特殊值法是解不等式類選擇題的首選方法

PAGEPAGE4特殊值法是解不等式類選擇題的首選方法——以教材及近三年高考試題為例金臺區(qū)教研室吳曉英特殊值法是解答選擇題的一種重要方法，特別是對于選擇題中求不等式（或不等式組）的解這一類的題目來說，特殊值法以其計(jì)算量小、解題速度快的優(yōu)勢，應(yīng)當(dāng)成為解此類問題的首選方法.以下以北師大版高中數(shù)學(xué)必修5中的習(xí)題及近三年全國高考的部分試題為例，對以上觀點(diǎn)加以說明.1利用特殊值法解北師大版高中數(shù)學(xué)必修5中的習(xí)題1.1北師大版高中數(shù)學(xué)必修5第三章第二小節(jié)“一元二次不等式”中練習(xí)2的兩道題目題目1若，則（）A． B． C． D．或解析：x取最特殊的一個數(shù)字0,代入所給不等式，顯然其不是解，故排除A、B、C，選D.本題只要會算0的平方，會比較兩個數(shù)的大小即可，不必移項(xiàng)，不必按照解一元二次不等式的一套程序去解，雖然是高二學(xué)習(xí)的內(nèi)容，恐怕初中生也能做對.題目2不等式的解集為()A． B． C． D．解析：本題已經(jīng)夠簡單了，但是由于在順序上的變化，學(xué)生按照常規(guī)解法還是容易出錯，用特殊值法則可以避免出錯.從四個選項(xiàng)所給的范圍出發(fā)，選取0，可以排除A、B、D，選C.原因很簡單，A、B、D中均包含0，但是0顯然不是所給不等式的解，故這三個選項(xiàng)都是錯誤的，只有選C.這種方法似乎與一元二次不等式的解法相距甚遠(yuǎn)，但是相比較而言，計(jì)算量、書寫量是否也是相距甚遠(yuǎn)?值得思考.1.2北師大版高中數(shù)學(xué)必修5第三章復(fù)習(xí)題中的兩道題目題目3已知集合},,則（）A． B． C．D．解析：求出集合M的解集再求兩個集合的交集，這是常規(guī)的解法,但是稍微麻煩了一點(diǎn).用特殊值法則心算可得答案，本題顯然沒有必要考慮0，因?yàn)槿齻€選項(xiàng)都有0，為了好算，只要檢驗(yàn)1和2即可，且，符合要求；但，故選C.這種解法回避了一元二次方程的求根公式，降低了題目難度.題目4已知，則下列不等式成立的是（）A． B． C．D．解析：本題原意應(yīng)該是為了復(fù)習(xí)鞏固基本不等式及不等式的性質(zhì)而設(shè)置的，直接推導(dǎo)，逐一驗(yàn)證是常規(guī)解法，但是，如果利用特殊值法，本題只需進(jìn)行簡單的計(jì)算即可.由已知條件，不妨設(shè)，，問題迎刃而解.當(dāng)然，需要思考為什么選這兩個數(shù)而不選其它數(shù)，選，也可以，如果不選1，則計(jì)算量就會增加.雖然本題不是解不等式的問題，但是用特殊值法依然可以快速求解.2利用特殊值法解近三年全國高考的部分試題2.1解一元二次不等式及分式不等式問題例1（2011廣東文科）不等式的解集是（） A． B．（1，+） C．（－，1）∪（2，+） D．解析：這是一道容易題，注意到題目的特征，此類不等式假如有解，其解的形式必然與選項(xiàng)C或D相同，不可能是A或B，選最特殊的數(shù)字0檢驗(yàn)，顯然0不是所給不等式的解，排除C，選D.本題直接求解計(jì)算量不是太大.不過還是要比特殊值法慢一點(diǎn).例2.（2010年全國卷2）不等式的解集為A．B．C．D．解析：選最特殊的數(shù)字0代入檢驗(yàn)，顯然0是所給不等式的解，排除A和B，x再選2檢驗(yàn)可以排除D，故選C．本題大概想考查學(xué)生對“穿針引線法”的掌握情況，使用特殊值法后心算可得結(jié)果.例3（2011江西理科）若集合，則 A．B．C． D．解析：顯然0不是集合B的元素，可以排除C和D；而－1也不是集合B的元素，因此只能選擇選項(xiàng)B．如果將兩個集合都化簡以后再求交集，既麻煩，也沒有必要，而且容易出錯.本題直接解與用特殊值法求解在時間上的差異是比較大的.例4（2011江西理科）若，則的解集為 A． B． C． D．解析：∵,本題轉(zhuǎn)化為求不等式的解集.給x分別選4和，即可排除D、A和C.2.2解指數(shù)不等式、對數(shù)不等式問題例5（2011北京文科）如果那么A．y<x<1 B．x<y<1 C．1<x<y D．1<y<x解析：此題不難，將化為，利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可以得出答案為D.如果忘記了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用特殊值檢驗(yàn)也可求解，只是根據(jù)題目的特征，x、y的值可以選為，或者2和4.例6（2011遼寧理科）設(shè)函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是 A．，2] B．[0，2] C．[1，+] D．[0，+]解析：本題如果使用特殊值法，就變成了一道分段函數(shù)求值的問題.若x為－1，則＝4，不符合條件，選項(xiàng)A可排除；x選0，＝2，符合條件，選項(xiàng)C可排除；x選4，＝－1，符合條件，選項(xiàng)B可排除，答案為D.本題如果通過分類討論求解，就走入了“小題大做”的誤區(qū)，既費(fèi)力，也容易出錯.2.3解基本不等式問題例7（2011上海）若，且，則下列不等式中，恒成立的是（）A.B.C.D.解析：抓住這一條件，選代入檢驗(yàn)，顯然A、B、C三個選型均可排除.本題似乎要考查基本不等式成立的條件，用特殊值法則回避了這個知識點(diǎn).2.4解絕對值不等式問題解絕對值不等式在教材中沒有出現(xiàn)選擇題，近幾年全國卷及部分省的高考題中以選擇題的形式出現(xiàn)了解絕對值不等式的問題.北師大版高中數(shù)學(xué)選修4—5解絕對值不等式時使用的方法是分類討論或利用絕對值的幾何意義求解，這兩種方法如果用在解選擇題上恐怕是吃力不討好的.例8．（2010年江西高考題）不等式的解集是A． B． C． D．解析：選x=1代入檢驗(yàn)，可知x=1是所給不等式的解，可排除選項(xiàng)B、C，再選x=－1可排除選項(xiàng)D.例9.（2010年全國新課程卷）已知集合},,則A．(0,2)B．[0,2]C．{0,2]D．{0,1,2}解析：注意到，可排除選項(xiàng)A、B，再檢驗(yàn)1是否滿足題意即可選項(xiàng)C.如此一來，兩個集合中的不等式都不需要解了.例10.（2010年山東高考題）已知全集U=R，集合，則 A． B． C． D．解析：本題求的是集合M的補(bǔ)集，所以選的值必須滿足，給x取0可排除前兩個選項(xiàng)，x?。?或3均不符合題意，故排除選項(xiàng)D.例11.（2009年安徽高考題）若集合則A∩B是A．B．C．D．解析：本題如果用特殊值法，在選擇特殊值時要注意集合A和集合B所給不等式的特征，以方便計(jì)算，在代入集合B所給不等式檢驗(yàn)時，只需判斷符號，不必求出最終結(jié)果.顯然，，可排除選項(xiàng)C；及均屬于集合A和集合B，所以正確選項(xiàng)只能是A.例12.（2009年全國高考）不等式＜1的解集為A．｛xB．C．D．解析：本題如果通過分類討論直接求解將比較麻煩.給x取可排除前兩個選項(xiàng)，再取－2可排除選項(xiàng)C，答案只能是D.例13（2011山東理科）不等式的解集是 A．[－5，7] B．[－4，6] C． D．解析：給x取0可排除前兩個選項(xiàng),再取6可以肯定選項(xiàng)D是正確的.3利用特殊值法解與不等式有關(guān)的選擇題時的基本思路由以上教材中以及高考中的題目可以得出一個結(jié)論，我們在解與不等式有關(guān)的選擇題時，應(yīng)該把特殊值法作為首選方法.總體來說，利用特殊值法可以達(dá)到快速求解、小題小做的目的，特別是在高考的時候.全國研究高考數(shù)學(xué)命題的權(quán)威專家、陜西師范大學(xué)羅增儒教授曾提出建議：“為了給難度較大、分值較高的解答題留下較多的思考時間，每道選擇題應(yīng)爭取在1或2分鐘內(nèi)完成”.我們可以發(fā)現(xiàn)，利用特殊值法，上面這16道題目的解題時間都會控制在1分鐘左右，絕不會超過2分鐘.利用特殊值法解與不等式有關(guān)的選擇題時的基本思路大致可以歸納為以下三點(diǎn)：一是分析所給選項(xiàng)特征，把選項(xiàng)作為重要的已知條件；二是選取特殊值代入計(jì)算，特殊值視題目條件而定，以好算為原則，最好可以心算，不要動筆；三是排除或肯定,由于數(shù)學(xué)試題中的選擇題均為四選一的單選題，因此能排除掉三個選項(xiàng)，則剩余的選項(xiàng)必然是正確選項(xiàng).需要注意的是，如果一個特殊值同時在兩個選項(xiàng)中，那么可以同時排除掉兩個選項(xiàng)，但是不能同時肯定兩個選項(xiàng)，還必須再選一個特殊值進(jìn)行檢驗(yàn).4題外話：雖然本文就題目而言可以告一段落，但在完成這篇文章的過程中產(chǎn)生了一些感想，可能對高三教學(xué)及高中數(shù)學(xué)命題有一些參考價值.4.1高三教學(xué)要回歸課本.從近三年高考試題不等式部分的選擇題來看，所考查的知識點(diǎn)和方法沒有超出教材范圍，在教材中可以找出其原型或所謂的影子,其中絕對值不等式屬于自選內(nèi)容，有關(guān)試題也沒有超出教材的范圍.按照羅增儒教授的說法，“課本是高考命題的基本依據(jù)，有的試題直接取自教材，或?yàn)樵}，或?yàn)轭愵}；有的試題是課本概念、例題、習(xí)題的改編；有的試題是幾個題目、幾種方法的串聯(lián)、并聯(lián)、綜合與開拓”.本文中的12道高考題可以充分地證明羅增儒教授這個說法的正確性.因此，高三教學(xué)一定要回歸課本、抓住課本,特別應(yīng)該在課本題目的變式及解法多樣化上多想辦法.4.2選擇題中不宜出現(xiàn)與不等式有關(guān)的題目.從本文的解答可以發(fā)現(xiàn)，與不等式有關(guān)的選擇題不宜做為教材