三角函數(shù)常見題型與解法

三角函數(shù)的題型和方法一、思想方法1、三角函數(shù)恒等變形的基本策略。（1）常值代換：特別是用“1”的代換，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。（2）項(xiàng)的分拆與角的配湊。如分拆項(xiàng)：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配湊角：α=（α+β）－β，β=－等。（3）降次與升次。即倍角公式降次與半角公式升次。（4）化弦（切）法。將三角函數(shù)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化成弦（切）。（5）引入輔助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，這里輔助角所在象限由a、b的符號(hào)確定，角的值由tan=確定。（6）萬能代換法。巧用萬能公式可將三角函數(shù)化成tan的有理式。2、證明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式進(jìn)行化名，化角，改變運(yùn)算結(jié)構(gòu)，使等式兩邊化為同一形式。（2）證明方法：綜合法、分析法、比較法、代換法、相消法、數(shù)學(xué)歸納法。3、證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數(shù)的單調(diào)性，利用正、余弦函數(shù)的有界性，利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。4、解答三角高考題的策略。（1）發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差異，即進(jìn)行所謂的“差異分析”。（2）尋找聯(lián)系：運(yùn)用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。（3）合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓剑偈共町惖霓D(zhuǎn)化。二、注意事項(xiàng)對(duì)于三角函數(shù)進(jìn)行恒等變形，是三角知識(shí)的綜合應(yīng)用，其題目類型多樣，變化似乎復(fù)雜，處理這類問題，注意以下幾個(gè)方面：1、三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的目標(biāo)：項(xiàng)數(shù)盡可能少，三角函數(shù)名稱盡可能少，角盡可能小和少，次數(shù)盡可能低，分母盡可能不含三角式，盡可能不帶根號(hào)，能求出值的求出值。2、三角變換的一般思維與常用方法。注意角的關(guān)系的研究，既注意到和、差、倍、半的相對(duì)性，如．也要注意題目中所給的各角之間的關(guān)系。注意函數(shù)關(guān)系，盡量異名化同名、異角化同角，如切割化弦，互余互化，常數(shù)代換等。熟悉常數(shù)“1”的各種三角代換：等。注意萬能公式的利弊：它可將各三角函數(shù)都化為的代數(shù)式，把三角式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式．但往往代數(shù)運(yùn)算比較繁。熟悉公式的各種變形及公式的范圍，如sinα=tanα·cosα，，等。利用倍角公式或半角公式，可對(duì)三角式中某些項(xiàng)進(jìn)行升降冪處理，如，，等．從右到左為升冪，這種變形有利用根式的化簡(jiǎn)或通分、約分；從左到右是降冪，有利于加、減運(yùn)算或積和（差）互化。3、幾個(gè)重要的三角變換：sinαcosα可湊倍角公式；1±cosα可用升次公式；1±sinα可化為，再用升次公式；（其中）這一公式應(yīng)用廣泛，熟練掌握。4、單位圓中的三角函數(shù)線是三角函數(shù)值的幾何表示，四種三角函數(shù)y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=cotx的圖像都是“平移”單位圓中的三角函數(shù)線得到的，因此應(yīng)熟練掌握三角函數(shù)線并能應(yīng)用它解決一些相關(guān)問題．5、三角函數(shù)的圖像的掌握體現(xiàn)在：把握?qǐng)D像的主要特征（頂點(diǎn)、零點(diǎn)、中心、對(duì)稱軸、單調(diào)性、漸近線等）；應(yīng)當(dāng)熟練掌握用“五點(diǎn)法”作圖的基本原理以及快速、準(zhǔn)確地作圖。6、三角函數(shù)的奇偶性結(jié)論：①函數(shù)y=sin(x＋φ)是奇函數(shù)。②函數(shù)y=sin(x＋φ)是偶函數(shù)。③函數(shù)y=cos(x＋φ)是奇函數(shù)。④函數(shù)y=cos(x＋φ)是偶函數(shù)。三、典型例題與方法題型一三角函數(shù)的概念及同角關(guān)系式此類題主要考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)的符號(hào)規(guī)律.解此類題注意必要的分類討論以及三角函數(shù)值符號(hào)的正確選取。1、三角函數(shù)的六邊形法則。2、幾個(gè)常用關(guān)系式：（1）QUOTE，三式知一求二。（2）。（3）當(dāng)時(shí)，有。3、誘導(dǎo)公式（奇變偶不變，符號(hào)看象限）。4、QUOTE。5、熟記關(guān)系式；。【例1】記,那么（）A、B、﹣C、D、﹣【例2】（）A、B、-C、D、題型二化簡(jiǎn)求值這類題主要考查三角函數(shù)的變換。解此類題應(yīng)根據(jù)考題的特點(diǎn)靈活地正用、逆用，變形運(yùn)用和、差、倍角公式和誘導(dǎo)公式，進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值?！纠?】已知為第三象限的角，,則。【例4】已知，求（1）；（2）的值。題型三函數(shù)QUOTE的圖像及其性質(zhì)圖像變換是三角函數(shù)的考察的重要內(nèi)容，解決此類問題的關(guān)鍵是理解A、QUOTE的意義，特別是的判定，以及伸縮變換對(duì)QUOTE的影響?！纠?】為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像（）A、向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位B、向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位C向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位D向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位【例6】設(shè)>0,函數(shù)y=sin(x+)+2的圖像向右平移個(gè)單位后與原圖像重合，則的最小值是（）A、B、C、D、3【例7】函數(shù)的最小正周期為（）A、B、C、D、【例8】函數(shù)的最小值是_____________________?！纠?】若函數(shù)，，則的最大值為（）A、1B、C、D、題型四三角函數(shù)與解三角形此類題主要考查在三角形中三角函數(shù)的利用.解三角形的關(guān)鍵是在轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下，正確、靈活地運(yùn)用正弦、余弦定理、三角形的面積公式及三角形內(nèi)角和等公式定理?！纠?0】在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c，若，，則A=（）A、B、C、D、【例11】在銳角三角形ABC，A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，，則=___