2023-2024學(xué)年北師大版八年級數(shù)學(xué)上冊重難點題型突破訓(xùn)練：第二章 實數(shù)（壓軸30題）

第2單元實數(shù)壓軸精選30題

一.選擇題（共13小題）

1.估計X的運算結(jié)果應(yīng)在（）

A.6到7之間B.7到8之間C.8到9之間D.9到10之間

2.數(shù)軸上表示1,近的對應(yīng)點分別為Z,瓦點8關(guān)于點Z的對稱點為C,則

點。所表示的數(shù)是()

____ilClAB?〉

0?1V2

A.V2-1B.1-V2C.2-V2D.V2-2

3.已知實數(shù)。在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡|i-M+療的結(jié)果為（)

-101

A.1B.-1C.1-2aD.2a-1

4.有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如下：當(dāng)輸入的x為64時,輸出的y是（)

A.8B.2-/2C.273D.372

5.若|x+2|+4y_3=0，則xy的值為（)

A.-8B.-6C.5D.6

6.實數(shù)。在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖所示，則4,-a,1的大小關(guān)系正確的是（)

"?—>

a01

A.-a<a<1B.tz<-1C.1<-a<-aD.a<l<-a

7.若0Vx<l,則X,X2,R的大小關(guān)系是（)

A.x<x2<x3B.x<x3<x2C.x3<x2<xD.x2<x3<x

估算返節(jié)應(yīng)的值（）

8.

V2

A.在4和5之間B.在5和6之間C.在6和7之間D.在7和8之間

9.化簡二次根式二3,結(jié)果是（）

A.-B.-CT\]-軟C.D.aVa

10.若式子通W有意義，則X的取值范圍為（）

X-1

A.xW2B.xW2且xWlC.x22D.xNl

11.使式子丁而有意義的X的取值范圍是（）

A.xN-1B.-1WXW2C.xW2D.-l<x<2

12.當(dāng)x＞l時，J（x-1）2-1化簡的結(jié)果是（）

A.2-xB.x-2C.xD.-x

⑶設(shè)W咔卡+J哮方+…+J1/+，則S最接近的整數(shù)

是（）

A.2015B.2016C.2017D.2018

二.填空題（共10小題）

14.已知a、b為有理數(shù)，m、n分別表示5-W的整數(shù)部分和小數(shù)部分，且amn+bn2

=1,則.

15.已知a、b為兩個連續(xù)整數(shù)，且a＜后＜b,則a+b的值為.

16.規(guī)定用符號時表示一個實數(shù)機(jī)的整數(shù)部分，例如：[2]=0,[3.14]=3.按

3

此規(guī)定+1]的值為.

17.將1、V2'如、迎按下列方式排列.若規(guī)定（機(jī)，〃）表示第機(jī)排從左向

右第〃個數(shù)，則（5,4）與（15,7）表示的兩數(shù)之積

是.

1第一排

近a第二排

娓i第三排

a氓iV2第四排

i&V3第五排

18.實數(shù)a,b,。在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，化簡a+|a+臼-衣-歸-&

bc0a

19.愿的整數(shù)部分是a,、尺的小數(shù)部分是b,則必=.

20.將1、&、M、遙按右側(cè)方式排列.若規(guī)定(機(jī)，〃)表示第機(jī)排從左向

右第〃個數(shù)，則(7,3)所表示的數(shù)是；(5,2)與

(20,17)表示的兩數(shù)之積是.

1第1排

72居第2排

761&第3排

73761>/2第4排

7376172第5排

21.若實數(shù)a滿足|a-8|+Va-10=?>則a=_______.

22.已知孫=3,那么#+y產(chǎn)的值是.

23.已知實數(shù)x,y滿足|x+5I+\g=0，則(x+y)2006=.

三.解答題(共7小題)

24.在實數(shù)范圍內(nèi)定義一種新運算“△”，其規(guī)則為：aAb=a2-根據(jù)這個

規(guī)則：

(1)求4a3的值；

(2)求(x+2)△5=0中x的值.

25.我們已經(jīng)學(xué)過完全平方公式。2±2"+按=(a±b)2,知道所有的非負(fù)數(shù)都

可以看作是一個數(shù)的平方，如2=(V2)2,3=(V3)2,7=(小)2,0=

02,那么，我們可以利用這種思想方法和完全平方公式來計算下面的題：

例：求3-2質(zhì)的算術(shù)平方根.

解：3-2V2=2-2V2+1=(V2)2-2V2+12=(V2-1)2,-'-3-2

加的算術(shù)平方根是、歷-1.

你看明白了嗎？請根據(jù)上面的方法化簡：

(1)V3+2^2

⑵710+8^3+272

(3)V3-272W5-2V6+V7<712+79-2720+711-2^30.

26.【知識鏈接】

（1）有理化因式：兩個含有根式的非零代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有根

式，那么這兩個代數(shù)式相互叫做有理化因式.

例如：的有理化因式是V"^；1-區(qū)乂2+2的有理化因式是l+Jx,+Z，

（2）分母有理化：分母有理化又稱“有理化分母”，也就是把分母中的根號

化去.指的是如果代數(shù)式中分母有根號，那么通常將分子、分母同乘分母的

有理化因式，達(dá)到化去分母中根號的目的.如：

1=ix（V2-i）=42-1=ix（V§-V^）=如

1W2（V2+D（V2-I）'V3W2（V3W2）（V3W2）

-加?

【知識理解】

（1）填空：2?的有理化因式是；

（2）直接寫出下列各式分母有理化的結(jié)果：

V7W6--------------------------------------D啦心

【啟發(fā)運用】

(3)計算：---+---1---+-_—+…+---------

1W2V3W22^3而

27.已知女少出而語是m+n+3的算術(shù)平方根，B>-2n+3而而是m+2n的立方

根，求8-Z的立方根.

28.觀察下列一組等式，解答后面的問題：

（V2+1）（V^-1）=1,（V3+V2）（V3-V2）=1，（V4+V3）（V4-

V3）=1，（V5+V4）（V5-V4）=1,…

（1）根據(jù)上面的規(guī)律，計算下列式子的值：

（-^―+」L+」L+…-........Xj-------）（V2016+1）-

V2+1V3+V2V4+V3V2016+V2015

（2）利用上面的規(guī)律，比較E-J五與J石適的大小.

29.先觀察下列等式，再回答問題:

（1）根據(jù)上面三個等式提供的信息，請猜想jiTT?的結(jié)果，并進(jìn)行驗證；

（2）根據(jù)上面的規(guī)律，可得I1,=.

（3）請按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出用〃（〃為正整數(shù)）表示的等式,

并加以驗證.

30.觀察下面的式子：

S1=1+J_+J_,S2=1+LL53=1+J-+J---sn=l+X+_1_

I22222323242n2（n+l）2

（1）計算：何=--------------------，后=-----------------

猜想E=（用〃的代數(shù)式表示）；

（2）計算：$=何+圾+偲+…+何;（用〃的代數(shù)式表示）?

第2單元實數(shù)壓軸精選30題

一.選擇題（共13小題）

1.估計而的運算結(jié)果應(yīng)在（）

A.6到7之間B.7到8之間C.8至U9之間D.9至U10之間

【答案】C

【解答】解：而4<&^<5,

???原式運算的結(jié)果在8到9之間；

故選：C.

2.數(shù)軸上表示1,企的對應(yīng)點分別為45,點3關(guān)于點幺的對稱點為C,則

點C所表示的數(shù)是（）

CAB

_________1111.

0?1VI

A.V2-1B.1-V2C.2-V2D.A/2-2

【答案】C

【解答】解：???數(shù)軸上表示1,企的對應(yīng)點分別為4B,

:.AB=?-I,

??,點B關(guān)于點A的對稱點為C,

：.AC=AB.

...點C的坐標(biāo)為：1-（&-1）=2-企.

故選：C.

3.已知實數(shù)。在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡|1-M+庠的結(jié)果為（）

a

_J--------1_?—1——>

-101

A.1B.-1C.l-2aD.2a-1

【答案】4

【解答】解：由數(shù)軸上a點的位置可知OVaVl,

/.1-a>09

???原式=（1-。）+〃=1.

故選：A.

4.有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如下：當(dāng)輸入的x為64時，輸出的y是（)

輸入x方?取算術(shù)平方根是「理數(shù)，輸出）

T是有理數(shù)

A.8B.2A/2C.273D.3a

【答案】B

【解答】解：將64輸入，由于其平方根是8,

為有理數(shù)，需要再次輸入，

得到我，為2注.

故選：B.

5.若|x+2]+4y-3=0,則町的值為（）

A.-8B.-6C.5D.6

【答案】B

【解答】解：,??|x+2|N0,百互三0，

而|x+21y-3=0,

.,.x+2=0且廠3=0,

??x=-2,y=3,

'-xy—（-2）X3=-6.

故選：B.

6.實數(shù)a在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖所示，則a,-a,1的大小關(guān)系正確的是（）

~>

a01

A.-a<-a<-1B.tz<-1C.1<-a<-aD.a<1-a

【答案】D

【解答】解：由數(shù)軸上。的位置可知。<0,同>1；

設(shè)a--2,則-a=2,

V-2<1<2

1<-?>

故選項Z,B,C錯誤，選項。正確.

故選：D.

7.若O<X<1,則X,X2,R的大小關(guān)系是（）

A.x<x2<x3B.x<x3<x2C.x3<x2<xD.x2<x3<x

【答案】C

【解答】解：：0?1,

，假設(shè)X=L,則X=A.,X2=A,X3=A,

2248

842

/.x3<x2<x.

故選：C.

8.估算運咎應(yīng)的值（）

V2

A.在4和5之間B.在5和6之間C.在6和7之間D.在7和8之間

【答案】D

【解答】解：原式=5+企，

XV4<6<9,

：.2<配<3,

其值在7和8之間.

故選：D.

9.化簡二次根式，結(jié)果是（）

A.-a-/aB.-川-aC.周-aD.ay/a

【答案】B

【解答】解：有意義

.'?aWO

??原=-..-a?

故選：B.

10.若式子'五有意義，則X的取值范圍為（）

xT

A.xW2B.xW2且xWlC.xN2D.xNl

【答案】B

【解答】解：?.?式子返三有意義,

X-1

IxT卉0

解得：xW2且xWl.

故選：B.

11.使式子丁而有意義的x的取值范圍是（）

A.xN-1B.-1WXW2C.xW2D.-l<x<2

【答案】B

【解答】解：根據(jù)題意，得

[x+l>O

12-x>0

解得，-10W2；

故選：B.

12.當(dāng)x>l時，Y（x-1）2-1化簡的結(jié)果是（）

A.2-xB.x-2C.xD.-x

【答案】B

【解答】解：1>0,

原式=|x-1|-l=x-1-l=x-2.

,則s最接近的整數(shù)

A.2015B.2016C.2017D.2018

【答案】C

【解答】解：LICH—J

Vn2(n+1)2

=卜2(n+1)2+n2+(n+l)2-

V[n(n+l)]2

=J[n(n+l)]2+2n(n+l)+l

V[n(n+l)]2

=I(n2+n+l)2

Un(n+1)]2

n2tn+]

n(n+l)

22320162017

=2016+(i-A+J：—L+—L+…+—1-------1—

2233420162017

=2017-1■,

2017

所以S最接近的整數(shù)是2017,

故選：C.

二.填空題（共10小題）

14.已知a、b為有理數(shù)，m、n分別表示5rM的整數(shù)部分和小數(shù)部分，且amn+bn2

=1,則2a+b=2.5.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：因為2<近<3,所以2<5-J7V3,故機(jī)=2,n=5-47-2=

3-W.

把m=2,〃=3-，^代入amn+b〃2=l得,2（3-W）。+（3-W）2b=1

化簡得（6a+16b）-V7（2a+6A）=1,

等式兩邊相對照，因為結(jié)果不含正，

所以6。+16方=1且2a+66=0,解得a=1.5,b--0.5.

所以2a+b=3-0.5=2.5.

故答案為：2.5.

15.已知a、b為兩個連續(xù)整數(shù)，且a<任<b,則的值為7.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】VV9<V15<VT6>

??a=3,b=4,

??a+b=3+4=7.

故答案為：7.

16.規(guī)定用符號時表示一個實數(shù)機(jī)的整數(shù)部分，例如：苧=0,[3.14]=3.按

此規(guī)定[歷+1]的值為4.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：〈疝V4,

3+1<710+1V4+1,

.,?4<V10+l<5,

???[行+1]=4,

故答案為：4.

17.將1、企、正、述按下列方式排列.若規(guī)定（掰，〃）表示第機(jī)排從左向

右第〃個數(shù)，則（5,4）與（15,7）表示的兩數(shù)之積是，通

1第一排

近V3第二排

V61V2第三排

V3V61V2第四排

V3V61V2M第五排

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：：（5,4）表示第5排從左向右第4個數(shù)，則它表示的數(shù)為企;

（15,7）表示第15排從左向右第7個數(shù)，它所表示的數(shù)為遙，

V2X^6=2V3?

故答案為2我.

18.實數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，化簡a+|a+臼-值-忸-c尸

0.

7c-Oa~

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：根據(jù)點在數(shù)軸上的位置，知：a>0,b<0,c<0；且臼>|a|>

???原式=a-(a+b)+c+b-c—a~a~b+c+b~c=0.

19.我的整數(shù)部分是a,述的小數(shù)部分是b,則必=_遍-2_.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：???：!〈愿<2,2<A/5<3,

tz=1,b=yfs-2?

'?ab=1X（yf^-2）~2-

故填空答案：V5-2.

20.將1、&、如、遙按右側(cè)方式排列.若規(guī)定（機(jī)，n）表示第掰排從左向

右第〃個數(shù)，則（7,3）所表示的數(shù)是—a（5,2）與（20,17）表示

的兩數(shù)之積是」

1第1排

72耳第2排

R142第3排

7376172第4排

喬41&"第5排

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（7,3）表示第7排從左向右第3個數(shù)，可以看出奇數(shù)排最中

間的一個數(shù)都是1,

1+2+3+4+5+6+3=24,

244-4=6,

則（7,3）所表示的數(shù)是遙；

從圖示中知道，（5,2）所表示的數(shù)是逐；

?.?第19排最后一個數(shù)的序號是：1+2+3+4+…+19=190,則（20,17）表示的

是第190+17=207個數(shù)，

207+4=51…3,

/.（20,17）表示的數(shù)是正.

（5,2）與（20,17）表示的兩數(shù)之積是：泥Xj^=3&.

故答案為：V6;

21.若實數(shù)。滿足|a-8|+正元=°,則a=74.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：根據(jù)題意得：a-10^0,解得a210,

???原等式可化為：a-8+>/a-10=a,

即Ma-10=8,

...a-10=64,角窣得：（2=74.

22.已知xy=3,那么xf+y產(chǎn)的值是±2\伍.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：..?孫=3,

.?.%、y同號,

???原式="舊+>后=擊傷+杳傷’

當(dāng)x>o,歹>0時，原式

當(dāng)x<0,yV0時，原式=-傷+（-傷）=-273.

J原式=±2正.

23.已知實數(shù)x,y滿足|x+5|W74=0，則（I+y）2賴=1.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：:|x+5|Wy-4=0，

/.x+5=0,y-4=0,

.*.%=-5,y=4,

/.（x+y）2006=（一5+4）2006=1.

三.解答題（共7小題）

24.在實數(shù)范圍內(nèi)定義一種新運算“△”，其規(guī)則為：aAb=a2-b2,根據(jù)這個

規(guī)則：

（1）求443的值；

（2）求（x+2）△5=0中x的值.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）4A3=42-32=16-9=7；

(2)由題意得：(x+2)2-25=0,

(x+2)2=25,

x+2=±5,

x+2=5或x+2=-5,

解得：勺=3,x2=-7.

25.我們已經(jīng)學(xué)過完全平方公式。2±2曲+62=(?！?)2,知道所有的非負(fù)數(shù)都

可以看作是一個數(shù)的平方，如2=(V2)3=(-V3)2,7=(V7)2,0=

02,那么，我們可以利用這種思想方法和完全平方公式來計算下面的題：

例：求3-2-V2的算術(shù)平方根.

解：3-272=2-242+1=(V2)2-2^2+12=(V2-1)2J，3-2

加的算術(shù)平方根是我-1.

你看明白了嗎？請根據(jù)上面的方法化簡：

(1)V3+2V2

⑵Vw+sTs+^T

(3)肥-啦W5-2^/6+V7-2V12+V9-2720+711-2730.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)V3+2V2=V2+2^2+1=(72)2+2V2+12=V(V2+1)2=

V2+1；

(2)^10+8^(3+272)=V10+8(v12+l)=\''18+8^2=\''16+8^2+2=

V42+2X4XV2+(V2)2=V(4^2)2=4+如；

(3)原式=42-2\^+1+\/3-2\^+2+4W-271^+4+V4-2收+5+45-2^+6,

=7(V2)2-2V2+12+V(VI)2-2X72XV3+(A/1)2+

V(V3)2-2X2XV3+22+V22-2X2X+(V5)2+

V(V5)2-2XV5XV6+(V6)2?

=^/(V2-l)2+V(V3-V2)2+7(V3-2)2+A/(2W5)2+V(V5-76)2,

=-1+V^-J^+2-V3+V5-2+V6-V5,

=V6-1.

26.【知識鏈接】

(1)有理化因式：兩個含有根式的非零代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有根

式，那么這兩個代數(shù)式相互叫做有理化因式.

例如：的有理化因式是丁^；1-{x2+2的有理化因式是1+,乂2+2,

(2)分母有理化：分母有理化又稱“有理化分母”，也就是把分母中的根號

化去.指的是如果代數(shù)式中分母有根號，那么通常將分子、分母同乘分母的

有理化因式，達(dá)到化去分母中根號的目的.如：

1=1X(V2-1)=?-1,1==如

1+V2(V2+1)(V2-1)'V3+V2(V3W2)(V3W2)

-V2.

【知識理解】

(1)填空：2V^的有理化因式是—Vx—；

(2)直接寫出下列各式分母有理化的結(jié)果：

①7-1廠二一W二遍一；②一f-1/—=-3A/2^V17_-

V7W63V2+V17

【啟發(fā)運用】

(3)計算：_1__+_______+_____+1____

1W2V3W22W3而1班

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1),??24X4=2X,

???24的有理化因式是

故答案為：Vx-

(2)①1=—,聿坐=-=V7-V6；

V7+v6(v7+v6)(V7-v6)

⑦I=3--VT7=3亞-V77

而(3V2W17)(3V2-V17)

故答案為：①VV-V^；②3V^-VT7.

(3)原式=_____?T_____+_____巡_料______+2-M+?..

(1W2)(V2-1)(V3W2)(V3-V2)(2+V3)(2-73)

+7n+]-Vii,

(Vn+1+Vn)(Vn+1-Vn)

=V2~1+V3~V2+2-%+…+Mn+l-五，

—Vn+1-1-

27.已知人少出忘石花是他+〃+3的算術(shù)平方根，Bb2n+3而加是機(jī)+2〃的立方

根，求8-Z的立方根.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：：人少飛標(biāo)百而是機(jī)+"+3的算術(shù)平方根,

??"？一〃2,

?；B>-2n+3詬石是m+2n的立方根,

m-2〃+3=3,

??.聯(lián)立得到方程組［m-n=2

_

|Lm2n+3=3

解這個方程組得：m=4,〃=2,

.?.4=3,B=2,

所以5-N的立方根為-1.

28.觀察下列一組等式，解答后面的問題：

（V^+i）=1,（V3+V2）（Vs_V2）=1，（V4+V3）（^4-

V3）=i,（遙+y）（遙-'幾）=i,…

（1）根據(jù)上面的規(guī)律，計算下列式子的值：

（—r^—+y—1y—+y—1y—+…I/1/）（72016+1）?

V2+1V3+V2V4+V3V2016+V2015

（2）利用上面的規(guī)律，比較，與后的大小.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）原式=（V2-1+V3-V2+V4-V3+-+V2016-42015）

（V2016+1）

=（V2016-1）@2016+1）

=2016-1

=2015；

（2）V-=V12+VT1,

V12-V11

1.=后+值,

V13-V12

而V1WTI〈后+任，

???Vi2-VTT>Vi3-Vi2.

29.先觀察下列等式，再回答問題:

③小白六葉圭修

（1）根據(jù)上面三個等式提供的信息，請猜想的結(jié)果，并進(jìn)行驗證;

（2）根據(jù)上面的規(guī)律，可得

（3）請按照上面各等式反映的規(guī)律，試