋物線得圖象關(guān)于對稱,,所以.故選：A.5．（2023秋·江西撫州·高三臨川一中?？计谀┮阎瘮?shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】函數(shù)在上是減函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，而函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，因此，不符合題意，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，并且，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且，∴，解得.故選：C7．（2023秋·內(nèi)蒙古赤峰·高二統(tǒng)考期末）已知，，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，因為恒成立，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故選：B8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：．已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，所以，因為，所以；故選：D.二、多選題9．（2023秋·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中滿足“對任意，都有”的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】對任意，都有，在上單調(diào)遞增；對于A，由一次函數(shù)性質(zhì)知：在上單調(diào)遞增，A正確；對于B，由反比例函數(shù)性質(zhì)知：在上單調(diào)遞減，B錯誤；對于C，由二次函數(shù)性質(zhì)知：對稱軸為，則在上單調(diào)遞增，C正確；對于D，由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)知：在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，D錯誤.故選：AC.10．（2022秋·江蘇常州·高一?？计谀┮阎瘮?shù)的最小值為，則的可能取值是（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】AB【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，函數(shù)，，對稱軸為，當(dāng)時，當(dāng)時，，要想函數(shù)的最小值為，只需，即，顯然選項AB符合，當(dāng)時，當(dāng)時，，顯然不是，綜上所述：只有選項AB符合條件，故選：AB三、填空題11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)y＝log5(x2＋2x－3)的單調(diào)遞增區(qū)間是______．【答案】(1，＋∞)【詳解】由題意，函數(shù)滿足，解得或，即函數(shù)的定義域為，令，則函數(shù)在(－∞，－3)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”法則，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；故答案為：.12．（2023秋·湖北襄陽·高一襄陽四中?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集為R，則的取值范圍是______.【答案】【詳解】當(dāng)?shù)茫?，滿足題意；當(dāng)時，要想保證關(guān)于的不等式的解集為R，則要滿足：，解得：，綜上：的取值范圍為故答案為：四、解答題13．（2023秋·內(nèi)蒙古赤峰·高一統(tǒng)考期末）已知，.(1)解不等式；(2)判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性.【答案】(1)(2)減函數(shù)，證明見解析【詳解】（1）由，，得，解得，即不等式解集為.（2）在為減函數(shù).證明如下：設(shè)，則，因為，，，所以，即.所以是上的減函數(shù).14．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)的表達式，求在上的最大值和最小值．【答案】最大值為2，最小值為．【詳解】因為在上為嚴格減函數(shù)，所以函數(shù)在上為嚴格減函數(shù)．所以當(dāng)時，的最大值為，最小值為．15．（2023春·高一?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)(1)作出函數(shù)的圖象；(2)寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)當(dāng)時，求的值域.【答案】(1)見解析(2)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為(3)【詳解】（1）解：，作出函數(shù)圖象，如圖所示：（2）解：由圖可得：函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（3）解：因為函數(shù)在上遞減，所以，所以的值域為.16．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù).(1)用單調(diào)性定義證明函數(shù)在上為減函數(shù)；(2)求函數(shù)在上的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)5【詳解】（1）設(shè)對任意的，則由題設(shè)可得，，，，即.故函數(shù)在上為減函數(shù)..（2）由（1）得在上為減函數(shù)，函數(shù)在上的最大值為.B能力提升1．（2023秋·內(nèi)蒙古赤峰·高二統(tǒng)考期末），，若對任意的，存在，使，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】函數(shù)，因為，所以在的值域為，函數(shù)在的值域為，因為對任意的，存在，使，所以，所以，解得．故選：A．2．（2023秋·湖南郴州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，用表示中的較小者，記為，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【詳解】令，即,解得,所以，當(dāng)時，由在定義域內(nèi)單調(diào)遞減可得，當(dāng)時，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得,綜上，函數(shù)的最大值為，故選：D3．（2023秋·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)證明:函數(shù)為奇函數(shù)；(2)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明.【答案】(1)證明見解析(2)在區(qū)間上是增函數(shù)；證明見解析【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，函數(shù)，又,所以，函數(shù)為奇函數(shù).（2）在區(qū)間上是增函數(shù).證明：對于任意且，作差：，,，即，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).C綜合素養(yǎng)1．（2023春·安徽馬鞍山·高二安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)校考學(xué)業(yè)考試）下列函數(shù)中，對任意且，同時滿足性質(zhì)：（1）；（2）的函數(shù)是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】對于AD，因為對任意且，，不妨設(shè)，則，所以，即，所以在上單調(diào)遞減，而與在上單調(diào)遞增，故AD錯誤；對于BC，因為對任意且，，所以的圖像在上是凹形曲線，而的圖像在上是凸形曲線，故C錯誤；而的圖像在上是凹形曲線，同時在上單調(diào)遞減，故B正確.故選：B．2．（2023秋·山東濱州·高一統(tǒng)考期末）定義，若，則關(guān)于函數(shù)的三個結(jié)論：①該函數(shù)值域為；②該函數(shù)在上單調(diào)遞減；③若方程恰有四個不等的實數(shù)根，則m的取值范圍是.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【詳解】令，得或，則，則函數(shù)在上遞減，又當(dāng)時，，所以該函數(shù)在上單調(diào)遞減，故②正確；當(dāng)時，，當(dāng)或，，所以函數(shù)的值域為，故①錯誤；方程實根的個數(shù)，即為函數(shù)交點的個數(shù)，作出兩個函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知兩函數(shù)圖象有4個交點時，m的取值范圍是，故③正確，所以正確結(jié)論的個數(shù)是2個.故選：C.3．（2023秋·黑龍江大慶·高一大慶實驗中學(xué)?？计谀┮阎魏瘮?shù).(1)若關(guān)于的不等式對恒成立，求的取值范圍；(2)已知函數(shù)，若對，使不等式成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)或【詳解】（1）因為二次函數(shù)，所以關(guān)于的不等式對恒成立，轉(zhuǎn)化為對恒成立，即對恒成立，令，記，因為，所以，則，因為在上單調(diào)遞增，所以，，所以；（2）對，使不等式成立，轉(zhuǎn)化為，在上單調(diào)遞增，，，①當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，，此時，且，解得；②當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，此時，且，解得；③當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時，且，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為或.4．（2023春·山東