第16講直線與圓的位置關(guān)系（三大題型歸納分層練）（原卷版）

第16講直線與圓的位置關(guān)系目錄TOC\o"13"\h\z\u題型歸納 1題型01直線與圓位置關(guān)系的判定 3題型02直線與圓相切的有關(guān)問(wèn)題 6題型03直線截圓所得弦長(zhǎng)問(wèn)題 9分層練習(xí) 13夯實(shí)基礎(chǔ) 13能力提升 20創(chuàng)新拓展 30一、直線與圓位置關(guān)系的判定直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系及判斷位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)__個(gè)__個(gè)__個(gè)判定方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d__rd__rd__r代數(shù)法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2))消元得到一元二次方程的判別式ΔΔ__0Δ__0Δ__0注意點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系常用幾何方法判斷二、直線截圓所得弦長(zhǎng)問(wèn)題求直線與圓相交時(shí)弦長(zhǎng)的兩種方法：(1)幾何法：如圖①，直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)弦心距為d，圓的半徑為r，弦長(zhǎng)為AB，則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,2)))2＋d2＝r2，即AB＝________.(2)代數(shù)法：如圖②所示，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，設(shè)直線與圓的兩交點(diǎn)分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝________________，或AB＝__________________(直線l的斜率k存在且不為0)．注意點(diǎn)：(1)弦長(zhǎng)公式的前提是判別式大于零．(2)斜率不存在時(shí)AB＝|y1－y2|題型01直線與圓位置關(guān)系的判定【解題策略】直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法(1)幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷．(2)代數(shù)法：根據(jù)直線方程與圓的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷．(3)直線系法：若直線恒過(guò)定點(diǎn)，可通過(guò)判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系，但有一定的局限性，必須是過(guò)定點(diǎn)的直線系【典例分析】【例1】已知直線y＝x＋b與圓x2＋y2＝2，當(dāng)b為何值時(shí)，直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)？只有一個(gè)公共點(diǎn)？沒(méi)有公共點(diǎn)？【變式演練】【變式1】（2324高二上·陜西渭南·期末）已知直線和圓，則直線l與圓C（

）A．相切 B．相離C．相交 D．相交且過(guò)圓心【變式2】（2122高二上·重慶黔江·階段練習(xí)）直線：與圓：的位置關(guān)系是．【變式3】已知直線方程為mx－y－m－1＝0，圓的方程為x2＋y2－4x－2y＋1＝0.當(dāng)m為何值時(shí)，直線與圓：(1)有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)沒(méi)有公共點(diǎn)．題型02直線與圓相切的有關(guān)問(wèn)題【解題策略】求過(guò)某一點(diǎn)的圓的切線方程(1)點(diǎn)(x0，y0)在圓上．①先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k，再由垂直關(guān)系得切線的斜率為－eq\f(1,k)，由點(diǎn)斜式可得切線方程．②如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程y＝y(tǒng)0或x＝x0.(2)點(diǎn)(x0，y0)在圓外．①設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，由圓心到直線的距離等于半徑建立方程，可求得k，也就得切線方程．②當(dāng)用此法只求出一個(gè)方程時(shí)，另一個(gè)方程應(yīng)為x＝x0，因?yàn)樵谏厦娼夥ㄖ胁话ㄐ甭什淮嬖诘那闆r．③過(guò)圓外一點(diǎn)的切線有兩條【典例分析】【例2】課本例2自點(diǎn)A(－1,4)作圓(x－2)2＋(y－3)2＝1的切線l，求切線l的方程．【變式演練】【變式1】（2324高二上·吉林長(zhǎng)春·期末）已知圓，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則該切線的一般式方程為（

）A． B．C． D．【變式2】（2324高三上·湖北武漢·期末）若點(diǎn)在圓上，則過(guò)的圓的切線方程為.【變式3】（2324高二上·貴州六盤(pán)水·期末）已知半徑為2的圓的圓心在射線上，點(diǎn)在圓上．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程．題型03直線截圓所得弦長(zhǎng)問(wèn)題【解題策略】(1)求直線與圓的弦長(zhǎng)的三種方法：代數(shù)法、幾何法及弦長(zhǎng)公式．(2)利用弦長(zhǎng)求直線方程、圓的方程時(shí)，應(yīng)注意斜率不存在的情況【典例分析】課本例3求直線x－eq\r(3)y＋2eq\r(3)＝0被圓x2＋y2＝4截得的弦長(zhǎng)．【例3】(1)求直線l：3x＋y－6＝0被圓C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦長(zhǎng)AB；(2)過(guò)點(diǎn)(－4,0)作直線l與圓x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B兩點(diǎn)，如果AB＝8，求直線l的方程．【變式演練】【變式1】（2324高二下·廣東湛江·開(kāi)學(xué)考試）直線被圓截得的弦長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【變式2】（2324高二上·陜西寶雞·期中）直線與圓：交于，兩點(diǎn)，若，則.【變式3】直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5,5)并且與圓C：x2＋y2＝25相交截得的弦長(zhǎng)為4eq\r(5)，求l的方程．【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2324高二下·廣東廣州·期中）若直線與圓交于兩點(diǎn)，則（

）A．1 B． C．2 D．2．（2324高二上·四川成都·期末）若直線平分圓，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．或3．（2324高二下·湖南益陽(yáng)·階段練習(xí)）直線截圓所得弦長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2324高二下·四川達(dá)州·期中）“”是直線和圓相交的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、多選題5．（2324高二上·江西南昌·期中）已知直線和圓，則（

）A．直線恒過(guò)定點(diǎn)B．存在使得直線與直線垂直C．直線與圓相交D．直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為6．（2324高二下·湖南·階段練習(xí)）已知直線，圓的方程為，則下列表述正確的是（

）A．當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，直線恒過(guò)定點(diǎn)B．當(dāng)直線與直線平行時(shí)，則兩條直線的距離為C．當(dāng)時(shí)，圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)D．當(dāng)時(shí)，直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)三、填空題7．（2223高二上·四川雅安·期中）直線與圓O：的位置關(guān)系是．8．（2324高二上·江西九江·階段練習(xí)）直線與圓的位置關(guān)系為.9．（2122高二上·陜西安康·期末）已知圓C:，直線，則直線與圓C的位置關(guān)系是四、解答題10．（2223高二上·云南昆明·期中）已知圓C：和直線l：．(1)寫(xiě)出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)m滿足什么條件時(shí)，直線l和圓C相交．11．（2324高二上·福建南平·期末）已知圓的圓心在直線上且圓與軸相切于點(diǎn).(1)求圓的方程；(2)已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，求的面積.12.（2324高二下·上?！て谥校┮阎本€，圓．(1)求直線與圓相交所得的弦長(zhǎng)；(2)求圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)所得的圓的方程．【能力提升】一、單選題1．（2324高二下·江西·階段練習(xí)）以直線：和：的交點(diǎn)為圓心，并且與直線相切的圓的方程為（

）A． B．C． D．2．（2324高二上·遼寧·期中）已知圓，過(guò)作圓O的切線l，則直線l的傾斜角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°3．（2324高二上·北京順義·期中）已知圓，過(guò)點(diǎn)作圓的切線.則該切線的一般式方程為A． B．C． D．4．（2324高二上·福建廈門(mén)·期中）若圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)的圓與軸相切，則圓心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．二、多選題5．（2324高二下·浙江·期中）若直線與圓相交于兩點(diǎn)，則的長(zhǎng)度可能等于（

）A．3 B．4 C．5 D．66．（2324高二上·福建廈門(mén)·期中）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為（

）A． B．C． D．三、填空題7．（2223高二·全國(guó)·課后作業(yè)）直線與圓的位置關(guān)系是．8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于任意的，且，均有定直線與圓相切，則直線的方程為．9．（2223高二上·安徽蕪湖·階段練習(xí)）若經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O且互相垂直的兩條直線和與圓相交于A，C，B，D四點(diǎn)，則四邊形面積的取值范圍是．四、解答題10．（2324高二上·北京·期中）求滿足下列條件的曲線方程：(1)求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程；(2)求圓心在直線上，與軸相切，且被直線截得的弦長(zhǎng)為的圓的方程.11．（2324高二上·江蘇淮安·階段練習(xí)）圓內(nèi)有一點(diǎn)為過(guò)點(diǎn)P且傾斜角為的弦(1)判斷點(diǎn)與圓C的位置關(guān)系(2)當(dāng)時(shí)，求弦AB的長(zhǎng)(3)當(dāng)P為弦AB靠近A的三等分點(diǎn)且點(diǎn)A在第一象限，求直線AB方程【創(chuàng)新拓展】一、單選題1．（2223高二上·江西南昌·期中）圓在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．二、填空題2．（2223高二上·湖南常德·期末）直線與圓的位置關(guān)系是.3．（2324高二上·北京延慶·期末）已知圓，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程．三、解答題4．（2324高二上·廣東東莞·階