5.2.1任意角三角函數(shù)的定義課件高一上學期數(shù)學

第5章三角函數(shù)任意角三角函數(shù)的定義湘教版

數(shù)學

必修第一

冊課標要求1.理解并掌握任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切函數(shù))的定義.2.已知角α終邊上一點,會求角α的各三角函數(shù)值.3.理解三角函數(shù)線的意義,能用三角函數(shù)線表示一個角的正弦、余弦和正切.4.能利用三角函數(shù)線的定義,理解正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內的符號.5.能利用三角函數(shù)線解決一些簡單的三角函數(shù)問題.基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學以致用·隨堂檢測促達標目錄索引基礎落實·必備知識一遍過知識點一三角函數(shù)的概念1.概念

前提如圖,設α是一個任意角,在角α的終邊OM上任取不同于原點O的點P,利用點P的坐標(x,y)定義定義正弦

,其中r=

余弦

,其中r=

正切

2.三角函數(shù)的解析式和定義域

三角函數(shù)解析式定義域正弦函數(shù)y=sinα

余弦函數(shù)y=cosα

正切函數(shù)y=tanα

RR過關自診

B2.(多選題)若角α的終邊過點(0,1),則下列說法正確的是(

)A.sinα=-1B.cosα=0C.tanα不存在D.cosα=13.三角函數(shù)值的大小與點P在角α終邊上位置是否有關?提示

三角函數(shù)值是比值,是一個實數(shù),它的大小與點P在終邊上的位置無關,只與角α的終邊位置有關,即三角函數(shù)值的大小只與角有關.

BC知識點二三角函數(shù)線的概念前提設單位圓的圓心為直角坐標系的原點O,角α的終邊與單位圓交于點P,過點P作x軸的垂線,垂足為D,過點A(1,0)作單位圓的切線x=1,如果tanα存在,設該切線與角α的終邊(當α為第一、四象限角時)或其反向延長線(當α為第二、三象限角時)相交于點T(1,y1)定義正弦線有向線段DP稱為角α的正弦線,DP=y=sinα余弦線有向線段OD稱為角α的余弦線,OD=x=cosα定義正切線有向線段AT稱為角α的正切線,AT==tanα三角函數(shù)線正弦線、余弦線、正切線統(tǒng)稱為三角函數(shù)線過關自診1.如果角α的終邊落在坐標軸上,你能否發(fā)現(xiàn)其正弦線、余弦線的變化特點?提示

當角α的終邊在x軸上時,點P與點D重合,這時正弦線變成了一點,它的數(shù)量為零,而余弦線的數(shù)量OD=1或-1.當角α的終邊在y軸上時,余弦線變成了一點,它的數(shù)量為零,而正弦線的數(shù)量DP=1或-1.2.如何根據(jù)三角函數(shù)線確定三角函數(shù)值?提示

三角函數(shù)線與坐標軸正方向同向則三角函數(shù)為正值,反向則三角函數(shù)為負值,而三角函數(shù)的絕對值等于三角函數(shù)線的長度.知識點三三角函數(shù)值的符號sinα,cosα,tanα在各個象限的符號.角的終邊在坐標軸上時不適合,要利用定義求值名師點睛

1.正弦值的符號取決于縱坐標y的符號,它在x軸上方為正,下方為負;余弦值的符號取決于橫坐標x的符號,在y軸右側為正,左側為負;正切值符號取決于橫、縱坐標符號,同號為正,異號為負.2.三角函數(shù)值符號的口訣:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.過關自診在單位圓中,確定下列三角函數(shù)值的符號:重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值【例1】

(1)已知角θ的終邊上有一點P(x,3)(x≠0),且cosθ=x,求sinθ+tanθ.變式探究1將本例(2)的條件“x+y=0(x<0)”改為“y=2x”,其他條件不變,結果又如何?變式探究2將本例(2)的條件“落在直線

x+y=0上”改為“過點P(-3a,4a)(a≠0)”,求2sinα+cosα.規(guī)律方法

1.已知角α的終邊在直線上時,常用的解題方法有以下兩種:(1)在α的終邊上任選特殊點的坐標,求出點到原點的距離后利用定義求三角函數(shù)值;(2)在α的終邊上任選一點P(x,y),P到原點的距離為r(r>0),2.當角α的終邊上點的坐標以參數(shù)形式給出時,一定注意對字母正、負的辨別,若正、負未定,則需分類討論.探究點二三角函數(shù)值符號的運用1.根據(jù)角的象限確定三角函數(shù)值的符號【例2】

判斷下列各式的符號:(1)sin105°cos230°;解

∵105°,230°分別為第二、第三象限角,∴sin

105°>0,cos

230°<0.于是sin

105°cos

230°<0.規(guī)律方法

根據(jù)確定的角判斷其相應三角函數(shù)值的符號,首先利用終邊相同的角將所給角轉化為[0,2π)內的角,判斷其所在象限后,結合三角函數(shù)特征確定符號.2.根據(jù)三角函數(shù)值的符號確定角所在的象限

A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角C解析

由sin

αtan

α<0可知sin

α,tan

α異號,從而α為第二、第三象限角.從而α為第三、第四象限角.綜上可知,α為第三象限角,故選C.規(guī)律方法

根據(jù)三角函數(shù)值的符號確定角所在的象限,應分別根據(jù)三角函數(shù)值的符號確定所在象限后取交集.3.含絕對值的三角函數(shù)值域

A.3 B.-3 C.1

D.-1BC規(guī)律方法

涉及三角函數(shù)的絕對值問題,求解時要根據(jù)角所在的象限,去掉絕對值號分類討論.變式訓練1(1)若角θ滿足sinθ<0,tanθ<0,則角θ是(

)A.第三象限角B.第四象限角C.第三象限角或第四象限角D.第二象限角或第四象限角B解析

sin

θ<0時,角θ可以是第三、四象限角,或終邊在y軸負半軸上;又tan

θ<0時,角θ可以是第二、四象限角,因此角θ是第四象限角.故選B.A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角C(3)判斷下列各式的符號:①sin105°·cos230°;解

105°,230°分別為第二、第三象限角,所以sin

105°>0,cos

230°<0,所以sin

105°·cos

230°<0.探究點三利用三角函數(shù)線定義求三角函數(shù)值【例5】

作出

的正弦線、余弦線和正切線,并利用三角函數(shù)線求出它們的正弦、余弦和正切.規(guī)律方法

1.作正弦線、余弦線的步驟:(1)在坐標系中,作角α的終邊與單位圓交點P;(2)過點P作x軸的垂線,設垂足為D,得正弦線DP、余弦線OD.2.作正切線的步驟:過點A(1,0)作單位圓的切線,與角α的終邊或其反向延長線的交點設為T,得角的正切線AT.變式訓練2分別作出下列各角的正弦線、余弦線和正切線,并求出它們的正弦、余弦和正切.(1)(2)探究點四利用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值的大小規(guī)律方法

利用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值的大小時,一般分三步:①準確作出角的終邊與單位圓的交點并作出相應的三角函數(shù)線;②比較三角函數(shù)線的長度;③確定有向線段的正負.變式訓練3(1)若a=sin2,b=cos2,則a,b的大小關系為(

)A.a<b

B.b<aC.a=b

D.不能確定B解析

因為

<2<π,作出2弧度角的正弦線、余弦線如圖所示分別為DP,OD.易知DP>0,OD<0,因此sin

2>cos

2.(2)sin4,cos4,tan4的大小關系是(

)A.sin4<tan4<cos4 B.tan4<sin4<cos4C.cos4<sin4<tan4 D.sin4<cos4<tan4D探究點五利用三角函數(shù)線解三角不等式【例7】

在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍,并由此寫出角α的集合.規(guī)律方法

利用三角函數(shù)線解簡單不等式的方法利用三角函數(shù)線求解不等式,通常采用數(shù)形結合的方法,求解關鍵是恰當?shù)貙で簏c,一般來說,對于sin

x≥b,cos

x≥a(或sin

x≤b,cos

x≤a),只需作直線y=b,x=a與單位圓相交,連接原點和交點即得角的終邊所在的位置,此時再根據(jù)方向即可確定相應的x的范圍;對于tan

x≥c(或tan

x≤c),則取點(1,c),連接該點和原點即得角的終邊所在的位置,并反向延長,結合圖象可得.變式訓練4用三角函數(shù)線寫出滿足下列條件的角x的集合.學以致用·隨堂檢測促達標A級必備知識基礎練1234567891011121314151617181920B1234567891011121314151617181920B12345678910111213141516171819203.若角α的終邊經(jīng)過點P(-1,-1),則(

)

A12345678910111213141516171819204.已知點P(tanα,sinα)在第三象限,則角α的終邊在(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限D12345678910111213141516171819205.用三角函數(shù)線比較sin50°和cos50°的大小,正確的結果為(

)A.sin50°>cos50° B.sin50°<cos50°C.sin50°=cos50° D.sin50°和cos50°無法比較A解析

如圖所示,50°角的正弦線為DP,余弦線為OD,△POD中,∠POD=50°,根據(jù)大角對大邊知,DP>OD,即sin

50°>cos

50°.故選A.12345678910111213141516171819206.已知角α的正切線是單位長度的有向線段,那么角α的終邊(

)A.在x軸上B.在y軸上C.在直線y=x上D.在直線y=x,或y=-x上D解析

由題意可知,|AT|=1,∴AT=±1.則tan

α=±1,角α的終邊在直線y=±x上,故選D.1234567891011121314151617181920A.正弦線 B.余弦線C.正切線 D.不能確定

C12345678910111213141516171819208.(多選題)下列說法中正確的是(

)A.α一定時,單位圓中的正弦線一定B.單位圓中,有相同正弦線的角相等C.α和α+π有相同的正切線D.具有相同正切線的兩個角終邊在同一條直線上AD12345678910111213141516171819209.已知角θ的頂點為坐標原點,始邊為x軸的正半軸,若P(4,3)是角θ終邊上一點,則sinθ=

.

123456789101112131415161718192010.在平面直角坐標系中,角α的頂點與原點重合,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊過點P(-

,-1),則tanα=

;cosα-sinα=

.12345678910111213141516171819201234567891011121314151617181920B級關鍵能力提升練12.在△ABC中,若sinAcosBtanC<0,則△ABC是(

)A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.銳角三角形或鈍角三角形C解析

因為sin

A>0,所以cos

B,tan

C中一定有一個小于0,即B,C中一定有一個鈍角,故△ABC是鈍角三角形.1234567891011121314151617181920B1234567891011121314151617181920123456789101112131415161718192014.已知角α的終邊經(jīng)過點(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-2,3] B.(-2,3)C.[-2,3) D.[-2,3]A123456789101112131415161718192015.(多選題)下列三角函數(shù)值的符號判斷正確的是(

)A.sin165°>0 B.cos280°>0C.tan170°>0 D.tan310°<0ABD解析

165°是第二象限角,因此sin

165°>0,A正確;280°是第四象限角,因此cos

280°>0,B正確;170°是第二象限角,因此tan

170°<0,故C錯誤;310°是第四象限角