海南省北師大萬寧附中2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題

PAGEPAGE13海南省北師大萬寧附中2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（考試時間120分鐘滿分150分）一、單項選擇題（共8題，每題5分，共40分）1．已知，，則（）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)Z滿意，則（）A． B． C． D．23．已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實數(shù)（）A． B．1 C．或 D．4．命題“”是命題“直線和直線平行”的（）.A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件5．已知，，且，則向量與的夾角為（）A． B． C． D．6．若圓與圓有三條公切線，則的值為（）A．2 B． C．4 D．67．若直線過圓的圓心，則的最小值是（）A．10 B．16 C． D．208．設(shè)函數(shù)的定義域為R，滿意，且當(dāng)時，.若對隨意，都有，則m的取值范圍是（）A．B．C． D．二、多項選擇題（共4題，每題5分，共20分）9．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)的對稱中心為C．函數(shù)的定義域為D．函數(shù)是奇函數(shù)10．從甲袋中摸出一個紅球的概率是，從乙袋中摸出一個紅球的概率是，從兩袋各摸出一個球，下列結(jié)論正確的是（）A．2個球都是紅球的概率為 B．2個球不都是紅球的概率為至少有1個紅球的概率為 D．2個球中恰有1個紅球的概率為11．已知直線和，若直線到直線的距離與到直線的距離之比為，則直線的方程為（）A．B．C． D．12．已知正四棱柱的底面邊長為，，則（）A．平面B．異面直線與所成角的余弦值為C．平面D．點到平面的距離為填空題（共4題，每題5分，共20分）13．已知函數(shù)f(x)=，則的值為.14．若點為圓的弦的中點，則弦所在直線方程為.15．已知，則.16．已知圓，若圓與圓關(guān)于直線對稱，且與直線交于、兩點，則的取值范圍是．解答題（共6題，17題10分，18—22題每題12分，共70分）17．（10分）已知兩圓和．（1）求圓和公共弦的長度；（2）求經(jīng)過原點以及圓和圓交點的圓的方程．18．（12分）某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場銷售價與上市時間的關(guān)系用圖（1）的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關(guān)系用圖（2）的拋物線段表示.（1）寫出圖（1）表示的市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系式；寫出圖（2）表示的種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系式；（2）認(rèn)定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿收益最大？（注：市場售價和種植成本的單位：元/100kg，時間單位：天.）19．（12分）如圖，在多邊形中（圖1）．四邊形為長方形，為正三角形，，，現(xiàn)以為折痕將折起，使點在平面內(nèi)的射影恰好是的中點（圖2）．（1）證明：平面；（2）若點在線段上，且，求二面角的余弦值．20．（12分）在①；②這兩個條件中任選一個作為已知條件，補充到下面的橫線上并作答.的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知______.（1）求角；（2）若，，求的面積.21．（12分）為了解某市家庭用電量的狀況，該市統(tǒng)計部門隨機(jī)調(diào)查了200戶居民去年一年的月均用電量（單位：），并將得到數(shù)據(jù)按如下方式分為9組：，，…，，繪制得到如下的頻率分布直方圖：（1）試估計抽查樣本中用電量在的用戶數(shù)量；（2）為了既滿意居民的基本用電需求，又提高能源的利用效率，市政府安排采納階梯電價，使的居民繳費在第一檔，的居民繳費在其次檔，其余的居民繳費在第三檔，試基于統(tǒng)計數(shù)據(jù)確定其次檔月均用電量的范圍（計算百分位數(shù)時，結(jié)果四舍五入取整數(shù)，范圍用左開右閉區(qū)間表示）（3）為了解用戶的詳細(xì)用電需求，統(tǒng)計部門確定在樣本中月均用電量為和的兩組居民用戶中隨機(jī)抽取兩戶進(jìn)行走訪，求走訪對象來自不同分組的概率.22．（12分）已知圓心在軸的正半軸上，且半徑為2的圓被直線截得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）若圓內(nèi)有動弦過定點，為坐標(biāo)原點，試求面積的最大值，并寫出此時動弦所在的直線的方程.2024-2025學(xué)年度高二數(shù)學(xué)期中考試卷參考答案單選題12345678DBDADCBB二、多選題9101112ABDACDBDACD三、填空題13．14．15．16．四、解答題17．(10分)已知兩圓和．（1）求圓和公共弦的長度；（2）求經(jīng)過原點以及圓和圓交點的圓的方程．【解析】（1）將兩圓方程相減，得公共弦所在直線方程為．……1分將代入圓得，有，．……3分∴或，交點坐標(biāo)為和．…4分∴兩圓的公共弦長為．……5分（2）設(shè)經(jīng)過原點以及圓和圓交點的圓的方程為，圓和圓交點坐標(biāo)為和∴，……7分得，……9分∴……10分18．(12分)某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場銷售價與上市時間的關(guān)系用圖（1）的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關(guān)系用圖（2）的拋物線段表示.（1）寫出圖（1）表示的市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系式；寫出圖（2）表示的種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系式；（2）認(rèn)定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿收益最大？（注：市場售價和種植成本的單位：元/100kg，時間單位：天）.【解析】（1）由圖（1）可得市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系為……3分由圖（2）可得種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系為……5分（2）設(shè)時刻的純收益為，則即……7分當(dāng)時，配方得到當(dāng)時，取得區(qū)間上的最大值為；……………9分當(dāng)時，配方整理得到：當(dāng)時，取得區(qū)間上的最大值為…………11分綜上所述，在區(qū)間上的最大值為，此時……………12分即從月日起先的第天時，上市的西紅柿純收益最大.19．(12分)如圖，在多邊形中（圖1）．四邊形為長方形，為正三角形，，，現(xiàn)以為折痕將折起，使點在平面內(nèi)的射影恰好是的中點（圖2）．（1）證明：平面：（2）若點在線段上，且，求二面角的余弦值．【解析】（1）作的中點，連接，由題知平面．……1分因為，所以，……2分又因為，，……4分所以平面．……5分（2）取的中點，連接，則，，，以為坐標(biāo)原點，以，，分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．……6分則，，，，，……8分設(shè)平面的一個法向量為則有，令，所以……10分易知平面的一個法向量為所以，……11分所以二面角的余弦值為．……12分20．(12分)在①；②這兩個條件中任選一個作為已知條件，補充到下面的橫線上并作答.的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知______.（1）求角；（2）若，，求的面積.【解析】（1）選擇條件①：，由正弦定理可得，……1分，，……2分，即，所以，，……4分，則，……5分，解得；……6分選擇條件②：，由正弦定理得，……1分，…………2分上式可化簡為，……3分，，……5分，；……6分（2）由余弦定理，可得，……8分又由，則，……10分，……11分因此，的面積為.……12分21．(12分)為了解某市家庭用電量的狀況，該市統(tǒng)計部門隨機(jī)調(diào)查了200戶居民去年一年的月均用電量（單位：），并將得到數(shù)據(jù)按如下方式分為9組：，，…，，繪制得到如下的頻率分布直方圖：（1）試估計抽查樣本中用電量在的用戶數(shù)量；（2）為了既滿意居民的基本用電需求，又提高能源的利用效率，市政府安排采納階梯電價，使的居民繳費在第一檔，的居民繳費在其次檔，其余的居民繳費在第三檔，試基于統(tǒng)計數(shù)據(jù)確定其次檔月均用電量的范圍（計算百分位數(shù)時，結(jié)果四舍五入取整數(shù)，范圍用左開右閉區(qū)間表示）（3）為了解用戶的詳細(xì)用電需求，統(tǒng)計部門確定在樣本中月均用電量為和的兩組居民用戶中隨機(jī)抽取兩戶進(jìn)行走訪，求走訪對象來自不同分組的概率.【解析】（1）由直方圖可得，樣本落在，，，的頻率分別為0.02，0.15，0.27，0.23，落在，，，的頻率分別為0.09，0.06，0.04，0.01.……2分因此，樣本落在的頻率為…3分樣本中用電量在的用戶數(shù)為.…………4分（2）因為，，為了使的居民繳費在第一檔，只需對應(yīng)的用電量位于內(nèi)，于是，……6分又，所以對應(yīng)的用電量為280.…………7分所以其次檔的范圍可確定為.……………8分（3）由題可知，樣本中用電量在的用戶有4戶，設(shè)編號分別為1，2，3，4；在的用戶有2戶，設(shè)編號分別為，，則從6戶中任取2戶的樣本空間為：，共有15個樣本點.…………10分設(shè)事務(wù)“走訪對象來自不同分組”，則，……11分所以，從而.……12分22．(12分)已知圓心在軸的正半軸上，且半徑為2的圓被直線截得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）若圓內(nèi)有動弦過定點，為坐標(biāo)原點，試求面積的最大值，并寫出此時動弦所在的直線的方程【解析】（1）由題意，設(shè)圓的方程為，……1分則圓心到直線的距離為，……2分由圓的性質(zhì)可得，弦長一半的