統(tǒng)計假設檢驗

第一章測量平差總論

§1-1測量平差的基本概念

一、測量平差問題

測量誤差，也稱觀測誤差，是待觀測量的真值與其觀測值之差。觀測只是指

用一定的儀器、工具、傳感器或其他手段獲取反映地球及其他實體與空間分布有

關信息的過程和數(shù)據(jù)。不論觀測條件如何，測量誤差總是不可避免的。

多余觀測，為了確定一定的幾何模型，并不需要知道該模型中所有元素大小，

而只需要知道其中必要的部分元素的大小就行了。例如確定一個平面三角形的形

狀，只需要知道其中任意二個內(nèi)角的大小。這二個內(nèi)角觀測值就稱為必要觀測。

在幾何模型中多于必要觀測數(shù)的觀測數(shù)稱為多余觀測數(shù)，如三角形中共觀測了三

個內(nèi)角，則多余觀測數(shù)為1。為了檢查觀測值中是否存在錯誤，并提高觀測成果

的精度，一定要進行多余觀測。

不可避免的測量誤差和一定要進行的多余觀測這兩個原因?qū)е铝擞^測值之

間，或觀測值與已知值之間出現(xiàn)矛盾（不符值）。比如，對同一量的多次觀測，

其觀測結(jié)果不相等；觀測值或觀測值的函數(shù)與其理論值不相等（最典型的是三角

形的三內(nèi)角觀測值之和不等于理論值180°）。觀測值之間的這種矛盾（不符值），

使得測量問題的解不惟一。為了消除這種矛盾（不符值），得到測量問題的惟一

解，就要對引起這種矛盾（不符值）的主要原因一一測量誤差進行研究和處理。

處理帶有誤差的觀測值，按最小二乘原理消除觀測值之間的矛盾，求出測量問題

的惟一解并評定精度的理論和方法被稱為“測量平差”。

“測量平差”一詞在我國最早出現(xiàn)在夏堅白、王之卓和陳永齡三位教授合著

的我國第一本測量方面的教材?！岸四昵铮呷送诶ッ?，分別任教于

同濟大學、西南聯(lián)大及中山大學。教學之際，深感國內(nèi)關于測量課本及參考書之

缺乏，學者苦之，乃有編輯測量學叢書之決心，而以《測量平差法》川一書為始?！?/p>

（引自《學部委員夏堅白》）。“測量平差”主要研究測量誤差的理論、測量平差

的方法和測量成果的精度評定。

二、誤差理論

研究內(nèi)容包括：誤差分布、精度指標、誤差估計、誤差檢驗、誤差分析以及

誤差預測和控制。

在《誤差理論與測量平差基礎》⑵一書中，假定系統(tǒng)誤差已經(jīng)通過某種手段

得以消除，而且不存在粗差。在這一前提下，測量誤差服從正態(tài)分布，其數(shù)學期

望（真值）為零。方差為衡量觀測值或觀測誤差的精度指標。隨機向量X的方

差的定義為：

O(X)=E[(X-E(X))(X—E(X))T](1-1-1)

當x為一個隨機變量時，其方差可以記為:

O(X)=b；=E(X-E(X))2(1-1-2)

q就是X的中誤差(即標準差，下同)。

方差D(X)定義式(1-1-1)的顯式為:

?(T

。x；\%盧2,x\xn

2

(y(J.??a

D(X)=xY\Yx2xY2xrn

*???

?,?

(T.???CT；

LXiXnr

式中主對角元素為X,的方差，非主對角元素°；內(nèi)為X,與Xj的協(xié)方差，協(xié)方差

的定義式為：

?「仇(X「E(X,))(XJ-E(XJ))](1-1-3)

方差還可表達為相應的協(xié)因數(shù)與單位權(quán)方差的乘積，即：

O(X)=a?念(M-4)

式中2”稱為協(xié)因數(shù)矩陣。當2a非奇異時，。工「=P，P為x的權(quán)陣。當x為--

個隨機變量時，則權(quán)的定義為：

P、再(1-1-5)

上式表明，權(quán)與方差成反比。比例常數(shù)加稱為單位權(quán)方差。權(quán)是一個相對精度

指標。

誤差估計總是與平差參數(shù)估計同時進行，而且依附于平差參數(shù)估計之中，因

為誤差也是平差系統(tǒng)中所要估計的參數(shù)。

誤差檢驗的目的是要在平差問題中排除系統(tǒng)誤差和粗差的影響，以保證測量

成果的精度。

三、平差方法

在《誤差理論與測量平差基礎》中，介紹了條件平差、間接平差、附有參數(shù)

的條件平差、附有限制條件的間接平差和附有限制條件的條件平差等五種平差方

法。這五種平差方法并無本質(zhì)的差別，只是所選參數(shù)的個數(shù)不同，以及參數(shù)之間

是否相關所至。因此，我們通常稱這五種平差方法為經(jīng)典平差，它們是測量平差

的基礎方法。

在經(jīng)典平差中，如果不選參數(shù)，即當所選參數(shù)的個數(shù)"=0時，平差的函數(shù)模

型為：

AU+W=O(1-1-6)

rx.n，？xlrxlrxl

式中〃為觀測值的個數(shù)，r為多余觀測的個數(shù)。以(1-1-6)式為函數(shù)模型的平差

問題，稱為條件平差。

當所選參數(shù)的個數(shù)為〃，為必要觀測數(shù))，且參數(shù)之間相互獨立時,

平差的函數(shù)模型為：

AV+BX+W=0(1-1-7)

cxnwxlcxu“xlcxlcxl

式中c=r+u為條件方程的個數(shù)，X為所選取的M個參數(shù)向量。以(1-1-7)式

為函數(shù)模型的平差問題，稱為附有參數(shù)的條件平差。

當所選參數(shù)的個數(shù)為〃=3且參數(shù)之間相互獨立時，平差的函數(shù)模型為:

V=BX-L(1-1-8)

nxt/xl〃xl

以(1-1-8)式為函數(shù)模型的平差問題，稱為間接平差。

當所選參數(shù)的個數(shù)為〃＞3且包含f個獨立的參數(shù)時，其余“7個參數(shù)都可

以表示成/個獨立參數(shù)的函數(shù)，于是平差的函數(shù)模型為：

V=B災一乙

7?xlnxuwxlMX1

(1-1-9)

C玄+W\—o

sxuMxlsx]sxl

式中s=為限制條件的個數(shù)。以(1-1-9)式為函數(shù)模型的平差問題，稱為附

有限制條件的間接平差。

當所選參數(shù)的個數(shù)為0＜，，＜3且參數(shù)之間不獨立時，平差的函數(shù)模型為:

AV+BX+W=O

cxnMXIcx.u〃xlcxlcxl

(1-1-10)

CX+WX=Q

MXl$x]$xl

以(1-1-10)式為函數(shù)模型的平差問題，稱為附有限制條件的條件平差。

通常將間接平差和限制條件的間接平差稱為參數(shù)平差，其應用最為廣泛。其

它三種總稱為條件平差。各種平差方法可以互相轉(zhuǎn)換。以上經(jīng)典平差法的最優(yōu)估

計準則為最小二乘原理。

四、平差結(jié)果的精度評定

精度評定包括兩個內(nèi)容，第一內(nèi)容是根據(jù)平差后求得的改正數(shù)來估計單位權(quán)

中誤差，即

lvTPV

a°=^r("

式中V為觀測值的改正數(shù)(殘差)向量，P為觀測值的權(quán)矩陣，「為平差問

題的自由度，即多余觀測數(shù)。

第二內(nèi)容是應用協(xié)因數(shù)傳播律，計算觀測值函數(shù)。=4的協(xié)因數(shù)。加,

其公式為：

Q^=fQfT(1-M2)

最后e的方差估值為：

/=蘇。加(1-1-13)

§1-2參數(shù)平差原理總述

一、附有限制條件的間接平差原理⑵

1、平差模型

附有限制條件的間接平差的函數(shù)模型和隨機模型分別為:

乙=3X+△

nxAnxuuxlz?xl

(1-2-1)

C7X+Wx.—Oa

sxuux\$x]

D=^Q=^P-1(1-2-2)

相應的誤差方程和條件方程為：

V=BX-1

>(1-2-3)

CX+=O

式中

l=L-BX°(1-2-4)

按最小二乘原理，在

T

0=VPV+2K；(C戈+WX)=min

下得法方程及其解為

Tr

NBBX+CKs-BPI=0

>d-2-5)

C戈+%=0

T(1-2-6)

K°,=N-CC\CNBB-'BPI+WXV)'

X=(A^-1-N-'CTN-'CN-')B'Pl-N-'CrN-'W.

BBBBCCBBBBCCx

式中

NBB=B「PB，N,『=CN：CT(1-2-7)

2、精度評定

(1)、單位權(quán)方差

單位權(quán)方差估值為:

-2VTPVVTPV

b=-------=------------(1-2-8)

rn-(u-s)

(2)、協(xié)因數(shù)陣

協(xié)因數(shù)陣的計算公式列于表1-1

表1-1附有限制條件的間接平差的協(xié)因數(shù)陣

LXVL

LQBQ效-QvvQ-Qvv

1T

XQWN-BB-NB-B'CNCC-'CNBB-'00H

V~Qvr0Q-BQH0

0

LQ~QvvBQ效Q~QyV

二、間接平差原理

在附有限制條件的間接平差中，當參數(shù)的個數(shù)正好等于必要觀測數(shù)，即u=t,

且參數(shù)之間彼此獨立時，有$=上1=0,即此時不存在條件。于是函數(shù)模型(1-2-1)

式就變?yōu)椋?/p>

L=BX+A(1_2.9)

/1X1MX1〃X1一

相應的誤差方程、法方程及其解為：

V=BX-I(1-2-10)

T(1-2-11)

NBBX-BPI=O

T(1-2-12)

X-NBB'BPI

間接平差中單位權(quán)方差的估值為:

QVrPVVTPV

(1-2-13)

間接平差中的協(xié)因數(shù)陣見表1-2。

表1-2間接斗F差中的協(xié)因數(shù)陣

LXVL

BN-1BN-'BT-QBN-'B'

LQBBBBQBB

N-'BTN-l0N-'Br

XBBBBBB

VBN-'BB'-QQ0Q-BN-BB'B'0

BN-'BTBN」'BN-'B1

LBBBB0BB

§1-3測量平差的若干進展

僅考慮偶然誤差的經(jīng)典平差在整個測量史上發(fā)揮了巨大的作用，至今仍廣泛

應用。但隨著科學技術的不斷擴展，測量數(shù)據(jù)采集的現(xiàn)代化、自動化和高精度化,

使得有時經(jīng)典平差模型不能適應實際問題的需要，因此，測量平差的研究內(nèi)容也

不斷擴展。這些擴展主要體現(xiàn)在：

1、從法方程系數(shù)矩陣滿秩擴展到法方程系數(shù)矩陣虧秩

在經(jīng)典平差中，任何一個平差問題總是具有足夠的起算數(shù)據(jù)，或稱為具有足

夠的基準條件。在這個前提下，我們得到的法方程的系數(shù)矩陣總是滿秩的。由于

法方程的系數(shù)矩陣滿秩，法方程具有唯一解。但在實際工作中，有時存在沒有足

夠的起算數(shù)據(jù)的情況。例如，在水準測量中沒有已知水準點但卻以高程位參數(shù)就

是這種情況。當一個平差問題沒有足夠的起算數(shù)據(jù)時，法方程的系數(shù)矩陣就會秩

虧，致使法方程沒有唯一解。為了解決這個問題，1962年邁塞爾(P.Meissl)提

出了秩虧自由網(wǎng)平差的思想，將經(jīng)典平差擴展到秩虧自由網(wǎng)平差。

2、從僅處理靜態(tài)數(shù)據(jù)擴展到處理動態(tài)數(shù)據(jù)

在經(jīng)典平差中，觀測值和待估參數(shù)都是不隨時間變化的靜態(tài)數(shù)據(jù)。但在現(xiàn)

代測量中，很多情況下觀測值和待估參數(shù)都是隨時間變化的動態(tài)數(shù)據(jù)。例如，

GPS導航中的觀測值和待估參數(shù)就是隨時間變化的動態(tài)數(shù)據(jù)。為了處理觀測值和

待估參數(shù)都是隨時間變化的動態(tài)數(shù)據(jù)，1960年卡爾曼(R.E.Kalman)提出了著

名的卡爾曼濾波。應用卡爾曼濾波和其他動態(tài)平差方法，使僅能處理觀測值和待

估參數(shù)都是不隨時間變化的靜態(tài)數(shù)據(jù)的經(jīng)典測量平差，擴展到能處理觀測值和待

估參數(shù)都是隨時間變化的動態(tài)數(shù)據(jù)。

3、從無偏估計擴展到有偏估計

經(jīng)典平差的優(yōu)良統(tǒng)計性質(zhì)是估計結(jié)果的無偏性和方差最小性，即經(jīng)典平差中

估計出來的參數(shù)是最優(yōu)無偏估計。但當法方程病態(tài)時，由于觀測值的很小的誤差，

就會使待估參數(shù)產(chǎn)生很大的變化，不僅解極不穩(wěn)定，而且方差的數(shù)值還會很大。

1955年，Stein證明了若法方程病態(tài)，則當參數(shù)的個數(shù)f大于2時，基于正態(tài)隨

機變量（觀測值）的最小二乘估計（經(jīng)典平差）為不可容許估計，即總能找到另

一個估計，在均方誤差意義下一致優(yōu)于最小二乘估計。統(tǒng)計學家們將這種現(xiàn)象稱

為Stein現(xiàn)象。根據(jù)Stein現(xiàn)象，Stein于1955年提出了通過壓縮改進最小二乘估

計的方法。通過對最小二乘估計結(jié)果進行壓縮改進后，其估計結(jié)果就不再具有無

偏性。因此，就稱對最小二乘估計結(jié)果進行壓縮改進后的結(jié)果為有偏估計。有偏

估計被提出以后，至今以擴展了很多有偏估計方法。在大量的有偏估計方法中，

研究得最多的是嶺估計。

4、從線性模型的參數(shù)估計擴展到非線性模型的參數(shù)估計

經(jīng)典平差方法實際上是線性模型的參數(shù)估計。但測量實踐中卻存在大量的非

線性模型。在經(jīng)典平差中總是對非線性模型進行線性近似，即將其展開為臺勞級

數(shù)，取至一次項，而略去二次以上各項。如此線性近似，必然會引起模型誤差。

如果線性近似所引起的模型誤差小于觀測誤差，則線性近似所引起的模型誤差可

忽略不計。隨著科學技術的不斷擴展，現(xiàn)在的測量精度已大大提高，致使線性近

似所引起的模型誤差與觀測誤差相當。甚至還會大于觀測誤差。因此，用近似的

理論、模型、方法去處理具有很高精度的觀測結(jié)果，從而導致精度損失，顯然是

不合理的?，F(xiàn)代科學技術要求估計結(jié)果的精度盡可能提高。這樣，傳統(tǒng)的線性近

似的方法就不能滿足當今科學技術的要求。更重要的是，有些非線性模型對參數(shù)

的近似值十分敏感,若近似值的精度較差，線性近似時就會產(chǎn)生較大的模型誤差。

此時用線性模型的精度評定理論去評定估計結(jié)果的精度，會得到一些虛假的優(yōu)良

統(tǒng)計性質(zhì)，人為地拔高了估計結(jié)果的精度。為此，人們提出直接處理非線性模型，

這樣就使線性模型的參數(shù)估計擴展到非線性模型的參數(shù)估計。

5、從待估參數(shù)為非隨機量擴展到待估參數(shù)為隨機量

在經(jīng)典平差中，待估參數(shù)為非隨機量。但在有些實際問題中，某些待估參數(shù)

的先驗統(tǒng)計性質(zhì)（如期望和方差）是已知的，這就導致帶有隨機參數(shù)的平差問題

的出現(xiàn)。如1969年，克拉魯普（T.Krarup）提出的最小二乘配置，就將待估參

數(shù)僅為非隨機量推廣到待估參數(shù)為隨機量。此外，待估參數(shù)為隨機量的估計還有

貝葉斯（Bayes）估計。

6、從觀測值僅含偶然誤差擴展到有含有系統(tǒng)誤差和粗差

經(jīng)典平差的最大特點就是假定觀測值為僅含偶然誤差、服從正態(tài)分布的隨機

量。但實際觀測值中往往既含有偶然誤差，又含有系統(tǒng)誤差和(或)粗差。當觀

測值中含有粗差時，由于最小二乘估計不具備抵抗粗差的能力，估計結(jié)果將嚴重

地受到粗差的污染。為此，統(tǒng)計學家自然地希望尋求一種能抵抗粗差的估計方法。

于是1953年薄克斯(G.E.P.Box)提出了穩(wěn)健估計(RobustEstimation)概念。

但只到二十世紀六十年代，才出現(xiàn)研究穩(wěn)健估計的熱烈局面。因此，人們公認穩(wěn)

健估計始于1964年，即認為1964年胡倍爾(P.J.Huber)發(fā)表的“位置參數(shù)的

穩(wěn)健估計”一文為穩(wěn)健估計方面的開創(chuàng)性論文。穩(wěn)健估計的出現(xiàn)，就使測量平差

擴展到可以處理除含偶然誤差外還含有粗差的觀測值。

同樣，系統(tǒng)誤差在測量過程中也是存在的，為了處理系統(tǒng)誤差，往往在經(jīng)典

平差的基礎上附加系統(tǒng)參數(shù)。因此，有了附加參數(shù)的平差方法。近年來，又開展

了對應用半?yún)?shù)估計理論來處理系統(tǒng)誤差的平差問題的研究。

7、從主要研究函數(shù)模型擴展到深入研究隨機模型

在經(jīng)典平差中，主要研究函數(shù)模型。例如，五種經(jīng)典平差的函數(shù)模型及其內(nèi)

在聯(lián)系。1923年，赫爾墨特(F.R.Helmert)提出了方差分量估計理論，使兩類

以上觀測值同時平差時正確確定各類觀測值之間的權(quán)比成為可能。隨著方差分量

估計理論的提出，開辟了深入研究隨機模型的途徑。

8、從最小二乘估計準則擴展到其它多種估計準則

在經(jīng)典平差中，實際上只是應用了最小二乘估計準則。隨著科學技術的擴展，

參數(shù)估計理論得到了巨大的發(fā)展。出現(xiàn)了極大似然估計、最小二乘估計、極大驗

后估計、最優(yōu)無偏估計，貝葉斯估計、穩(wěn)健估計、a范估計、信息擴散估計、極

大可能性估計、半?yún)?shù)估計等等多種估計方法。應用上述各種估計的測量平差問

題已取得了許多成果，并在進一步深入研究之中。

§1-4本課程的任務和內(nèi)容

高等測量平差是在經(jīng)典測量平差及其相應的誤差理論的基礎上進行擴展，著

重介紹在測量數(shù)據(jù)處理實踐中一些常用的近代平差方法及其相應的誤差理論知

識。本課程是《誤差理論與測量平差基礎》的后續(xù)課程，故本課程取名為高等測

量平差。

本課程內(nèi)容的選取，主要考慮培養(yǎng)測繪工程專業(yè)本科生這一層次所必須掌握

的平差理論知識的要求，同時也兼顧后續(xù)專業(yè)課教學的需求。為此，本課程主要

內(nèi)容為：

1、平差模型的統(tǒng)計假設檢驗。介紹測量平差中常用的假設檢驗統(tǒng)計量及

其各種假設檢驗方法。

2、回歸分析理論和方法。介紹回歸分析在測量數(shù)據(jù)處理中的應用以及各

種常用模型的回歸分析方法。

3、秩虧自由網(wǎng)平差理論與方法。介紹廣義逆矩陣以及測量中常用的秩虧

自由網(wǎng)平差的各種方法。

4、穩(wěn)健估計理論和方法。介紹穩(wěn)健估計原理、選全迭代揭發(fā)、以及針對

處理粗差的幾種常用抗查最小二乘法。

5、非線性模型的平差理論和方法。介紹非線性最小二乘估計原理、算法

和估計量的統(tǒng)計性質(zhì)。

第二章統(tǒng)計假設檢驗

測量數(shù)據(jù)處理的主要內(nèi)容之一是根據(jù)觀測數(shù)據(jù)做出統(tǒng)計推斷。統(tǒng)計推斷分為參數(shù)估計和假設

檢驗，我們所熟悉的測量平差就屬于參數(shù)平差的范疇。假設檢驗則是根據(jù)樣本來查明總體是

否服從某個特定的概率分布。因為假設檢驗與概率分布有關，故先介紹幾種常用的抽樣分布。

一、兒種常用的抽樣分布

1、正態(tài)分布

設平差系統(tǒng)觀測向量為L=［乙???LJ,其中b；),真誤差△,=2一4

n1

的期望E(AJ=O,參數(shù)向量為N=K…通過平差計算，可獲得其中參數(shù)占的

估值￡，并可表示為觀測值的線性函數(shù)

X=a,1L,+<z,2L,+???+ainLn=L

a'=<??即］,按誤差傳播定律得crj.=Q%

由于戈，.是正態(tài)變量4的線性函數(shù)，戈,~N(X,，W)。

對正態(tài)變量戈，.標準化

文「X,

u=--------L

外，

因為

E(u)—后(文).~-o,er：=(o■:+0)=1>

所以

M~N(0,1)為標準正態(tài)變量。

L

P<-ua<---------<ua>=\-a

I0■兄.5,

有標準正態(tài)分布表終可查得

a0.31730.100.050.04550.010.00270.001

ua1.01.6451.962.02.5763.03.29

2

有正態(tài)分布引出下列三種分布

2,%2分布統(tǒng)計量

在平差系統(tǒng)中，殘差平方和V’PV是個重要的統(tǒng)計量，在平差參數(shù)估計和假設檢驗

中往往要用到，為此，要了解其概率分布。

已知統(tǒng)計數(shù)學中的二次型分布定理為：

設X~N（u,E）,例為對稱陣，且有為基等陣，則二次型X，MX服從非中心化

的％2分布：XTMX-x\R^M),uTMu)

I~N(6X,b；0),MZ==PQVV,PQVVPQVV=PQw為幕等陣,

b()

V1py

所以——~/2(/?(M),(5X)rMBX)

R(M)=nT

九=(BX)TMBX=0

VTPV

-z2(/)-f=n-t

T

,2VPV

P\X<——<z|?=1-a

2%3,

3、t分布統(tǒng)計量

定義：隨機變量x、Y相互獨立，X~N（O,I）,y~z2（/）,

X

t-i--------~，(/)，

y/yTf

前面標準正態(tài)統(tǒng)計量

O■。為母體單位權(quán)標準差，在實際問題中經(jīng)常是未知的,

X1-X

概率表達式為P\-ta<―----<fa5=1-a

II6。匹IJ

4、F分布統(tǒng)計量

2

定義：隨機變量X、Y相互獨立，X~%2(〃j,Y~X(n2),

F=3

Y/n2

p["5bo”5J=1-a

二、統(tǒng)計檢驗常用方法

統(tǒng)計檢驗是根據(jù)樣本來查明總體是否服從某個特定的概率分布

(1)首先對母體概率分布作出陳述(即假設)；

(2)根據(jù)從該母體中抽出的樣本來判斷是否與前陳述一致(即檢驗)

(3)通過檢驗來決定是接受還是拒絕假設.

某基線場設置的基線，經(jīng)精密測定，其長度為Lo=12OO.252m,為了檢驗兩臺測距儀的精度,

分別用兩臺儀器對該基線各復測25測回，得平均長度L=12()0.264m,L2=1200.249m。

已知兩臺儀器的觀測精度相同，每測回的標準差均為0.015m,試用顯著水平0.05檢驗則兩

個平均長度和基線長度的差別是否完全有觀測的隨機性而引起的。

設某廠生產(chǎn),種燈管，其壽命服從N(u,40000),從過去情況看，燈管平均壽命為1500小時,

現(xiàn)采用新工藝后，從新產(chǎn)品中抽出16個，測得平均壽命為1675小時，問新產(chǎn)品的壽命是否

有顯著提高？（顯著水平為0.05）

設有2人觀測某地緯度，已知此二人觀測緯度一次的中誤差為0.63秒，現(xiàn)在甲觀測該地緯

度12次，得平均值秒數(shù)為1.20秒，乙觀測該地緯度8次，得平均值秒數(shù)為1.15秒，問他們

所得結(jié)果的差異是否顯著？（顯著水平為0.05）

二、統(tǒng)計假設檢驗的概念

1.接受域與拒絕域

統(tǒng)計假設檢驗所解決的問題，就是根據(jù)觀測樣本，通過檢驗來判斷母體分布是否具有指定的

特征。在這里，我們通過對改正數(shù)的檢驗，構(gòu)造統(tǒng)計量，在所作的假設下，判斷是否有模型

誤差。例如，統(tǒng)計量（4-3-6）式是在平差模型不存在粗差即E（匕）=0的假設下得出的，此

時的統(tǒng)計檢驗在于將標準化殘差W,與所選定的臨界值卬區(qū)進行比較，叱的置信區(qū)間為

2

-'

P<-wa<<wa>=l-a（4-3-9）

.22.

或

P<|w-|<wa>=\-a（4-3-10）

、五

上式中，-Wq,卬q是區(qū)間的上下限，其數(shù)值可根據(jù)給定的。從正態(tài)分布表中查得。

2~2

這就是說，當我們作了假設E（匕）=0。為了檢驗這一假設是否成立，計算統(tǒng)計量

IvJ、一、一,

vv.=—J——,使（4-3-10）式成立，那么，就表不明是落在（-w,w）區(qū)間內(nèi)，在

叵22

這種情況下，沒有理由否定原先所作的石（匕）=0假設，即接受原假設，通常將區(qū)間（?2,

2

卬里）稱之為接受域。反之，如果計算結(jié)果明>叩名或VWg，就表示概率很小的事件居然

發(fā)生了。根據(jù)小概率事件在一次實驗中不可能出現(xiàn)的原理，就有足夠的理由否定原來所做的

E（匕）=0假設，即應拒絕原假設E（匕）=0,而認為石（匕）W0。。通常將（-卬。，w0）

2~2

區(qū)間以外的范圍稱之為拒絕域（圖4-4）。

2、原假設與備選假設

由以上所述可見，當需要根據(jù)子樣信息來判斷母體分布是否具有指定的特征時，總是

先作一.個假設，稱為原假設（或零假設），記為4.。然后，找一個適當?shù)那移浞植紴橐阎?/p>

的統(tǒng)計量，確定該統(tǒng)計量經(jīng)常出現(xiàn)的區(qū)間，使統(tǒng)計量落入此區(qū)間的概率接近于1,如果由抽

樣的結(jié)果計算出的統(tǒng)計量的數(shù)值不落在這一經(jīng)常出現(xiàn)的區(qū)間內(nèi)，那就表示小概率事件發(fā)生

了，則應拒絕原假設"°，當"°遭到拒絕，相當于接受了另一個假設，稱為備選假設，記

為小。因此，假設檢驗實際上就是要在原假設與備選假設之間做出選擇。

3、顯著（性）水平

接受域和拒絕域的范圍大小是與我們所給定的a值大小有關的，a值愈大，則拒絕域

愈大，被拒絕的機會就愈大，a的大小通常應根據(jù)問題的性質(zhì)來選定，當不應輕易拒絕原

假設”o時，應選擇較小的a,一-般使用的a值可以是0.04、0.01等。

對于上述統(tǒng)計量而言，當帆卜」工>卬〃時，則稱匕與0的差異是顯著的，反之，則

九2

稱匕與0之間的差異不顯著。因此，數(shù)a稱之為檢驗的顯著（性）水平，上述的假設檢驗問

題通常敘述成：在顯著水平a下，檢驗假設“o：E（匕）；/:E（匕）=0。

4、單、雙尾檢驗法

上述假設檢驗的例子，是將拒絕域布置在統(tǒng)計量分布密度曲線兩端的尾巴上，這

種檢驗稱為雙尾檢驗法；有時根據(jù)實際情況，需要判斷母體均值是否增大了，即檢驗假設

HQ:〃=E（x）;乩:fj>E（x）

為了進行這樣的假設檢驗，只要將a布置在右尾上。如需檢驗假設

Ho:〃=E（x）;H]:/J<￡（x）

則將a布置在左尾上，這樣的檢驗方法稱為單尾檢驗法。

5、棄真與納偽的概率

假設檢驗是以小概率事件在一次實驗中實際上是不可能發(fā)生的這一前提為依據(jù)的。必

須指出，小概率事件雖然其出現(xiàn)的概率很小，但并不是說這種事件就完全不可能發(fā)生。事實

上，如果我們重復抽取許多組子樣，由于抽樣的隨機性，由此算得的統(tǒng)計量數(shù)值也具有隨機

性。若檢驗的顯著水平a定為0.05,那么，即使原假設“°是真的，其中仍約有5%的計算

數(shù)值將會落入拒絕域中。由此可見，進行任何假設檢驗總是有做出不正確判斷的可能性，不

可能絕對不犯錯誤，當"o為真而遭到拒絕的錯誤稱為犯第一類錯誤，也稱為棄真錯誤，犯

棄真錯誤的概率是a。同樣地，當〃。為不真時，我們也有可能接受"o,這種錯誤稱為犯

第二類錯誤，也稱為納偽錯誤。犯納偽錯誤的概率為夕（見圖4-6）。

例4-3子樣均值x的抽樣分布是正態(tài)的，均值為片，中誤差a*=2。

原假設"°:4=0,備選假設^0表4-3置信度a與臨界值VV&的關系

2

選定顯著水平a=0.05,查正態(tài)分布表4-3得卬〃=1.96

a

~2

原假設為真時，確定檢驗統(tǒng)計量卬=±互=七9

0.051.96

22

0.012.57

根據(jù)(4-3-10)式，有接受域P兇<x2=3.92?=l-a0.0013.29

和拒絕域（見圖4-5）.

此時，當“。為真時而遭到拒絕，稱為犯第一類錯誤，也稱

圖4-5接受域與拒絕域圖4-6犯納偽錯誤的概率

若備選假設為真時，如J=2,亦即“0為偽，則X的分布實為N（2,2）,見圖4-6。

如x的觀測值落在拒絕域中，我們拒絕“。,這是正確的，如x的觀測值落在接受域中，使

我們作出錯誤的判斷，認為％為真，這就犯了第二類錯誤（納偽/），期率/是圖6-6

中當"i為真時接受域范圍內(nèi)密度曲線下的面積。，值的計算：將±3.92標準化得

嗎=]_（—3.92—2）=—2.96,

w2（3.92-2）=+0.96

查正態(tài)分布表得①（卬J=0.0015,①（卬2）=0.8314

則￡=0）（^2）—①（嗎）=0.830

6、檢驗功效

在上例中，作出錯誤的判斷（納偽）的概率為0.83,作出正確判斷（棄偽）的概率為

1-^=0.170?如果重復抽取許多組子樣，其中將有83%使我們犯第二類錯誤，有17%使

我們作出正確的判斷，這種作出正確判斷的概率稱為檢驗功效，其概率為1-尸。

根據(jù)以上所述，將假設檢驗的四種可能性列于表4-4中。

表4-4假設檢驗的四利『可能性

現(xiàn)象判斷結(jié)果概率

接受正確\-a

也為真

拒絕第一類錯誤（棄真）a

接受第二類錯誤（納偽）

”o為不真B

拒絕正確

為真）\-/3（檢驗功效）

對于一個檢驗問題，總希望棄真概率a和納偽概率/均盡可能的小，但這是做不到的，

從圖4-6和表4-3可以看出，a減小，￡就跟著增大。通常認為棄真的錯誤較之納偽的錯誤

更為嚴重，因此，總是先控制a,例如，根據(jù)問題的性質(zhì)，選用a為0.05、0.01或0.001

等，然后，在不改變a的前提下，盡可能使減小，即使檢驗功效1-夕增大。檢驗功效代

表為某?數(shù)值的粗差被正確發(fā)現(xiàn)的概率。

第三章回歸模型的參數(shù)估計與假設檢驗

§3-1概述

在測量數(shù)據(jù)處理中，經(jīng)常遇到要研究變量與變量之間的關系。變量之間的關系一般可分

為兩類。一類是變量之間具有確定性關系，稱為函數(shù)相關。例如矩形面積S與其兩邊a、b

之間存在確定性關系為s=ab；一個平面三角形的一個內(nèi)角7與其它兩個內(nèi)角。、，之間關

系為y=180°-0-/；兩點間的縱坐標增量Ac等于邊長S乘以方位角。的余弦，即

Ax=scosa等，這些變量之間可用一個確定的函數(shù)模型表達。在我們學過的《誤差理論與

測量平差基礎》課程中，所討論的大多是這種確定性的函數(shù)模型。另一類是變量之間并不存

在確定的函數(shù)關系，而是存在所謂相關關系，或者說是統(tǒng)計上的相關關系，稱為統(tǒng)計相關。

例如，每年春季氣溫與降雨量，人的高度與體重之間就存在著統(tǒng)計相關。這種現(xiàn)象在測繪學

中也大量存在。例如測距結(jié)果與儀器中電子線路受固定的干擾信號引起誤差之間；重力測量

結(jié)果與氣壓、溫度、地下水等因素之間；海平面變化與氣象、海洋天文因素之間；斷層位移

與斷層活動趨勢、氣溫、地溫、蒸發(fā)、降雨量之間等等都是這種現(xiàn)象。這種統(tǒng)計相關的特點

是，它們之間既存在著一定的制約關系，又不能由一個(或幾個)變量數(shù)值精確地求出另一

個變量的值來，由變量之間統(tǒng)計相關所建立的函數(shù)模型稱為回歸模型。

回歸分析方法是研究相關關系的一種有力的數(shù)學工具。它是建立在對客觀事物進行大量

實驗和觀測的基礎上，尋找隱藏在不確定性關系后面的統(tǒng)計性規(guī)律的數(shù)理統(tǒng)計方法。

在進行回歸分析時，將研究相關關系的各變量分為自變量和因變量，例如因變量y隨著

m個自變量芯,々…,x,“而變化，y是正態(tài)分布的隨機量，觀測數(shù)據(jù)(?，…X"”)

(i=l,2…〃)，稱為樣本，如果因變量與自變量之間的關系為線性的，稱為線性回歸模型，

否則，就稱為非線性回歸模型。在線性回歸模型中，若自變量x的個數(shù)只有一個稱為一元線

性回歸模型，自變量x的個數(shù)大于一個，稱為多元線性回歸模型.回歸分析主要研究的問題

是：

(1)如何根據(jù)樣本(y^xu,x2i,---xmi)?(i=1,2…〃)建立回歸模型；

(2)如何估計回歸模型參數(shù)：

(3)如何檢驗模型參數(shù)的顯著性；

(4)如何利用回歸方程進行預報和控制。

§3-2線性回歸模型

設一個隨機變量y與m個自變量X1,4,…之間存在線性形式的統(tǒng)計相關關系，因為

它們并不是確定的函數(shù)關系，即使給定了修,々,/之值也不唯一決定y值，因此它們之

間的表達式應寫成

y=A)+4匹+42了2+…+凡,x,“+￡(3-2-1)

式中￡是隨機誤差，它是N(0變量，即￡的期望￡(￡)=0,方差。(￡)=〃。領

40=1,2…機)，稱為回歸方程的系數(shù)。

取(3-2-1)式的期望和方差

E(y)=0[X[+設2+…+仇(3-2-2)

O(y)=O(￡)=/(3-2-3)

(3-2-2)式說明片+川*+夕2々+…+&x,“是再,々…,x,“對y的平均影響，隨機變量

y~N(E(y)/)。

(3-2-1)式是線性回歸模型，(3-2-2)式是線性回歸理論模型。

為了估計模型參數(shù)，需要對變量進行n次觀測，得n組觀測數(shù)據(jù)(yt,xu,xv,---xmi)

(z=1,2,???,?),代入方程(3-2-1)有n個方程。

y(=片+占應+x2a2+,,'+X""￡"+與('=1,2,“.,”)(3-2-4)

其矩陣形式為

Y=Xp+￡(3-2-5)

n\ntn+1/n+|jn1

這是回歸參數(shù)估計的函數(shù)模型，其隨機模型為

D(s)=a2I(3-2-6)

nn

式中I為單位陣。Y為觀測值向量，力為待求的參數(shù)向量。

當觀測數(shù)〃〉(m+1)時，可用最小二乘原則估計參數(shù)/，設其估值為力,代入(3-2-2)

式可得E(y)的估值即

§=儲+8\X[+隈?+…+(327)

稱為線性回歸方程，給定一組數(shù)(番,》2…七”)由上式求出9稱為預報值。

如果將回歸參數(shù)估計的函數(shù)模型(3-2-5)和隨機模型(3-2-6)與測量中間接平差

函數(shù)模型和隨機模型相比較，可以看出，在不考慮模型物理性質(zhì)前提下，兩者的參數(shù)最

小二乘估計模型形式完全一致，從這個意義上來說，線性回歸模型的參數(shù)估計也可看成

是一種等權(quán)觀測的間接平差問題。因此，我們學過的間接平差理論和方法完全可以用于

回歸模型的參數(shù)估計。

§3-3回歸參數(shù)的最小二乘估計

一、一元線性回歸參數(shù)估計

先以一個例子說明一元線性回歸問題。

例3-1,某水電站為了監(jiān)測和預報庫水位和大壩壩基沉陷量之間的關系，統(tǒng)計了某

年12個月的月平均庫水位和沉陷量的數(shù)據(jù)如表3-1所示，試分析庫水位與壩基沉陷量之

間的關系。

表3-1觀測數(shù)據(jù)

庫水位沉陷量庫水位沉陷量

編號編號

(m)(mm)(m)(mm)

1102.714-1.967135.046-5.46

295.154-1.888140.373-5.69

3114.364-3.969144.958-3.94

4120.170-3.3110141.011-5.82

5126.630-4.9411130.308-4.18

6129.393-5.6912121.234-2.90

現(xiàn)以X軸表示庫水位，以Y軸表示大壩壩基沉陷量，作散點圖(圖3-1)由圖認

為，這些散點的分布可用一條直線方程表示，即

50蹙150200

y=0o+Ax,這是一元回歸分析問題。-2

-1

-6

-8

圖

3-1

下面闡述參數(shù)估計原理。

為了估計參數(shù)為、四，設對y進行n次獨立觀測(x，x,)，有

yi=&+4玉+弓(i=l,2…〃)(3-3-1)

這是一元回歸參數(shù)估計的函數(shù)模型，相應的理論模型為

E(y)=0o+0內(nèi)(3-3-2)

在回歸分析中，假定自變量七是非隨機變量，且沒有測量誤差，這就使我們研究的

問題大大簡化，令

丫=［月為…y』,￡=k&…￡」,

1

Y1%2

A=,pR=

??????B、

Jx?_

則(3-3-1)式可寫成矩陣形式：

Y=X/3+￡(3-3-3)

設V為誤差￡的負估值，稱為Y的改正數(shù)或殘差，成為回歸參數(shù)夕的估值,

則有誤差方程

V=Xp-Y(3-3-4)

根據(jù)最小二乘原理VrV=min,對求自由極值，得

T

dVV=2萬r土dv=2LrX=0,

dp明

即

XW=0

將誤差方程(3-3-4)代入上式，即得法方程為

XTXfi=XTY(3-3-5)

式中

Z

Z

E

T

T

Xy