河南省新鄉(xiāng)市重點中學(xué)2025屆高三第三次聯(lián)考(福建版)數(shù)學(xué)試題試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

河南省新鄉(xiāng)市重點中學(xué)2025屆高三第三次聯(lián)考(福建版)數(shù)學(xué)試題試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若向量,則()A.30 B.31 C.32 D.332.已知,,,,則()A. B. C. D.3.橢圓的焦點為,點在橢圓上,若,則的大小為()A. B. C. D.4.費馬素數(shù)是法國大數(shù)學(xué)家費馬命名的,形如的素數(shù)(如:)為費馬索數(shù),在不超過30的正偶數(shù)中隨機選取一數(shù),則它能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的概率是()A. B. C. D.5.若單位向量,夾角為,,且,則實數(shù)()A.-1 B.2 C.0或-1 D.2或-16.已知雙曲線的左,右焦點分別為,O為坐標原點,P為雙曲線在第一象限上的點,直線PO,分別交雙曲線C的左,右支于另一點,且,則雙曲線的離心率為()A. B.3 C.2 D.7.天干地支,簡稱為干支,源自中國遠古時代對天象的觀測.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”稱為十天干,“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”稱為十二地支.干支紀年法是天干和地支依次按固定的順序相互配合組成,以此往復(fù),60年為一個輪回.現(xiàn)從農(nóng)歷2000年至2019年共20個年份中任取2個年份,則這2個年份的天干或地支相同的概率為()A. B. C. D.8.已知集合則()A. B. C. D.9.已知函數(shù)是上的減函數(shù),當(dāng)最小時,若函數(shù)恰有兩個零點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.10.已知,則的大小關(guān)系是()A. B. C. D.11.已知函數(shù),,其中為自然對數(shù)的底數(shù),若存在實數(shù),使成立,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.12.已知,函數(shù),若函數(shù)恰有三個零點,則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫(單位:℃)依次為8,,,0,2,則該組數(shù)據(jù)的標準差為_______.14.有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽,其中只有一位獲獎,有人走訪了四位歌手,甲說“是乙或丙獲獎.”乙說:“甲、丙都未獲獎.”丙說:“我獲獎了”.丁說:“是乙獲獎.”四位歌手的話只有兩句是對的,則獲獎的歌手是__________.15.假如某人有壹元、貳元、伍元、拾元、貳拾元、伍拾元、壹佰元的紙幣各兩張,要支付貳佰壹拾玖(219)元的貨款,則有________種不同的支付方式.16.已知復(fù)數(shù)z1=1﹣2i,z2=a+2i(其中i是虛數(shù)單位,a∈R),若z1?z2是純虛數(shù),則a的值為_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓,點為半圓上一動點,若過作橢圓的兩切線分別交軸于、兩點.(1)求證:;(2)當(dāng)時,求的取值范圍.18.(12分)已知等差數(shù)列的公差,且,,成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.19.(12分)在四棱錐中,底面為直角梯形,,,,,,,分別為,的中點.(1)求證:.(2)若,求二面角的余弦值.20.(12分)眼保健操是一種眼睛的保健體操,主要是通過按摩眼部穴位,調(diào)整眼及頭部的血液循環(huán),調(diào)節(jié)肌肉,改善眼的疲勞,達到預(yù)防近視等眼部疾病的目的.某學(xué)校為了調(diào)查推廣眼保健操對改善學(xué)生視力的效果,在應(yīng)屆高三的全體800名學(xué)生中隨機抽取了100名學(xué)生進行視力檢查,并得到如圖的頻率分布直方圖.(1)若直方圖中后三組的頻數(shù)成等差數(shù)列,試估計全年級視力在5.0以上的人數(shù);(2)為了研究學(xué)生的視力與眼保健操是否有關(guān)系,對年級不做眼保健操和堅持做眼保健操的學(xué)生進行了調(diào)查,得到下表中數(shù)據(jù),根據(jù)表中的數(shù)據(jù),能否在犯錯的概率不超過0.005的前提下認為視力與眼保健操有關(guān)系?(3)在(2)中調(diào)查的100名學(xué)生中,按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取8人,進一步調(diào)查他們良好的護眼習(xí)慣,在這8人中任取2人,記堅持做眼保健操的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附:0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.87921.(12分)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且(1)求數(shù)列{a(2)求數(shù)列{1Sn}的前22.(10分)在中,角的對邊分別為,且.(1)求角的大?。唬?)若函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為且,求的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】

先求出,再與相乘即可求出答案.【詳解】因為,所以.故選:C.本題考查了平面向量的坐標運算,考查了學(xué)生的計算能力,屬于基礎(chǔ)題.2.D【解析】

令,求,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增,從而可得,設(shè),利用導(dǎo)數(shù)證出為單調(diào)遞減函數(shù),從而證出,即可得到答案.【詳解】時,令,求導(dǎo),,故單調(diào)遞增:∴,當(dāng),設(shè),,又,,即,故.故選:D本題考查了作差法比較大小,考查了構(gòu)造函數(shù)法,利用導(dǎo)數(shù)判斷式子的大小,屬于中檔題.3.C【解析】

根據(jù)橢圓的定義可得,,再利用余弦定理即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,,,又,則,由余弦定理可得.故.故選:C.本題考查橢圓的定義,考查余弦定理,考查運算能力,屬于基礎(chǔ)題.4.B【解析】

基本事件總數(shù),能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和只有,,,共有個,根據(jù)古典概型求出概率.【詳解】在不超過的正偶數(shù)中隨機選取一數(shù),基本事件總數(shù)能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的只有,,,共有個則它能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的概率是本題正確選項:本題考查概率的求法,考查列舉法解決古典概型問題,是基礎(chǔ)題.5.D【解析】

利用向量模的運算列方程,結(jié)合向量數(shù)量積的運算,求得實數(shù)的值.【詳解】由于,所以,即,,即,解得或.故選:D本小題主要考查向量模的運算,考查向量數(shù)量積的運算,屬于基礎(chǔ)題.6.D【解析】

本道題結(jié)合雙曲線的性質(zhì)以及余弦定理,建立關(guān)于a與c的等式,計算離心率,即可.【詳解】結(jié)合題意,繪圖,結(jié)合雙曲線性質(zhì)可以得到PO=MO,而,結(jié)合四邊形對角線平分,可得四邊形為平行四邊形,結(jié)合,故對三角形運用余弦定理,得到,而結(jié)合,可得,,代入上式子中,得到,結(jié)合離心率滿足,即可得出,故選D.本道題考查了余弦定理以及雙曲線的性質(zhì),難度偏難.7.B【解析】

利用古典概型概率計算方法分析出符合題意的基本事件個數(shù),結(jié)合組合數(shù)的計算即可出求得概率.【詳解】20個年份中天干相同的有10組(每組2個),地支相同的年份有8組(每組2個),從這20個年份中任取2個年份,則這2個年份的天干或地支相同的概率.故選:B.本小題主要考查古典概型的計算,考查組合數(shù)的計算,考查學(xué)生分析問題的能力,難度較易.8.B【解析】

解對數(shù)不等式可得集合A,由交集運算即可求解.【詳解】集合解得由集合交集運算可得,故選:B.本題考查了集合交集的簡單運算,對數(shù)不等式解法,屬于基礎(chǔ)題.9.A【解析】

首先根據(jù)為上的減函數(shù),列出不等式組,求得,所以當(dāng)最小時,,之后將函數(shù)零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線交點的個數(shù)問題,畫出圖形,數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果.【詳解】由于為上的減函數(shù),則有,可得,所以當(dāng)最小時,,函數(shù)恰有兩個零點等價于方程有兩個實根,等價于函數(shù)與的圖像有兩個交點.畫出函數(shù)的簡圖如下,而函數(shù)恒過定點,數(shù)形結(jié)合可得的取值范圍為.故選:A.該題考查的是有關(guān)函數(shù)的問題,涉及到的知識點有分段函數(shù)在定義域上單調(diào)減求參數(shù)的取值范圍,根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍,數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于中檔題目.10.B【解析】

利用函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù),可得,再利用對數(shù)運算性質(zhì)比較a,c進而可得結(jié)論.【詳解】依題意,函數(shù)與函數(shù)關(guān)于直線對稱,則,即,又,所以,.故選:B.本題主要考查對數(shù)、指數(shù)的大小比較,屬于基礎(chǔ)題.11.A【解析】令f(x)﹣g(x)=x+ex﹣a﹣1n(x+1)+4ea﹣x,令y=x﹣ln(x+1),y′=1﹣=,故y=x﹣ln(x+1)在(﹣1,﹣1)上是減函數(shù),(﹣1,+∞)上是增函數(shù),故當(dāng)x=﹣1時,y有最小值﹣1﹣0=﹣1,而ex﹣a+4ea﹣x≥4,(當(dāng)且僅當(dāng)ex﹣a=4ea﹣x,即x=a+ln1時,等號成立);故f(x)﹣g(x)≥3(當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柾瑫r成立時,等號成立);故x=a+ln1=﹣1,即a=﹣1﹣ln1.故選:A.12.C【解析】

當(dāng)時,最多一個零點;當(dāng)時,,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性畫函數(shù)草圖,根據(jù)草圖可得.【詳解】當(dāng)時,,得;最多一個零點;當(dāng)時,,,當(dāng),即時,,在,上遞增,最多一個零點.不合題意;當(dāng),即時,令得,,函數(shù)遞增,令得,,函數(shù)遞減;函數(shù)最多有2個零點;根據(jù)題意函數(shù)恰有3個零點函數(shù)在上有一個零點,在,上有2個零點,如圖:且,解得,,.故選.遇到此類問題,不少考生會一籌莫展.由于方程中涉及兩個參數(shù),故按“一元化”想法,逐步分類討論,這一過程中有可能分類不全面、不徹底.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),再求出這組數(shù)據(jù)的方差,由此能求出該組數(shù)據(jù)的標準差.【詳解】解:某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫(單位:依次為8,,,0,2,平均數(shù)為:,該組數(shù)據(jù)的方差為:,該組數(shù)據(jù)的標準差為1.故答案為:1.本題考查一組數(shù)據(jù)據(jù)的標準差的求法,考查平均數(shù)、方差、標準差的定義等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.14.丙【解析】若甲獲獎,則甲、乙、丙、丁說的都是錯的,同理可推知乙、丙、丁獲獎的情況,可知獲獎的歌手是丙.考點:反證法在推理中的應(yīng)用.15.1【解析】

按照個位上的9元的支付情況分類,三個數(shù)位上的錢數(shù)分步計算,相加即可.【詳解】9元的支付有兩種情況,或者,①當(dāng)9元采用方式支付時,200元的支付方式為,或者或者共3種方式,10元的支付只能用1張10元,此時共有種支付方式;②當(dāng)9元采用方式支付時:200元的支付方式為,或者或者共3種方式,10元的支付只能用1張10元,此時共有種支付方式;所以總的支付方式共有種.故答案為:1.本題考查了分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理,屬于中檔題.做題時注意分類做到不重不漏,分步做到步驟完整.16.-1【解析】

由題意,令即可得解.【詳解】∵z1=1﹣2i,z2=a+2i,∴,又z1?z2是純虛數(shù),∴,解得:a=﹣1.故答案為:﹣1.本題考查了復(fù)數(shù)的概念和運算,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)見解析;(2).【解析】

(1)分兩種情況討論:①兩切線、中有一條切線斜率不存在時,求出兩切線的方程,驗證結(jié)論成立;②兩切線、的斜率都存在,可設(shè)切線的方程為,將該直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,由可得出關(guān)于的二次方程,利用韋達定理得出兩切線的斜率之積為,進而可得出結(jié)論;(2)求出點、的坐標,利用兩點間的距離公式結(jié)合韋達定理得出,換元,可得出,利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】(1)由于點在半圓上,則.①當(dāng)兩切線、中有一條切線斜率不存在時,可求得兩切線方程為,或,,此時;②當(dāng)兩切線、的斜率都存在時,設(shè)切線的方程為(、的斜率分別為、),,,,.綜上所述,;(2)根據(jù)題意得、,,令,則,所以,當(dāng)時,,當(dāng)時,.因此,的取值范圍是.本題考查橢圓兩切線垂直的證明,同時也考查了弦長的取值范圍的計算,考查計算能力,屬于中等題.18.(1);(2).【解析】

(1)根據(jù)等比中項性質(zhì)可構(gòu)造方程求得,由等差數(shù)列通項公式可求得結(jié)果;(2)由(1)可得,可知為等比數(shù)列,利用分組求和法,結(jié)合等差和等比數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.【詳解】(1)成等比數(shù)列,,即,,解得:,.(2)由(1)得:,,,數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列,.本題考查等差數(shù)列通項公式的求解、分組求和法求解數(shù)列的前項和的問題;關(guān)鍵是能夠根據(jù)通項公式證得數(shù)列為等比數(shù)列,進而采用分組求和法,結(jié)合等差和等比數(shù)列求和公式求得結(jié)果.19.(1)見解析(2)【解析】

(1)由已知可證明平面,從而得證面面垂直,再由,得線面垂直,從而得,由直角三角形得結(jié)論;(2)以為軸建立空間直角坐標系,用空間向量法示二面角.【詳解】(1)證明:連接,,.,,平面.平面,平面平面.,為的中點,.平面平面,平面.平面,.為斜邊的中點,,(2),由(1)可知,為等腰直角三角形,則.以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,,,則,記平面的法向量為由得到,取,可得,則.易知平面的法向量為.記二面角的平面角為,且由圖可知為銳角,則,所以二面角的余弦值為.本題考查用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直,從而得線線垂直,考查用空間向量法求二面角.在立體幾何中求異面直線成的角、直線與平面所成的角、二面角等空間角時,可以建立空間直角坐標系,用空間向量法求解空間角,可避免空間角的作證過程,通過計算求解.20.(1)(2)能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為視力與眼保健操有關(guān)系(3)詳見解析【解析】

(1)由題意可計算后三組的頻數(shù)的總數(shù),由其成等差數(shù)列可得后三組頻數(shù),可得視力在5.0以上的頻率,可得全年級視力在5.0以上的的人數(shù);(2)由題中數(shù)據(jù)計算的值,對照臨界值表可得答案;(3)由題意可計算出這8人中不做眼保健操和堅持做眼保健操的分別有2人和6人,可得X可取0,1,2,分別計算出其概率,列出分布列,可得其數(shù)學(xué)期望.【詳解】解:(1)由圖可知,第一組有3人,第二組7人,第三組27人,因為后三組的頻數(shù)成等差數(shù)列,共有(人)所以后三組頻數(shù)依次為24,21,18,所以視力在5.0以上的頻率為0.18,故全年級視力在5.0以上的的人數(shù)約為人(2),因

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