湖北省武漢市東西湖區(qū)2025屆新高三8月適應性考試 數(shù)學試卷（含解析）

湖北省武漢市東西湖區(qū)2025屆新高三8月適應性考試數(shù)學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，.若，則實數(shù)（

）A． B． C． D．2．若復數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．3．若是夾角為的兩個單位向量，與垂直，則（

）A． B． C． D．4．已知，，，則（

）A． B． C． D．5．已知圓錐的高為6，體積為高的倍，用平行于圓錐底面的平面截圓錐，得到的圓臺高是3，則該圓臺的體積為（

）A． B． C．7 D．96．已知函數(shù)fx=log2x,0<x≤22x-3,x>2，若A． B． C． D．7．已知函數(shù)，其圖象與直線y=3相鄰兩個交點的距離為，若f(x)>1對任意恒成立，則φ的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知定義在R上的函數(shù)滿足，，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術的研究、應用與推廣，創(chuàng)建了超級雜交稻技術體系，為我國糧食安全、農(nóng)業(yè)科學發(fā)展和世界糧食供給作出了杰出貢獻.某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高，得出株高（單位：）近似服從正態(tài)分布.已知時，有，，.下列說法正確的是（

）A．該地水稻的平均株高約為 B．該地水稻株高的方差約為100C．該地株高超過的水稻約占68.27％ D．該地株高低于的水稻約占99.87％10．對于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減B．若方程有個不等的實根，則C．當時，D．設，若對，，使得成立，則11．數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為，則（

）

A．曲線有兩條對稱軸B．曲線上的點到原點的最大距離為C．曲線第一象限上任意一點作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的圖形面積最大值為D．四葉草面積小于三、填空題（本大題共3小題）12．已知過原點的直線與雙曲線交于M，N兩點，點M在第一象限且與點Q關于x軸對稱，，直線NE與雙曲線的右支交于點P，若，則雙曲線的離心率為．13．已知直線是曲線和的公切線，則實數(shù)a=．14．著名數(shù)學家歐幾里得的《幾何原本》中曾談到：任何一個大于1的整數(shù)要么是質(zhì)數(shù)，要么可以寫成一系列質(zhì)數(shù)的積，例如.已知，且均為質(zhì)數(shù)，若從中任選2個構成兩位數(shù)，且，則的十位數(shù)字與個位數(shù)字不相等的概率為.四、解答題（本大題共5小題）15．記的內(nèi)角的對邊分別為，，，的面積為，已知，．(1)求角；(2)若，求的值．16．已知橢圓，過左焦點且斜率大于0的直線交于兩點，的中點為的垂直平分線交x軸于點.（1）若點縱坐標為，求直線的方程；（2）若，求的面積.17．如圖，在直三棱柱中，是上的點，且平面．(1)求證：平面；(2)若是棱上且靠近的三等分點，求點到平面的距離．18．已知函數(shù).(1)當時，若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；(2)當時，若有兩個極值點，求證:；(3)若在定義域上單調(diào)遞增，求的最小值.19．有窮數(shù)列中，令，(1)已知數(shù)列，寫出所有的有序數(shù)對，且，使得；(2)已知整數(shù)列為偶數(shù)，若，滿足：當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，.求的最小值；(3)已知數(shù)列滿足，定義集合.若且為非空集合，求證：.

參考答案1．【答案】C【解析】根據(jù)集合元素所表示的意義，以及集合關系，即可求解.【詳解】因為，所以直線與直線平行，所以.故選C.2．【答案】C【分析】由復數(shù)的除法法則求解．【詳解】由，得.故選C.3．【答案】B【詳解】由題意有，又因為與垂直，所以，整理得，解得.故選B.4．【答案】A【分析】利用兩角差的余弦公式及同角三角函數(shù)的基本關系得到方程組，即可求出、，再求出即可.【詳解】因為，，所以，解得，所以，又，所以，所以.故選A.5．【答案】C【分析】根據(jù)題意利用等量關系可求得圓錐底面圓半徑為，代入計算可得圓臺體積.【詳解】如下圖所示：

易知圓錐的高，圓臺的高，設圓錐的底面圓半徑為，則；所以，解得；可得圓臺下底面圓面積為，上底面圓面積為，所以該圓臺的體積為.故選C.6．【答案】D【分析】先求解函數(shù)的單調(diào)性，接著根據(jù)已知條件結合函數(shù)定義域和單調(diào)性即可求解.【詳解】因為當x∈0,2時，fx=當x∈2,+∞時，fx

所以fx=log所以若fa+1-f2a-1則a+1≥2a-1>0，?1故選D.7．【答案】A【解析】根據(jù)題意可得周期為，根據(jù)周期公式可得.將不等式恒成立化為是sin(3x+φ)>0的解集的子集可求得結果.【詳解】∵函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0，|φ|<)，其圖象與直線y=3相鄰兩個交點的距離為，∴，∴ω=3.若f(x)>1對任意恒成立，則時，sin(3x+φ)>0恒成立，由sin(3x+φ)>0得，，即，，∴，∴，求得，又，∴.故選A.8．【答案】D【分析】依次求出猜想,再用等比數(shù)列求和.【詳解】,,,,,,,.故選D.【關鍵點撥】本題關鍵是通過計算觀察得到,進而轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和.9．【答案】ABD【分析】根據(jù)已知條件，結合正態(tài)分布的對稱性，即可求解.【詳解】由題意可知，，，故A，B正確；由題意得，所以，故C錯誤；所以，故D正確.故選ABD.10．【答案】BD【分析】對函數(shù)求導，利用導數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、圖象及性質(zhì)即可判斷選項A，B，C；求出函數(shù)在R上的值域，在上的值域，借助值域的包含關系即可判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域為，，當或時，，當時，，在，上都單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，A錯誤；當時，的圖象在x軸上方，且在時，，在上的圖象在x軸下方，顯然是偶函數(shù)，在方程中，或時，方程有兩個不等實根，時，方程無實根，時，方程有個不等的實根，B正確；因為，則有，即，于是得，C錯誤；當時，的值域為，當時，的值域為，因?qū)Γ?，使得成立，從而得，即得，D正確.故選BD.【方法總結】已知函數(shù)，，若，，有，則的值域是值域的子集.11．【答案】BCD【分析】通過方程中的變換得新曲線的對稱軸判斷A，利用基本不等式及距離公式判斷B，設出曲線中第一象限的點，利用基本不等式即可求出矩形面積最大值判斷C，由該曲線在以原點為圓心，半徑為的圓內(nèi)，故面積小于圓的面積判斷D.【詳解】對于A：當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；綜上可知：有四條對稱軸，A錯誤；對于B：因為，所以，所以，所以，取等號時，所以最大距離為，B正確；對于C：設任意一點，所以圍成的矩形面積為，因為，所以，所以，取等號時，所以圍成矩形面積的最大值為，C正確；對于D：由B可知，所以四葉草包含在圓的內(nèi)部，因為圓的面積為：，所以四葉草的面積小于，D正確.故選BCD.12．【答案】【分析】先設出相關點的坐標，利用求得點坐標，推理證明（二階結論），再利用和整體代入即得的齊次式，計算即得離心率.【詳解】如圖，設，則，,根據(jù)可得:,故，因點均為雙曲線上的點，則由①因為，所以②，又③，將②，③兩式代入①式得：．故雙曲線的離心率．故答案為：.【關鍵點撥】本題考查雙曲線的方程與幾何性質(zhì)以及關于雙曲線的二階結論是否熟悉.關鍵在于能否建立四條直線的斜率之間的數(shù)量關系，通過代入消去未知量，得出的齊次式.13．【答案】3【分析】先設在上的切點，然后求出切點和切線，然后再設在上的切點，即可求出a的值.【詳解】設直線l與曲線相切于點，由，得，因為l與曲線相切，所以消去，得，解得．設l與曲線相切于點，由，得，即，因為是l與曲線的公共點，所以消去，得，即，解得．故答案為：3.14．【答案】【分析】求出根據(jù)，且可得，利用古典概型概率公式計算可得答案.【詳解】，可得，若從中任選2個構成兩位數(shù)，且數(shù)，且，則有共6個，則十位數(shù)字與個位數(shù)字不相等的有共5個，所以的十位數(shù)字與個位數(shù)字不相等的概率為.故答案為：.15．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理和面積公式得到，結合得到答案；（2）根據(jù)半角公式得到，得到，由正弦定理得到，利用面積公式和正弦和角公式求出答案.【詳解】（1）因為，所以，所以，即，于是．又，所以．（2），因為，所以，故，因為，所以．由正弦定理得，解得．所以.16．【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）設直線，與橢圓方程聯(lián)立，求出韋達定理，又因為點的縱坐標為，解得：或，便得出直線的方程；（2）根據(jù)橢圓的弦長公式，分別求出和，由求出的面積.【詳解】設，由題意，可設直線，（1）將直線方程代入橢圓方程，得，所以，由，得，解得：或.當時，，直線方程為，當時，，直線方程為，綜上所述，直線方程為或.（2）由，得，，.代入②式得，解得或（舍去），于是，所以.17．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）由平面，可得，再由直棱柱可證得，從而可推得平面，再利用平行關系，即可證明平面；（2）利用等體積法求點到平面的距離，即，然后通過已知的數(shù)據(jù)，即可求出結果.【詳解】（1）平面平面,,在直三棱柱中，底面平面,，又平面，平面，即平面,,平面．（2）由（1）知平面，又在平面內(nèi)，，即，又由直棱柱知平面平面，作于M，于是，與相似，，，即，是棱上且靠近的三等分點，，得，設點到平面的距離為，，，得h=22，點到平面的距離為．18．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）設，利用導數(shù)判斷出的單調(diào)性求出極值可得答案；（2）（法一）設，利用導數(shù)判斷出的單調(diào)性，要證只要證在上恒正即可，求導可得答案；（法二），可得在有兩個不等的實根，即，利用對數(shù)均值不等式可得答案；（3）（法一）轉(zhuǎn)化為恒成立，設的極大值點為，即，由，利用導數(shù)判斷出的單調(diào)性求即可.（法二）即恒成立，表示以為動點的拋物線，兩者有公共點，聯(lián)立方程可得恒成立，即，利用導數(shù)求出可得答案.【詳解】（1）設，則，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，，，，當時，，在上、上各有一個零點，時有兩個零點.（2）（法一），設，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，要證，只要證，只要證，只要證，在上恒正即可，而，在上遞增，成立；（法二），則，由題意可得:在有兩個不等的實根，即，，下證：對均不等式，不妨設，則，令，證即證，即證在成立，設，，在上單調(diào)遞減，可得，即，可得，由對均不等式可得：，，故；（3）（法一）恒成立，恒成立，，當且僅當時，有最大值（這時即為極大值），設的極大值點為，則，，，而，在上單調(diào)減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，這時；（法二）恒成立，它表示以為動點的直線及其上方的點，表示以為動點的拋物線，兩者有公共點，，消去得，恒成立，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，當且僅當時取等號.【方法總結】函數(shù)圖象的交點問題，方程的根，均可歸結為函數(shù)的零點問題．此類問題往往通過函數(shù)的單調(diào)性、極值等，利用零點存在性定理判斷，常見類型及解法如下：(1)證明或討論函數(shù)零點個數(shù)問題，一般借助導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而研究函數(shù)的零點個數(shù)，或?qū)⒑瘮?shù)零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題；(2)已知函數(shù)零點個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍，一般分離參數(shù)或構造函數(shù)，利用數(shù)形結合思想求解．19．【答案】(1)、、、(2)(3)證明見解析【分析】（1）結合題意，逐個計算即可得；（2）由題意可得，，可得當時，有，當時，，結合，即可得解；（3）將展開，從而得到證明與之間的項之和，，都為正數(shù)，即可得證.【詳解】（1）為時，，為時，，為時，，為時，，故，且使得的有序數(shù)對有、、、.（2）由題意可得，，