現(xiàn)代控制理論試題

現(xiàn)代控制理論

［填空題］

1單輸入單輸出離散時間系統(tǒng)的差分方程為

y（k+2）+5y（k+1）+3y（左）=r（k+1）+2r（k）回答下列問題:）求系

統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)；（2）分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性；（3）取狀態(tài)變量為,

三（左）=）'（左），0（左）=再（4+1）-「（左），求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式;（4）分

析系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性。

參考答案：

（1）在零初始條件下進(jìn)行z變換有：

（z」+5z+3）y（z）=（z+2）K（z）

系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)：魯J：?、

K（z）z?+5z+3

（2）系統(tǒng)的特征方程為

D（z）=z1+5z+3=0

特征根為Z］=-4.3,z2=-0.7,|zj>1,所以鑲?散系統(tǒng)不穩(wěn)定。

（3）由再（左）=j（左），一伏）=再（無+1）—廣（左）,可以得到

電（左+1）=演（k+2）-，（左+1）=雙左+2）-，（左+1）

由已知得

y（k+2）-r（k+1）=2r（k）-5y（k+1）-3y（k）=2尸（左）一5天（左+1）-3天（左）

=2r（左）-5（左）+/?（切-3再（k）=-3再（?—5巧（?—3,（左）

于是有：

W（左+1）=-3再（左）-5七（左）-3r（k）

又因?yàn)?/p>

演（左+1）=Xj（/c）+r（i）

所以狀態(tài)空向表達(dá)式為

再（左+1）］/01］『再（左）+1r（k）

（左）］［一毛（砂

w+1-3-51一3

網(wǎng)小Ci

（4）系統(tǒng)矩陣為

G=[\,輸出矩陣為c=[l0],cG=\l0]:\=[01]

一3-5T-5

能觀性矩陣為2=1」=1rank2=2,系統(tǒng)完全能觀。

cG01

［填空題］

x1=x1-x2cosx2

2設(shè)有一個2階非線性系統(tǒng)，其狀態(tài)方程為〔三=4,判斷該系統(tǒng)

在坐標(biāo)原點(diǎn)處的穩(wěn)定性，并證明你的判斷。

參考答案：

【解】此系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)處不穩(wěn)定。

1證明】

取李雅普諾夫函數(shù)0(x)=4+4，顯然是正定函數(shù)，此外，沿著狀態(tài)軌線的導(dǎo)數(shù)為:

底（X）=2再X+2巧^=2不（再—x,cos電）+2x；=2x^一2毛毛cosx,+2^

顯然是正定的，所以該系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)處不穩(wěn)定。

［填空題］

00］「廣

X=X+U

1-6J|_0_

3某系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為J，=［0〔I"設(shè)計一個全維狀態(tài)觀測

器，使觀測器的兩個極點(diǎn)均為T0。

參考答案：

設(shè)全維觀測器方程為

口-臥"H；卜第

觀測器特征多項(xiàng)式為

ded"-；+「"6+?！?/p>

觀測器期望特征多項(xiàng)式為

(A+10)2=A2+20A+100

根據(jù)多項(xiàng)式恒等的條件得

[6+/2=20

[4=100

ff,=100

解得上，=14，全維狀態(tài)觀測器方程為

二「0-100]_「1]「100一

[填空題]

4開環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示:

使閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的過渡過程時間ts=5.65秒(△=().02),超調(diào)量為

o,,=4.32%,其中一個閉環(huán)特征值為-5。求狀態(tài)反饋控制律的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

參考答案：

將上述方塊圖該畫成模擬結(jié)構(gòu)圖，如下:

=x、

x2=-5X2+5X3

寫成狀態(tài)空間表達(dá)式為＜

x3=-x3+2u，即

0

x=0

0

閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的過渡過程時間％=5.65秒（△=0.02）,可得:

4…

=-=5.65,如心0.707,

超調(diào)量為，＞=ek=4.32%,解得，生0.707,所以例會1。期望閉環(huán)特征多項(xiàng)

式為

2

（s+5）（s+2^15+比卜卜+5）仔+0$+1）

/*（5）=$3+（5+&卜2+（1+5回5+5

設(shè)狀態(tài)反饋控制律為〃=[%k2k3]x,代入可得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程

010

X=0-55X

2kl2k2k3-1

閉環(huán)特征多項(xiàng)式為

$00010、

，($)=det("-,4)=det000—55

002句2鼠X2&-1_,

—10

=det0s+5-53:

=5+(6-2^3)s+(5-10^2-10^)5-10^

—2左]—2色s—2ki+1

6-2曷=5+亞=6.414

45-10&-10&=1+50=8.07

根據(jù)多項(xiàng)式恒等條件可得:

-10^=5

左］=-0.5

&二一°」，狀態(tài)反饋控制律為

解得：1

#3=-0.207

u=k2^3]x=-0.5x1-0.1X-,-0.207X3O

［填空題］

1

x(0)=

5設(shè)一個線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為文二/工，其中若-1

21

x(t)=雙0)=x(t)=

-"1。試

時，狀態(tài)響應(yīng)為-時，狀態(tài)響應(yīng)為

丁

文(0)=

-3」時的狀態(tài)響應(yīng)

求當(dāng)

參考答案：

系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為齊⑺=/「，根據(jù)題意有

合并得

求得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

-2

1

-e-2t+2e~t-2。-”+2￡/

二戶_r

當(dāng)雙0)=；時的狀態(tài)響應(yīng)為

_41—eT"z+2。-'—2。-"+2。-'1

x(?)—er=

_3」［e-x-e-r2e&-，」［3

_卜九一”+8二-

一7產(chǎn)一4。-,

［填空題］

工（左+1）］「1%伏）0

6離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為［七段+1）」一12一3必⑹『Iu(k)

（1）是否存

在一個有限控制序列｛"（°）"（D…"（A不，使得系統(tǒng)由已知的初始狀態(tài)xi

（0）,x2（0）轉(zhuǎn)移到X1（N+1）=0,x2（N+1）=0?試給出判斷依據(jù)和判斷過

程。（2）若存在，求N的最小值及控制序列m°）“⑴-"（N）｝。

參考答案：

(1)由題意，

G=：二，2=伊GA]=:二，皿照=2,由系統(tǒng)能控性的定義可

知：存在有限控制序列，使得在有限時間內(nèi)由狀態(tài)初值轉(zhuǎn)移到零。

(2)由系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的性質(zhì)可知，此系統(tǒng)為二階系統(tǒng)，可用適當(dāng)?shù)摹?0),“⑴，使

得x(2)=0,即N的最小值為lo

根據(jù)狀態(tài)方程x(k+1)=Gx(左)+hu(k)進(jìn)行遞推如下：

雙1)=&(0)+筋(0)

雙2)=Gx(l)+hu(Y)=G[Gx(0)+Aw(0)]+hu(T)=G、(0)+Ghu(,0)+hu(T)=0,

由上面最后一步可得

Ghu(Q)+hu(T)=-G1x(Q)

即

卜G%(。)

叱「"((0D)i卜”2)

成1).2I。101-4010天(0)

=-^Gx(0)=10_x(0)=71k(0)_

“(0)-lo/—18

即u(0)=-18再(0)+7第(0),u(T)=-40再(0)+1。電(0)。

[填空題]

-011「0-

x=x+u

0-5J[100

7設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為y=U°lx若該系統(tǒng)的狀態(tài)X2不

可測量，試設(shè)計一個降維狀態(tài)觀測器，使降維觀測器的極點(diǎn)為-10,要求寫出降

維觀測器動態(tài)方程，并寫出狀態(tài)燈的估計方程。

參考答案：

將狀態(tài)空間表達(dá)式寫成:

W=X2

<x2=-5x24-100u

J=巧

進(jìn)一步寫成

X-,=-5.X-,+100〃

<

=y=x2

設(shè)降維觀測器方程為

&=(-5—/)x,+100u+1。)

x2=(-5-Z)X2+100〃+/

引入巾間變量Z=.^一枚，兩邊求導(dǎo)數(shù)得

小一斤=(一

z=^2-Zy=(-5-7)X2+100〃+5-，)0+100zz

z=(-5-/)(z+Z>,)+100z/

z=(-5-7)z-Z(5+Z)>;+100z/

根據(jù)題意，降維觀測器的極點(diǎn)為-10,即—5-7=-10,解得/=5。

最終得到降維觀測器的動態(tài)方程為

z=-10z-50y+100?/

狀態(tài)估計的表達(dá)式為范=z+5y。

［填空題］

X=W-3再

Xj=-*一考+孕—

8某2階非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為I'*-匯+3,證明該系統(tǒng)在坐標(biāo)

原點(diǎn)處漸近穩(wěn)定。

參考答案：

取李雅普諾夫函數(shù)V（x）=M+年，顯然是正定函數(shù)；此外，沿著狀態(tài)軌線的導(dǎo)數(shù)為:

>（x）=2再吊+2巧打=2毛（￡—3%|4-2x,'-宕+個個1

-6jq+2x；,：-1+；%

令函數(shù)則均-2%+3p=0,關(guān)于再的二次方程的根的判別式為

再+3

A=4-12y*>0,/W9,-?貝lj有-^^-1W-l+y,所以表達(dá)式

T+%恒小于零，因此，r（x）為負(fù)定。所以該系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)處漸近穩(wěn)定。

匯+3

［填空題］

9已知某系統(tǒng)微分方程為：y+^y+3y+y=u+5u（1）寫出系統(tǒng)的狀態(tài)空間

表達(dá)式的控制器規(guī)范型（即能控標(biāo)準(zhǔn)I型）。（2）畫出相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖。

參考答案：

（1）寫出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式的控制器規(guī)范型：

（2）畫出相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖:

［填空題］

10判斷下列系統(tǒng)的能控性與能觀性。（1）判斷

能控性。（2）判斷能觀性。

參考答案：

1520'

（1）判斷能控性：其能控性矩陣Q=[bAbA2b]=3

c1059

129158

1520

因?yàn)?1059=-666工0,即Qc滿秩，所以系統(tǒng)是完全能控的。

129158

152

（2）判斷能觀性：其能觀性矩陣Qo==14309

crA28216748

152

因?yàn)?4309=23工0,即Qo滿秩，所以系統(tǒng)是完全能觀的。

8216748

[填空題]

11有離散時間系統(tǒng)如下，求中（k）、x（k）

11

卷(左+1)]=201網(wǎng)號一

左+1)1=21&知1」島(初

L8X.(0)=-1,x2(0)=3其中輸入5

(k)=u2(k)=1

參考答案：

35

n==

方法一：解:-8■Z-8

-11

.?.令其左）=廠1￡無）即加T）=TX切代入原方程得:

］無+1）=7'-1GT^）+LHJ/K）

3_1311

010

8i（左）+[4（無）=8還）+2JM

515

000

8.IJ8.,22.

~~~i-1~

i左）=就左盲o）+Z（P-J-1）

j-o

又?.?滌）=（LGT，=；（o）=L￡o）=J

,2

且￡死。即依-/-1）=/

）■。J-0

0

0_2_

：.(p(k)=Tq)(k)TA=

-112_

0

2.

1

￡左)=T的)=

18

+—

-S3

《3

=>X,=—,/s=一

88

，545

[)=%+(%

Ai=%+Axax降衿-舒

/=%+9%

A/=a0+4%

、4=4)Y?

,i,,、「一fiinoTi

x(左)=d￡M0)+Z4尿(左-J-1)=*]2+ZK)c[1

j-oL5JXLui」LL

［填空題］

=5%

<

12試用V(x)=x：+xj研究如下系統(tǒng)1右=_。(公+1氏—5巧當(dāng)220時在平衡

點(diǎn)的穩(wěn)定性。

參考答案：

由題可知「(X)>0,且『(X)可對X］和x?求偏導(dǎo)數(shù)。

(1)確定系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。由羽=0和42=。可得系統(tǒng)平衡點(diǎn)為/=0，即原

點(diǎn)°

F(x)=2x1x1+2X2X2

，-=lO.r.x,+2x,［-a(x：+-5x,］

(2)計算P(x)。12l：J21J

=lOx^-2a(陽+嗎)陽-IOXR?

=-2a(Xi+x；)x；

(3)討論它(x)是否為負(fù)定。

當(dāng)a>0時，%x)為半負(fù)定。這時需考慮、產(chǎn)0,與=0時，P(x)是否恒為0。

若假設(shè)火。)恒為0,則要求三恒為0；而三恒為0,又要求上2恒為0。但從系統(tǒng)狀

態(tài)方程x2=-a(x；+.彳)三一5%可知，若要求尤2=0和三=0,則須滿足占=0的

條件。這就表明，在/片0時，匠。)不可能恒等于0。這時系統(tǒng)在原點(diǎn)處是漸近穩(wěn)

定的。又當(dāng)||x|f8時，P(x)f8,所以系統(tǒng)在原點(diǎn)處是大范圍漸近穩(wěn)定的。

當(dāng)a=0時，匠(x)三0,無法用P(x)=x；+￥證明在原點(diǎn)處是漸進(jìn)穩(wěn)定的。但

「051

這時系統(tǒng)已變成線性系統(tǒng)？==X,其狀態(tài)系數(shù)矩陣的特征值為±5/,所以

-50

系統(tǒng)存在持續(xù)振蕩，因此原點(diǎn)處是在李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的。

［填空題］

%)=10(5-1)

13已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：s(s+l)(s+3)1、求出系統(tǒng)約旦標(biāo)準(zhǔn)型的

實(shí)現(xiàn)；2、畫出相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖。

參考答案：

-1010-20

①++

w⑸3F?+13(5+3)

00

X=0-1

00

②其模擬結(jié)構(gòu)圖如下:

［填空題］

G")=--——

14已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為丁+6s'+Us+61.試確定a的取何值

時，會使系統(tǒng)成為不能控或不能觀測的？2.在上述的a取值下，寫出使系統(tǒng)

為狀態(tài)能控的狀態(tài)空間表達(dá)式；3.在上述的a取值下，寫出使系統(tǒng)為狀態(tài)能

觀測的狀態(tài)空間表達(dá)式；4.求a=3時，系統(tǒng)的一個最小實(shí)現(xiàn)。

參考答案：

1.因?yàn)橄到y(tǒng)的傳遞函數(shù)

G(s)=

1+6/+11S+6(s+l)(s+2)(5+3)

因?yàn)橄到y(tǒng)特征值為Si=-1、邑=-2、s3=-3,即只要。=1、2、3時，上述傳

遞函數(shù)中存在有零極點(diǎn)對消，則此時系統(tǒng)就不完全能控或不完全能觀測。

2.由上述系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，依據(jù)公式，其傳遞函數(shù)的一般式為：

w（5）=C（S7一4尸。=G（5Z-4）-1b0=、+一+1廿一+-+4$+，

s+%s+???+.5+%

應(yīng)用公式

0100

一-a1一生…一a?.i

Q=應(yīng)A

這里，％=6、q=11、a?=6,p.=a、尸i=l、￡=0,則可直接寫

出其能控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)為

-o1

x=00

—6—11

J=[a10k

3.由上述系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，應(yīng)用公式

00…0一%

10…0一W

?'

=-4、

012b

?三0?

0?一-01一a,

1=[0---01]

7^里，QQ—6、q=11、a1=69BQ=a、4=1、色=0,則可直接寫

出其能觀標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)為

01-6J[0

y=[00l]x

4.當(dāng)a=3時，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

~、s+311

(7($)=-----------------=------------=---------

(s+l)(s+2)(5+3)(s+1)(5+2)$*+3$+2

上式若按能控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)，可直接寫出其中一個狀態(tài)方程為

丁=[1*

r]「01]

可以驗(yàn)證：rankQc=ranl^BAB]=rank=2系統(tǒng)完全能控

c1rioi

rankQ^=rank=rank=2系統(tǒng)完全能觀，所以它是系統(tǒng)其中的一個

CA\|_01

最小實(shí)現(xiàn)。

［填空題］

15系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖為:

（1）寫出受控系統(tǒng)的控制器規(guī)范型表達(dá)式；（2）加入狀態(tài)反饋陣

&'=［勺仆后，寫出閉環(huán)系統(tǒng)方程；（3）寫出希望的閉環(huán)特征多項(xiàng)

式；（4）在系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖中填上相應(yīng)的數(shù)值。

參考答案：

答案及評分標(biāo)準(zhǔn)：

(1)寫出受控系統(tǒng)的控制器規(guī)范型表達(dá)式:

因?yàn)樗强刂破饕?guī)范型，所以可以通過狀態(tài)反饋對閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)進(jìn)行任意配置O

(2)加入狀態(tài)反饋陣/7=[品&左』后，閉環(huán)系統(tǒng)方程為：

01

x2=00

身K-1自一5

其閉環(huán)特征多項(xiàng)式為：/(2)=x3+(3-fc)x2+(5-占)2+Q-%)

(3)希望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式為：

/*(A)=(A+2XA+3XA+10)=x3+15z:+56z+60

令/(z)=/*(x),就可得到：:=瓦區(qū)fc2]=[-59-51-12]

(4)在系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖中填上相應(yīng)的數(shù)值：

[填空題]

16已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)，求出系統(tǒng)的約旦標(biāo)準(zhǔn)型的實(shí)現(xiàn)。

6(s+l)

%⑶=

s(s+2)($+3)2

（1）把原傳遞函數(shù)展開成部分分式形式

?、6(5+1)-4-10/331/3

砥$)=-----------T=-------------T4----------------F------------F——

s(s+2)(s+3>(s+3y5+35+2s

（2）直接寫出其并聯(lián)型對角陣實(shí)現(xiàn)形式:

參考答案:y=(-4-10/33l/3)x

［填空題］

17實(shí)際被控系統(tǒng)通常是連續(xù)時間系統(tǒng)，但計算機(jī)控制卻是一種基于離散模型的

控制，因此需要對連續(xù)時間系統(tǒng)做離散化。那么請問（1）一個能控能觀的連

續(xù)時間系統(tǒng)，其離散化后的狀態(tài)空間模型是否仍然保持能控能觀性？（2）以

"011「0〕

X=X4-U

{l_T°JL1

如下線性定常系統(tǒng)為例：=h0k顯然它是狀態(tài)完全能控且能

觀測的。并已知此系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

s-1costsint

軟)=eAt=*乳-⑷"=HI].sin,cost」確定使相應(yīng)的

離散化系統(tǒng)能控且能觀測的采樣周期的范圍。并由此說明你所給出（1）的觀點(diǎn)

的理由。

參考答案：

(1)不一定。

(2)由公式有

costsint

G(T)=①(丁)=

-sintcost

T

--

costsinr0'costsinto-1-cosT

")=(孫)他=1；dt__

-sin，cosr11-sintcost1sinT

——一0————

要使系統(tǒng)狀態(tài)能控，則能控判別陣的行列式非零，即:

1-cosTcosT-cos2T+sin*T

國G“]|==2sinT(cosT—1)r0

Ml=|sinT2sinTcosT-sinT

要使系統(tǒng)狀態(tài)能觀測，則能觀測判別陣的行列式非零，即：

一10

N===sinTw0

11|_CGjCOSTsinT

聯(lián)立上2式可知，要使離散化后系統(tǒng)能控且能觀測，丁必須滿足:

T手k元,(k=1,2,---)

顯然，離散化后系統(tǒng)并不能保證任何位置都能控且能觀測。

［填空題］

18已知受控系統(tǒng)傳遞函數(shù)為s(s+2)(s+3),請設(shè)計狀態(tài)反饋陣

二=卜。乂左』，使得閉環(huán)極點(diǎn)位于為：X,=-1.26^1.29,X2=-

1.26+jl.29,X3=-20O(1)寫出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式的控制器規(guī)范型。

(2)求出加入狀態(tài)反饋陣上，=卜。占左』后閉環(huán)特征多項(xiàng)式。(3)確定

希望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式。(4)計算其狀態(tài)反饋陣。

參考答案：

(1)寫出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式的控制器規(guī)范型:

2s+32s+3

s(s+2)(s+3)s3+5s2+6s

k[320]x

(2)求出加入狀態(tài)反饋陣F=k0仆左』后閉環(huán)特征多項(xiàng)式:

200'01

/(2)=|2Z-U+b^r02000

001?！?

=，/+(5—左J：/+(6—4])2—&

(3)確定希望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式為：

/*(A)=(A-A1)(A-A,)(A-A3)=(X+1.26-；1.29)(2+1.26+j129)(2+20)

=23+22.52/2+53.652+65

(4)計算其狀態(tài)反饋陣：

令/(2)=/*(2),就可得到:

1=[勺k、左』=[-65-47.65-17.52]

[填空題]

19已知兩個系統(tǒng)Si、S2的狀態(tài)方程和輸出方程分別為:

,r011[0]

S]：Xj=,>'!=[2l]Xj

—3-41

S2：x2=-2X2+U2,y2=x.若兩個系統(tǒng)按下圖方式串聯(lián)，設(shè)串

聯(lián)后的系統(tǒng)為So

圖示串聯(lián)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。2.分析串聯(lián)后系統(tǒng)S的能控性和能觀

性。

L因?yàn)椤?%〃2=必，y=>2,因此：

北2=-2電+川=[2l]xI_2W

%=為

串聯(lián)后系統(tǒng)S的狀態(tài)方程為:

2.串聯(lián)后系統(tǒng)的能控矩陣：

"01-4

M=[bAb/%]=1-413

01-4

明顯地,rankM=2<3,則系統(tǒng)不是完全能控的。

能觀矩陣:

參考答案：明顯地，S7fcV=3,則系統(tǒng)是完全能觀的。

［填空題］

JF（5）=-__——

20已知受控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：s3+35+2s,請設(shè)計狀態(tài)反饋控制

器，將閉環(huán)極點(diǎn)配置在-2,T+j,-1-j處，并在系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖中填上相應(yīng)的

數(shù)值。

參考答案:

(1)寫出受控系統(tǒng)的控制器規(guī)范型:

它是完全能控的，所以可以通過狀態(tài)反饋對閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)進(jìn)行任意配

置。

(2)加入狀態(tài)反饋陣二=［品除后，閉環(huán)系統(tǒng)方程為：

101

右00

左一2

閉環(huán)特征多項(xiàng)式為:

32

/(z)=X+(3->t2)x+(2-^)2-

(3)希望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式為：

/*(z)=(z+2Xx+1-/X2+1+J)=A3+4A2+6A+4

令/(A)=/(A),就可得到：F=底區(qū)&］=［一4-4-1］

(4)在系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖中填上相應(yīng)的數(shù)值。

［填空題］

(01)

A—，求e"s

21已知V-2~3J

參考答案：

解法一：根據(jù)小的定義直接計算

*=I+At+—A^t^H-----F—Antn+■■■

2!n\

1在

—3j3!

一方+3產(chǎn)一2戶+…1-3f4---12———+…

I3

解法二：變換/為約旦標(biāo)準(zhǔn)型

求特征值

IIA一1

=(2+1)(/1+2)=0

向-止32+3

解得4=-14=-2

求的變換陣

解法三：拉氏反變換方法

—1、

si-A=

s+3,

2111、

3-N)T=5+1s+2s+1s+2

-22-12

----------1--------------------------1-----------

1S+ls+2s+1S+2.J

=L[W]]=

［填空題］

22

22試用V(x)=3(X,+X2)研究如下系統(tǒng)在原點(diǎn)的穩(wěn)定性。

入f-xZ+x；)

X2=一再+x；)

參考答案：

由題可知F(x)>0,且r(x)可對巧和必求偏導(dǎo)數(shù)o

(1)確定系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。由無=0和左=0可得系統(tǒng)平衡點(diǎn)為

*1=巧=0,即原點(diǎn)。

(2)計算外力。

F(x)=6巧力i+6X2X2

=6/區(qū)-Xj(xf+4：)］+64［一巧—x,(xi+x：)］

=-6(^+x；)2<0

(3)判斷原點(diǎn)的穩(wěn)定性。由歹(力>0和『(x)<0可以斷定原點(diǎn)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

當(dāng)國T8時，P(X)f8,所以原點(diǎn)是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。

［填空題］

23將下列狀態(tài)方程化為對角標(biāo)準(zhǔn)型。臥[:

(1)求特征值

I12一1

=(A+5)(2+l)=0

1152+(5

解得4=-14=-5

(2)求特征值

a.4=-1,有

—1-葉％］叫鋌彳?f1,11

(卻-幺)匕=§

5JLvuJL°JLvu

b.4=-5,有

(如-4)*2=；

(3)構(gòu)造尸，求尸】

尸=［匕%］=:11i「5/41/41

,P-1=

—5—1/4—1/4

(4)求N和一

01_】「

A=P~ZAP=一B=p-1B=

0-5-

得到時角標(biāo)準(zhǔn)型：

二「T0\-1/4-

X=X+u

參考答案：L0一5一—1/4

［填空題］

24判斷下列系統(tǒng)的能控性和能觀測性并說明理由。

100000

0-500042

00-310x+01

000-3000

0000-210

01—101

y=X

02010

參考答案:

-31

(1)能控性判斷A陣巾約當(dāng)塊最后一行對應(yīng)的B陣相應(yīng)行為零

0-3

向量，故系統(tǒng)不完全能控。

1

(2)能觀性判斷A陣中約當(dāng)塊第一列對應(yīng)的C陣相應(yīng)列為零向

0-5

量，故系統(tǒng)不完全能觀。

［填空題］

%=-Xj+2X^X2

<

25試用變量梯度法構(gòu)造下列系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)：二一G并

分析平衡狀態(tài)Xe=O的穩(wěn)定性。

參考答案：

(1)李雅普諾夫函數(shù)V的梯度設(shè)為：

▽/=「4再+咤］=?、

41%+02212"匕,

(2)則:V=(yy)TX=(4丙+氏+(%演+，田)*2

(3)選擇參數(shù)

X

取a1］=l,a=2,%=%=0,則有：V--xf(1-2XJX2)-2.Xj

則當(dāng)1-2*%>0時，r<0o

注意到▽/=:滿足旋度方程萼=等=0

(4)所以可知：

P=(*匕出】+Jo▽匕笈=J°x"1+12x2dx2=/；+右

是正定的，

因此，在1一2X江2>0范圍內(nèi)，Xe=0是漸近穩(wěn)定的。

［填空題］

26系統(tǒng)差分方程為：+3)+5武左+2)+3］a+1)+y?=u(k+T)+2u(k)

(1)寫出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式的控制器規(guī)范型。(2)畫出其模擬結(jié)構(gòu)圖。

參考答案：

（1）寫出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式的控制器規(guī)范型:

0

於+1）=0

-1

y（左）=［210］式6

（2）畫出模擬結(jié)構(gòu)圖:

［填空題］

%=#

27已知系統(tǒng)方程為：〔&=-（1一|毛|）.一毛（1）求系統(tǒng)的平衡態(tài)。

（2）分析系統(tǒng)在平衡態(tài)處的穩(wěn)定性。（3）畫出系統(tǒng)運(yùn)動軌線示意圖。

參考答案：

（1）求系統(tǒng)的平衡態(tài)：

.\1「巧〕roi

x==II=0=x.=

一卜2」［-（1-|巧|）士-項(xiàng)」-LoJ

（2）分析系統(tǒng)在平衡態(tài)出的穩(wěn)定性：

試選Liapunov函數(shù)：。（切=,貝U：r（x）=-2xj（1-|jq|）

當(dāng)㈤=1時，r（x）=o；

當(dāng)上|＞1時，r（x）＞0,即在丐＞1和七＜-1的兩邊區(qū)域，系統(tǒng)的運(yùn)動軌跡是越來越

遠(yuǎn)離原點(diǎn)，即這兩邊區(qū)域是不穩(wěn)定的區(qū)域;

當(dāng)上|＜1時，r（x）＜o(jì),即在-1＜毛＜1的中間區(qū)域，系統(tǒng)的運(yùn)動軌跡是越來越靠近

原點(diǎn)，即中間區(qū)域是穩(wěn)定的區(qū)域。

（3）畫出系統(tǒng)運(yùn)動軌線示意圖：

i嚴(yán)

-101M

不穩(wěn)定區(qū)域穩(wěn)定區(qū)域不穩(wěn)定區(qū)域

［填空題］

■01°°

x=0-11x+0\u

28已知受控系統(tǒng)狀態(tài)方程為：L0-1-J-IJ設(shè)計狀態(tài)反饋陣，將

極點(diǎn)配置在-2,-3,-4處。

參考答案：

(1)判斷系統(tǒng)的能控性:

-005

2=卜/"/引=05-35

5-30175

...|°』=-125工0,二2滿秩，系統(tǒng)完全能控，狀態(tài)反饋可任意配置極點(diǎn)。

(2)求出加入狀態(tài)反饋陣式=民占后閉環(huán)特征多項(xiàng)式:

A000100

/(x)=|x7-(J+5^)|0A00-110［自kikJ

00A0-1-65

32

=A+(7-5k.)A+(7-5^-5^)2-5*0

(3)確定希望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式：

/*(A)=(X+2XA+3X^+4)=A3+9Z:+26X+24

(4)計算其狀態(tài)反饋陣：

令/w=/*u),就可得到：必=區(qū)區(qū)心］=|"一=一：

［填空題］

,0e-rXj

29已知某線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：［文2」0求出系統(tǒng)的

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣中(t,0)O

參考答案：

0e-rrr

3=卡°,色（也山⑺公

因?yàn)閄”)①1G0)=鼻&0)/(。，即/⑺與①1QO)滿足乘法可交換，所以①/0)=。

nA-

設(shè)△=：!-：則①?,0)=；:。下面計算「,：

-A0

由卬-①1卜0可計算出中1的特征值：A1-：=±j'A

設(shè)：力(必=%/+々用，

a=cosA

/*=ao+a/i0

則有：、=<sinA

「=ao+a-：al=-

cosAsinACOS（l-°-r）sin（l-^-r）

所以，①￡0)=

-sinAcosA-sin（l-e-r）cos（l—0-，）

［填空題］

_2s+3

%Gz)s=------------

30已知受控系統(tǒng)傳遞函數(shù)為s(s+2)"+3),綜合指標(biāo)為:

_\t_3一5

標(biāo)W5%,‘秒，計算其狀態(tài)反饋陣。

參考答案：

⑴求出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式的控制器規(guī)范型:

2s+326+3

匕(s)=

s(s+2)(s+3)1+5『+6s

⑵求出加入狀態(tài)反饋陣必=底kx后閉環(huán)特征多項(xiàng)式:

A00010

/(z)=|x/-(J+i^r)|0A00010[品9Ml

00A0-6-5

32

=Z+(5-k2M+(6-kj)A-k§

⑶確定希望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式：

a

'c=e標(biāo)<5%4>0,69取<=0.7

3V㈡-

取%=1.8

IC%

所以，一對主導(dǎo)極點(diǎn)為：4,2=-4嗎士"孑'=-L26±/L29

因?yàn)椴?』=>8,所以取第三個極點(diǎn)為久3=-20

所以，希望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式為：

/\A)=(A-A1')(A-A2)(A-A3)=(A+1.26-j1.29)(A+1.26+幾29乂幺+20)

=A3+22.522:+53.65Z+65

(4)計算其狀態(tài)反饋陣：

令/(A)=/(A),就可得到：UQ&fc]=[-65-47.65-17.52]

［填空題］

'211「01s”

X=X+U,V=10llx

31系統(tǒng)1°2」L-1J”能控的狀態(tài)變量個數(shù)是()，能觀測的狀態(tài)

變量個數(shù)是。。

參考答案：2；1

［填空題］

32給出線性定常系統(tǒng)x(%-l)=念因-%(粒)‘(燈=&(尢)能控的定義。

參考答案：

若存在控制向量序列〃伏),即=1),…Mk+N-1),時系統(tǒng)從第1步的狀態(tài)x(k)

開始，在第N步達(dá)到零狀態(tài)，即x(,V)=O,其中N是大于0的有限數(shù)，

那么就稱此系統(tǒng)在第4步上是能控的。若對每一個左，系統(tǒng)的所有狀

態(tài)都是能控的，就稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡.稱能控。

［填空題］2

33已知系統(tǒng)1、2的傳遞函數(shù)分別為gi