全國名校高考數(shù)學(xué)試題分類匯編（12月 第四期）J單元 計數(shù)原理（含解析）

【備考】屆全國名校數(shù)學(xué)試題分類匯編（12月第四期）J單元計數(shù)原理（含解析）目錄J單元計數(shù)原理 1J1基本計數(shù)原理 1J2排列、組合 1J3二項式定理 1J4單元綜合 5J1基本計數(shù)原理J2排列、組合J3二項式定理【數(shù)學(xué)理卷·屆江蘇省揚(yáng)州中學(xué)高三上學(xué)期質(zhì)量檢測（12月）（12）】4.已知展開式的各項依次記為設(shè)函數(shù)若的系數(shù)依次成等差數(shù)列，求正整數(shù)的值；求證：恒有【知識點】二項式定理；等差數(shù)列的性質(zhì)。D2J3【答案】【解析】（1）8；（2）見解析解析：（1）由題意知∵的系數(shù)依次為∴解得（2）=令令設(shè)則考慮到將以上兩式相加得∴又當(dāng)時，恒成立，從而是上的單調(diào)增函數(shù)，∴【思路點撥】（1）利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，求出前三項的系數(shù)，據(jù)的系數(shù)依次成等差數(shù)列，列出方程求出n的值；（2）先利用到序相加法求出F（2）﹣F（0）的值，利用導(dǎo)數(shù)判斷出F（x）的單調(diào)性，得證．【數(shù)學(xué)理卷·屆四川省成都外國語學(xué)校高三12月月考（12）】21、（本小題滿分14分）已知二次函數(shù)，關(guān)于的不等式的解集為，其中為非零常數(shù)，設(shè)。（1）求的值；（2）如何取值時，函數(shù)存在極值點，并求出極值點。（3）若，且，求證：。【知識點】一元二次不等式導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二項式定理基本不等式E3E6B12J3【答案】【解析】（1）-2；（2）當(dāng)m＞0時，k取任意實數(shù)，函數(shù)φ（x）有極小值點x2；當(dāng)m＜0時，函數(shù)φ（x）有極小值點x2，有極大值點x1．（其中）；（3）略解析：（1）∵關(guān)于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），即不等式x2+（a+1-2m）x+m2+m＜0的解集為（m，m+1），∴x2+（a+1-2m）x+m2+m=（x-m）（x-m-1）．∴x2+（a+1-2m）x+m2+m=x2-（2m+1）x+m（m+1）．∴a+1-2m=-（2m+1）．∴a=-2．（2）由（1）得．∴φ（x）=g（x）-kln（x-1）=-kln（x-1）的定義域為（1，+∞）．∴．方程x2-（2+k）x+k-m+1=0（*）的判別式△=（2+k）2-4（k-m+1）=k2+4m，當(dāng)m＞0時，△＞0，方程（*）的兩個實根為，則x∈（1，x2）時，；x∈（x2，+∞）時，．∴函數(shù)φ（x）在（1，x2）上單調(diào)遞減，在（x2，+∞）上單調(diào)遞增．∴函數(shù)φ（x）有極小值點x2，當(dāng)m＜0時，由△＞0，得或，若，則，故x∈（1，+∞）時，，∴函數(shù)φ（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．∴函數(shù)φ（x）沒有極值點．若時，，則x∈（1，x1）時，；x∈（x1，x2）時，；x∈（x2，+∞）時，．∴函數(shù)φ（x）在（1，x1）上單調(diào)遞增，在（x1，x2）上單調(diào)遞減，在（x2，+∞）上單調(diào)遞增．∴函數(shù)φ（x）有極小值點x2，有極大值點x1．綜上所述，當(dāng)m＞0時，k取任意實數(shù)，函數(shù)φ（x）有極小值點x2；當(dāng)m＜0時，函數(shù)φ（x）有極小值點x2，有極大值點x1．（其中）（3）證明：∵m=1，∴g（x）=．∴==,令T=，則T=,∵x＞0，∴2T=≥==2（2n-2）．∴T≥2n-2，即[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2．【思路點撥】本題主要考查二次函數(shù)、一元二次不等式、一元二次方程、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、均值不等式等，其中利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點應(yīng)注意在其定義域內(nèi)解答，對于第三問也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明．【數(shù)學(xué)理卷·屆四川省成都外國語學(xué)校高三12月月考（12）】3.若的展開式中項的系數(shù)為280，則=（）A． B． C． D．【知識點】二項式定理J3【答案】【解