人教A版（2019）必修第二冊6.4.2平面向量的應(yīng)用(精講)(原卷版+解析)

6.4.2平面向量的應(yīng)用（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖典例精講典例精講考點(diǎn)一平面向量在物理上應(yīng)用【例1】（2023·哈爾濱）在日常生活中，我們會看到兩個(gè)人共提一個(gè)行李包的情況（如圖所示）．假設(shè)行李包所受的重力為，所受的兩個(gè)拉力分別為，，且，與的夾角為，則以下結(jié)論不正確的是（）A．的最小值為B．的范圍為C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，【一隅三反】1．（2022·山東）一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向正東．一艘小貨船準(zhǔn)備從河南岸碼頭P處出發(fā)，航行到河對岸Q（與河的方向垂直）的正西方向并且與Q相距的碼頭M處卸貨，若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為，則當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，小貨船航行速度的大小為（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高一）長江某地南北兩岸平行，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸．假設(shè)游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為．設(shè)和的夾角為，北岸的點(diǎn)在A的正北方向，則游船正好到達(dá)處時(shí)，等于（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）如圖所示，小船被繩子拉向岸邊，船在水中運(yùn)動時(shí)，設(shè)水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸過程中（

）A．船受到的拉力不斷增大 B．船受到的拉力不斷變小C．船受到的浮力不斷變小 D．船受到的浮力保持不變考點(diǎn)二平面向量在幾何中的應(yīng)用【例2-1】（2022·河北）在梯形ABCD中，，，，，若EF在線段AB上運(yùn)動，且，則的最小值為（

）A．5 B． C．4 D．【例2-2】．（2022·北京通州）在中，，邊的中點(diǎn)為D，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022·黑龍江）如圖，在直角梯形ABCD中，，，，，P是線段AB上的動點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．5 C． D．72．（2022·貴州）是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)，分別在邊，上，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．（2022·四川雅安）如圖，在等腰直角中，斜邊，為線段BC上的動點(diǎn)，且，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．6考點(diǎn)三正余弦定理在實(shí)際生活應(yīng)用【例3】（2022·湖南）一艘輪船沿北偏東28°方向，以18海里/時(shí)的速度沿直線航行，一座燈塔原米在輪船的南偏東32°方向上，經(jīng)過10分鐘的航行，此時(shí)輪船與燈塔的距離為海里，則燈塔與輪船原來的距離為（

）A．2海里 B．3海里 C．4海里 D．5海里【一隅三反】1．（2022·黑龍江）如圖所示，為測一樹的高度，在地面上選取、兩點(diǎn)，從、兩點(diǎn)分別測得樹尖的仰角為、，且、兩點(diǎn)之間的距離為，則樹的高度為（

）A． B． C． D．2．（2022·安徽）如圖為2022年北京冬奧會首鋼滑雪大跳臺示意圖，為測量大跳臺最高點(diǎn)距地面的距離，小明同學(xué)在場館內(nèi)的點(diǎn)A測得的仰角為（單位：），點(diǎn)在同一水平地面上，則大跳臺最高高度（

）A． B．C． D．3．（2022·山東臨沂·高一期末）一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A處測得水柱頂端的仰角為45°，沿點(diǎn)A向北偏東30°前進(jìn)60m到達(dá)點(diǎn)B，在點(diǎn)B處測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是（

）A．25m B．30m C．35m D．40m考點(diǎn)四正余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)【例4】（2022·新疆）設(shè)函數(shù)，其中向量，.(1)求的最小值；(2)在△中，，，分別是角，，所對的邊，已知，，△的面積為，求的值.【一隅三反】1．（2022·廣東揭陽）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的解析式；（2）在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，若，，且的面積為，求．2．（2022·青海）已知向量，，函數(shù).（1）求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）若鈍角的三內(nèi)角的對邊分別是，，，且，求的取值范圍.3．（2022·甘肅）已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）在銳角中，設(shè)角、、所對的邊分別是、、，若且，求的取值范圍.考點(diǎn)五正余弦定理的最值問題【例5-1】（2022·山東）在銳角中，角的對邊分別為，且滿足．(1)求角的大??；(2)求的取值范圍．【例5-2】（2022·江蘇）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos2A+cos2B+2sinAsinB＝1+cos2C．(1)求角C；(2)設(shè)D為邊AB的中點(diǎn)，△ABC的面積為，求CD的最小值.【一隅三反】1．（2022·廣東）請從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答．①；②；③．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若．(1)求角C；(2)若，求△ABC周長的取值范圍．2．（2022·北京）已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，是的面積,．(1)證明：A＝2C；(2)若a＝2，且為銳角三角形，求b＋2c的取值范圍．3．（2022·廣東）在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．己知．(1)求A；(2)若，且，求的取值范圍．考點(diǎn)六正余弦定理在幾何中應(yīng)用【例6】（2022·甘肅）如圖，△ABC中，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，且滿足．(1)證明：；(2)若AB＝2，AC＝1，，求△ABD的面積．【一隅三反】1．（2022·山西）在平面四邊形中，，，．(1)若，求的長；(2)求四邊形周長的最大值．2（2022·廣東）如圖，在平面四邊形中，，．(1)若平分，證明：；(2)記與的面積分別為和，求的最大值．3．（2022·安徽）如圖，在梯形中，，．(1)若，求周長的最大值；(2)若，，求的值．6.4.2平面向量的應(yīng)用（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖典例精講典例精講考點(diǎn)一平面向量在物理上應(yīng)用【例1】（2023·哈爾濱）在日常生活中，我們會看到兩個(gè)人共提一個(gè)行李包的情況（如圖所示）．假設(shè)行李包所受的重力為，所受的兩個(gè)拉力分別為，，且，與的夾角為，則以下結(jié)論不正確的是（）A．的最小值為B．的范圍為C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，【答案】B【解析】如圖，對于選項(xiàng)A：當(dāng)、方向同向時(shí)，有，此時(shí)取得最小值，且最小值為，A正確；對于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，有，行李包不會處于平衡狀態(tài)，即，B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：當(dāng)行李包處于平衡時(shí)，，若，則有，變形得，，即，正確；對于D選項(xiàng)：若，則有則有，變形可得則有，D正確，故選：B．【一隅三反】1．（2022·山東）一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向正東．一艘小貨船準(zhǔn)備從河南岸碼頭P處出發(fā)，航行到河對岸Q（與河的方向垂直）的正西方向并且與Q相距的碼頭M處卸貨，若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為，則當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，小貨船航行速度的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，航線路線為線段，設(shè)小貨船航行速度為，水流的速度為，水流的速度與小貨船航行的速度的合速度為，作出示意圖如下：，，在中，有，所以，，，所以，所以，所以小貨船航行速度的大小為，故選：C.2．（2022·全國·高一）長江某地南北兩岸平行，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸．假設(shè)游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為．設(shè)和的夾角為，北岸的點(diǎn)在A的正北方向，則游船正好到達(dá)處時(shí)，等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)船的實(shí)際速度為，因?yàn)辄c(diǎn)在A的正北方向，所以，所以.故選：D.3．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）如圖所示，小船被繩子拉向岸邊，船在水中運(yùn)動時(shí)，設(shè)水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸過程中（

）A．船受到的拉力不斷增大 B．船受到的拉力不斷變小C．船受到的浮力不斷變小 D．船受到的浮力保持不變【答案】AC【解析】設(shè)水的阻力為，船受到的拉力為，與水平方向的夾角為，則，故，因?yàn)椴粩嘣龃?，所以不斷減小，故不斷增大.因?yàn)椴粩嘣龃螅源艿降母×Σ粩鄿p??；故選：AC.考點(diǎn)二平面向量在幾何中的應(yīng)用【例2-1】（2022·河北）在梯形ABCD中，，，，，若EF在線段AB上運(yùn)動，且，則的最小值為（

）A．5 B． C．4 D．【答案】D【解析】建立如圖所示的坐標(biāo)系,則,設(shè),則,且,故當(dāng)時(shí),的最小值為,故選：D.【例2-2】．（2022·北京通州）在中，，邊的中點(diǎn)為D，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，在中，邊的中點(diǎn)為D由，可得：，，可得：，，，可得：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）則的最大值為4.故選：D.【一隅三反】1．（2022·黑龍江）如圖，在直角梯形ABCD中，，，，，P是線段AB上的動點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．5 C． D．7【答案】D【解析】如圖，以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，因?yàn)?，，所以，，，所以，，，所以，所以，所以?dāng)，即時(shí)，的最小值為7，故選：D．2．（2022·貴州）是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)，分別在邊，上，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】以所在的邊為x軸、垂直平分線為y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，則，所以，則則的最小值為，故選：D.3．（2022·四川雅安）如圖，在等腰直角中，斜邊，為線段BC上的動點(diǎn)，且，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．6【答案】B【解析】因?yàn)樵诘妊苯侵?，斜邊，所以，因?yàn)椤?，所以，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故選：B考點(diǎn)三正余弦定理在實(shí)際生活應(yīng)用【例3】（2022·湖南）一艘輪船沿北偏東28°方向，以18海里/時(shí)的速度沿直線航行，一座燈塔原米在輪船的南偏東32°方向上，經(jīng)過10分鐘的航行，此時(shí)輪船與燈塔的距離為海里，則燈塔與輪船原來的距離為（

）A．2海里 B．3海里 C．4海里 D．5海里【答案】A【解析】如圖，設(shè)A為輪船原來的位置，B為輪船10分鐘后的位置，C為燈塔的位置，由題意知，，．由余弦定理得，所以，化簡得，解得或（舍去），所以燈塔與輪船原來的距離為2海里，故選：A【一隅三反】1．（2022·黑龍江）如圖所示，為測一樹的高度，在地面上選取、兩點(diǎn)，從、兩點(diǎn)分別測得樹尖的仰角為、，且、兩點(diǎn)之間的距離為，則樹的高度為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在，，，，又，由正弦定理得：，，樹的高度為(m).故選：A．2．（2022·安徽）如圖為2022年北京冬奧會首鋼滑雪大跳臺示意圖，為測量大跳臺最高點(diǎn)距地面的距離，小明同學(xué)在場館內(nèi)的點(diǎn)A測得的仰角為（單位：），點(diǎn)在同一水平地面上，則大跳臺最高高度（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】在中，，則，∴，由正弦定理可得，則，在Rt中，，∵，則.故選：A．3．（2022·山東臨沂·高一期末）一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A處測得水柱頂端的仰角為45°，沿點(diǎn)A向北偏東30°前進(jìn)60m到達(dá)點(diǎn)B，在點(diǎn)B處測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是（

）A．25m B．30m C．35m D．40m【答案】B【解析】如圖所示，設(shè)水柱CD的高度為h，在ACD中，∵∠DAC=45°，∴AC=h，∵∠BAE=30°，∴∠CAB=60°，又∵B，A，C在同一水平面上，∴是以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形，在中，∠CBD=30°，∴BC=，在中，由余弦定理可得，∴，即，解得．∴水柱的高度是30m，故選：B.考點(diǎn)四正余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)【例4】（2022·新疆）設(shè)函數(shù)，其中向量，.(1)求的最小值；(2)在△中，，，分別是角，，所對的邊，已知，，△的面積為，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由題設(shè)，，所以，當(dāng)時(shí)的最小值為.(2)由，得：，則，又，所以，故，則.由，可得：.在△中，由余弦定理得：，所以.由，則.【一隅三反】1．（2022·廣東揭陽）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的解析式；（2）在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，若，，且的面積為，求．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）據(jù)圖象可得，故，由得：．由得：．由知，，，解得，；（2），，，，，，由題意得的面積為，解得，由余弦定理得，解得：.2．（2022·青海）已知向量，，函數(shù).（1）求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）若鈍角的三內(nèi)角的對邊分別是，，，且，求的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由條件可得：，∴，所以函數(shù)零點(diǎn)滿足，則，得，；（2）由正弦定理得，由（1），而，得，∴，，又，得，∴代入上式化簡得：，又在鈍角中，不妨設(shè)為鈍角，有，則有.∴.3．（2022·甘肅）已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）在銳角中，設(shè)角、、所對的邊分別是、、，若且，求的取值范圍.【答案】（Ⅰ）最小正周期為，，；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由題意，函數(shù)，所以函數(shù)的最小正周期為，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，.（Ⅱ）由（1）可得，因?yàn)?，可得，由正弦定理可知，所以，，由及為銳角三角形，解得，則.因?yàn)?，可得，所以，所?考點(diǎn)五正余弦定理的最值問題【例5-1】（2022·山東）在銳角中，角的對邊分別為，且滿足．(1)求角的大小；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：因?yàn)椋?，即，即，又，所以，因?yàn)?，所以；?），因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，所以，所以，即的取值范圍為．【例5-2】（2022·江蘇）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos2A+cos2B+2sinAsinB＝1+cos2C．(1)求角C；(2)設(shè)D為邊AB的中點(diǎn)，△ABC的面積為，求CD的最小值.【答案】(1)；(2).【解析】（1）cos2A+cos2B+2sinAsinB＝1+cos2C，即，由正弦定理可得，結(jié)合余弦定理可得，又，故可得.（2）由三角形面積可得，解得；又，故即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號.故CD的最小值為.【一隅三反】1．（2022·廣東）請從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答．①；②；③．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若．(1)求角C；(2)若，求△ABC周長的取值范圍．【答案】(1)(2)．【解析】（1）選①，由得：，即，所以，因?yàn)椋式?；選②，由得：，，所以，因?yàn)?，，所以，解得：；選③，因?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以，∴，∵，∴，∴，因?yàn)?，所以．?）根據(jù)（1）可知：，又因?yàn)?，由余弦定理得：，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號，又因?yàn)楦鶕?jù)三角形的三邊關(guān)系有：所以，所以△ABC周長的取值范圍為．2．（2022·北京）已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，是的面積,．(1)證明：A＝2C；(2)若a＝2，且為銳角三角形，求b＋2c的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：由，即，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴A，B，C∈（0，π），∴即A＝2C．（2）∵，且a＝2，∴∵A＝2C，∴B＝π－3C，∵為銳角三角形，所以,∴，∴，由a＝2，，所以，則，且，設(shè),，設(shè)，則，∴，，所以,為減函數(shù)，∴．3．（202