廣東專升本數(shù)學（一元函數(shù)微分學）模擬試卷1（共213題）

廣東專升本數(shù)學（一元函數(shù)微分學）模擬試卷1（共9套）（共213題）廣東專升本數(shù)學（一元函數(shù)微分學）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共24題，每題1.0分，共24分。)1、函數(shù)y=(2/3)x-的駐點和極值點的個數(shù)分別是()A、1個駐點，2個極值點B、2個駐點，1個極值點C、1個駐點，1個極值點D、2個駐點，2個極值點標準答案：A知識點解析：y=(2/3)x-，x∈R，y’=(2/3)(1-)，令y’=0，得駐點x=1，且y在x=0處不可導。當x＜0時，y’＞0，當0＜x＜1時，y’＜0，當x＞1時，y’＞0，所以x=0和x=1是函數(shù)的極值點。因此y=(2/3)x-有1個駐點，2個極值點。2、設函數(shù)y=f(x)的導數(shù)y’=f’(x)的圖形如圖2-1所示，則下列結論正確的是()。A、x=-1是f(x)的駐點，但不是極值點B、x=-1為f(x)的極大值點C、x=0是f(x)的極小值點D、x=-1為f(x)的極小值點標準答案：D知識點解析：從圖形上可知，f’(-1)=0，因而x=-1為f(x)的駐點。當x＜-1時，f’(x)＜0；當x＞-1時，f’(x)＞0。所以x=-1是y=f(x)的極小值點，故選D。3、設函數(shù)f(x)滿足關系式f”(x)+[f’(x)]2=-2，且f’(0)=0，則()A、f(0)是f(x)的極大值B、f(0)是f(x)的極小值C、點(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點D、f(0)不是f(x)的極值，點(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點標準答案：A知識點解析：由f’(0)=0及f”(x)4+[f’(x)]2=-2知f(0)=-2＜0，所以x=0是f(x)的極大值點，且(0，f(0))不是f(x)的拐點。4、設函數(shù)f(x)在點x0的某個鄰域內可導，且f(x0)為f(x)的一個極大值，則[(x0+8h)-f(x0)]/4h()A、-2B、0C、1D、2標準答案：B知識點解析：因為f(x)在點x0處可導且取得極大值，于是f’(x0)=0，故5、設兩個函數(shù)f(x)及g(x)都在點x=a處取得極大值，則函數(shù)F(x)=f(x)g(x)在點x=a處()A、必取極大值B、必取極小值C、不可能取極值D、是否取極值不能確定標準答案：D知識點解析：A、B項反例：f(x)=1-x2和g(x)=-1/(1-x2)都在點x=0處取得極大值，但f(x)·g(x)=-1在點x=0處不取極值；C項反例：f(x)=-x2和g(x)=-x4都在點x=0處取得極大值，但f(x)g(x)=x6在點x=0處取極小值。針對不同情形，F(xiàn)(x)在點x=a處是否取極佰不能確定，故選D。6、設x=x0為y=f(x)的駐點，則y=f(x)在x0處不一定()A、連續(xù)B、可導C、取得極值D、有平行于x軸的切線標準答案：C知識點解析：駐點是導數(shù)為零的點，所以A、B項一定成立，由導數(shù)的幾何意義可知D項成立。駐點不一定是極值點，故選C。7、若x=x0為函數(shù)y=f(x)的極大值點，則下列結論正確的是()A、f(x0)比任何點的函數(shù)值都大B、不可能存在比f(x0)大的極小值C、x0也可能是區(qū)間的端點D、以上說法都不對標準答案：D知識點解析：由題意可知在x0的某個去心鄰域內，有f(x)＜f(x0)．極值是局部概念，可能存在比f(x0)大的極小值。但極值點不可能在區(qū)間端點取到，故選D。8、設f(x)在[0，a]上有一階連續(xù)導數(shù)，且xf’(x)-f(x)＜0，則f(x)/x在區(qū)間(0，a)內()A、單調遞減B、單調遞增C、有增有減D、不增不減標準答案：A知識點解析：在區(qū)間(0，a)內，(f(x)/x)’=[xf’(x)-f(x)]/x2＜0，故f(x)/x在區(qū)間(0，a)內單調遞減。9、設y=f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內可導，若存在唯一點x0∈(a，b)，使f’(x0)=0，且在x0左右兩側f’(x)異號，則點x=x0必為f(x)的()A、極值點且為最值點B、極值點但不是最值點C、最值點但非極值點D、以上都不對標準答案：A知識點解析：根據(jù)題意知，x=x0為極值點，又f(x)在(a，b)內可導，且存在唯一極值點，所以x0也為f(x)的最值點。10、設f(x)為偶函數(shù)，且二階可導，f″(0)≠0，則下列結論正確的是()A、x=0不是f(x)的駐點B、x=0不是f(x)的極值點C、x=0是f(x)的極值點D、(0，f(0))是f(x)的拐點標準答案：C知識點解析：由于f(x)為偶函數(shù)，因此有f(x)=f(-x)，則f’(x)=-f’(-x)，f’(0)=-f’(0)，得f’(0)=0。故x=0為f(x)的駐點，又f(0)≠0，所以x=0是f(x)的極值點，且(0，f(0))不是f(x)的拐點。11、設f(x)在(-∞，+∞)內可導，且對任意的x1，x2，當x1＞x1時，都有f(x1)＞f(x2)，則()A、對任意的x，f’(x)＞0B、對任意的x，f’(-x)≤0C、函數(shù)f(-x)單調遞增D、函數(shù)-f(-x)單調遞增標準答案：D知識點解析：取f(x)=x3，有f’(x)=3x2，f’(0)=0，f’(-x)=3x2≥0，f(-x)=-x3單調遞減，排除A，B，C，故選D。D項證明如下：令F(x)=-f(-x)，當xi＞x2，則-x1＜-x2，f(-x1)＜f(-x2)。所以F(x1)=-f(-xi)＞-f(-x2)=F(x2)，故-f(-x)單調遞增。12、函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c，其中a，b，c為實數(shù)，當a2-3b＜0時，f(x)是()A、增函數(shù)B、減函數(shù)C、常數(shù)函數(shù)D、單調性與a、b取值有關的函數(shù)標準答案：A知識點解析：f(x)=x3+ax2+bx+c，x∈R，f’(x)=3x2+2ax+b。當a2-3b＜0時，對于f’(x)=0，由判別式△=4(a2-3b)＜0，可知該方程無解，因此f’(x)＞0恒成立，所以f(x)為增函數(shù)。13、已知f(x)在x=0的某鄰域內連續(xù)，且f(0)=0，f(x)/(1-cosx)=1，則f(x)在點x=0處()A、不可導B、可導且f’(0)≠0C、取得極大值D、取得極小值標準答案：D知識點解析：因為[f(x)/(1-cosx)]＞0，在點x=0的某個去心鄰域內有1-cosx＞0，則f(x)＞0=f(0)，所以f(x)在點x=0處取極小值，故選D。14、設函數(shù)y=f(x)具有二階導數(shù)，且f’(x)＜0，f”(x)＜0，又△y=f(x+△x)-f(x)，dy=f″(x)△x，則當△x＞0時，有()A、△y＞dy＞0B、△y＜dy＜0C、dy＞△y＞0D、dy＜△y＜0標準答案：B知識點解析：由于f’(x)＜0，△x＞0，可知dy=f’(x)Ax＜0。因此應排除A、C項。由于f”(x)＜0，f’(x)＜0，因此曲線弧f(x)單調下降且為凸的，由曲線弧f(x)的圖形可知△y＜dy，故選B。15、曲線y=x3-6x2+3x+4的拐點為()A、(2，-6)B、(-2，-34)C、(2，6)D、(1，2)標準答案：A知識點解析：y’=3x2-12x+3，y”=6x-12，令y”=0，得x=2，此時y=-6。當x＞2時，y”＞0；當x＜2時，y”＜0，故曲線的拐點為(2，-6)。16、曲線y=ex/(1+x)()A、有一個拐點B、有兩個拐點C、有三個拐點D、無拐點標準答案：D知識點解析：函數(shù)y的定義域為x≠-1。因為y’=xe/(1+x)2，y”=[ex(1+x2)]/(1+x)3，所以y”在定義域內恒不等于0，且無二階不可導點，所以曲線無拐點。17、曲線y=(x+3)5+3的凸區(qū)間為()A、(-∞，-3)B、(-3，+∞)C、(-∞，3)D、(3，+∞)標準答案：A知識點解析：y’=5(x+3)4，y”=20(x+3)3，令y”＜0，得x＜-3，所以曲線的凸區(qū)間為(-∞，-3)，故選A。18、曲線y=(2-x)-1/3在(2，+∞)內()A、單調遞增且為凸的B、單調遞增且為凹的C、單調遞減且為凸的D、單調遞減且為凹的標準答案：A知識點解析：y’=(1/3)(2-x)-4/3，y”=(4/9)(2-x)-7/3，在(2，+∞)上，y’＞0，y”＜0，故曲線在(2，+∞)內是單調遞增且為凸的。19、函數(shù)y=2+cos(x/2)在區(qū)間(π，2π)內的圖形是()A、凹的B、凸的C、既有凹的又有凸的D、直線標準答案：A知識點解析：y=2+cos(x/2)，y’=(-1/2)sin(x/2)，y”=(-1/4)cos(x/2)，當x∈(π，2π)時，y”＞0，從而函數(shù)y的圖形在(π，2π)內為凹的。故選A。20、若曲線f(x)在(a，b)內任意一點的切線總位于曲線弧上方，則該曲線在(a，b)內是()A、凹的B、凸的C、單調上升D、單調下降標準答案：B知識點解析：由凹凸性的定義可知答案選B。21、若點(0，1)是曲線y=ax3+bx2+c的拐點，則有()A、a=1，b=-3，c=1B、a≠0，b=0，c=1C、a=1，b=0，c為任意實數(shù)D、a、b為任意實數(shù)，c=1標準答案：B知識點解析：因為(0，1)在曲線上，所以c=1；又y’=3ax2+2bx，y”=6ax+2b，(0，1)為拐點，所以y”(0)=2b=0，得b=0；當a=0時，y=c=1無拐點，所以a≠0，故選B。22、曲線y=1+[ln(1+x)/(x+1)]()A、有水平漸近線，無垂直漸近線B、無水平漸近線，有垂直漸近線C、既有水平漸近線，又有垂直漸近線D、既無水平漸近線，也無垂直漸近線標準答案：C知識點解析：對于y=1+[ln(1+x)/(x+1)]，因為[1+ln(1+x)/(x+1)]=1+/(1+x)=1，故曲線有水平漸近線y=1；又[1+ln(1+x)/(x+1)]=-∞，故曲線有垂直漸近線x=-1。23、曲線y=xsin(1/x)()A、僅有水平漸近線B、僅有垂直漸近線C、既有水平漸近線，又有垂直漸近線D、既無水平漸近線，又無垂直漸近線標準答案：A知識點解析：由于xsin(1/x)=[sin(1/x)/(1/x)]=1，xsin(1/x)=0，因此曲線y=xsin(1/x)只有水平漸近線。24、曲線y=[(x+xsinx)/(x2-1)]的水平漸近線是()A、y=2B、y=-2C、y=1D、y=-1標準答案：D知識點解析：[(x+xsinx)/(x2-1)]=[(1/x+sinx/x)/(1-1/x2)-1]=-1，所以曲線的水平漸近線為y=-1。廣東專升本數(shù)學（一元函數(shù)微分學）模擬試卷第2套一、證明題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)1、設函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內可導，且f(a)=f(b)。證明：若f(x)不恒為常數(shù)，則至少存在一點ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)＞0。標準答案：因為f(a)=f(b)，且f’(x)不恒為常數(shù)，所以至少存在一點x0∈(a，b)，使f(x0)≠f(a)，則f(x0)＞f(a)或f(x0)＜f(a)。不妨設f(x0)＜f(a)，則對函數(shù)f(x)在[a，b]上應用拉格朗日中值定理，得至少存在ξ∈(x0，b)(a，b)，使得f’(ξ)=[f(b)-f(x0)]/(b-x0)=[f(a)-f(x0)/(b-x0)]＞0。同理可證對于f(x0)＞f(a)的情形結論也成立。知識點解析：暫無解析2、設f(x)在[a，b]上有連續(xù)，在(a，b)內可導，b-a≥4，求證：存在一點ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)＜1+f2(＜)。標準答案：設F(x)=arctanf(x)，根據(jù)條件b-a≥4可知b-a＞π，且arctanf(b)-arctanf(a)≤｜arctanf(b)｜+｜arctanf(a)｜＜π，對函數(shù)arctanf(x)在區(qū)間[a，b]上應用拉格朗日中值定理，知存在ξ∈(a，b)，使得[arctanf(x)]’｜x=ξ=f’(ξ)/[1+f2(ξ)]=[arctanf(b)-arctanf(a)]/(b-a)＜1。故存在一點ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)＜1+f2(ξ)。知識點解析：暫無解析3、設f(x)二階可導，且f(x)/x=1，又f(1)=1，證明：存在ξ∈(0，1)，使得f″(ξ)=0。標準答案：由f(x)二階可導，[f(x)/x]=1得f(0)=0，f’(0)=1，故由拉格朗日中值定理得存在c∈(0，1)，使得f’(c)=[f(1)-f(0)]/(1-0)=1，又f’(0)=f’(c)=1，所以由羅爾中值定理得存在ξ∈(0，c)(0，1)，使得f(ξ)=0。知識點解析：暫無解析4、已知F(x)=arctanx-arcsin，x∈(-∞，+∞)，證明：F(x)=0恒成立。標準答案：則f(x)在[0，+∞)上單調遞增，故當x＞0時，f(x)＞f(0)=0，即(1+x)ln(1+x)＞arctanx。知識點解析：暫無解析5、證明：當x＞1時，2＞3-1/x。標準答案：知識點解析：暫無解析6、證明：當x＞0時，(1+x)ln(1+x)＞arctanx。標準答案：令f(x)=(1+x)ln(1+x)-arctanx，則f(x)在[0，+∞]上連續(xù)，且x＞0時，f’(x)=ln(1+x)+1-1/(1+x2)=ln(1+x)+x2/(1+x2)＞0，則f(x)在[0，+∞]上單調遞增，故當x＞0時，f(x)＞f(0)=0，即(1+x)ln(1+x)＞arctanx。知識點解析：暫無解析7、設f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，f(0)=0，f″(x)在(0，+∞)內恒大于零，證明g(x)=f(x)/x在(0，+∞)內單調遞增。標準答案：g’(x)=[f’(x)-f(x)]/x2，令φ(x)=f’(x)x-f(x)，因為φ’(x)=f″(x)x+f’(x)-f’(x)=f″(x)x＞0(x＞0)，所以x＞0時φ(x)單調遞增，即φ(x)＞φ(0)=0，所以g’(x)＞0，故當x＞0時，g(x)在(0，+∞)內單調遞增。知識點解析：暫無解析8、證明：當0＜x＜π/2時，sinx+tanx＞2x。標準答案：設f(x)=sinx+tanx-2x，則f(x)在[0，π/2)上連續(xù)，f’(x)=cosx+sec2x-2，f″(x)=sinx+2sec2xtanx=sinx(2sec3x-1)＞0x∈(0，π/2)，因此f’(x)在(0，π/2)內單調遞增，故f’(x)＞f’(0)=0，因此f(x)在(0，π/2)內單調遞增，故f(x)＞f(0)=0，即sinx+tanx＞2x，x∈(0，π/2)。知識點解析：暫無解析9、已知函數(shù)f(x)=(alnx-xlna)/x，x∈(e，+∞)，證明：當a＞b＞e時，ab＜ba。標準答案：f’(x)=[(a/x-lna)x-(alnx-xlna)]/x2=[a(1-lnx)]/x2。因為x＞e，所以1-lnx＜0，且由題意知a＞0，故f’(x)＜0，故f(x)在(e，+∞)內單調遞減，又e＜b＜a，則f(a)＜f(b)。而f(a)=0，則f(b)＞0，即alnb-blna＞0。即alnb＞blna，故ab＜ba。知識點解析：暫無解析10、當x＞0時，證明：。標準答案：知識點解析：暫無解析11、當0＜x＜π時，證明sinx/2＞x/π。標準答案：令F(x)=sin(x/2)-x/π，則F(0)=F(π)=0。而F’(0)=1/2-1/π＞0，F(xiàn)’(π)=-1/π＜0，判斷不出F’(x)的正負。注意到F″(x)＜0，則F(x)在0＜x＜π時是凸的。由于F(0)=F(π)-0，故F(x)＞0，即sin(x/2)＞x/π，得證。知識點解析：暫無解析12、當x＞0時，證明：x-x/2＜ln(1+x)＜x。標準答案：令f(x)=ln(1+x)-x+x2/2，則f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，f’(x)=1/(1+x)-1+x=x2/(1+x)，x＞0時，f’(x)＞0，f(x)為增函數(shù)，f(x)＞f(0)=0。所以x＞0時，ln(1+x)＞x-x2/2。令g(x)=x-ln(1+x)，則g(x)在[0，+∞)上連續(xù)，g’(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)。x＞0時，g’(x＞0，g(x)為增函數(shù)，g(x)＞g(0)=0，所以x＞0時，x＞ln(1+x)。綜上所述，當x＞0時，x-x2/2知識點解析：暫無解析13、證明：方程x3-3x+1=0有且僅有三個實根。標準答案：令f(x)=x3-3x+1，則f’(x)=3(x+1)(x-1)。當-1＜x＜1時，f’(x)＜0，f(x)單調遞減；當x＞1或x＜-1時，f’(x)＞0，f(x)單調遞增。因為f(-2)=-1＜0，f(-1)=3＞0，f(1)=1＜0，f(2)=3＞0，所以由零點定理及f(x)的單調性知，在(-2，-1)，(-1，1)及(1，2)內，函數(shù)f(x)各只存在一個零點。故方程x3-3x+1=0有且僅有三個實根。知識點解析：暫無解析14、證明：方程5x+arctanx+4sinx-1=0在區(qū)間(0，1)內有唯一實根。標準答案：設f(x)=5x+arctanx+4sinx-1，則f(x)在[0，1]上連續(xù)，f(0)=-1＜0，f(1)=4+4sin1+arctan1＞0，即f(0)·f(1)＜0，所以由零點定理可知，存在一點ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=0。又f’(x)=5+1/(1+x2)+4cosx＞0，則f(x)是單凋遞增的，故存在唯一的ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=0，即方程5x+arctanx+4sinx-1=0在區(qū)間(0，1)內有唯一實根。知識點解析：暫無解析15、證明：方程lnx-x/e+1/2=0在(0，+∞)內有且僅有兩個實根。標準答案：令f(x)=lnx-x/e+1/2，f(x)=-∞，f(e2)=5/2-e＜0，而f(e)=1/2>＞0，所以f(x)在(0，e)內至少有一個零點，在(e，e2)內至少有一個零點。又f’(x)=1/x-1/e，令f’(x)=0，得x=e。當0＜x＜e時，f’(x)＞0，f(x)單調增加；當x＞e時，f’(x)＜0，f(x)單調減少。所以f(x)在(0，e)，(e，e2)內各僅有一個零點，綜上可知方程lnx-x/e+1/2=0在(0，+∞)內有且僅有兩個實根。知識點解析：暫無解析16、證明：當x＞0時，arctanx+1/x＞π/2。標準答案：令f(x)=arctanx+1/x，則f(x)在(0，+∞)內連續(xù)，且f’(x)=1/(1+x2)-1/x2，所以f(x)在(0，+∞)內單調遞減，又因為[*]91f(x)=π/2，所以f(x)＞π/2，即arctanx+1/x＞π/2。知識點解析：暫無解析二、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)17、已知曲線y=1/x2+2x2，則曲線在點(1，3)處的切線與x軸的交點坐標為()A、(-1/2，0)B、(1，3)C、(1，0)D、(0，0)標準答案：A知識點解析：y’=-2/x3+4x，y’(1)=2，所以曲線在點(1，3)處的切線方程為y-3=2(x-1)，即y=2x+1，令y=0，得x=-1/2，所以曲線在點(1，3)處的切線與x軸的交點坐標為(-1/2，0)。18、若函數(shù)y=f(x)滿足f’(x0)=1/6，則當△x→0時，該函數(shù)在點x=x0處的微分dy是()A、與△x等價的無窮小B、與△x同階非等價的無窮小C、與△x低價的無窮小D、比△x高階的無窮小標準答案：B知識點解析：按照微分定義可知在點x=x0處，dy=f’(x0)dx=f’(x0)△x=(1/6)△x，當△x→0時，dy與△x為同階非等價的無窮小，故選B。三、填空題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)19、設y=ecos2x，則y’=__________。標準答案：-2sin2xecos2xB21知識點解析：y’=ecos2x(cos2x)’=ecos2x(-sin2x)·(2x)’=-2sin2xecos2x。20、設函數(shù)y=y(x)是由方程ln(x2+y)=x3y+sinx確定的函數(shù)，則dy/dx｜x=0=__________。標準答案：1知識點解析：把x=0代入方程ln(x2+y)=x3y+sinx，得lny=0，則y=1。方程兩邊關于x求導，得1/(x2+y)(2x+dy/dx)=3x2y+x3(dy/dx)+cosx，把x=0，y=1代入上式，得(dy/dx)｜x=0=1。四、解答題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)21、a，b為何值時，函數(shù)f(x)=在x=1處可導?標準答案：欲使f(x)在x=1處可導，首先應使f(x)在x=1處連續(xù)．因為f(1)=1，且故當a=-1，b=2時，f(x)在x=1處可導。知識點解析：暫無解析22、設函數(shù)x=x(y)由方程x=cos(xy)確定，求dx/dy。標準答案：方程兩邊同時微分，可得dx=-[sin(xy)]·d(xy)=-[sin(xy)]·(ydx+xdy)，整理后得xsin(xy)dy=[-1-ysin(xy)]dx，從而(dx/dy)=-[xsin(xy)/(1+ysin(xy))]。知識點解析：暫無解析廣東專升本數(shù)學（一元函數(shù)微分學）模擬試卷第3套一、填空題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)1、曲線y=2lnx+x2+5的凸區(qū)間是__________。標準答案：(0，1)知識點解析：函數(shù)y的定義域為(0，+∞)，y’=2/x+2x，y”=-2/x2+2=2(x2-1)/x2，當y”＜0時，0＜x＜1，所以曲線y的凸區(qū)間為(0，1)。2、已知點(1，1)是曲線y=x2+alnx的拐點，則a=__________。標準答案：2知識點解析：函數(shù)y的定義域為(0，+∞)，由y=x2+alnx得y2=2x+a/x，y”=2-a/x2。由于點(1，1)是曲線的拐點，且函數(shù)在定義域內二階可導，因此y”｜t=0=2-a=0，解得a=2。3、設f(x)=ax3-6ax2+b在區(qū)間[-1，2]上的最大值為2，最小值為-30，又知a＞0，則a=__________，b=__________。標準答案：2，2知識點解析：f(x)=3ax2-12ax，令f’(x)=0，則x=0或x=4，而x=4不在[-1，2]上，故舍去。f(-1)=-a-6a+6=b-7a，f(0)=b，f(2)=8a-24a+b=b-16a，因為a＞0，故當x=0時，f(x)最大，即b=2；當x=2時，f(x)最小，所以b-16a=-30，即16a=2+30=32，故a=2。4、設曲線y=x3+ax2-6x+1的拐點橫坐標為x=1，則其拐點是__________。標準答案：(1，-7)知識點解析：函數(shù)的定義域為(-∞，+∞)，y’=3x2+2ax-6，y”=6x+2a，由于曲線拐點橫坐標為x=1，因此y”｜x=1=6+2a=0，解得a=-3。此時y”=6x-6。當x＜1時，y″＜0；當x＞1時，y”＞0。且當x=1時，y=-7，因此點(1，-7)是曲線的拐點。已知函數(shù)y=f(x)在(-∞，+∞)上具有二階連續(xù)的導數(shù)，且其一階導函數(shù)f’(x)的圖形如圖2-2所示，則5、函數(shù)f(x)的駐點是__________。標準答案：x=-2，x=0，x=2知識點解析：由圖形可知f’(-2)=f’(0)=f’(2)=0，所以駐點為x=-2，x=0，x=2。6、f(x)的單調遞增區(qū)間為__________．標準答案：(-∞，-2)，(2，+∞)知識點解析：因為在(-∞，-2)，(2，+∞)內f’(x)＞0，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為(-∞，-2)，(2，+∞)。7、f(x)的極大值點為__________。標準答案：x=2知識點解析：因為x＜-2時f’(x)＞0；-2＜x＜0時f’(x)＜0，所以函數(shù)的極大值點是x=-2。8、f(x)的極小值點為__________。標準答案：x=2知識點解析：因為0＜x＜2時，f(x)＜0；x＞2時f’(x)＞0，所以函數(shù)的極小值點是x=2。9、曲線y=f(x)的凸區(qū)間為__________。標準答案：(5)(-∞，-1)，(0，1)知識點解析：由于f(x)具有二階連續(xù)的導數(shù)，且f’(x)在(-∞，-1)，(0，1)內是單調遞減的，所以在(-∞，-1)，(0，1)內f″(x)＜0，所以曲線的凸區(qū)間為(-∞，-1)，(0，1)。10、曲線y=f(x)的凹區(qū)間為__________。標準答案：(6)(-1，0)，(1，+∞)知識點解析：由于f(x)具有二階連續(xù)的導數(shù)，且f’(x)在(-1，0)，(1，+∞)內是單調遞增的，所以在(-1，0)，(1，+∞)內f″(x)＞0，所以曲線的凹區(qū)間為(-1，0)，(1，+∞)。11、曲線y=(2x2-5)/(x-9)的垂直漸近線為__________。標準答案：x=9知識點解析：[(2x2-5)/(x-9)]=∞，故x=9為曲線的垂直漸近線。12、設曲線y=(x3+2x+3)/(1-2x3)，則該曲線的水平漸近線為__________。標準答案：y=-1/2知識點解析：y=[(x3+2x+3)/(1-2x3)]，故曲線的水平漸近線為y=-1/2。二、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)用洛必達法則求下列極限：13、(x2-4x+4)/(x3-3x2+4)標準答案：[(x2-4x+4)/(x3-3x2+4)]=[(2x-4)/(3x2-6x)]=[2/(6x-6)]=1/3；知識點解析：暫無解析14、(ex-1)/(x2-x)標準答案：(ex-1)/(x2-x)=[ex/(2x-1)]=-1；知識點解析：暫無解析15、[1/x-(1/x2)ln(1+x)]標準答案：[1/x-(1/x)ln(1+x)]=[x-ln(1+x)]/x2=[1-1/(1+x)]/2x=[1/2(1+x)]=1/2；知識點解析：暫無解析16、[x/(x-1)-1/lnx]標準答案：[x/(x-1)-1/lnx]=[xlnx-x+1]/[(x-1)lnx]=[(lnx+1-1)/(lnx+1-1/x)]=[(1/x)/(1/x+1/x2)]=1/2；知識點解析：暫無解析17、標準答案：知識點解析：暫無解析18、[ln(ex+x)/x]標準答案：[ln(ex+x)/x]=[(ex+1)/(ex+x)]=[ex/(ex+1)]=ex/ex=1；知識點解析：暫無解析19、xcot2x標準答案：xcot2x=(x/tan2x)=(1/2sec22x)=1/2；知識點解析：暫無解析20、標準答案：知識點解析：暫無解析21、標準答案：知識點解析：暫無解析22、標準答案：知識點解析：暫無解析23、(lnx)1/lnx標準答案：知識點解析：暫無解析24、[(π/2-x)tanx]標準答案：知識點解析：暫無解析25、[(xcotx-1)/x2]標準答案：知識點解析：暫無解析26、標準答案：知識點解析：暫無解析27、(x+ex)1/x標準答案：知識點解析：暫無解析廣東專升本數(shù)學（一元函數(shù)微分學）模擬試卷第4套一、解答題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)1、設函數(shù)y=y(x)由方程sin(x2+y2)+ex-xy2=0所確定，求dy/dx。標準答案：對方程兩端關于x求導，得cos(x2+y2)·(2x+2y·(dy/dx))+ex-y2-x·2y·(dy/dx)=0。整理得dy/dx=[y2-ex-2xcos(x2+y2)]/[2ycos(x2+y2)-2xy]。知識點解析：暫無解析2、設s=s(t)是由方程sin(ts)+ln(s-t)=t確定的函數(shù)，求(ds/dt)｜t=0。標準答案：sin(ts)+ln(s-t)=t兩邊對t求導，得cos(ts)·(s+f·ds/dt)+[1/(s-t)]·(ds/dt-1)=1。而當t=0時，s=1，代入上式得(ds/dt)｜t=0=1。知識點解析：暫無解析3、已知由方程x2+xy+y2=4所確定的隱函數(shù)為y=y(x)，求dy/dx與d2y/dx2。標準答案：方程兩端對x求導，得2x+y+x(dy/dx)+2y(dy/dx)=0，解得dy/dx=-(2x+y)/(x+2y)，從而d2y/dx2=[(2+dy/dx)(x+2y)-(2x+y)(1+2(dy/dx))]/(x+2y)2=-[6(x2+xy+y2)]/(x+2y)3=-24/(x+2y)3。知識點解析：暫無解析4、設y=xx+xa+ax+aa(x＞0，a＞0且a≠1)，求dy/dx。標準答案：由于(xx)’=(exlnx)’=exlnx(xlnx)’=exlnx(1+lnx)=(1+lnx)xx，(xa)’=axa-1，(ax)’=axlna，(aa)’=0，故dy/dx=(1+lnx)xx+axa-1+axlna。知識點解析：暫無解析5、求函數(shù)y=的導數(shù)。標準答案：知識點解析：暫無解析6、求冪指函數(shù)y=(lnx)x的導數(shù)。標準答案：b=(lnx)x兩端取對數(shù)得lny=xln(lnx)，上式兩端對x求導數(shù)得(1/y)y’=ln(lnx)+[x(1/lnx)]·(1/x)=ln(lnx)+1/lnx，于是y’=(lnx)x[ln(lnx)+1/lnx]。知識點解析：暫無解析7、設y=(1+x)1/cosx，求y’。標準答案：因為y=(1+x)1/cosx=e[ln(1+x)/cosx]，所以知識點解析：暫無解析8、已知y=，求y’。標準答案：等式兩邊取對數(shù)，得lny=2ln(x+2)+(1/2)ln(x-3)-3ln(1-x)-x，知識點解析：暫無解析9、設y=y(x)由所確定，求dy/dx。標準答案：知識點解析：暫無解析10、設y=y(x)由所確定，求dy/dx。標準答案：dx/dt=5t4，dy/dt=lnt+t·(1/t)=lnt+1，故dy/dx=(1+lnt)/5t4。知識點解析：暫無解析11、設y=y(x)由所確定，求dy/dx。標準答案：dx/dt=3cost,dy/dt=-2sintcostdy/dx=-2sintcost/3cost=(-2/3)sint。知識點解析：暫無解析12、設y=y(x)由方程所確定，求(dy/dx)｜x=1。標準答案：dx/dt=2et+2tet=2(t+1)et，dy/dt=3t2-3，dy/dx=(3t2-3)/[2(t+1)et]=3(t-1)/2et。當x=1時，t=0，所以(dy/dx)｜x=1=[3(t-1)/2et]｜t=0=-3/2。知識點解析：暫無解析13、設函數(shù)y=y(x)參數(shù)方程所確定，求d2y/dx2。標準答案：dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=(3t2+2t)/[1-1/(1+t)]=(t+1)(3t+2)=3t2+5t+2，d2y/dx2=[(d/dt)(dy/dx)]/(dx/dt)=(6t+5)/[1-1/(1+t)]=[(6t+5)(t+1)]/t。知識點解析：暫無解析14、求曲線在t=0的對應點處的切線方程和法線方程。標準答案：將t=0代入方程，得切點(2，1)。又dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=-e-t/2et=-1/2e2t，故曲線在t=0的對應點處的切線斜率k切=(-1/2e2t)｜t=0=-1/2，法線斜率k法=2，所以所求切線方程為y-1=(-1/2)(x-2)，即x+2y-4=0，法線方程y-1=2(x-2)，即2x-y-3=0。知識點解析：暫無解析15、求曲線y+2exy=2在點(0，0)處的切線方程。標準答案：曲線方程兩邊對x求導，得y’+2(y+xy’)exy=0，所以y’=-2yexy/(1+2xexy)，因為y’｜(0，0)=0，所以曲線在點(0，0)處的切線方程為y=0。知識點解析：暫無解析16、設y=cosx/(3+sinx)(0＜x＜π)，求其反函數(shù)x=φ(y)在y=0處的導數(shù)。標準答案：y’=[-sinx(3+sinx)-cos2x]/(3+sinx)2=[(-3sinx-1)/(3+sinx)2](0＜x＜π)，令y=0得x=π/2，y’(π/2)=-1/4，所以x=φ(y)在y=0處的導數(shù)為1/[y’(π/2)]=-4。知識點解析：暫無解析17、設函數(shù)f(x)=求f(x)的導數(shù)。標準答案：當x＞0時，f’(x)=cosx；當x＜0時，f’(x)=2x。當x=0時，f(0)在x=0處的導數(shù)不存在。所以f(x)在x=0處的導數(shù)不存在。知識點解析：暫無解析18、已知函數(shù)y=y(x)由方程ey=sin(x+y)確定，求dy。標準答案：將ey=sin(x+y)兩邊對x求導得ex·y’=cos(x+y)·(1+y’)，知識點解析：暫無解析19、設y=y(x)是由方程2y-x=(x-y)ln(x-y)確定的隱函數(shù)，求dy。標準答案：利用一階微分形式的不變性得2dy-dx=(dx-dy)ln(x-y)+(x-y)·[1/(x-y)](dx-dy)，所以[3+ln(x-y)]dy=[2+ln(x-y)]dx，因此dy=[(2+ln(x-y))/(3+ln(x-y))]dx。知識點解析：暫無解析求下列函數(shù)的微分：20、標準答案：知識點解析：暫無解析21、標準答案：知識點解析：暫無解析22、標準答案：知識點解析：暫無解析23、y=log2(1+x2)標準答案：dy=[1/(1+x2)ln2](1+x2)’dx=[2x/(1+x2)ln2]dx。知識點解析：暫無解析廣東專升本數(shù)學（一元函數(shù)微分學）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、曲線y=的垂直漸近線為()A、x=1B、y=0C、y=1D、x=0標準答案：D知識點解析：因為，所以x=0為曲線的垂直漸近線。2、曲線y=(1/x)+ln(1+ex)的水平和垂直漸近線的總條數(shù)為()A、0B、1C、2D、3標準答案：C知識點解析：因為y=[1/x+ln(1+ex)]=+∞，y=+ln[(1/x)+ln(1+ex)]=0，所以y=0是曲線的水平漸近線。因為y=[1/x+ln(1+ex)]=∞，所以x=0是曲線的垂直漸近線。綜上所述，曲線y=1/x+ln(1+ex)有水平與垂直漸近線共2條。3、要制作一個圓柱形有蓋鐵桶，其容積為V，要想所用鐵皮最省，則底面半徑和高的比例為()A、1：2B、1：1C、2：1D、標準答案：A知識點解析：設圓柱形鐵桶的底面半徑為r，高為h，則有V=πr2h，鐵皮的表面積S=2πrh+2πr2=2V/r+2πr2，S’(r)=-2V/r2+4πr=(4πr3-2V)/r2，令S’(r)=0，得r=，由于駐點唯一，且實際問題最值一定存在，所以r=必是最小值點，此時h=，則r：h=1:2。二、填空題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)4、函數(shù)f(x)=x3-(3/2)x2在區(qū)間[0，3/2]上滿足羅爾中值定理結論的ξ__________。標準答案：1知識點解析：f’(x)=3x2-3x=3x(x-1)，因為f(x)在[0，3/2]上滿足羅爾中值定理的條件，故存在一點ξ∈(0，3/2)，使得3ξ(ξ-1)=0，解得ξ=1。5、函數(shù)f(x)=sin2x在區(qū)間[-π/4，π/4]上滿足羅爾中值定理結論的ξ=__________。標準答案：0知識點解析：f’(x)=sin2x，因為函數(shù)在[-π/4，π/4]上滿足羅爾中值定理的條件，故存在一點ξ∈(-π/4，π/4)，使得sin2ξ=0，所以ξ=0。6、函數(shù)f(x)=e2x在區(qū)間[0，1]上滿足拉格朗日中值定理結論的ξ=__________。標準答案：(1/2)ln[(e2-1)/2]知識點解析：f’(x)=2e2x，f(x)在[0，1]上滿足拉格朗日中值定理的條件，則至少存在一點ξ∈(0，1)，使得f(1)-f(0)=f’(ξ)(1-0)，所以ξ=(1/2)ln[(e2-1)/2]。7、函數(shù)f(x)=(x-1)/x在[1，2]上滿足拉格朗日中值定理結論的ξ=__________。標準答案：知識點解析：f’(x)=1/x2，f(x)在[1，2]上滿足拉格朗日中值定理的條件，則至少存在一點ξ∈(1，2)，使得f(2)-f(1)=f’(ξ)(2-1)，即1/ξ2=1/2-0，解得ξ=。8、設函數(shù)f(x)=x2+px+q，則函數(shù)在[a，b]上滿足拉格朗日中值定理結論的ξ=__________。標準答案：(a+b)/2知識點解析：f’(x)=2x+p，由拉格朗日中值定理得存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)=(b2+pb+q-a2-pa-q)/(b-a)=b+a+p，即有2ξ+p=b+a+p，故ξ=(a+b)/2。9、如果f(x)=c2+kx+3在區(qū)間[-1，3]上滿足羅爾中值定理的條件，則k=__________。標準答案：-2知識點解析：f(x)=x2+kx+3在[-1，3]上連續(xù)，在(-1，3)內可導，若f(x)在[-1，3]上滿足羅爾中值定理的條件，則f(-1)=f(3)，即4-k=12+3k，解得k=-2。10、已知當x→0時，sinx-x是atanx3的等價無窮小，則a=__________。標準答案：-1/6知識點解析：11、(x2-1)/e2x=__________。標準答案：0知識點解析：[(x2-1)/e2x]=(2x/2e2x)=(2/4e2x)=0。12、ln(cosx)/x2=__________。標準答案：-1/2知識點解析：13、f(x)=ln(1+x2)的單調遞增區(qū)間為__________。標準答案：(0，+∞)知識點解析：f(x)=ln(1+x2)的定義域為(-∞，+∞)，f’(x)=2x/(1+x2)，令f’(x)＞0得x＞0，所以f(x)的單調遞增區(qū)間為(0，+∞)。14、f(x)=arctanx2的單調遞減區(qū)間為__________。標準答案：(-∞，0)知識點解析：f(x)的定義域為(-∞，+∞)，f’(x)=2x/(1+x4)，令f’(x)<0得x＜0，所以f(x)的單調遞減區(qū)間為(-∞，0)。15、f(x)=x2-3x2+6x-2在[-1，1]上的最大值為__________。標準答案：2知識點解析：f’(x)=3x2-6x+6=3[(x-1)2+1]＞0，函數(shù)在R上單調遞增，故f(x)在[-1，1]上的最大值為f(1)=1-3+6-2=2。16、點(1，3)是曲線y=ax3+bx2+1的拐點，則a=__________，b=__________。標準答案：-1，3知識點解析：由已知得y’=3ax2+2bx，y″=6ax+2b，因為點(1，3)是曲線y=ax3+bx2+1的拐點，則有y(1)=a+b+1=3，y″(1)=6a+2b=0，解得a=-1，b=3。17、已知函數(shù)f(x)=e-xln(ax)在x=1/2處取得極值，則正數(shù)a=__________。標準答案：2e2知識點解析：f(x)=e-xln(ax)，a＞0，x＞0，f’(x)=-e-xln(ax)+e-x·(1/x)，又x=1/2為函數(shù)f(x)的極值點，所以f(1/2)=0，從而得a=2e2，經(jīng)驗證，當a=2e2時，在x=1/2兩側鄰域內f’(x)異號，即x=1/2是函數(shù)的極值點。18、當x=1時，f(x)=x3+3px+q取到極值(其中q為任意常數(shù))，則p=__________。標準答案：-1知識點解析：f’(x)=3x2+3p，f(x)在點x=1處取得極值，則f’(1)=3+3p=0，所以P=-1。19、若f(x)=xex，則f(n)(x)的極小值點為__________。標準答案：x=-(n+1)知識點解析：f’(x)=ex+xex=(x+1)ex，f″(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex，f?(x)=ex+(x+2)ex=(x+3)ex，…，f(n)(x)=(x+n)ex，令(f(n)(x))’=f(n+1)(x)=(x+n+1)ex=0，則x=-(n+1)，顯然當x＞-(n+1)時，f(n+1)(x)＞0；當x＜-(n+1)時，f(n+1)(x)＜0，因此f(n)(x)的極小值點為x=-(n+1)。20、函數(shù)y=x3-12x在區(qū)間[-3，33上的最小值為__________。標準答案：-16知識點解析：令y’=3x2-12=0，解得x=2或x=-2。又y(-3)=9，y(-2)=16，y(2)=-16，y(3)=9，比較可得y在[-3，3]上的最小值為-16。21、函數(shù)y=(x-2)2(x+1)2/3在區(qū)間[-2，2]上的最大值是__________，最小值是__________。標準答案：16，0知識點解析：由于y’=[2(x-2)(4x+1)]/[3(x+1)1/3]，因此函數(shù)y在區(qū)間(-2，2)內有駐點x=-1/4、不可導點x=-1，依次求出函數(shù)在駐點、不可導點及區(qū)間端點處的值為y(-1/4)=(-9/4)2(3/4)2/3，y(-1)=0，y(-2)=16，y(2)=0，通過比較這些值的大小可知，函數(shù)y在[-2，2]上的最大值為y(-2)=16，最小值為y(-1)=y(2)=0。22、若函數(shù)f(x)在[0，1]上滿足f”(x)＞0，則f’(0)，f’(1)，f(1)-f(0)的大小順序為__________。標準答案：f’(1)＞f(1)-f(0)＞f’(0)知識點解析：f″(x)＞0，則f’(x)在[0，1]上單調遞增。又由拉格朗日中值定理得f(1)-f(0)=f’(ξ)(1-0)=f’(ξ)，ξ∈(0，1)，故有f’(1)＞f’(ξ)>f’(0)，即f’(1)＞f(1)-f(0)＞f’(0)。23、曲線f(x)=arctanx+2x+3，則其拐點坐標為__________。標準答案：(0，3)知識點解析：函數(shù)的定義域為(-∞，+∞)，f’(x)=[1/(1+x2)]+2，f″(x)=-2x/(1+x2)2，令f″(x)=0，得x=0，f(0)=3，又當x＜0時，f(x)＞0；當x＞0時，f(x)＜0，故點(0，3)是其拐點。24、設點(x0，f(x0))是曲線y=f(x)的拐點，且函數(shù)f(x)存在二階導數(shù)，則f”(x0)=__________。標準答案：0知識點解析：拐點為二階導數(shù)為0的點或是二階不可導點，又由題意可知函數(shù)在x=x0處二階可導，故f″(x0)=0。廣東專升本數(shù)學（一元函數(shù)微分學）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)1、設函數(shù)f(x)可導，則y=f{f[f(x)]}的導數(shù)為()A、f’[f(x)]B、f’{f’[f’(x)]}C、f’{f[f(x)]}f’(x)D、f’{f[f(x)]}f’[f(x)]f’(x)標準答案：D知識點解析：y’={f{f[f(x)])}’=f’{f[f(x)])f’[f(x)]f’(x)，故選D。2、若函數(shù)f(x)=5x，則f’(x)=()A、5x-1B、x5x-1C、5xln5D、5x標準答案：C知識點解析：f’(x)=(5n)’=5xln5。3、設f(x)=e2+，則f’(x)=()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：f’(x)=(e2)’+()’=1/2。4、設函數(shù)f(x)=sin2x+sin2x，則f’(π/2)=()A、0B、-2C、π/2D、2π標準答案：B知識點解析：因為f’(x)=2sinxcosx+2cos2x，所以f’(π/2)=2sin(π/2)cos(π/2)+2cosπ=-2。5、若f(x-1)=x2-1，則f’(x)=()A、2x+2B、x(x+1)C、x(x-1)D、2x-1標準答案：A知識點解析：因為f(x-1)=x2-1=(x-1)(x-1+2)，故f(x)=x2+2x，則f’(x)=2x+2。6、已知f(x)在其定義域內為可導的偶函數(shù)，且f’(-3)=-7，則f’(3)=()A、-7B、7C、3D、-3標準答案：B知識點解析：因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)=f(-x)，則f’(x)=f’(-x)，故f’(3)=-f’(-3)=7。7、設函數(shù)f(x)可導，則y=f(2/π)的導數(shù)y’=()A、(2/x2)f’(2/x)B、(x/2)f’(2/x)C、(-1/x2)f’(2/x)D、(-2/x2)f’(2/x)標準答案：D知識點解析：y=f(2/x)，則y’=f’(2/x)·(2/x)’=(-2/x2)f’(2/x)。8、設函數(shù)g(x)可微，h(x)=e3+2g(x)，h’(2)=4，g’(2)=2，則g(2)=()A、ln2-1B、-ln2-1C、-3/2D、3/2標準答案：C知識點解析：由已知條件h(x)=e3+2g(x)可得h’(x)=2e3+2g(x)g’(x)。令x=2，并將h’(2)=4，g’(2)=2代入得4=4e3+2g(2)，從而g(2)=-3/2。9、設函數(shù)y=x2+3x+5，則y”=()A、0B、1C、2D、3標準答案：C知識點解析：y’=2x+3，y”=2。10、設y=，則y”=()A、2/xB、1/2x2C、-1/2xD、-1/2x2標準答案：D知識點解析：y″=-1/2x2。11、已知函數(shù)．y=ln(1+2x)，則y?=()A、8/(1+2x)3B、-8/(1+2x)3C、16/(1+2x)3D、-16/(1+2x)3標準答案：C知識點解析：y’=2/(1+2x)，y”=[2(1+2x)-1]’=-2(1+2x)-2·2=-4(1+2x)-2，y?=(-4)·(-2)·(1+2x)-3·2=16(1+2x)-3=16/(1+2x)3。12、已知函數(shù)y=cos2x，則y(n)=()A、sin2xB、2nsin[2x+(2/2)π]C、cos2xD、2ncos[2x+(n/2)π]標準答案：D知識點解析：(cos2x)’=-2sin2x=2cos(2x+π/2)，(cos2x)”=-2·2sin2(2x+π/2)=22cos(2x+2π/2)，…，(cos2x)(n)=2ncos(2x+nπ/2)。13、已知函數(shù)f(x)=x212+3x210-2x120-5x110+x10-1，則f(211)(2)=()A、2212B、2211C、2．211!D、2．212!標準答案：D知識點解析：因為(xn)(m)=，故f(211)(x)=[212!/(212-211)!]·x+0=212!·x，因此f(211)(2)=2·212!。14、設y=ex+e-x，則y(100)=()A、ex+e-xB、ex-e-xC、-ex+e-xD、-ex-e-x標準答案：A知識點解析：因為(ex)(n)=ex，(e-x)(n)=(-1)ne-x，所以(ex)(100)=(-1)100e-x=e-x，故y(100)=ex+e-x。15、設y=f(x2+a)，其中f二階可導，a為常數(shù)，則y”=()A、2f’(x2+a)+4x2f″(x2+a)B、2xf’(x2+a)C、2f(x2+a)+4x2f’(x2+a)D、4xf”(x2+a)標準答案：A知識點解析：y’=f’(x2+a)·(x2+a)’=2xf’(x2+a)，y”=2f’(x2+a)+2xf(x2+a)·(x2+a)’=2f’(x2+a)+4x2f(x2+a)。16、已知y=y(x)是由方程y2-x-y+9=0確定的函數(shù)，則dy/dx=()A、1-2yB、2y-1C、1/(1-2y)D、1/(1-2y)標準答案：D知識點解析：方程兩邊對x求導得2y(dy/dx)-1-dy/dx=0，整理得dy/dx=1/(2y-1)。17、設y=f(x)是由方程ex-ey=xy確定的隱函數(shù)，則y’｜x=0=()A、1B、2C、3D、4標準答案：A知識點解析：當x=0時，y=0。方程兩邊同時對x求導數(shù)，得ex-eyy’=y+xy’，所以y’｜x=0=1。18、已知y=f(x)由方程cos(xy)-lny+x=1確定，則[*]91n[f(2/n)-f(0)]=()A、2B、1C、-1D、-2標準答案：A知識點解析：19、已知y=x1/x，則dy/dx=()A、(1-lnx)/x2B、x1/x-2(1-lnx)C、x1/x-1(1-lnx)D、x1/x-2(lnx-1)標準答案：B知識點解析：y=x1/x聯(lián)對lny=(1/x)lnx，兩邊關于x求導得(1/y)·(dy/dx)=(1-lnx)/x2，整理得dy/dx=y[(1-lnx)/x2]=x1/x-2(1-lnx)。20、已知函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程確定，則dy/dx｜t=π/3=()A、0B、C、D、-2標準答案：A知識點解析：dy/dx=[(dy/dt)/(dx/dt)]=-3sin3t/2cos2t，則(dy/dx)｜t=π/3=(-3sin3t/2cos2t)｜t=π/3=0。21、已知y=y(x)是由參數(shù)方程確定的函數(shù)，則dy/dx｜(4，27)=()A、27/4B、-27/4C、4、27D、-4/27標準答案：B知識點解析：22、設則d2y/dx2=()A、1B、1/(1+t)C、1/(-1+t)D、-1/(1+t)標準答案：B知識點解析：23、設y=+1，則其反函數(shù)x=φ(y)在點y=2處的導數(shù)是()A、3B、1/3C、-1/3D、-3標準答案：A知識點解析：廣東專升本數(shù)學（一元函數(shù)微分學）模擬試卷第7套一、填空題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)1、設y=[ln(1+x)]/(1+x)，則y’｜x=0=__________。標準答案：1知識點解析：2、設y=1/x3-2+0．2x5+e5，則y’__________。標準答案：-3/x4-1/+x4知識點解析：y’=-3/x4-2/2+0．2·54+0=-3/x4-1/+x4。3、設y=，則y’=__________。標準答案：知識點解析：4、已知y=ln(cos4x)，則y’=__________。標準答案：-4tan4x知識點解析：y’=(1/cos4x)·(cos4x)’=(-sin4x/cos4x)·4=-4tan4x。5、已知y=arccos(2x+3)，則y’=__________。標準答案：知識點解析：6、已知y=e-x/2cos3x，則y’=__________。標準答案：(-1/2)e-x/2(cos3x+6sin3x)知識點解析：y’=(e-x/2)’cos3x+e-x/2(cos3x)’=(-1/2)e-x/2cos3x-3e-x/2sin3x=(-1/2)e-x/2(cos3x+6sin3x)。7、已知f(x)=1/(1+x)滿足f(x0)=2，則f’(x0)=__________。標準答案：-4知識點解析：f(B5x0)=1/(1+x0)=2，所以x0=-1/2。又f’(x)=-1/(1+x)2，所以f’(x0)=f’(-1/2)=4。8、設f’(x)=g(x)，則(d/dx)[f(sin2x)]=__________。標準答案：g(sin2x)sin2x知識點解析：(d/dx)[f(sin2x)]=f’(sin2x)·(sin2x)’=2sinxcosx·f’(sin2x)=g(sin2x)sin2x。9、設f(x)=x2e1/x，而h(t)滿足條件h(0)=3，h’(t)=sin2(t+π/4)，則(d/dt)[h(t)]｜t=0=__________。標準答案：(5/2)e1/3知識點解析：因為f’(x)=2xe1/x-e1/x，所以(d/dt)f[h(t)]｜t=0={f’[h(t)]·h’(t)}｜t=0=f’[h(0)]·sin2(0+π/4)=f’(3)·(1/2)=(5/2)e1/3。10、設y=f(3x)，其中f(x)為可導函數(shù)，則y’=__________。標準答案：3f’(3x)知識點解析：y’=f’(3x)·(3x)’=3f’(3x)。11、已知(d/dx)[f(1/x2)]=1/x，則f’(1/2)=__________。標準答案：-1知識點解析：因為(d/dx)[f(1/x2)]=-f’(1/x2)(2/x3)=1/x，所以f’(1/x2)=(-x2/2)。令x2=2，則f’(1/2)=-1。12、設f具有一階連續(xù)導數(shù)，且y=ef(2sinx)，則y’=__________。標準答案：2ef(2sinx)f’(2sinx)cosx知識點解析：y’=[ef(2sinx)]’=ef(2sinx)·[f(2sinx)]’·ef(2sinx)·f’(2sinx)·(2sinx)’=ef(2sinx)·f’(2sinx)·2cosx=2ef(2sinx)f’(2sinx)cosx。13、若f(t)=(1+1/x)2tx，則f’(t)=__________。標準答案：(2t+1)e2t知識點解析：f(t)=t(1+1/x)2tx=t[(1+1/x)x]=te2t，f’(t)=e2t+2te2t=(2t+1)e2t。14、設函數(shù)y=cos(3+2x)，則y?=__________。標準答案：8sin(3+2x)知識點解析：因為y=cos(3+2x)，所以y’=-2sin(3+2x)，y”=-4cos(3+2x)，y?=8sin(3+2x)。15、已知y=，則y”=__________。標準答案：[-a2/(a2-x2)]3/2知識點解析：y’==[-a2/(a2-x2)]3/216、已知y=(1+x2)arccotx，則y”=__________。標準答案：2arccotx-2x/(1+x2)知識點解析：y’=2xarccotx+(1+x2)[-1/(1+x2)]2xarccotx-1，y”=2arccotx-2x/(1+x2)。17、設y=cos2x·lnx，則y”=__________。標準答案：-2cos2x·lnx-2sin2x/x-cos2x/x2，y’=-2cosx·sinx·lnx·lnx+cos2x·(1/x)=-sin2x·lnx+cos2x·(1/x)知識點解析：y”=-2cos2x·lnx-sin2x·(1/x)-2cosx·sinx·(1/x)-2cosx·-cos2x·(1/x2)=-2sin2x·lnx-2sin2x/x-cos2x/x2。18、已知y=x2ex，則y(10)｜x=0=__________。標準答案：90知識點解析：y’=2xex+x2ex=ex(x2+2x)=ex[(x+1)2-1]，y”=ex(x2+2x)+ex(2x+2)=ex(x2+4x+2)=ex[(x+2)2-2]，y?=ex(x2+4x+2)+ex(2x+4)=ex[(x+3)2-3]，y(10)=ex[(x+10)2-10]，所以y(10)｜x=0=90。19、設y=(x2+x+1)66，則y(168)=__________。標準答案：0知識點解析：函數(shù)y=(x2+x+1)66中x的最高次項為x132，所以y(168)=0。20、設y=x3+sinx，則y(10)=__________。標準答案：-sinx知識點解析：因為(x3)’=3x2，(x3)”=6x，(x3)?=6，…，(x3)k=0(k≥4)，(sinx)(n)=sin(x+nπ/x)，所以y(10)=(x3+sinx)(10)=0+sin(x+5π)=-sinx。21、已知y(n-2)=f(3x)，其中f任意階可導，則y(n)=__________。標準答案：3xln23[f’(3x)+3xf″(3x)]知識點解析：y(n-1)=f’(3x)·(3x)’=3xln3·f’(3x)，y(n)=[3xln3·f’(3x)]’=3xln23f’(3x)+32xln23f”(3x)=3xln23[f’(3x)+3xf″(3x)]。22、設y=y(x)是由方程y2+2lny=x2所確定的函數(shù)，則dy/dx=__________。標準答案：xy/[y2+1]知識點解析：方程兩邊對x求導得2y(dy/dx)+(2/y)(dy/dx)=2x，整理得dy/dx=xy/(y2+1)。23、設函數(shù)y=y(x)由方程exy+y2=cosx確定，則dy/dx=__________。標準答案：-(yexy+sinx)/(xexy+2y)知識點解析：方程兩端關于x求導，得exy[y+x(dy/dx)]+2y(dy/dx)=-sinx，整理得dy/dx=-(yexy+sinx)/(xexy+2y)。廣東專升本數(shù)學（一元函數(shù)微分學）模擬試卷第8套一、解答題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)1、討論函數(shù)f(x)=max{x，x4}在(-∞，+∞)內的不可導點的個數(shù)。標準答案：故f(x)在x=1處也不可導。故函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)內的不可導點的個數(shù)為2。知識點解析：暫無解析2、求曲線y=3x2-4x+5在點(1，4)處的切線方程和法線方程。標準答案：由y=3x2-4x+5得y’=6x-4。由導數(shù)的幾何意義可知曲線在點(1，4)處的切線斜率為y’(1)=2。又切線過點(1，4)，所以切線方程為y=4=2(x-1)，即2x-y+2=0。又知法線的斜率為-1/y’(1)=-1/2，從而可得法線方程為y-4=-1/2(x-1)，即x+2y-9=0。知識點解析：暫無解析3、求經(jīng)過點(0，4)，且與曲線y=2/x相切的直線方程。標準答案：設切點為(x0，2/x0)，因為==-2/x02，所以曲線在點(x0，2/x0)處的切線方程為y-2/x0=-2/x02(x-x0)。把(0，4)代入上式，解得x0=1，故所求直線方程為y-2=-2(x-1)，即2x+y-4=0。知識點解析：暫無解析4、求曲線y=e-x上通過原點的切線方程及與直線x+y=2垂直的法線方程。標準答案：y’=-e-x，曲線y=e-x上任一點(x0，)處的切線方程為y-=-(x-x0)。因為切線過原點，則將x=0，y=0代入得x0=-1，則切點為(-1，e)，故過原點的切線方程為y=-ex。又曲線y=e-x上任一點(x0，)處的法線方程為y-=(x-x0)，因為所求法線與x+y=2垂直，故有·(-1)=-1，得x0=0，則y0=1，從而所求法線方程為y=x+1。知識點解析：暫無解析5、已知曲線y=ax4+bx3+x2+3在點(1，6)處與直線y=11x-5相切，求a，b。標準答案：曲線過點(1，6)，即點(1，6)滿足曲線方程，所以6=a+b+4，①又y’=4ax3+3bx2+2x，且曲線在點(1，6)處與y=11x-5相切，所以y’｜x=1=ta+3b+2=11②聯(lián)立①②解得a=3，b=-1。知識點解析：暫無解析6、設y=x3+ln3x+ln5，求y’。標準答案：y’=3x2log3x+x3·1/xln3+0=3x2log3x+x2/ln3。知識點解析：暫無解析7、設y=cos/(x2-1)，求y’。標準答案：y’=[(x2-1)·(cosx)’-cosx·(x2-1)’]/(x2-1)=[-(x2-1)sinx-2xcosx]/(x2-1)2知識點解析：暫無解析8、設y=arctanx+5sinx，求y’標準答案：y’=(arctanx+5sinx)’=1/(1+x2)+5sinxln5·(sinx)’=1/(1+x2)+5sinxcosx·ln5。知識點解析：暫無解析9、設y=cos3(1-2x)，求y’。標準答案：y’=3cos2(1-2x)·[cos(1-2x)]’=3cos2(1-2x)[-sin(1-2x)]·(-2)=6sin(1-2x)cos2(1-2x)。知識點解析：暫無解析10、已知f(x)=(1/4)ln[(x2-1)/(x2+1)]，求f’(2)。標準答案：f’(x)=(1/4)·[(x2+1)/(x2-1)]·[2x(x2+1)-(x2-1)2x]/(x2+1)2=x/[(x2-1)(x2+1)]=x/(x4-1)，f’(2)=2/15。知識點解析：暫無解析11、設函數(shù)f(x)=[x/(1-sinx)]+(1/2)x2，求f’(π)。標準答案：由f(x)=[x/(1-sinx)]+(1/2)x2可得f’(x)=[(1-sinx+xcosx)/(1-sinx)2]+x，則f’(π)=(1-sinπ+πcosπ)/(1-sinπ)2+π=1-π+π=1。知識點解析：暫無解析12、已知y=arccos，求y’。標準答案：知識點解析：暫無解析13、設f(x)=x2，g(x)=ln(1/x)，求f’[g’(x)]。標準答案：因為f’(x)=2x，g’(x)=[1/(1/x)]·(-1/x2)=-1/x，所以f’[g’(x)]=f’(-1/x)=-2/x。知識點解析：暫無解析14、設f(1/x)=x2+1/x+1，求f’(-1)。標準答案：令1/x=t，則x=1/t，f(t)=1/t2+t+1，f’(t)=-2/t3+1，f’(-1)=(-2)/(-1)3+1=3。知識點解析：暫無解析15、設f(x)=(x985-1)g(x)，其中g(x)可導，且g(1)=1，求f’(1)。標準答案：由f(x)=(x985-1)g(x)可得f’(x)=985x984g(x)+(x985-1)g’(x)。又g(1)=1，且g’(1)存在，因此f’(1)=985g(1)+(1-1)g’(1)=985。知識點解析：暫無解析16、已知y=，其中f具有一階連續(xù)導數(shù)，求y’。標準答案：知識點解析：暫無解析17、已知y=f(2x)，f’(x)=arctanx2，計算(dy/dx)｜x=1/2。標準答案：令y=f(u)，u=2x，則dy/dx=f’(u)·(du/dx)=arctanu2·2=2arctan(2x)2，所以(dy/dx)｜x=1/2=2arctan1=π/2。知識點解析：暫無解析18、設y=+ex+(1-x)/(1+x)，求y″。標準答案：y=+ex+(1-x)/(1+x)=x1/2+ex+2/(1+x)-1，y’=(1/2)x-1/2+ex-2/(1+x)2，y″=(-1/4)x-3/2+ex+4/(1+x)3知識點解析：暫無解析19、求函數(shù)y=ln(x+)的二階導數(shù)y”(1)。標準答案：知識點解析：暫無解析20、求函數(shù)y=excosx的n階導數(shù)。標準答案：知識點解析：暫無解析21、設y=(x+2)(2x+3)2(3x+4)3，求y(6)。標準答案：因為y=(x+2)(2x+3)2(3x+4)3，x的最高次項為2233x6，故y(6)=22336!=77760。知識點解析：暫無解析22、設函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)內n階可導，且f’(x)=ef(x)，f(2)=1，計算f(n)(2)。標準答案：對f’(x)=ef(x)兩邊對x求導數(shù)得f″(x)=ef(x)·f’(x)=e2f(x)，上式兩邊再對x求導數(shù)得f’’’(x)=e2f(x)·2f’(x)=2e3f(x)，上式兩邊再對x求導數(shù)得f(4)(x)=2e3f(x)·3f’(x)=3!e4f(x)。由以上求導規(guī)律可得fn(x)=(n-1)!enf(x)，所以f(n)(2)=(n-1)!en。知識點解析：暫無解析23、設y=y(x)是由方程y3=x+arccosy所確定的函數(shù)，求dy/dx。標準答案：方程兩邊對x求導得3y2(dy/dx)=1-(dy/dx)，整理可得dy/dx=。知識點解析：暫無解析廣東專升本數(shù)學（一元函數(shù)微分學）模擬試卷第9套一、證明題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、證明：若f(x)為可導的奇函數(shù)，則其導函數(shù)f’(x)為偶函數(shù)。標準答案：因為f(x)為奇函數(shù)，則f(x)=-f(-x)。知識點解析：暫無解析2、已知g(x)=且f’(x)=1/[lna·f(x)]，其中a＞0且a≠1，證明：g’(x)=2g(x)。標準答案：知識點解析：暫無解析二、選擇題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)3、在區(qū)間[-1，1]上，下列函數(shù)不滿足羅爾中值定理條件的是()A、B、f(x)=ln(1+x2)C、f(x)=D、f(x)=1/(1+x2)標準答案：C知識點解析：f(x)=在[-1，0)上無意義，所以f(x)=在[-1，1]上不滿足羅爾中值定理的條件。4、下列函數(shù)在給定區(qū)間上滿足羅爾中值定理條件的是()A、y=(1-x2)/(1+x2)，[-1，1]B、y=xe-x，[-1，1]C、y=1/(1+x)，[-1，1]D、y=lnx2，[-1，1]標準答案：A知識點解析：B選項中，y(-1)≠y(1)。C選項中，函數(shù)在x=-1處無定義。D選項中，函數(shù)在x=0處無定義。A選項中，函數(shù)在[-1，1]上連續(xù)，在(-1，1)內可導，y(-1)=y(1)，符合羅爾中值定理的