廣東省八校2025屆高三上學期8月聯(lián)合檢測 數(shù)學試題（含解析）

2024年8月廣東八校高三聯(lián)合檢測數(shù)學注意事項：1．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。2．答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡的相應位置。3．全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無效。4．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。5．考試結束后，將本試題卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，則（）A． B．C． D．2．若，則（）A． B． C． D．3．已知向量，若，則（）A．1 B．2 C．3 D．64．已知，則（）A． B． C． D．15．已知一個圓柱的軸截面是正方形，一個圓錐與該圓柱的底面半徑及側面積均相等，則圓柱與圓錐的體積之比為（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)在上單調遞增，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)與，則下列說法錯誤的是（）A．與存在相同的對稱軸B．與存在相同的對稱中心C．與的值域相同D．與在上有相同的單調性8．已知函數(shù)滿足，則下列結論中正確的是（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．隨機變量服從正態(tài)分布，若，則（）A． B．C． D．10．設函數(shù)，則（）A．當時，有三個零點B．當時，無極值點C．，使在上是減函數(shù)D．圖象對稱中心的橫坐標不變11．到兩個定點的距離之積為大于零的常數(shù)的點的軌跡稱為卡西尼卵形線．設和且，動點滿足，動點的軌跡顯然是卡西尼卵形線，記該卡西尼卵形線為曲線，則下列描述正確的是（）A．曲線的方程是B．曲線關于坐標軸對稱C．曲線與軸沒有交點D．的面積不大于三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．設雙曲線的左、右焦點分別為，過作軸的垂線交雙曲線于兩點，若是正三角形，則的離心率為______．13．若曲線在處的切線恰好與曲線也相切，則______．14．盒中有3個紅球、個黃球、個綠球，所有球除顏色不同外其他沒有任何區(qū)別．從盒中任抽兩球，抽到兩球均為紅球的概率為．從盒中任抽3個球，記其中紅球的個數(shù)為，則______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟。15．（本小題滿分13分）記的內角的對邊分別為．（1）求角；（2）若外接圓的面積是，求面積的最大值．16．（本小題滿分15分）設為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，點關于原點的對稱點為，四邊形的面積為．（1）求橢圓的方程；（2）若過的直線交橢圓于兩點，求證：為定值．17．（本小題滿分15分）如圖，在三棱柱中，平面平面，平面平面．（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的余弦值．18．（本小題滿分17分）已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍；（3）若對任意恒成立，求的取值范圍．19．（本小題滿分17分）馬爾科夫鏈因俄國數(shù)學家安德烈?馬爾科夫得名，其過程具備“無記憶”的性質，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關，與第次狀態(tài)無關．馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，在強化學習、自然語言處理、金融領域、天氣預測等方面都有著極其廣泛的應用．現(xiàn)有兩個盒子，各裝有2個黑球和1個紅球，現(xiàn)從兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子，重復進行次這樣的操作后，記盒子中紅球的個數(shù)為，恰有1個紅球的概率為．（1）求的值；（2）求的值（用表示）；（3）求證：的數(shù)學期望為定值．2024年8月廣東八校高三聯(lián)合檢測·數(shù)學參考答案、提示及評分細則一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。題號12345678答案DADCBCBA二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。題號91011答案ABBDABD1．D，故．2．A由，得，所以，故．3．D，若，則，所以．4．C因為，，所以，所以．5．B設圓柱的底面半徑為，因為圓柱軸截面是正方形，所以圓柱的高為，依題意圓錐的底面半徑為，設圓錐的母線長為，因為圓錐與該圓柱的側面積相等，所以，所以，所以圓錐的高為，圓柱的體積，圓錐的體積，所以．6．C當時，要使恒成立，則，此時在上遞增，要使在上遞增，則，即，故的取值范圍是．7．B對于，令，得的對稱軸為，令，得的對稱軸為，顯然與有相同的對稱軸；對于，令，得的對稱中心為，令，得的對稱中心為，由得，顯然不存在整數(shù)使成立，故與沒有相同的對稱中心；對于C，與的值域顯然均為；對于D，與均在上遞增，在上遞減．8．A令得；令得，所以；令得，所以；令得，所以；令4得．綜上只有正確．9．AB根據(jù)知是1和3的中間值，故，所以A正確；在正態(tài)分布中，所以B正確，錯誤；當時，，所以錯誤．10．BD對于，當時，，令得或，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，，所以只有一個零點；對于B，，若無極值點，則，解得；對于，要使在上是減函數(shù)，則恒成立，顯然不等式的解集不是；對于，由，得圖象對稱中心坐標為．11．ABD設，由得，化簡得，故A正確；該方程中把改為或把改為方程均不變，故B正確；在方程中，令得，當時，或；當時，；當時，，故C不正確；，故D正確．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．設正三角形的邊長為2，則，所以，則的離心率．13．－1曲線在處的切線是，令得，由切點在曲線上得．14．設盒中共有個球，則，解得，依題意滿足超幾何分布，故．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟。15．解：（1）由，得，化簡得，因為，所以．（2）設外接圓的半徑為，則，所以，又，所以，所以，又，所以，當且僅當時“”成立，即面積的最大值為．16．（1）解：設橢圓的焦距為，四邊形為平行四邊形，其面積設為，則，所以，所以，又，解得，所以橢圓的方程為．（2）證明：，當直線與軸重合時，的方程為，此時不妨令，則；當直線與軸不重合時，的方程可設為，由，得，設，則，綜上，為定值4．17．（1）證明：取為內一點，作垂直，交于點，作垂直，交于點，因為平面平面且平面平面平面，所以平面，因為平面，所以，同理，因為，且平面，所以平面．（2）解：因為兩兩垂直，以為原點，建立空間直角坐標系，如圖所示．依題意．則．設平面的法向量為，則，令，則，所以．設直線與平面所成的角為，則．所以，故直線與平面所成角的余弦值為．18．解：（1）的定義域為，當時，時時；當時，時；當時，時；時；當時，時；時；綜上，時，的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是；時，的遞增區(qū)間是，無遞減區(qū)間；時，的遞增區(qū)間是和，遞減區(qū)間是；時，的遞增區(qū)間是和，遞減區(qū)間是．（2）令得，設，則，當時，遞減；當時，遞增，．因為時時要使直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，則，即，故的取值范圍是．（3）由得，當時上式顯然恒成立，當時可轉化為，設，則，設，則，因為所以，所以在上遞增，所以，所以，所以在上遞增，